第三章 勾股定理 单元检测卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第三单元检测卷　参考答案与解析 （满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共16分） 答案：1．B　　2．C　　3．C　　4．B　　5．D　　6．B　　7．D　　8．D 1． 根据勾股定理的逆定理，只需检验较小两边的平方和是否等于最大边的平方．B 组：，能组成直角三角形；A 组 ，C 组 ，D 组 ，均不能．故选 B． 2． A：由 且 得 ；B：由 得 ；D：，均能判定．C：设 ，则 ，，三内角分别为 ，不是直角三角形．故选 C． 3． 若 为斜边，则 ；若 为直角边（此时 为斜边），则 ．故以 为边长的正方形面积为 或 ．故选 C． 4． 设水深 ，则荷花总长 ．由图，荷花倒伏后斜边为 ，水平距离 ，竖直段 ，在 Rt 中 ，解得 ．故选 B． 5． D：，满足勾股定理的逆定理；A：，；B：三内角为 ；C：，均不能判定．故选 D． 6． 由翻折得 ，故 ．因为 ，所以 ，从而 ．又 在 上且 在 上，故 ，所以 ．设 ，则 （长方形中 ）．在 Rt 中，，故 ；又 ，于是 ，解得 ，所以 ．故选 B． 7． 设四个正放置正方形的面积依次为 ．由勾股定理，每个斜放正方形的面积等于其所在直角三角形两直角边上两个正放正方形面积之和，因此 ，，．故 ．故选 D． 8． 在 中，，，，因为 ，所以 ，即 ．点 是 的中点，在 Rt 中， 是斜边 上的中线，故 ，所以 ．在 Rt 中，，，由勾股定理得 ．故选 D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．因为 ， 平分 ，所以 且 ．在 Rt 中，．又 为 的中点，在 Rt 中， 是斜边 上的中线，故 ． 10．长方形对角线 ．点 表示的数为 ，以 为圆心、 为半径画弧交数轴于 ，则 ．点 在点 的右侧，故点 表示的数为 （另一交点在左侧，不合题意）． 11．由题意， 在 的北偏东 、 在 的南偏东 ，故 ；轮船从 向正南航行到 ，故 ．在 Rt 中，，．所以点 与点 之间的距离为 海里． 12．若腰长为 ，则底边长为 ，底边上的高 ；若底边长为 ，则腰长为 ，底边上的高 ．故底边上的高为 或 ． 13．设两直角边长为 （），则小正方形边长 ，斜边平方 ．由 得 ，即 ，所以 ．于是 ，故 ． 14．设树高为 ，树根处为点 ，树顶为点 ． 时刻光线与地面的夹角为 ，则 ； 时刻影长 ，光线与地面的夹角为 ，．两次光线互相垂直，故 ，．于是 ，得 ，．故树高为 ． 15．折痕 是 的垂直平分线．当 与 重合时，由轴对称性 ；在 Rt 中，，故 ，从而 ．当 与 重合时，．因为 分别只能在边 上移动，所以 在 上的位置介于这两种极端之间，纵坐标从 到 ，可移动的最大距离为 ． 16．22 17．40 18．由翻折知 垂直平分 ，故 为 的中点且 ．在 Rt 中，，从而 ．设 ，则 ．因为 是 的中点，所以 （翻折前后面积相等）；又 ，故 ，解得 ，．因为 ，所以 ，在 Rt 中 ，；又 为 的中点，所以 ． 三、解答题（共64分） 19．（6分） （1）因为 、 都是等腰直角三角形，所以 ，，且 ．（2分） （2）于是 ，而 ，故 ．在 和 中，，所以 （SAS），于是 ．（2分） （3）将 绕点 旋转 ：因为 且 ，点 旋转后落到点 ；又 、，点 旋转后落到点 ，故 旋转 后与 重合．因为 在 的延长线上， 与 共线，所以 ，即 ．在 Rt 中，由勾股定理得 ，即 ．（2分） 20．（6分） （1）在 Rt 与 Rt 中，，，所以 RtRt（HL），从而 ．因为 ，所以 ；又 ，故 ，所以 ．（3分） （2）四边形 中 （都垂直于 ），是直角梯形，其面积 ．另一方面，把四个与 全等的直角三角形（其中 是其中一个）按图示拼成边长为 的大正方形，该大正方形面积 等于中间边长为 的正方形面积 与四个直角三角形面积之和 ，即 ，整理得 ，此即勾股定理．（3分） 21．（8分） （1）因为 ，，所以四边形 是直角梯形，高 ．面积 ．（4分） （2）以 为原点， 所在直线为 轴、 为 轴建立直角坐标系，则 ，由 且 得 且 ． 为 中点，故 ．由 ，向量 ， 点积为 ：，从而 ，即 ．（4分） 22． （8分） 23．（8分） （1）噪声影响最大即 最小，最小值为点 到射线 的距离．设 为 到 的垂足，在 Rt 中，，，故 ．因为 ，学校在噪声范围内，影响最大时 ．（4分） （2）当 时受影响．在射线 上，满足 的点 到垂足 的距离为 ，即受影响路段长为 ．卡车速度 ，故影响时间 ．（4分） 24．（8分） （1）因为 ， 为 中点，所以 ，且 ．在 Rt 中，，故 ．（3分） （2）结论仍成立．理由：作 于 ，由 知 为 中点，．当 在 上时，设 ，则 ，（不妨设 在 之间），于是 ；而 ，故 ．（3分） （3）当 在 延长线上时，设 （），则 ，，于是 ；而 ，故 （或 ）．（2分） 25．（10分） （1）因为 是等边三角形，，所以 为 中点，．在 Rt 中，；面积 ．（6分） （2）根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当 与点 重合时 最短，最小值为 ．（4分） 26．（10分） （1）用割补法（以外围 正方形面积减去周围三个直角三角形面积），得 ．（3分） （2） ．（4分） （3）5（3分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元检测卷 （考试范围：第三章　勾股定理） 满分：100分　　考试时间：90分钟 注意事项：本试卷共三大题26小题．请将答案写在试卷相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．，，　B．，，　C．，，　D．，， 2．在 中，，， 的对边长分别为 ，，．下列条件中，不能判定 是直角三角形的是（　　） A．　B．　C．　D． 3．如果一个直角三角形的三边长分别为 ，，，那么以 为边长的正方形的面积为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 4．如图，在平静的湖面上，一枝荷花高出水面 ，一阵风吹过，荷花被吹倒伏，花朵恰好齐水面．已知荷花移动的水平距离为 ，则水深为（　　） A．　B．　C．　D． 5．若 的三边长分别为 ，，，则下列条件中，能判定 是直角三角形的是（　　） A．　B．　 C．，，　D．，，（） 6．如图，在长方形 中，，．将 沿对角线 所在的直线翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，则线段 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 7． 如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 ，，，正放置的四个正方形的面积依次是 ，，，，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 8． 如图，点 在 的边 上，点 是 的中点，若 ，，，，则 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9．如图，在 中，， 平分 交 于点 ， 为 的中点．若 ，，则 的长为＿＿＿＿． 10．如图，长方形 的边 长为 ，边 长为 ，点 在数轴上的表示的数是 ．以点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的实数为＿＿＿＿． 11．如图，一艘轮船位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔 海里的点 处，该轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的点 处，则点 与点 之间的距离为＿＿＿＿海里． 12．一个等腰三角形的周长为 ，其中一条边的长度为 ，则这个等腰三角形底边上的高的长度为＿＿＿＿． 13．我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形（如图）．若中间小正方形的面积为 ，以该直角三角形斜边为边长的正方形面积为 ，则直角三角形两直角边的和为＿＿＿＿． 14．如图，小明在 时刻测得某树的影长为 ，在 时刻测得该树的影长为 ．若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为＿＿＿＿ ． 15．如图，在长方形纸片 中，，．折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ．若限定点 ， 分别在边 ， 上移动，则点 在边 上可移动的最大距离为＿＿＿＿． 16．如图，在 中，，，，过点 作 ，点 在点 的右侧，且 ，连接 ，则 的值为＿＿＿＿． 17．如图，四边形 的对角线 ，相交于点 ．若 ，则 的值为＿＿＿＿． 18．如图， 沿 翻折得到 ， 交 于点 ， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，， 的面积为 ，则 的面积为＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．如图，已知 和 都是等腰直角三角形，，点 在 的延长线上．求证：． 20．如图，，，垂足分别为 ， 交 于点 ，，． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，，，请尝试用不同方法计算四边形 的面积，验证勾股定理． 21．如图，在四边形 中，，，，， 为 的中点． （1）求四边形 的面积； （2）若 ，求 的长． 22． 如图，已知线段 ，用两种方法求作 ，使 ，，边 上的中线长为 ．（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹；③写出必要的文字说明） 23． 如图，有两条公路 相交成 角，沿公路 方向离点 处有一所学校 ．当重型运输卡车 沿道路 方向行驶时，在以点 为圆心、 为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 与学校 的距离越近噪声影响越大．已知卡车 沿道路 方向行驶的速度为 ． （1）求对学校 的噪声影响最大时，卡车 与学校 的距离； （2）求卡车 沿道路 方向行驶一次，给学校 带来噪声影响的时间． 24．如图，在 中，． （1）若 为 的中点，求证：； （2）若 为 上任意一点，（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）若 为 延长线上一点，说明 之间的数量关系． 25．如图， 是等边三角形，，高 于点 ． （1）求高 的长和 的面积； （2）若点 为线段 上的动点，求线段 长的最小值． 26．小明在学习了“构图法”求格点三角形面积后遇到下面的问题（如图，每个小正方形边长为 ）： （1）直接运用：格点 的三边长分别为 ，，，请直接写出 的面积； （2）变式应用：若 的三边长分别为 ，，（），请在网格中画出相应的 ，并用 表示其面积； （3）拓展应用：求代数式 （）的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $