精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（ ） A. 4名 B. 6名 C. 8名 D. 10名 5. 已知一次函数满足，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 空集是任何集合的子集 B. “有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形” C. “”是的一个充分条件 D. 已知a，，则是“”的充要条件 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 11. 已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，，集合，，若，则______． 13. 若，，则的取值范围为______． 14. 已知函数，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； （2）若，求的取值范围． 16. 梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为xkg，消费额为元． （1）求函数的解析式； （2）已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg，8kg，求甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱． 17. 已知． （1）证明． （2）若，求的最小值． 18. 已知与分别是定义在上的奇函数、偶函数，且． （1）分别求，的解析式； （2）设函数，若与在上的值域相同，求a，b的值． 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得两集合，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，， 所以． 故选：C 2. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】对于函数， 当时, ，则 ， ， ， ，， 所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点， 内一定包含的零点． 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由或，即可判断； 【详解】或， 显然可以得到或，而或未必有， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（ ） A. 4名 B. 6名 C. 8名 D. 10名 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的运算即可得出结果. 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 5. 已知一次函数满足，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除错误选项，再由特殊值的正负排除错误选项. 【详解】由题可知的定义域为R，且，所以是奇函数，排除A，B． 当时，，排除D． 故选：C． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法计算即可. 【详解】因为的定义域为，所以在中，，则， 则在中，，则． 又，所以的定义域为． 故选：B. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 空集是任何集合的子集 B. “有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形” C. “”是的一个充分条件 D. 已知a，，则是“”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用空集的意义判断；对B，根据特称命题的否定判断；对C，由基本不等式求解判断；对D，举反例. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，故A正确； 对于B，“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，故B正确； 对于C，若，则，， 当且仅当时，等号成立， 故“”是“”的一个充分条件，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误． 故选：ABC. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 11. 已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，整理得到．令函数，得到在R上单调递增，再逐项判断. 【详解】由，得， 则，整理得． 令函数，则由，得， 从而在R上单调递增，则，即，， 即，A正确，B不正确． 因为，所以，则， 即，C正确． 因为单调性不确定，而，即，所以与的大小关系不确定，D不正确． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，，集合，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 13. 若，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以，，则． 所以，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论得到和，再分别讨论和即可求解. 【详解】若，则，解得， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得或（舍去）． 若，则，解得或（舍去）， 当时，则，不符合题意； 若，则，方程无解． 综上所述，． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【小问1详解】 若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． 【小问2详解】 由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 16. 梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为xkg，消费额为元． （1）求函数的解析式； （2）已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg，8kg，求甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱． 【答案】（1） （2）6元钱 【解析】 【分析】（1）根据表格即可列出各段函数解析式； （2）分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，． 故 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为元． 当甲、乙一起购买时，消费总额为元． 故甲、乙一起购买时比他们各自购买时节省了6元钱． 17. 已知． （1）证明． （2）若，求的最小值． 【答案】（1） 因为，所以， 所以， 所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质，利用作差法证明； （2）利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则，又， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是． 18. 已知与分别是定义在上的奇函数、偶函数，且． （1）分别求，的解析式； （2）设函数，若与在上的值域相同，求a，b的值． 【答案】（1），． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性，令自变量为得到新的等式，联立方程组解得的解析式； （2）求出在上的值域，再分类谈论的值，从而知道的单调性，从而建立等式，解得a，b的值. 【小问1详解】 因为与分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以，． 由，① 得， 则．② ①-②得，则， 从而． 【小问2详解】 由二次函数的图像及性质知道在上单调递增，且，，所以在上的值域为． 若，则在上单调递增．因为与在上的值域相同，所以解得． 若，则为常数函数，显然不符合题意． 若，则在上单调递减．因为与在上的值域相同， 所以解得． 综上所述，或. 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） 因为在上的平均变化率为3， 所以， 由，得， 从而，则． （2）①因为， 所以， 又，所以， 则，从而， 又， 因为a，，所以，，则，即， 又，所以，即. ②． 【解析】 【分析】（1）利用在上的平均变化率的定义求解； （2）①根据，得到，再利用证明；②先利用函数单调性定义得到在上单调递减，再由，得到的范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②任取， 则， 即，所以在上单调递减， 由，得， 因为，所以，解得， 则， 则，即， 故的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $