29.1.2 过三点的圆（第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.1.2 过三点的圆 （第 1 课时） 学科：数学（人教版） 年级：九年级 主讲人：____________ 学校：____________ 开场：前面我们学习了圆的基本概念和弧、弦等。直线可由两点确定，圆要几个点才能确定？这节课我们沿着研究直线的思路来研究圆。 学习目标 1. 经历“过一个点、两个点、三个点分别能作几个圆”的探究过程，掌握用尺规作不在同一直线上的三点所确定的圆； 2. 理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，认识三角形的外接圆和外心，知道外心是三边垂直平分线的交点； 3. 体会类比（由“两点确定一条直线”到“三点确定一个圆”）、转化（确定圆转化为确定圆心和半径）的思想方法。 目标说明：重点在探究过程和方法，不满足于记住结论。提醒学生类比'两点确定一条直线'的学习经验。 一 情境引入 从“两点确定一条直线”说起 A B 两点确定一条直线 问题1：直线由几个点确定？是怎样说的？ 两点确定一条直线。 问题2：受此启发，几个点能确定一个圆呢？ 这节课，我们仿照研究直线的思路来研究圆。 用直线的经验引出圆的问题，让学生意识到确定一个圆需要确定什么：圆心和半径。 探究1：经过一个点，能作几个圆？ A 画一画：经过点A画圆，能画多少个？ 议一议：这些圆的圆心、半径能确定吗？ 结论：经过一个点可以作无数个圆。圆心可以任意选取，半径随之改变，都不能确定。 让学生实际画几个圆，直观感受'无数个'。强调圆心、半径都不确定，所以圆不确定。 探究2：经过两个点，能作几个圆？ A B O 画一画：经过A，B两点画圆。 想一想：这些圆的圆心有什么共同特点？ 结论：经过两点也可以作无数个圆。 它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上——因为垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 复习垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等。为三点定圆埋下伏笔。 探究3：经过不在同一条直线上的三个点呢？ A B C O 作法： ① 连接AB、AC； ② 分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O； ③ 以O为圆心、OA为半径作圆。 ⊙O经过A，B，C三点，就是所求作的圆。 为什么？OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，即A、B、C到点O的距离都等于半径。 这是本课的核心活动。边作图边说明：两条垂直平分线的交点O到三个点距离相等，以OA为半径的圆必然经过B、C。 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 ① “确定”的含义：圆心的位置、半径的大小都唯一确定——圆心是两条垂直平分线的交点，半径是该点到任一点的距离。 ② 经过同一条直线上的三个点不能作圆（下面说明理由）。 ③ 应用：木工检查圆弧、文物修复补全残圆、机械零件找圆心，都用到“三点定圆”。 强调'确定'二字的数学含义。可让学生举例生活中三点定圆的例子。 思考：经过同一条直线上的三个点，能作圆吗？ A B C l AB 的垂直平分线 BC 的垂直平分线 假设：经过同一条直线 l 上的三点A，B，C 可以作圆，设圆心为O。 那么 OA=OB，OB=OC，即点O 既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上。 因为A，B，C在同一条直线 l 上，所以AB与BC的垂直平分线互相平行，不可能相交，这与“两条线都经过点O”矛盾。 所以，经过同一直线上的三点不能作圆。 这种先假设结论不成立，推出矛盾，从而断定结论成立的方法叫反证法。 反证法只作简介，让学生理清'假设—矛盾—否定假设'的步骤即可，后续遇到还会再练。 二 新知应用 三角形的外接圆与外心 A B C O O 锐角三角形 ⊙O 在三角形内部 O 直角三角形 外心在斜边中点 O 钝角三角形 外心在三角形外部 ⊙O经过△ABC的三个顶点，叫做△ABC的外接圆；圆心O叫外心。 外心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等：OA=OB=OC。 由'三点定圆'自然得到：任意三角形都有外接圆。外心位置与三角形形状的关系可让学生看图归纳，不必展开证明。 例题1：用尺规作一个三角形的外接圆 D E F G A B C O 已知：△ABC（如图）。 求作：△ABC的外接圆。 作法： （1）连接AB，作AB的垂直平分线DE； （2）连接AC，作AC的垂直平分线FG，DE与FG交于点O； （3）以O为圆心、OA为半径作圆。 ⊙O就是所求作的△ABC的外接圆。 依据：OA=OB，OA=OC，故OB=OC，B、C都在⊙O上。 尺规作图步骤要规范：说明、结论、依据三段完整。可让学生在学案上跟着作一遍。 目标检测1：网格中的圆心与半径 r A B C O 如图，网格中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上。 （1）作出经过A，B，C三点的圆，标出圆心O； （2）求出这个圆的半径。 解：连接AB，AB的中垂线是过AB中点(2,0)的竖直格线x=2。 再作AC的中垂线，与x=2交于格点O(2,1)。 由勾股定理，OA=√(2²+1²)=√5。 所以圆心是格点O(2,1)，半径r=√5。 用网格特征找中垂线是关键。答案：圆心在格点，半径√5。注意书写'解'的规范。 目标检测2：四个点，最多能作几个圆？ A B C P O l 如图，A，B，C三点在直线 l 上，点P在直线 l 外。 （1）用直尺和圆规作出经过P，A，C三点的圆； （2）经过这四个点中的任意三个点，最多可以作多少个圆？ 解：从四个点中任取三个，共有4种选法： PAB、PBC、PAC 三点都不共线，各确定1个圆； 而A，B，C三点共线，不能作圆。 所以最多可以作 3 个圆。 第(2)问是易错点：注意分类列举四种组合，并检查是否共线。可追问：'最少几个？'（0个，不存在三点共线之外……）不必展开。 三 课堂小结 知识要点 ① 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过同一直线上的三点不能作圆。 ② 三角形的外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 ③ 反证法：假设结论不成立 → 推出矛盾 → 结论成立。 思想方法 ④ 类比：由“两点确定一条直线”类比研究“三点确定一个圆”。 ⑤ 转化：确定圆的问题转化为确定圆心（两条垂直平分线的交点）与半径的问题。 小结时让学生先讲，教师补充。强调转化思想：定圆=定圆心+定半径。 布置作业 基础作业 ① 教科书第47页练习第1、2题；习题29.1第3题。 ② 用尺规作一个钝角三角形的外接圆，量出外心到三个顶点的距离并比较。 拓展作业 ③ 查一查：为什么只剩一段残弧的圆形文物，修复专家能画出原来的整圆？ 作业分层：基础+实践+拓展。拓展题呼应课堂'生活中的应用'，为下节课垂径定理留下经验。 $