精品解析：江苏宿迁市沭阳如东中学2026～2027学年高一上学期阶段测试（一）数学试卷

2026级高一第一学期阶段测试（一） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为，， 所以. 故选：A 2. 函数的零点为（　　） A. 和 B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【详解】令得，解得或. 3. 命题“,”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，结论否定. 【解答】命题“，”等价于“”,故其否定为“”. 4. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由解集知，，所以. 于是，开口向下，与轴交点横坐标为为. 5. 某体育局为调查学生观看第33届巴黎奥运会的情况，统计了某高中高一（1）班55名学生的观看情况：55名学生观看比赛项目都集中在球类比赛、水上运动比赛、田径比赛这三类，其中8名学生只观看了球类比赛，5名学生只观看了水上运动比赛，6名学生只观看了田径比赛，既观看过球类比赛又观看过水上运动比赛的学生有24名，既观看过球类比赛又观看过田径比赛的学生有20名，既观看过水上运动比赛又观看过田径比赛的学生有18名，则该班这三类比赛都观看过的学生人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设该班这三类比赛都观看过的学生人数为，由图可得： ，解得， 故选：D． 6. 设，若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】根据题意易知 ， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：B 7. 设为正数，且，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以得， 即，所以. 8. 已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，若x接近 时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因 当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述， 故选：B 考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像． 【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用作差法，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，由，，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因为，又， 当时，，当时，，当，，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，所以选项D正确. 故选：AD. 10. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B. 在克盐水中含有克盐，再加入克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率为． D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为，正方形的面积为， 因为，可得，即，故A正确； 对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为， 则， 因为，可得， 所以，即，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购， 第二次购物时的价格为元/kg，购，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品， 第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为. 比较两次购的平均价格：， 当且仅当时，等号成立， 所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D正确； 故选：ABD. 11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数恒等式，化简即为答案. 【详解】 故答案为：2. 13. 已知集合，设，且，则集合的元素的个数为______． 【答案】 【解析】 【详解】即. ， 若是方程的根，则， 必是方程的根，则，解得或， 此时； 若是方程的根，则，解得或， 必是方程的根，则，此时. 综上，集合B有4个元素. 14. 已知正数满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】设，则.由， 可得 即 故，即，且 化简得，此时可以取到. 综上，的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得； （2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可. 【小问1详解】 ，解得， 当时，得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，所以AB， 解方程得或， 当时，，不满足题意； 当，即时，， 因为AB，所以，解得； 当，即时，，显然不满足题意. 综上，的取值范围为. 17. 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为米，如图，设池塘所占的总面积为平方米. （1）试用表示并写出的取值范围； （2）当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值. 【答案】（1），； （2）时，. 【解析】 【分析】（1）先由地块总面积求出水平边长，结合基围宽度分别推导出三个池塘的长、宽与x的关系，相加得到总面积表达式，再根据池塘边长为正求出x的取值范围； （2）将面积表达式拆分整理成 “正数和” 的形式，利用基本不等式求出最小值对应的x，进而得到池塘面积的最大值. 【小问1详解】 设矩形地块宽为，用表示池塘总高与总宽. 矩形地块宽为，池塘总高为，其中上池塘高，下池塘高，所以，.上池塘宽为，下两池塘总宽为， 故.由及得. 所以，； 【小问2详解】 ，当，即时取等号，故， 所以当时，最大，. 18. 一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. （1）若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用开口向上的二次函数零点分布性质，根据两个区间各有一个零点的条件，列出区间端点的函数值符号不等式组，求解得到m的取值范围； （2）先移项整理为标准含参一元二次不等式，因式分解得到两根，再按二次项系数的正负、两根的大小关系分类讨论，分别写出对应解集； （3）将集合包含关系转化为区间上的恒成立问题，对单独验证后，在上分离参数，利用基本不等式求出右侧函数的最小值，进而得到m的取值范围. 【小问1详解】 ，因为二次函数开口向上， 且函数在和上各有1个零点，根据二次函数零点的分布性质，区间端点的函数值满足 即解得. 【小问2详解】 不等式化为， 当时，解集为； 时，， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 . 时恒成立； 时，， 当且仅当，即时取等号， 故，所以，故， 所以实数的取值范围为. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，当且仅当，即时取最小值.请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解关于的方程； （3）若正数满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得代入目标式，化简计算即得； （2）利用，先证为定值1，再将其整体代入方程即可求解方程； （3）通过消元后令，将其整理为关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求得的最小值. 【小问1详解】 由，，所以. 【小问2详解】 因为，则 故， 又因， ， 故，解得. 【小问3详解】 由得，则， 设，代入整理得， 依题意，有，解得， 当时，即时，取得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第一学期阶段测试（一） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点为（　　） A. 和 B. C. 和 D. 和 3. 命题“,”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（　　） A. B. C. D. 5. 某体育局为调查学生观看第33届巴黎奥运会的情况，统计了某高中高一（1）班55名学生的观看情况：55名学生观看比赛项目都集中在球类比赛、水上运动比赛、田径比赛这三类，其中8名学生只观看了球类比赛，5名学生只观看了水上运动比赛，6名学生只观看了田径比赛，既观看过球类比赛又观看过水上运动比赛的学生有24名，既观看过球类比赛又观看过田径比赛的学生有20名，既观看过水上运动比赛又观看过田径比赛的学生有18名，则该班这三类比赛都观看过的学生人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 设，若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 7. 设为正数，且，，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B. 在克盐水中含有克盐，再加入克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率为． D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠． 11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 13. 已知集合，设，且，则集合的元素的个数为______． 14. 已知正数满足，则的最大值是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为米，如图，设池塘所占的总面积为平方米. （1）试用表示并写出的取值范围； （2）当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值. 18. 一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. （1）若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，当且仅当，即时取最小值.请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解关于的方程； （3）若正数满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $