精品解析：江西省宜春实验中学2026～2027学年上学期九年级数学练习(一)试题

宜春实验中学2026～2027学年上学期 九年级数学练习（一） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ， D. ， 3. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 4. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2031 D. 5. 直线不经过第三象限，则抛物线可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 8. 将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________． 9. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 11. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 12. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 15. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求证：； （2）若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 17. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，请用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出点C关于对称轴l的对称点D； （2）在图2的抛物线对称轴l上作点P，使的值最大． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程有一个正根和一个负根，求k的取值范围． 19. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 20. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 六、解答题（本大题共1小题，12分） 23. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； （1）点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． （2）当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． （3）直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2026～2027学年上学期 九年级数学练习（一） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可． 【详解】解：∵ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为． 3. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 4. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2031 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 5. 直线不经过第三象限，则抛物线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图形特征即可得出结论． 【详解】∵直线y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限． ∴ ． ∴抛物线 的顶点在第二象限，开口向下． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图形特征，掌握函数图形特征是解题的关键． 6. 如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的开口方向可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图像的特点可以判断④，根据二次函数图像与轴的交点可判断⑤，根据二次函数的最值可判断⑥． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，故说法①不正确； ∵二次函数的图像与轴交点横坐标分别是和， ∴该图像的对称轴为：， ∴，故说法②正确； 由二次函数的图像可知：当时，， ∴，故说法③正确； 由二次函数的图像可知：当时，函数图像在轴上方，即，故说法④正确； 由二次函数的图像可知：该图像与轴有个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故说法⑤错误； ∵二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴， 即（为实数），故说法⑥正确； ∴正确的有个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移平移规律，根据二次函数的平移，“上加下减，左加右减”即可作答． 【详解】将抛物线向下平移2个单位，得新抛物线的解析式为． 故答案为． 9. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 11. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  或   解得  【小问2详解】 解：        14. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【解析】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 15. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求证：； （2）若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 【答案】（1） 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． （2） 方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 17. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，请用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出点C关于对称轴l的对称点D； （2）在图2的抛物线对称轴l上作点P，使的值最大． 【答案】（1）如图1，连接交直线l于点M，连接并延长，交抛物线于点D，则点D即为所求． （2）如图2，连接并延长，交直线l于点P，此时的值最大，最大值为的长，则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象关于直线l（即直线）对称，点C是抛物线与y轴的交点，点D是点C关于l的对称点，因此点D也在抛物线上，且C，D关于l对称．根据轴对称的性质，如果点B的对称点是A，点C的对称点是D，那么线段的对称线段就是，线段与对称轴l的交点，必然也是线段与对称轴l的交点．据此利用对称性质作图即可． （2）根据三角形的三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，即对于（当A，C，P不共线时），有；当点A，C，P三点共线时，线段差取得最大值，最大值为线段的长度．此时，点P必须位于直线上，且点C位于点A和点P之间（即P在的延长线上），这样才能保证，使得．据此作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程有一个正根和一个负根，求k的取值范围． 【答案】（1）的取值范围是 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式与根的个数的关系列不等式求解． （2）利用根与系数的关系结合方程有一个正根和一个负根的条件列不等式，再根据方程有两个不相等的实根的条件得出结果即可． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程， ，，． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 代入得 ， 整理得：， 解得：． 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，． ∵方程有一个正根和一个负根， ∴． 根据根与系数的关系，， ∴， ∴， 解得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 综上，k的取值范围为． 19. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 20. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】（1） （2）长为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【小问1详解】 解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； 【小问2详解】 解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 六、解答题（本大题共1小题，12分） 23. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； （1）点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． （2）当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． （3）直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； 【小问3详解】 解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $