精品解析：江西宜春市第八中学2026-2027学年第一学期阶段性练习一 九年级数学

宜春八中2026-2027学年第一学期阶段性练习一 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 4. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 8. 若是二次函数，则的值为______． 9. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 11. 如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 12. 如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2） 14. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2） 15. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ …⑥ （1）小颖的解答过程从第______步开始出错； （2）请你写出此题正确的解题过程． 16. 已知抛物线． （1）求此抛物线顶点坐标； （2）如果将该抛物线向下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 17. 已知抛物线与轴交于，，与轴交下点，请仅用无刻度直尺按要求作图： （1）在图1中，直线为对称轴，请画出点关于直线的对称点； （2）在图2中，若轴，请画出抛物线的对称轴. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． （1）已知抛物线顶点为，且过点； （2）已知抛物线经过点和． 19. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 20. 如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，． （1）当为何值时，是等腰三角形？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 22. 如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． （1）如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】 如图1，建立基础模型 （1）求抛物线． （2）初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】 如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． （3）平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 使用空间评估 （4）在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春八中2026-2027学年第一学期阶段性练习一 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 3. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 4. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 5. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 【答案】 下 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数的正负即可判断开口方向，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数的图象开口方向向下． 8. 若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 9. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式，即可求出k的取值范围. 【详解】解：根据题意得：， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围. 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11. 如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设米，则米，根据，即可解答． 【详解】解：设米，则米， 根据得： ， ∴． 12. 如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，可设点C的坐标为，再根据三角形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：把点代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设点C的坐标为， ∵，，三角形的面积为8， ∴， 当时，解得：， 此时点C的坐标为； 当时，解得：； 此时点C的坐标为或； 综上所述，点C的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法，对等式两边同时开平方，得到x的两个互为相反数的解； （2）观察方程，用十字相乘法因式分解，转化成两个一次因式乘积等于0的形式，再令每个因式分别为0求出方程的根． 【小问1详解】 解：， ， ， 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， ，． 14. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先对式子通分变形为，再用韦达定理分别求出与，整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，，， ，， ． 15. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ …⑥ （1）小颖的解答过程从第______步开始出错； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1） ② （2） 方程的解为， 【解析】 【小问1详解】 第②步等式两边同时除以计算错误，应当得到； 【小问2详解】 解： ∴，． 【点睛】 16. 已知抛物线． （1）求此抛物线顶点坐标； （2）如果将该抛物线向下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）平移后的抛物线表达式为 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可获得答案； （2）设将该抛物线向下平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，然后将点代入并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴此抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 设将该抛物线向下平移个单位长度，则新的抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴平移后的抛物线的表达式为． 17. 已知抛物线与轴交于，，与轴交下点，请仅用无刻度直尺按要求作图： （1）在图1中，直线为对称轴，请画出点关于直线的对称点； （2）在图2中，若轴，请画出抛物线的对称轴. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图像的交点即对称点， （2）用无刻度直尺连接CB,AD交于一点，连接AC,BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m. 【详解】解：（1）如图1，点即为所求（画法不唯一）； （2）如图2，直线即为所求. 【点睛】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． （1）已知抛物线顶点为，且过点； （2）已知抛物线经过点和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正确解答此题的关键． （1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解； （2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 由抛物线顶点为，得， 由抛物线过点，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：将点和代入抛物线， 得， 解得， ． 19. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】（1）该风景区游客人数的月平均增长率为． （2）按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【解析】 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 20. 如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，． （1）当为何值时，是等腰三角形？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先用含 的代数式表示 、，注意到 是直角三角形，等腰只能是两直角边相等 ，解出 ； （2）以 为底、 为高写出 的面积表达式，令其等于 建立关于 的方程，解出后结合 取舍． 【小问1详解】 解：由题意，点 从点 开始沿边 向终点 移动，速度为 ，运动时间为 ，所以 ，． 点 从点 开始沿边 向终点 移动，速度为 ，所以 ． 在矩形 中，，故 是直角三角形． 若 为等腰三角形，则只能是两条直角边相等（斜边大于任意一条直角边，不可能与直角边相等），即 ． 于是 ，即 ，解得 ． 当 时，，，， 为等腰直角三角形． 故当 时， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：连接 ．由（1）知 ，． 因为 ，所以点 到直线 的距离就是 的长，即 中以 为底时对应的高 ． ． 令 ，则 ． 展开得 ，整理得 ，即 ． 因式分解得 ，解得 或 ． 由于点 运动到点 时停止，，所以 不合题意，舍去． 当 时，，，，符合题意． 故存在 的值，此时 ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 22. 如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． （1）如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 【答案】（1）， （2）证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； （3）7 【解析】 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据日历表可知，，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】 如图1，建立基础模型 （1）求抛物线． （2）初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】 如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． （3）平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 使用空间评估 （4）在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 【答案】（1） （2） （3） （4）解：小明的说法正确，理由： 设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， 当时，， ， 小明的说法正确． 【解析】 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，Q坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出的最小值和最大值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $