第三章勾股定理 教材例题变式训练与检测反馈 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上册　第三章《勾股定理》 教材例题变式训练与检测反馈（解析版） 班级：__________　　姓名：__________　　用时：______分钟　　得分：__________ 【编写说明】本讲义以苏科版八年级上册第三章 6 道教材例题为生长点，每例先"原例回顾"再配 1—2 道变式（共 11 道变式，其中基础题 7 道、提高题 4 道），并按 A（基础）、B（提高）、C（拓展延伸）三级设置检测反馈各 10 题，共 41 题。题目参照江苏省徐州、南京、苏州、无锡、南通等市近年八上期中考试真题的风格与难度梯度编写，难度以 ★（基础）、★★（提高）、★★★（拓展）标注，可直接用于课堂讲练或课后分层作业。 第一部分　教材例题变式训练 【例1·原例回顾】已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，求第三边的长。 变式1-1　基础·填空 ★　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 AB＝______；若 AC＝5，AB＝13，则 BC＝______。 【答案】AB＝5；BC＝12。 【解析】① AC、BC 都是直角边，由 AB²＝AC²＋BC²＝3²＋4²＝25，得 AB＝5； ② AC 是直角边，AB 是斜边，由 BC²＝AB²－AC²＝13²－5²＝144，得 BC＝12。 【点评】教材例题的关键是"分类讨论"——已知两边而未指明谁是斜边。本题已明确各边的身份，属直接应用，重点训练勾股定理的两种变形 c²＝a²＋b² 与 a²＝c²－b²。 变式1-2　基础·解答 ★　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13 cm，AC＝12 cm。 （1）求 BC 的长；（2）求△ABC 的面积；（3）求斜边 AB 上的高 CD 的长。 【答案】（1）BC＝5 cm；（2）S＝30 cm²；（3）CD＝60/13 cm。 【解析】（1）由勾股定理，BC＝（cm）； （2）S△ABC＝½·AC·BC＝½×12×5＝30（cm²）； （3）由面积法 ½·AB·CD＝30，得 CD＝60/13（cm）。 【点评】"已知三边求高"一律用等面积法 ½ab＝½ch。60/13 这类分数答案在江苏期中卷中极为常见，要敢于保留分数形式。 【例2·原例回顾】在数轴上画出表示 的点。 变式2-1　基础·选择 ★　如图，在数轴上以原点 O 为起点，OA＝2（在数轴上方），OB＝3（在数轴上），∠AOB＝90°，则线段 AB 的长为（　　） A． B． C．5 D．13 【答案】B。 【解析】在 Rt△OAB 中，∠AOB＝90°，由勾股定理得 AB＝＋OB²)＝＋3²)＝。 以 O 为圆心、AB 为半径画弧，交数轴正半轴于点 C，点 C 表示的数就是 。 【点评】数轴上表示无理数"三步走"：构造直角三角形→勾股定理求斜边→以原点为圆心、斜边为半径画弧。本题考第二步。 变式2-2　提高·作图 ★★　（1）如图，在数轴上作出表示 的点 P（保留作图痕迹）； （2）不借助计算器，比较 与 2.6 的大小，并说明理由。 【答案】（1）作法见图，点 P 即为所求；（2）。 【解析】（1）① 在数轴上取 OA＝2；② 过点 A 作数轴的垂线，在垂线上截取 AB＝（可再用直角边为 1 和 的直角三角形作出）；③ 连接 OB，则 OB＝＋3)＝；④ 以 O 为圆心、OB 为半径画弧，交数轴正半轴于点 P，点 P 即表示 。 （2）∵ 2.6²＝6.76，7＞6.76，∴ 。 【点评】第（2）问用"平方法"比较无理数与有理数的大小，是江苏各地期中填空题的高频考法。作图题必须保留"垂线"和"弧"的痕迹，并交代半径的来源。 【例3·原例回顾】已知 a，b，c 为正整数，且 a²＋b²＝c²，求证：ka，kb，kc（k 为正整数）也构成勾股数。 变式3　提高·解答 ★★　已知 m＞n＞0，且 m、n 都是正整数。 （1）求证：(m²－n²)²＋(2mn)²＝(m²＋n²)²； （2）当 m＝4，n＝3 时，写出由此得到的一组勾股数，并判断 7、24、25 是否为勾股数； （3）当 m＝5，n＝2 时，用同样的方法写出另一组勾股数。 【答案】（2）7，24，25，是勾股数；（3）21，20，29。 【解析】（1）左边＝(m²－n²)²＋(2mn)²＝m⁴－2m²n²＋n⁴＋4m²n²＝m⁴＋2m²n²＋n⁴＝(m²＋n²)²＝右边，故等式成立。 （2）m²－n²＝16－9＝7，2mn＝2×4×3＝24，m²＋n²＝16＋9＝25，得到 7，24，25。 ∵ 7²＋24²＝49＋576＝625＝25²，∴ 7，24，25 是勾股数。 （3）m²－n²＝25－4＝21，2mn＝2×5×2＝20，m²＋n²＝25＋4＝29，且 21²＋20²＝441＋400＝841＝29²，故 21，20，29 是一组勾股数。 【点评】教材例题是"整体扩大 k 倍"，本题进阶为"用 m、n 生成"（毕达哥拉斯公式），本质都是用代数恒等式构造勾股数。（1）的展开合并是证明核心；勾股数要求三个数都是正整数，如 0.5、1.2、1.3 虽满足平方和关系，但不是勾股数。 【例4·原例回顾】如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC＝，BC＝12，求 AD 的长。 变式4-1　基础·填空 ★　如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC＝10，BC＝12，则 AD＝______，△ABC 的面积是______。 【答案】AD＝8；面积 48。 【解析】∵ AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∴ 由等腰三角形"三线合一"得 AD⊥BC，BD＝CD＝½BC＝6。 在 Rt△ABD 中，AD＝。 S△ABC＝½×BC×AD＝½×12×8＝48。 【点评】"三线合一"把中线转化成高，是斜三角形问题化归为直角三角形的最短路径。本题与教材例题同构，只是把 换成 10，属江苏期中基础题的标准样式。 变式4-2　提高·填空 ★★　如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC，BC＝12，点 E 在线段 BD 上，且 BE＝2，则 AE＝______。 【答案】AE＝。 【解析】由"三线合一"得 AD⊥BC，BD＝CD＝6，AD＝。 ∵ BE＝2，点 E 在线段 BD 上，∴ DE＝BD－BE＝4。 在 Rt△ADE 中，AE＝＋DE²)＝＋4²)＝。 【点评】先在"大直角三角形"中求出高，再在"小直角三角形"中用一次勾股定理，是江苏期中"两次勾股"型填空题的固定套路；易错点是 DE 的长度应为 BD－BE，而非 BE。 【例5·原例回顾】《九章算术》"折竹"问题：竹原高 1 丈（1 丈＝10 尺），中部折断，竹梢触地处离竹根 3 尺，问折断处离地面多高？ 变式5-1　基础·填空 ★　如图，一根旗杆在离地面 4 米处折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 3 米处，则折断部分长______米，旗杆原来的高度是______米。 【答案】折断部分长 5 米；旗杆原高 9 米。 【解析】设折断处为 B，旗杆底部为 O，顶端着地点为 C，则 ∠BOC＝90°，OB＝4，OC＝3。 由勾股定理 BC＝＋3²)＝5（米）。 旗杆原高＝OB＋BC＝4＋5＝9（米）。 【点评】"折竹"模型：折断部分、未断部分、地面距离构成直角三角形，"原长＝两段之和"是易被忽略的隐含条件。 变式5-2　基础·解答 ★　《九章算术》"折竹"：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？（1 丈＝10 尺） （1）设折断处离地面 x 尺，用含 x 的式子表示折断部分的长度； （2）建立方程求出折断处离地面的高度（结果保留分数）。 【答案】（1）折断部分长 (10－x) 尺；（2）折断处离地面 4.55 尺（即 91/20 尺）。 【解析】（1）竹子原高一丈＝10 尺，折断处离地面 x 尺，故折断部分的长度为 (10－x) 尺。 （2）折断部分、未断部分与地面构成直角三角形，其中折断部分为斜边，未断部分 x 与地面距离 3 尺为两条直角边， ∴ x²＋3²＝(10－x)²。 展开得 x²＋9＝100－20x＋x²，即 20x＝91，x＝91/20＝4.55。 答：折断处离地面 4.55 尺（约 4 尺 5 寸 5 分）。 【点评】"折竹"类问题的方程是"两直角边平方和＝斜边平方"，斜边是折断的那一段。解出 x 后要用"原高＝未断部分＋折断部分"验算，避免把"折断部分"当成答案。 【例6·原例回顾】如图，CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，求证：a²＝c·BD，b²＝c·AD，h²＝AD·BD。 变式6-1　提高·解答 ★★　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝15，BC＝20。 （1）求 AB 的长；（2）求 CD、AD、BD 的长；（3）判断 CD²＝AD·BD 是否成立，并说明理由。 【答案】（1）AB＝25；（2）CD＝12，AD＝9，BD＝16；（3）成立。 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，AB＝＋BC²)＝＋20²)＝。 （2）由面积法 ½·AC·BC＝½·AB·CD，得 CD＝(15×20)/25＝12。 在 Rt△ACD 中，AD＝。 ∴ BD＝AB－AD＝25－9＝16（也可由 BD＝ 验证）。 （3）CD²＝12²＝144，AD·BD＝9×16＝144，∴ CD²＝AD·BD 成立，即 CD 是 AD 与 BD 的比例中项。 【点评】直角三角形"三高关系"：CD²＝AD·BD，AC²＝AD·AB，BC²＝BD·AB，均由教材例题的结论演变而来，是解决"斜边上的高"类问题的公式包，但解题时仍应写出推导过程。 变式6-2　基础·填空 ★　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AD＝9，BD＝16，则 CD＝______，AC＝______，BC＝______。 【答案】CD＝12，AC＝15，BC＝20。 【解析】由 CD²＝AD·BD＝9×16＝144，得 CD＝12。 由 AC²＝AD·AB＝9×25＝225，得 AC＝15；由 BC²＝BD·AB＝16×25＝400，得 BC＝20。 【点评】已知两段"斜边被高分成的线段"求各边，是教材例题结论的直接逆用；也可先求 CD，再用勾股定理逐段求。 第二部分　检测反馈 · A 级（基础过关） 1　★　【出处：徐州·2021年八上期中（改编）】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b 为直角边，c 为斜边。 （1）若 a＝6，b＝8，则 c＝______；（2）若 a＝5，c＝13，则 b＝______；（3）若 b＝15，c＝17，则 a＝______。 【答案】（1）10；（2）12；（3）8。 【解析】（1）c＝＋8²)＝10；（2）b＝；（3）a＝。 2　★　【出处：苏州·2022年八上期中（改编）】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，3 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B。 【解析】逐项检验较小两边的平方和是否等于最大边的平方：B 中 5²＋12²＝25＋144＝169＝13²，符合勾股定理的逆定理。 A 中 1＋2＝3，不能构成三角形；C 中 16＋25＝41≠36；D 中 4＋9＝13≠16。 【点评】判断勾股数先"排序"，再用两个较小数的平方和与最大数的平方比较。 3　★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，数轴上点 P 所表示的数是 的近似位置，则点 P 介于（　　） A．2 和 2.5 之间 B．2.5 和 3 之间 C．3 和 3.5 之间 D．2 和 3 之间 【答案】B。 【解析】∵ 2.5²＝6.25，3²＝9，而 6.25＜7＜9，∴ 2.5＜，即点 P 在 2.5 与 3 之间。 4　★　【出处：无锡·2022年八上期中（改编）】一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则斜边长为______，斜边上的高为______，斜边被高分成的两条线段长分别为______、______。 【答案】斜边长 10，斜边上的高 4.8，两段分别为 3.6 和 6.4。 【解析】斜边＝＋8²)＝10；由面积法 ½×6×8＝½×10×h，得 h＝4.8； 由勾股定理，两段分别为 和 ，且 3.6＋6.4＝10，验证成立。 5　★　【出处：南通·2021年八上期中（改编）】在△ABC 中，三边长分别为 8、15、17，则△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B。 【解析】∵ 8²＋15²＝64＋225＝289＝17²，∴ 由勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，且 17 所对的角为直角，即斜边为 17。 6　★　【出处：徐州·2022年八上期中（改编）】如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 B 离墙 0.7 m，则梯子顶端 A 离地面______m；若梯子顶端下滑 0.4 m，则梯子底端向外滑______m。 【答案】2.4 m；0.8 m。 【解析】梯子顶端离地面 （m）。 下滑后顶端离地面 2.4－0.4＝2.0（m），此时底端离墙 （m）， ∴ 底端向外滑 1.5－0.7＝0.8（m）。 【点评】梯子两次靠墙，梯子长度不变，这是列式的依据；"滑多少"要和"原来的距离"相减。 7　★　【出处：常州·2023年八上期中（改编）】若△ABC 的三边长 a、b、c 满足 (a－5)²＋|b－12|＋(c－13)²＝0，则△ABC 是（　　） A．以 a 为斜边 B．以 b 为斜边 C．以 c 为斜边 D．等边三角形 【答案】C。 【解析】由非负数的性质得 a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴ a＝5，b＝12，c＝13。 ∵ 5²＋12²＝169＝13²，∴ △ABC 是直角三角形，c 为斜边。 8　★　【出处：徐州·2020年八上期中（改编）】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a∶b＝3∶4，c＝20，则 a＝______，b＝______，△ABC 的面积为______。 【答案】a＝12，b＝16，面积 96。 【解析】设 a＝3k，b＝4k（k＞0），则 (3k)²＋(4k)²＝20²，即 25k²＝400，k²＝16，k＝4。 ∴ a＝12，b＝16，S＝½×12×16＝96。 9　★　【出处：扬州·2022年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB 于点 D，则 CD＝______，AD＝______。 【答案】CD＝2.4，AD＝1.8。 【解析】AB＝＋4²)＝5；由面积法 ½×3×4＝½×5×CD，得 CD＝2.4； 在 Rt△ACD 中，AD＝。 10　★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，把一根长为 12 cm 的吸管放入一个底面直径为 6 cm、高为 8 cm 的圆柱形水杯中，吸管露在杯口外的长度最短为______cm。 【答案】2 cm。 【解析】吸管在杯内部分最长为杯口一侧的点到杯底对侧点的距离，即 ＋8²)＝10（cm）。 ∴ 露在杯口外的最短长度为 12－10＝2（cm）。 【点评】"杯中吸管"模型：杯内最长为"直径与高"构成的直角三角形的斜边；求"最短露出"就是让杯内部分尽量长。 第二部分　检测反馈 · B 级（能力提升） 1　★★　【出处：盐城·2022年八上期中（改编）】如图，AD 是△ABC 的高，AB＝15，AC＝13，BD＝9，则 CD＝______，△ABC 的面积为______。 【答案】CD＝5，面积 84。 【解析】在 Rt△ABD 中，AD＝。 在 Rt△ACD 中，CD＝。 BC＝BD＋CD＝14，S＝½×14×12＝84。 【点评】两直角三角形共高，先求高是通法。若点 D 在 BC 的延长线上（钝角三角形），则 BC＝BD－CD，须结合图形判断。 2　★★　【出处：教材例2改编·徐州期中常考】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顶点 A 在数轴上表示的数是 1，顶点 B 在数轴上表示的数是 2，以原点 O 为圆心、对角线 AC 的长为半径画弧交数轴正半轴于点 E，则点 E 表示的数是______，OE 与 OC 的大小关系是______。 【答案】；OE＝OC。 【解析】正方形边长为 1，AC＝＋1²)＝（若取 A(1,0)、C(2,1)，则 OC＝＋1²)＝）。 按图所示以 O 为圆心、OC 为半径画弧，故 OE＝OC＝，点 E 表示的数是 。 3　★★　【出处：徐州·2021年八上期中（改编）】如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 AC＝4，AB＝3，∠A＝90°，则 BC＝______；△ABC 的面积是______；BC 边上的高是______。 【答案】BC＝5，面积 6，BC 边上的高为 12/5（即 2.4）。 【解析】由勾股定理 BC＝＋4²)＝5。 S＝½×3×4＝6。 设 BC 边上的高为 h，则 ½×5×h＝6，h＝12/5。 4　★★　【出处：南京·2022年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝5，BC＝12，则 CD＝______，AD＝______，BD＝______。 【答案】CD＝60/13，AD＝25/13，BD＝144/13。 【解析】AB＝＋12²)＝13，由面积法 CD＝(AC×BC)/AB＝(5×12)/13＝60/13。 在 Rt△ACD 中，AD＝； ∴ BD＝AB－AD＝13－25/13＝144/13。 【点评】也可直接使用 AD＝AC²/AB、BD＝BC²/AB 求两段（由变式6-1的结论），可大大简化计算。 5　★★　【出处：教材例3改编】已知 a、b、c 是一组勾股数（a²＋b²＝c²），且 a、b、c 都是正整数。 （1）若 a＝9，b＝40，则 c＝______； （2）若将 a、b、c 都扩大 3 倍，所得三个数是否仍为勾股数？为什么？ （3）写出以 15 为一条直角边的两组勾股数。 【答案】（1）41；（2）仍是勾股数；（3）15、8、17 与 15、20、25（还有 15、36、39，15、112、113 等）。 【解析】（1）c＝＋40²)＝。 （2）(3a)²＋(3b)²＝9(a²＋b²)＝9c²＝(3c)²，∴ 3a、3b、3c 仍为勾股数（教材例题结论）。 （3）15、8、17：15²＋8²＝289＝17²；15、20、25：15²＋20²＝625＝25²；15、36、39：225＋1296＝1521＝39²。 6　★★　【出处：《九章算术》·徐州期中经典】《九章算术》"葭生池中"：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？（1 丈＝10 尺，池为正方形，葭生于池中央） 请建立方程求解。 【答案】水深 12 尺，葭长 13 尺。 【解析】如图，设水深 OA＝x 尺，则葭长 AC＝(x＋1) 尺。池边长 10 尺，葭生于中央，故池中心到岸边的距离为 5 尺，即 BC＝5 尺，且 ∠OBC＝90°。 引葭赴岸后，葭的顶端恰与岸齐，故 AB＝AC＝x＋1。 在 Rt△OBC 中，由勾股定理得 x²＋5²＝(x＋1)²。 展开得 x²＋25＝x²＋2x＋1，解得 x＝12。 ∴ 水深 12 尺，葭长 12＋1＝13 尺。 【点评】与"折竹"同属"用方程解勾股问题"的模型：设未知数→用含 x 的式子表示三边→勾股定理列方程→解方程。注意"葭长＝水深＋出水"这一关系。 7　★★　【出处：徐州·2022年八上期中（改编）】如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 OA 上，梯子底端 B 离墙 0.7 m。若梯子顶端 A 沿墙下滑 0.4 m 到 A′ 处，则梯子底端 B 向外滑动的距离 BB′＝______m。 【答案】0.8 m。 【解析】初始时 OA＝（m）。 下滑后 OA′＝2.4－0.4＝2.0（m），此时 OB′＝（m）。 ∴ BB′＝OB′－OB＝1.5－0.7＝0.8（m）。 【点评】两次使用勾股定理，梯子长度不变是桥梁。常见变式：下滑距离与底端外移距离一般不相等，需要分别计算。 8　★★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13。 （1）求 AC 的长；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形 ABCD 的面积。 【答案】（1）AC＝5；（2）△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°；（3）四边形 ABCD 的面积为 36。 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，AC＝＋BC²)＝＋4²)＝5。 （2）在△ACD 中，AC²＋CD²＝25＋144＝169，AD²＝169，∴ AC²＋CD²＝AD²， 由勾股定理的逆定理，△ACD 是直角三角形，且 ∠ACD＝90°。 （3）S四边形＝S△ABC＋S△ACD＝½×3×4＋½×5×12＝6＋30＝36。 【点评】"连对角线→分别判断两个三角形→面积相加"是四边形面积问题（"补形/分割"）的经典套路，也是江苏期中压轴第 1 问的常见形式。 9　★★　【出处：南通·2021年八上期中（改编）】如图，分别以 Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，面积分别为 S₁、S₂、S₃。若 S₁＝6，S₂＝3，则 S₃＝______，斜边的长为______。 【答案】S₃＝9，斜边长为 3。 【解析】由勾股定理，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和，即 S₃＝S₁＋S₂＝6＋3＝9。 ∴ 斜边长＝。 【点评】"勾股树"的本质是 S大＝S小1＋S小2；若改成半圆、等边三角形等相似图形，结论依然成立（面积比等于边长比的平方）。 10　★★　【出处：苏州·2022年八上期中（改编）】如图，将长方形 ABCD 沿折痕 BE 折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 F 处。已知 AB＝6，BC＝10。 （1）求 AF、DF 的长；（2）求 DE 的长。 【答案】（1）AF＝8，DF＝2；（2）DE＝8/3。 【解析】（1）由折叠得 BF＝BC＝10，EF＝EC。在 Rt△ABF 中，AF＝。 ∴ DF＝AD－AF＝10－8＝2。 （2）设 DE＝x，则 EF＝EC＝6－x。在 Rt△DEF 中，由勾股定理得 x²＋2²＝(6－x)²， 即 x²＋4＝36－12x＋x²，解得 x＝8/3。 【点评】折叠问题"三找"：找相等的边（折痕两侧对应线段相等）、找直角、设未知数用勾股定理列方程。这是江苏八上期中的必考题型。 第二部分　检测反馈 · C 级（拓展延伸） 1　★★★　【出处：徐州·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，"赵爽弦图"由四个全等的直角三角形拼成，中间形成一个小正方形。设直角三角形的两条直角边为 a、b（a＞b），斜边为 c。若大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，则下列结论中错误的是（　　） A．a²＋b²＝25 B．ab＝12 C．a＋b＝7 D．a－b＝2 【答案】D。 【解析】大正方形的边长为 c，∴ a²＋b²＝c²＝25，A 正确； 小正方形的边长为 a－b，∴ (a－b)²＝1，得 a－b＝1，故 D 错误（a－b＝2 不成立）； 由大正方形面积＝4 个直角三角形面积＋小正方形面积，得 25＝2ab＋1，∴ ab＝12，B 正确； 由 (a＋b)²＝a²＋b²＋2ab＝25＋24＝49，得 a＋b＝7，C 正确。 【点评】弦图进阶：由两种面积关系列出 a²＋b² 与 ab、(a－b)² 的方程组，再用配方求 a＋b，是江苏期中压轴选择题的高频素材。 2　★★★　【出处：拓展探究·徐州期中素材（改编）】观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；… （1）第 6 组勾股数是______； （2）若某组勾股数的第一个数是 19，则这组勾股数是______； （3）用含 m（m 为正整数）的式子表示第 m 组勾股数，并加以证明。 【答案】（1）13，84，85；（2）19，180，181；（3）2m＋1，2m(m＋1)，2m(m＋1)＋1。 【解析】观察规律：每组第一个数为连续奇数 3，5，7，9，…，即第 m 组第一个数 a＝2m＋1； 第二个数 b＝2m(m＋1)（4，12，24，40，…，即 m(m＋1) 的 2 倍）；第三个数 c＝b＋1＝2m(m＋1)＋1。 （1）m＝6：a＝13，b＝2×6×7＝84，c＝85； （2）2m＋1＝19，m＝9，b＝2×9×10＝180，c＝181； （3）证明：(2m＋1)²＋[2m(m＋1)]²＝4m²＋4m＋1＋4m²(m＋1)²＝4m²(m＋1)²＋[2m(m＋1)]·2＋1＝[2m(m＋1)]²＋2·[2m(m＋1)]＋1＝[2m(m＋1)＋1]²，故三数构成勾股数。 【点评】"找规律＋代数证明"是期中拓展题的典型结构；第（3）问也可由教材变式3的公式（m²－n²，2mn，m²＋n²）取相邻整数 m、m＋1 推得。 3　★★★　【出处：徐州·2022年八上期中压轴题（改编）】已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，底边 BC＝10，且 S△ABC＝60。 （1）求腰 AB 的长； （2）求腰 AC 上的高 BE 的长。 【答案】（1）AB＝13；（2）BE＝120/13。 【解析】（1）作 AD⊥BC 于 D，则 BD＝CD＝5。设 AD＝h，由 ½×10×h＝60，得 h＝12。 在 Rt△ABD 中，AB＝＋AD²)＝＋12²)＝13。 （2）由等面积法 ½×AC×BE＝60，即 ½×13×BE＝60，得 BE＝120/13。 【点评】本题是"由面积反求边"的逆向问题：先用面积方程求出底边上的高，再用勾股定理求腰，最后再换底用等面积法求腰上的高，三次使用"面积"这条主线，属期中压轴常客。 4　★★★　【出处：无锡·2023年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。 （1）求 CD 的长； （2）求 BE 的长。 【答案】（1）CD＝3；（2）BE＝4。 【解析】（1）∵ AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴ 由角平分线的性质得 DE＝CD。 设 CD＝DE＝x，则 S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 即 ½×6×8＝½×AB×x＋½×6×x＝8x，∴ 8x＝24，x＝3，即 CD＝3。 （2）在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，AD＝AD，CD＝ED，∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴ AE＝AC＝6。 ∵ AB＝＋8²)＝10，∴ BE＝AB－AE＝10－6＝4。 【点评】角平分线＋垂线构造全等（HL），再用"整体面积＝分块面积之和"求 CD，避免了八年级尚未学习的角平分线定理，是面积法的精彩应用。 5　★★★　【出处：徐州·2021年八上期中压轴题（改编）】如图，圆柱形玻璃杯的高为 17 cm，底面周长为 12 cm。在杯内壁离杯底 4 cm 的点 A 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对（即沿杯口直径的另一端）的杯外壁、离杯口 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜。蚂蚁从 A 处先爬过杯口再沿外壁爬到 B 处，则最短路径长为______cm。 【答案】6 cm（即 cm）。 【解析】把圆柱侧面展开，A、B 在展开图中的水平距离为底面周长的一半，即 6 cm。 蚂蚁须先爬到杯口再翻到外壁，把 A 关于杯口所在直线翻折到杯外，得到 A′， 此时 A′ 到 B 的竖直距离为 (17－4)＋5＝18 cm，而水平距离为 6 cm， ∴ 最短路径＝＋18²)＝（cm）。 【点评】"过杯口"型的最短路径：先把内侧的点关于杯口所在直线对称到外侧，再用"展开＋两点之间线段最短"。竖直距离＝(杯高－内侧点离底距离)＋外侧点离杯口距离，是本类题的通用算式。 6　★★★　【出处：常州·2022年八上期中（改编）】如图，圆柱的底面周长为 6 cm，高为 5 cm，一只蚂蚁从下底面圆周上一点 A 出发，沿侧面爬到上底面圆周上与 A 正对的点 B 处。 （1）若绕圆柱两周，最短路径长为______cm； （2）若绕圆柱一周半，最短路径长为______cm。 【答案】（1）13 cm；（2） cm。 【解析】（1）绕两周展开后水平距离为 2×6＝12 cm，竖直距离为高 5 cm， ∴ 最短路径＝＋5²)＝（cm）。 （2）绕一周半展开后水平距离为 1.5×6＝9 cm，竖直距离仍为 5 cm， ∴ 最短路径＝＋5²)＝（cm）。 【点评】"绕 n 周"展开后的水平距离为 n 个底面周长；一周半即 1.5 个周长。易错点：以为 B 与 A"正对"水平距离应为 0，实际上蚂蚁被要求绕侧面爬行，展开后必须沿直线走完全程。 7　★★★　【出处：徐州·2020年八上期中压轴题（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D 是 BC 边上一点，且 CD＝3。把△ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 E 处。 （1）求 AB、AE、BE 的长；（2）求△BDE 的面积；（3）求折痕 AD 的长。 【答案】（1）AB＝10，AE＝6，BE＝4；（2）S△BDE＝6；（3）AD＝3。 【解析】（1）AB＝＋8²)＝10。由折叠得 AE＝AC＝6，DE＝DC＝3，∠AED＝∠C＝90°。 ∴ BE＝AB－AE＝10－6＝4。 （2）在 Rt△BDE 中，∠BED＝90°，BE＝4，DE＝3， ∴ BD＝＋3²)＝5，验证 BD＝BC－CD＝8－3＝5，一致。 S△BDE＝½×BE×DE＝½×4×3＝6。 （3）在 Rt△ACD 中，AD＝＋CD²)＝＋3²)＝。 【点评】第（3）问"求折痕"是折叠问题的延伸考法：折痕 AD 既是△ACD 的斜边，在 Rt△ACD 中直接用勾股定理即可，切勿用∠AED＝90° 去解△AED（那里 DE、AE 已知，反而绕远）。 8　★★★　【出处：南通·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 从点 A 出发沿斜边 AB 向点 B 匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒（0≤t≤10）。 （1）求 AB 的长；（2）当 t 为何值时，△ACP 的周长最小？最小周长是多少？ 【答案】（1）AB＝10；（2）t＝6.4 时周长最小，最小周长为 19.2。 【解析】（1）AB＝＋6²)＝10。 （2）△ACP 的周长＝AC＋AP＋CP＝8＋t＋CP，故只需 CP 最小。 过 C 作 CH⊥AB 于 H，由"垂线段最短"，当 P 与 H 重合时 CP 最小，最小值为 CH。 由面积法 CH＝(AC×BC)/AB＝(8×6)/10＝4.8；又 AH＝AC²/AB＝64/10＝6.4。 ∴ 当 t＝AH＝6.4（秒）时，△ACP 的周长最小，最小周长为 8＋6.4＋4.8＝19.2。 【点评】"周长最小"转化为"CP 最小"，再用"垂线段最短"定位点 P，是动点最值问题的基本思路；注意周长中 AP 随 t 变化，因此最小周长＝8＋AH＋CH，而不是 8＋2CH。 9　★★★　【出处：教材例6结论拓展·徐州期中常考】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，AD＝p，BD＝q。 （1）用面积法证明 h＝ab/c； （2）证明 p·q＝h²； （3）若 a＝9，b＝12，求 h 及 p、q 的值，并验证（2）的结论。 【答案】（3）h＝36/5，p＝48/5，q＝27/5。 【解析】（1）∵ S△ABC＝½ab＝½ch，∴ h＝ab/c。 （2）在 Rt△ACD 中，p²＝b²－h²；在 Rt△BCD 中，q²＝a²－h²。又 a²＋b²＝c²＝(p＋q)²， 展开得 a²＋b²＝p²＋2pq＋q²，而 p²＋q²＝(b²－h²)＋(a²－h²)＝c²－2h²， ∴ c²＝c²－2h²＋2pq，即 2pq＝2h²，∴ pq＝h²。 （3）c＝＋12²)＝15，h＝(9×12)/15＝36/5＝7.2； p＝AD＝b²/c＝144/15＝48/5（AD 对应 AC 边），q＝BD＝a²/c＝81/15＝27/5； 验证：pq＝(48/5)×(27/5)＝1296/25，h²＝(36/5)²＝1296/25，两者相等，结论成立。 【点评】第（2）问是教材例题结论的代数证明；第（3）问用"直角边的平方除以斜边"求 AD、BD，是一个高效的二级结论。 10　★★★　【出处：苏州·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，将长方形 ABCD 沿折痕 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合。已知 AB＝6，BC＝10。 （1）求 AF 的长；（2）求折痕 EF 的长；（3）求△AEF 的面积。 【答案】（1）AF＝34/5；（2）EF＝6；（3）S△AEF＝102/5。 【解析】（1）由折叠得 AF＝CF。设 AF＝CF＝x，则 BF＝10－x。 在 Rt△ABF 中，AB²＋BF²＝AF²，即 36＋(10－x)²＝x²，得 x＝34/5，∴ AF＝34/5，BF＝16/5。 （2）连 AC，则 EF 垂直平分 AC。AC＝＋10²)＝2，设 EF 与 AC 交于点 O，则 AO＝。 在 Rt△AOE 中（AE＝AF＝34/5），EO＝。 ∴ EF＝2EO＝(6。 （3）在△AEF 中，AE＝AF＝34/5，EF＝6， 取 EF 的中点 M，则 AM⊥EF，AM＝。 ∴ S△AEF＝½×EF×AM＝½×(6½×6×34/5＝102/5。 【点评】折痕 EF 始终垂直平分对应点连线 AC，由此可把折叠问题转化为直角三角形求边；第（3）问用等腰三角形"三线合一"求底边上的高再算面积，是折叠压轴题的标准闭环。 —— 全卷完 —— 苏科版八上第三章 勾股定理 · 变式训练与检测反馈　　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版八年级上册　第三章《勾股定理》 教材例题变式训练与检测反馈（原卷） 班级：__________　　姓名：__________　　用时：______分钟　　得分：__________ 【编写说明】本讲义以苏科版八年级上册第三章 6 道教材例题为生长点，每例先"原例回顾"再配 1—2 道变式（共 11 道变式，其中基础题 7 道、提高题 4 道），并按 A（基础）、B（提高）、C（拓展延伸）三级设置检测反馈各 10 题，共 41 题。题目参照江苏省徐州、南京、苏州、无锡、南通等市近年八上期中考试真题的风格与难度梯度编写，难度以 ★（基础）、★★（提高）、★★★（拓展）标注，可直接用于课堂讲练或课后分层作业。 第一部分　教材例题变式训练 【例1·原例回顾】已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，求第三边的长。 变式1-1　基础·填空 ★　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 AB＝______；若 AC＝5，AB＝13，则 BC＝______。 变式1-2　基础·解答 ★　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13 cm，AC＝12 cm。 （1）求 BC 的长；（2）求△ABC 的面积；（3）求斜边 AB 上的高 CD 的长。 【例2·原例回顾】在数轴上画出表示 的点。 变式2-1　基础·选择 ★　如图，在数轴上以原点 O 为起点，OA＝2（在数轴上方），OB＝3（在数轴上），∠AOB＝90°，则线段 AB 的长为（　　） A． B． C．5 D．13 变式2-2　提高·作图 ★★　（1）如图，在数轴上作出表示 的点 P（保留作图痕迹）； （2）不借助计算器，比较 与 2.6 的大小，并说明理由。 【例3·原例回顾】已知 a，b，c 为正整数，且 a²＋b²＝c²，求证：ka，kb，kc（k 为正整数）也构成勾股数。 变式3　提高·解答 ★★　已知 m＞n＞0，且 m、n 都是正整数。 （1）求证：(m²－n²)²＋(2mn)²＝(m²＋n²)²； （2）当 m＝4，n＝3 时，写出由此得到的一组勾股数，并判断 7、24、25 是否为勾股数； （3）当 m＝5，n＝2 时，用同样的方法写出另一组勾股数。 【例4·原例回顾】如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC＝，BC＝12，求 AD 的长。 变式4-1　基础·填空 ★　如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC＝10，BC＝12，则 AD＝______，△ABC 的面积是______。 变式4-2　提高·填空 ★★　如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝AC，BC＝12，点 E 在线段 BD 上，且 BE＝2，则 AE＝______。 【例5·原例回顾】《九章算术》"折竹"问题：竹原高 1 丈（1 丈＝10 尺），中部折断，竹梢触地处离竹根 3 尺，问折断处离地面多高？ 变式5-1　基础·填空 ★　如图，一根旗杆在离地面 4 米处折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 3 米处，则折断部分长______米，旗杆原来的高度是______米。 变式5-2　基础·解答 ★　《九章算术》"折竹"：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？（1 丈＝10 尺） （1）设折断处离地面 x 尺，用含 x 的式子表示折断部分的长度； （2）建立方程求出折断处离地面的高度（结果保留分数）。 【例6·原例回顾】如图，CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，求证：a²＝c·BD，b²＝c·AD，h²＝AD·BD。 变式6-1　提高·解答 ★★　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝15，BC＝20。 （1）求 AB 的长；（2）求 CD、AD、BD 的长；（3）判断 CD²＝AD·BD 是否成立，并说明理由。 变式6-2　基础·填空 ★　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AD＝9，BD＝16，则 CD＝______，AC＝______，BC＝______。 第二部分　检测反馈 · A 级（基础过关） 1　★　【出处：徐州·2021年八上期中（改编）】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b 为直角边，c 为斜边。 （1）若 a＝6，b＝8，则 c＝______；（2）若 a＝5，c＝13，则 b＝______；（3）若 b＝15，c＝17，则 a＝______。 2　★　【出处：苏州·2022年八上期中（改编）】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，3 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 3　★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，数轴上点 P 所表示的数是 的近似位置，则点 P 介于（　　） A．2 和 2.5 之间 B．2.5 和 3 之间 C．3 和 3.5 之间 D．2 和 3 之间 4　★　【出处：无锡·2022年八上期中（改编）】一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则斜边长为______，斜边上的高为______，斜边被高分成的两条线段长分别为______、______。 5　★　【出处：南通·2021年八上期中（改编）】在△ABC 中，三边长分别为 8、15、17，则△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6　★　【出处：徐州·2022年八上期中（改编）】如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 B 离墙 0.7 m，则梯子顶端 A 离地面______m；若梯子顶端下滑 0.4 m，则梯子底端向外滑______m。 7　★　【出处：常州·2023年八上期中（改编）】若△ABC 的三边长 a、b、c 满足 (a－5)²＋|b－12|＋(c－13)²＝0，则△ABC 是（　　） A．以 a 为斜边 B．以 b 为斜边 C．以 c 为斜边 D．等边三角形 8　★　【出处：徐州·2020年八上期中（改编）】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a∶b＝3∶4，c＝20，则 a＝______，b＝______，△ABC 的面积为______。 9　★　【出处：扬州·2022年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB 于点 D，则 CD＝______，AD＝______。 10　★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，把一根长为 12 cm 的吸管放入一个底面直径为 6 cm、高为 8 cm 的圆柱形水杯中，吸管露在杯口外的长度最短为______cm。 第二部分　检测反馈 · B 级（能力提升） 1　★★　【出处：盐城·2022年八上期中（改编）】如图，AD 是△ABC 的高，AB＝15，AC＝13，BD＝9，则 CD＝______，△ABC 的面积为______。 2　★★　【出处：教材例2改编·徐州期中常考】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顶点 A 在数轴上表示的数是 1，顶点 B 在数轴上表示的数是 2，以原点 O 为圆心、对角线 AC 的长为半径画弧交数轴正半轴于点 E，则点 E 表示的数是______，OE 与 OC 的大小关系是______。 3　★★　【出处：徐州·2021年八上期中（改编）】如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 AC＝4，AB＝3，∠A＝90°，则 BC＝______；△ABC 的面积是______；BC 边上的高是______。 4　★★　【出处：南京·2022年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝5，BC＝12，则 CD＝______，AD＝______，BD＝______。 5　★★　【出处：教材例3改编】已知 a、b、c 是一组勾股数（a²＋b²＝c²），且 a、b、c 都是正整数。 （1）若 a＝9，b＝40，则 c＝______； （2）若将 a、b、c 都扩大 3 倍，所得三个数是否仍为勾股数？为什么？ （3）写出以 15 为一条直角边的两组勾股数。 6　★★　【出处：《九章算术》·徐州期中经典】《九章算术》"葭生池中"：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？（1 丈＝10 尺，池为正方形，葭生于池中央） 请建立方程求解。 7　★★　【出处：徐州·2022年八上期中（改编）】如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 OA 上，梯子底端 B 离墙 0.7 m。若梯子顶端 A 沿墙下滑 0.4 m 到 A′ 处，则梯子底端 B 向外滑动的距离 BB′＝______m。 8　★★　【出处：徐州·2023年八上期中（改编）】如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13。 （1）求 AC 的长；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形 ABCD 的面积。 9　★★　【出处：南通·2021年八上期中（改编）】如图，分别以 Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，面积分别为 S₁、S₂、S₃。若 S₁＝6，S₂＝3，则 S₃＝______，斜边的长为______。 10　★★　【出处：苏州·2022年八上期中（改编）】如图，将长方形 ABCD 沿折痕 BE 折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 F 处。已知 AB＝6，BC＝10。 （1）求 AF、DF 的长；（2）求 DE 的长。 第二部分　检测反馈 · C 级（拓展延伸） 1　★★★　【出处：徐州·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，"赵爽弦图"由四个全等的直角三角形拼成，中间形成一个小正方形。设直角三角形的两条直角边为 a、b（a＞b），斜边为 c。若大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，则下列结论中错误的是（　　） A．a²＋b²＝25 B．ab＝12 C．a＋b＝7 D．a－b＝2 2　★★★　【出处：拓展探究·徐州期中素材（改编）】观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；… （1）第 6 组勾股数是______； （2）若某组勾股数的第一个数是 19，则这组勾股数是______； （3）用含 m（m 为正整数）的式子表示第 m 组勾股数，并加以证明。 3　★★★　【出处：徐州·2022年八上期中压轴题（改编）】已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，底边 BC＝10，且 S△ABC＝60。 （1）求腰 AB 的长； （2）求腰 AC 上的高 BE 的长。 4　★★★　【出处：无锡·2023年八上期中（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。 （1）求 CD 的长； （2）求 BE 的长。 5　★★★　【出处：徐州·2021年八上期中压轴题（改编）】如图，圆柱形玻璃杯的高为 17 cm，底面周长为 12 cm。在杯内壁离杯底 4 cm 的点 A 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对（即沿杯口直径的另一端）的杯外壁、离杯口 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜。蚂蚁从 A 处先爬过杯口再沿外壁爬到 B 处，则最短路径长为______cm。 6　★★★　【出处：常州·2022年八上期中（改编）】如图，圆柱的底面周长为 6 cm，高为 5 cm，一只蚂蚁从下底面圆周上一点 A 出发，沿侧面爬到上底面圆周上与 A 正对的点 B 处。 （1）若绕圆柱两周，最短路径长为______cm； （2）若绕圆柱一周半，最短路径长为______cm。 7　★★★　【出处：徐州·2020年八上期中压轴题（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D 是 BC 边上一点，且 CD＝3。把△ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 E 处。 （1）求 AB、AE、BE 的长；（2）求△BDE 的面积；（3）求折痕 AD 的长。 8　★★★　【出处：南通·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 从点 A 出发沿斜边 AB 向点 B 匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒（0≤t≤10）。 （1）求 AB 的长；（2）当 t 为何值时，△ACP 的周长最小？最小周长是多少？ 9　★★★　【出处：教材例6结论拓展·徐州期中常考】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，AD＝p，BD＝q。 （1）用面积法证明 h＝ab/c； （2）证明 p·q＝h²； （3）若 a＝9，b＝12，求 h 及 p、q 的值，并验证（2）的结论。 10　★★★　【出处：苏州·2023年八上期中压轴题（改编）】如图，将长方形 ABCD 沿折痕 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合。已知 AB＝6，BC＝10。 （1）求 AF 的长；（2）求折痕 EF 的长；（3）求△AEF 的面积。 苏科版八上第三章 勾股定理 · 变式训练与检测反馈　　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $