29.1.1 圆的有关概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

29.1 圆的有关概念 第二十九章 圆 29.1.1 圆 人教版 九年级（上） 1. 经历圆概念形成的过程，理解圆、弧、弦等与圆有 关的概念，了解等圆、等弧的概念. (重点、难点) 2. 学生会用圆的概念解决简单的问题，形成几何直观的素养，增强运用的意识. 素养目标 圆，是生活中常见的图形，许多物体都是圆的形象. 你能说说生活当中存在哪些圆吗？ 素养目标 素养目标 探究点1：圆的定义 问题1：如何在草地上画一个半径为 5m 的圆呢？ 说说要注意什么？ 【合作探究】 方法：用体育老师的长卷尺，顶端绑一只粗铅笔，另外一端固定为 5 米的长度，然后转一个圈. · 新知探究 5 追问1 在画的过程当中需要注意什么？ 追问2 在画圆的过程，大家能否提炼出关键词呢？ 追问3 你能否用数学的几何元素来刻画这些关键的操作呢？并在纸上画一个圆. 长卷尺要保持绷直的状态. 固定一点，拉直卷尺，旋转. 探究点1：圆的定义 新知探究 圆的定义 在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆． 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆 O ”. O r P · 圆心 半径 其固定的端点 О 叫作圆心， 线段 OP 叫作半径. 探究点1：圆的定义 新知探究 问题2：(1) 圆上的各点到定点(圆心 O )的距离有什么特点？ (2) 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ O r A · 1.圆上各点到定点(圆心 O )的距离都等于定长(半径 r )； O r A · 2.到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上. 探究点1：圆的定义 新知探究 圆的集合定义 因此，圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 探究点1：圆的定义 新知探究 问题：我优秀射击运动员在国际运动会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉，如下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆 (圆心相同、半径不同的圆)构成的，你知道命中靶上不同位置的成绩是怎样计算的吗？ E D C A B 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 问题3：观察下图中的点和圆的位置关系有哪几种？ 点和圆的位置关系有三种： 点A在圆内， 点B在圆上， 点C在圆外. 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 问题4：设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在这三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 问题5：然后反过来，由 d 与 r 的数量关系，你能判定点与圆的位置关系吗？ 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 示意图 对应关系 点在圆外 d > r 点在圆上 d =r 点在圆内 d < r 数形结合： 位置关系 数量关系 探究点2：点和圆的位置关系 【归纳总结】 新知探究 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：A、B、C、D 四个点在以 O 为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O ∴ OA = OC = OB = OD. ∴ A、B、C、D 四个点在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上. 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 例2 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 2 和 3，若 OP = 2.5 ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 O D 总结 点 P 在圆环内 r＜d＜R 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 1.点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 3 cm，最大距离是 11 cm，则⊙O的半径 cm. ① 点在圆内 ② 点在圆外 7 或 4 【练一练】 探究点2：点和圆的位置关系 新知探究 探究点 3：圆的有关概念 探究一 连接圆上的任意两点，画出不同的线段.说一说这些线段有什么区别？ 部分过圆心... 有最长的线段... 新知探究 总结 · C O A B 弦：连接圆上任意两点之间的______. 例如：AB和AC. 直径：经过_______的______. 例如：AB.直径是_____的弦. 线段 圆心 弦 最长 半径是不是弦？ 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 探究二 用弦将圆分成两部分，请动手画画有几种情况. A B B A 弦将圆分成两个______的圆弧. 直径将圆分成两个____的圆弧. 相等 不相等 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 总结 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ， 读作“圆弧 AB”或“弧 AB ”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. · C O A B 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 总结 优弧：大于半圆的弧，例 . 劣弧：小于半圆的弧，例 . · C O A B 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 探究三 已知 r = 8cm，请分别画两个圆，绘制过程中观察两个圆是否能够重合. 总结 等圆：能够完全重合的两个圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 不可能完全重合， 这两条弧弯曲程度不同. “等弧”≠“长度相等的弧” 如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 8 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ D C A B 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 例3 如图，回答下列问题： (1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧； (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径； 弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 是直径. (3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. A B C E F D O 劣弧： 优弧： 答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 . 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 例4 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 35°，以 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，连接 CD，求∠ACD 的度数. ∴∠ACD = 90°- 70°= 20°. 解：∵∠ACB = 90°，∠A = 35°， ∴∠B = 55°. ∵CD = CB， ∴∠BCD = 180°- 2×55°= 70°. 注意：在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度. 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 变式 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 25°，求∠AOC 的度数． 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径， AB = 2DE，∴OD = DE. ∴∠DOE =∠E = 25°. ∴∠ODC =∠DOE＋∠E = 50°. ∵ OC = OD，∴∠C =∠ODC = 50°. ∴∠AOC = ∠C＋∠E = 50°＋25° = 75°. 探究点 3：圆的有关概念 新知探究 定义 圆 有关概念 弦 弧 ____是圆中最长的弦 直径 等圆或同圆 等弧 点在圆外⇔d___r 点和圆的位置关系 ＞ 点在圆内⇔d___r 点在圆上⇔d___r ＜ = 课堂小结 1. 下列说法中，不正确的是(　A　) A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧 C. 圆上的点到圆心的距离都相等 D. 同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 A 2.有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是(D　) A. 2 B. 5 C. 10 D. 11 D 当堂反馈 3. 已知☉O 的半径为 6，线段 OP＝6，则点 P 与 ☉O 的位置关系是(　C　) A. 点 P 在 ☉O 外 B. 点 P 在 ☉O 内 C. 点 P 在 ☉O 上 D. 不能确定 C 4.已知 ☉O 的直径为 8 cm，点 P 不在 ☉O 外，则 OP 的长(　B　) A. 小于 4 cm B. 不大于 4 cm C. 小于 8 cm D. 不大于 8 cm B 当堂反馈 5.如图，在☉O 中，半径 OA⊥OB，∠B＝20°， 求∠BOC 的度数. 解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°. ∴∠A＝90°－∠B＝90°－20°＝70°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝70°. 而∠ACO＝∠BOC＋∠B， ∴∠BOC＝70°－20°＝50°. 当堂反馈 $