第四章《一次函数》综合练习卷（1） 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 综合练习卷（1） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。第 1～9 题每小题只有一个选项符合题意，第 10 题有多项符合题意，全部选对得 4 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分） 1．下列图象中，不能表示 y 是 x 的函数的是（　　） A B C D 【答案】D 【解析】判断一个图象能否表示 y 是 x 的函数，标准只有一条：对 x 的每一个取值，图象上都只能有一个点与之对应，即任意一条垂直于 x 轴的直线与图象至多有一个交点。 【解答】A 项：每条竖直直线与图象只有一个交点，y 是 x 的函数； B 项：图象是开口向上的抛物线，每条竖直直线与其只有一个交点，y 是 x 的函数； C 项：折线每一处竖直直线也只有一个交点，y 是 x 的函数； D 项：圆的左右两侧各有部分图象，在圆内取一个 x，竖直直线与圆有两个交点，对应两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数。故选 D。 2．一次函数 y＝−2x＋3 的大致图象是（　　） A B C D 【答案】C 【解析】y＝kx＋b 中，k 决定直线的升降（k＞0 上升、k＜0 下降），b 决定直线与 y 轴交点的位置（b＞0 交于正半轴、b＜0 交于负半轴）。这里 k＝−2＜0、b＝3＞0。 【解答】k＝−2＜0，直线从左向右下降，可排除上升的 (A)、(B)； b＝3＞0，直线与 y 轴交于正半轴，可排除交于负半轴的 (D)； (C) 中直线下降且与 y 轴交于正半轴，符合 k＜0、b＞0。故选 C。 3．若一次函数 y＝(2−m)x＋(m−4) 的图象经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞2　　B．2＜m＜4 C．m＜4　　D．m＞4 【答案】B 【解析】图象经过第二、三、四象限，说明直线下降且与 y 轴交于负半轴，即一次项系数小于 0、常数项小于 0，两个条件要同时成立。 【解答】直线下降，所以一次项系数 2−m＜0，解得 m＞2； 与 y 轴的交点 (0, m−4) 在 x 轴下方，所以 m−4＜0，解得 m＜4； 两个条件同时成立，得 2＜m＜4，此时 2−m≠0，函数确为一次函数。故选 B。 4．已知 y−3 与 x＋2 成正比例，且当 x＝1 时 y＝9，则 y 关于 x 的函数表达式是（　　） A．y＝2x＋7　　B．y＝2x−5 C．y＝3x＋6　　D．y＝−2x＋7 【答案】A 【解析】"y−3 与 x＋2 成正比例"意味着 y−3＝k(x＋2)（k≠0），把它整理成 y＝kx＋(2k＋3) 的形式，再用已知的一组对应值求 k。 【解答】设 y−3＝k(x＋2)（k≠0），即 y＝kx＋2k＋3； 把 x＝1、y＝9 代入，得 9＝k＋2k＋3，即 3k＝6，k＝2； 所以 y＝2x＋4＋3，即 y＝2x＋7。故选 A。 5．已知点 A(−2, y₁)、B(1, y₂) 都在直线 y＝(3−2m)x＋1 上，且 y₁＞y₂，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞　　B．m＜ C．m＞−　　D．m＜− 【答案】A 【解析】这是"由函数值的大小反向判断 k 的符号"：横坐标由 −2 增大到 1 时函数值反而减小，说明 y 随 x 的增大而减小，所以一次项系数小于 0。求出一次项系数的符号条件后再解不等式，注意函数必须是一次函数，一次项系数不能为 0。 【解答】因为 −2＜1，即点 A 在点 B 的左侧，而题设 y₁＞y₂， 所以横坐标增大时函数值减小，y 随 x 的增大而减小； 于是 3−2m＜0，移项得 −2m＜−3，解得 m＞； 当 m＞ 时 3−2m≠0，函数确为一次函数。故选 A。 6．如图，一次函数的图象经过点 (2,0) 与 (0,−4)，则当 x＝−1 时，y 的值为（　　） A．−6　　B．−2　　C．2　　D．6 【答案】A 【解析】图象与坐标轴的两个交点就是待定系数法的两组数据：与 x 轴的交点给出 b 的另一种信息，与 y 轴的交点直接给出 b＝−4，再由 (2,0) 求出 k。 【解答】由图可知图象与 y 轴交于 (0,−4)，所以 b＝−4； 把 (2,0) 代入 y＝kx−4，得 0＝2k−4，k＝2； 所以 y＝2x−4；当 x＝−1 时，y＝2×(−1)−4＝−6。故选 A。 7．将直线 y＝3x−1 向左平移 2 个单位长度，所得直线的表达式是（　　） A．y＝3x＋5　　B．y＝3x−3 C．y＝3x−7　　D．y＝3x＋1 【答案】A 【解析】直线平移时 k 不变，只有 b 变化。左右平移看"横坐标平移量"，规律是把 x 换成 (x＋2)（向左）或 (x−2)（向右）；上下平移才是直接在常数项上加、减。 【解答】平移不改变直线的倾斜程度，所以 k 仍为 3； 向左平移 2 个单位，相当于把原式中的 x 换成 x＋2：y＝3(x＋2)−1； 化简得 y＝3x＋6−1＝3x＋5。故选 A。 8．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一条路前往同一目的地，两人离出发地的距离 s（km）与时间 t（h）的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．甲的速度是 4 km/h B．乙在出发后 1 h 内走了 10 km C．乙在 1 h 到 3 h 内的速度是 5 km/h D．甲比乙先到达目的地 【答案】D 【解析】折线图上线段的倾斜程度表示速度：越陡越快，水平段表示停留（速度为 0）。两人终点高度相同，说明目的地相同；谁先到，看谁的折线先达到终点高度。 【解答】甲 0～5 h 走完 20 km，速度 v＝＝4（km/h），A 项正确； 乙 0～1 h 从 0 到 10 km，路程 10 km，B 项正确； 乙 1～3 h 从 10 km 到 20 km，用 2 h 走 10 km，速度 v＝＝5（km/h），C 项正确； 乙在 t＝3 h 时已到达 20 km 处，甲到 t＝5 h 才到达，乙先到，D 项错误。故选 D。 9．某水池在注水过程中，容器内水量 V（立方米）与时间 t（min）的关系如图所示（0～6 min 与 6～10 min 各为一段线段），下列说法错误的是（　　） A．0～6 min 内每分钟注水 4 立方米 B．6～10 min 内每分钟注水 10 立方米 C．第 10 min 时容器内共有水 64 立方米 D．前 10 min 内平均每分钟注水 4 立方米 【答案】D 【解析】分段折线的每一段斜率就是该时间段的注水速度（每分钟注水量）；平均速度要用"总水量÷总时间"，不能用某一段的速度代替。 【解答】0～6 min：水量由 0 增至 24 立方米，速度 v＝＝4（立方米/min），A 项正确； 6～10 min：水量由 24 增至 64 立方米，用 4 min 增加 40 立方米，速度 v＝＝10（立方米/min），B 项正确； 由图读出 t＝10 时 V＝64 立方米，C 项正确； 前 10 min 平均速度 v＝＝6.4（立方米/min），不是 4 立方米/min，D 项错误。故选 D。 10．下表给出变量 y 与 x 的三组对应值：x＝−2 时 y＝−1；x＝0 时 y＝3；x＝2 时 y＝7。已知 y 是 x 的一次函数，则下列结论正确的有（　　） ①该函数的表达式为 y＝2x＋3 ②该函数的图象与直线 y＝2x−5 平行 ③当 −2≤x≤2 时，y 的取值范围是 −1≤y≤7 ④不等式 2x＋3＞0 的解集是 x＜−1.5 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】先由三组对应值用待定系数法求出表达式，再逐项检验：平行看 k 是否相同，取值范围看增减性与端点，不等式解集则把图象与 x 轴的位置关系翻译成 x 的范围。 【解答】任取两组数据求 k、b：把 (0,3) 代入 y＝kx＋b 得 b＝3； 把 (2,7) 代入得 7＝2k＋3，k＝2，所以 y＝2x＋3；代入 (−2,−1) 检验：2×(−2)＋3＝−1，符合，A 项正确； 平行要求 k 相同：y＝2x−5 的 k 也是 2，两直线平行，B 项正确； k＝2＞0，y 随 x 增大而增大，x＝−2 时 y＝−1 最小，x＝2 时 y＝7 最大，故 −2≤x≤2 时 −1≤y≤7，C 项正确； 解 2x＋3＞0 得 x＞−1.5（即图象在 x 轴上方的那部分自变量范围），D 项把解集方向写反，错误。故选 C。 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知一次函数 y＝(2m−1)x＋(3−m)．（1）若它的图象与直线 y＝−3x＋2 平行，则 m＝____-1__；（2）若它的图象与 y 轴交于点 (0,−1)，则 m＝__4____． 【答案】（1）m＝−1；（2）m＝4 【解析】两条直线平行，倾斜程度相同，即一次项系数相等，截得的纵坐标不同（常数项不同）；直线与 y 轴的交点就是令 x＝0 得到的点 (0, b)，所以交点的纵坐标等于常数项。两问都要顺带检验一次项系数不为 0，保证函数确为一次函数。 【解答】（1）平行要求一次项系数相等：2m−1＝−3， 解得 2m＝−2，m＝−1； 此时 2m−1＝−3≠0，且两直线的常数项分别为 3−(−1)＝4 与 2，互不相等，两直线平行不重合，符合； （2）令 x＝0，得 y＝3−m，即图象与 y 轴交于 (0, 3−m)， 由 3−m＝−1 解得 m＝4； 此时 2m−1＝7≠0，仍是一次函数，符合； 所以（1）m＝−1，（2）m＝4。 12．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (−1,0) 和 (0,3)，则关于 x 的不等式 kx＋b＞0 的解集是 __x＞−1____． 【答案】x＞−1 【解析】先用待定系数法求出表达式，再把不等式问题翻译成图象问题：kx＋b＞0 就是图象位于 x 轴上方的部分，这部分的横坐标范围就是解集。k＞0 时图象自左向右上升，与 x 轴交点右侧的图象在 x 轴上方。 【解答】把 (−1,0)、(0,3) 分别代入 y＝kx＋b，得 −k＋b＝0，b＝3； 由 b＝3 代回第一式得 −k＋3＝0，解得 k＝3； 所以 y＝3x＋3，k＝3＞0，图象自左向右上升； kx＋b＞0 即 3x＋3＞0，解这个不等式得 x＞−1； 从图象上看，直线与 x 轴交于 (−1,0)，交点右侧的图象在 x 轴上方，解集为 x＞−1。 13．如图，直线 y＝−3x＋6 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，则 △AOB 的面积是 ___6___． 【答案】6 【解析】求直线与两坐标轴围成的三角形面积，先分别求两个交点坐标，再按"两条直角边分别在两坐标轴上"计算面积，两条直角边就是两个交点坐标的绝对值。 【解答】令 y＝0，得 −3x＋6＝0，x＝2，所以 A(2,0)，OA＝2； 令 x＝0，得 y＝6，所以 B(0,6)，OB＝6； △AOB 是直角三角形，S＝×OA×OB＝×2×6＝6。 14．如图，直线 l 与 x 轴交于点 A(3,0)、与 y 轴交于点 B(0,3)，点 P 在第一象限内且在线段 AB 上，若 △OAP 的面积为 3，则点 P 的坐标是 __(1,2)____． 【答案】P(1,2) 【解析】先用待定系数法写出直线表达式；再把"面积"当作条件：△OAP 以 OA 为底，OA 在 x 轴上，所以高就是点 P 的纵坐标，由面积求纵坐标，最后代回直线求横坐标。 【解答】设直线 l 的表达式为 y＝kx＋b，把 A(3,0)、B(0,3) 代入，得 b＝3，3k＋3＝0，k＝−1； 所以 l：y＝−x＋3； △OAP 中 OA＝3，OA 边上的高等于点 P 的纵坐标 yP， 由 ×3×yP＝3 得 yP＝2； 把 y＝2 代入 y＝−x＋3，得 x＝1，且点 (1,2) 在第一象限内； 所以点 P 的坐标为 (1,2)。 15．如图，直线 y＝−2x＋4 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，点 P 在线段 AB 上（可以与端点重合），设点 P 的横坐标为 t．（1）△OBP 的面积 S 关于 t 的函数表达式为 S＝__2t（0≤t≤2）____（并写出 t 的取值范围）；（2 分）（2）当 S＝3 时，点 P 的坐标为 ___(1.5,1)___；（1 分）（3）在该线段上是否存在点 P，使 S＝5？答：__不存在____（填"存在"或"不存在"）．（1 分） 【答案】（1）S＝2t（0≤t≤2）；（2）(1.5,1)；（3）不存在 【解析】线段上的点，其横坐标 t 有范围限制，这是本题的关键；把 P 的纵坐标用 t 表示后，△OBP 以 OB 为底，高就是 P 到 y 轴的距离 t，于是 S 化成 t 的一次函数，最后一问用增减性判断能否取到 5。 【解答】令 y＝0 得 A(2,0)，令 x＝0 得 B(0,4)； 点 P 在线段 AB 上，所以 0≤t≤2，且 P(t, −2t＋4)，此时纵坐标 −2t＋4≥0； △OBP 中 OB＝4，OB 边上的高为点 P 到 y 轴的距离，即 t， 所以 S＝×4×t＝2t（0≤t≤2）； （2）由 2t＝3 得 t＝1.5，此时 −2×1.5＋4＝1，所以 P(1.5,1)； （3）因为 S＝2t 中 k＝2＞0，S 随 t 增大而增大，t 最大取 2 时 S 最大为 4， 而 5＞4，所以线段 AB 上不存在使 S＝5 的点，即不存在。 三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分。解答应写出必要的推理过程、演算步骤） 16．（6 分）已知一次函数 y＝2x−3 与函数 y＝．（1）求当 x＝4 时一次函数的函数值；（2 分）（2）求使一次函数的函数值为 5 的自变量 x 的值；（2 分）（3）求函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围．（2 分） 【答案】（1）5；（2）x＝4；（3）x≥3 【解析】函数值就是把自变量代进去算出的 y；反过来已知函数值求自变量，就是解关于 x 的一元一次方程。求自变量的取值范围要看式子有没有意义：二次根式的被开方数必须非负，所以要让根号下的式子大于或等于 0。 【解答】（1）当 x＝4 时，y＝2×4−3＝8−3＝5； （2）由 y＝5 得 2x−3＝5， 移项得 2x＝8，解得 x＝4； （3）要使 有意义，被开方数必须非负， 即 x−3≥0，解得 x≥3， 所以自变量 x 的取值范围是 x≥3。 17．（6 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝−2x＋3 的图象经过点 A(−1,5) 与点 B(2,−1)．（1）在图中描出 A、B 两点，画出这个函数的图象，并说明所画直线经过哪几个象限；（4 分）（2）若点 C(m,−3) 在该函数的图象上，求 m 的值．（2 分） 【答案】（1）如图，直线经过第一、二、四象限； （2）m＝3 【解析】画一次函数图象只需取两个点连线，取点时应选在方格交点上便于定位，连线后两端要适当延长，因为直线是无限延伸的；判断点是否在图象上，用坐标代入检验，比看图更可靠。 【解答】（1）在坐标系中描出 A(−1,5)、B(2,−1) 两点，过两点作直线并两端延长，即得所求图象； 因为 k＝−2＜0，直线自左向右下降； 因为 b＝3＞0，直线与 y 轴交于正半轴，交点为 (0,3)； 所以直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限； （2）点 C 在图象上，把 x＝m 代入得 y＝−2m＋3， 又点 C 的纵坐标为 −3，所以 −2m＋3＝−3， 移项得 −2m＝−6，解得 m＝3。 18．（8 分）已知一次函数 y＝(2m−1)x＋(m＋3)．（1）若 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（3 分）（2）若该函数的图象经过原点，求 m 的值；（2 分）（3）若该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方，求 m 的取值范围．（3 分） 【答案】（1）m＜；（2）m＝−3；（3）m＜−3 【解析】三个小问分别考查"一次项系数符号决定增减性""常数项为 0 时过原点""常数项为负时与 y 轴交点在 x 轴下方"，同时都要保证一次项系数不为 0，否则函数退化为常数函数甚至不是函数。 【解答】（1）因为 y 随 x 的增大而减小，所以 2m−1＜0， 解得 m＜； （2）图象经过原点，说明 x＝0 时 y＝0，即 m＋3＝0， 解得 m＝−3；此时 2m−1＝−7≠0，函数确为一次函数； （3）图象与 y 轴的交点为 (0, m＋3)，交点在 x 轴下方，所以 m＋3＜0， 解得 m＜−3；此时 2m−1＝2×(−3)−1＜0，仍满足 k≠0。 19．（8 分）如图，某水库的水位 y（m）随时间 t（h）的变化情况如图中折线所示，其中 0～4 h 水位上升，4～10 h 水位保持不变，10～12 h 水位下降．（1）求 0～4 h 与 10～12 h 两段水位变化的函数表达式；（4 分）（2）求这一天中水位不低于 29 m 的持续时间．（4 分） 【答案】（1）0≤t≤4 时 y＝3t＋20；10≤t≤12 时 y＝−3t＋62；（2）8 小时 【解析】折线的每一段都是直线的一部分，用该段上的两个端点确定表达式；求"不低于 29 m 的持续时间"，就是找出折线与水平线 y＝29 的两个交点横坐标，两者之差即持续时间，需要分段求解并检验解是否落在该段范围内。 【解答】（1）0～4 h 段经过 (0,20) 与 (4,32)，设 y＝kt＋b， 把 (0,20) 代入得 b＝20；把 (4,32) 代入得 4k＋20＝32，k＝3， 所以 y＝3t＋20（0≤t≤4）； 10～12 h 段经过 (10,32) 与 (12,26)，设 y＝kt＋b， 把 (10,32) 代入得 10k＋b＝32，把 (12,26) 代入得 12k＋b＝26， 两式相减得 2k＝−6，k＝−3，代回得 b＝62，所以 y＝−3t＋62（10≤t≤12）； （2）在 0～4 h 段，令 3t＋20＝29，得 3t＝9，t＝3，落在 0≤t≤4 内，符合； 在 4～10 h 段水位恒为 32 m，高于 29 m，整段满足； 在 10～12 h 段，令 −3t＋62＝29，得 3t＝33，t＝11，落在 10≤t≤12 内，符合； 所以水位不低于 29 m 的时间是 3 h 到 11 h 之间，持续 11−3＝8 小时。 20．（8 分）如图，直线 l₁：y＝x＋1 与直线 l₂：y＝−2x＋4 交于点 C，l₁ 与 x 轴交于点 A，l₂ 与 x 轴交于点 B．（1）求点 A、B、C 的坐标；（4 分）（2）求 △ABC 的面积．（4 分） 【答案】（1）A(−1,0)、B(2,0)、C(1,2)；（2）3 【解析】两直线的交点就是两个函数值相等的点，令两个表达式相等即可求横坐标；求三角形面积时，若一条边在两坐标轴上，就把它作为底，另一个顶点到这条直线的距离作为高。 【解答】（1）令 y＝0，由 y＝x＋1 得 x＝−1，所以 A(−1,0)； 令 y＝0，由 y＝−2x＋4 得 x＝2，所以 B(2,0)； 令 x＋1＝−2x＋4，得 3x＝3，x＝1， 代回 y＝x＋1 得 y＝2，所以 C(1,2)； （2）AB 在 x 轴上，AB＝2−(−1)＝3， 点 C 到 x 轴的距离为 2，即 AB 边上的高为 2， 所以 S△ABC＝×3×2＝3。 21．（10 分）如图，小明从家骑自行车前往图书馆，他离家的距离 s（m）与所用时间 t（min）的关系如图中折线所示，其中 0～6 min 匀速前进，6～10 min 原地停留，10～14 min 继续匀速前进后到达图书馆．（1）求 0～6 min 与 10～14 min 小明的骑行速度；（4 分）（2）求 6～10 min 内 s 与 t 的函数表达式，并说明此时小明的运动状态；（3 分）（3）求小明从家到图书馆全程的平均速度（结果保留一位小数）．（3 分） 【答案】（1）200 m/min、200 m/min；（2）s＝1200（6≤t≤10），停留休息；（3）约 142.9 m/min 【解析】折线图的斜率是速度；水平段斜率是 0，说明距离不变、人停住；平均速度必须用总路程除以总时间，不能把各段速度平均。 【解答】（1）0～6 min：由 0 到 1200 m，速度 v＝＝200（m/min）； 10～14 min：由 1200 m 到 2000 m，用 4 min 走 800 m，速度 v＝＝200（m/min）； （2）6～10 min 内 s 始终为 1200 m，所以 s＝1200（6≤t≤10）， 此时距离不随时间变化，小明在原地停留休息； （3）全程路程 2000 m，全程时间 14 min， 平均速度 v＝≈142.9（m/min）。 22．（10 分）如图，某复印店的两种收费方案如图所示：方案一每月固定收费 20 元，另按每页 0.2 元收费；方案二不收固定费用，按每页 0.3 元收费．设每月复印 x 页，按方案一、方案二应付费用分别为 y₁、y₂（元）．（1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 的函数表达式；（3 分）（2）每月复印多少页时两种方案收费相同？（3 分）（3）若每月需复印 300 页，选用哪种方案更省钱？能省多少元？（4 分） 【答案】（1）y₁＝0.2x＋20，y₂＝0.3x；（2）200 页；（3）选方案一，省 10 元 【解析】两种方案的费用都是页数的一次函数，"收费相同"就是两个函数值相等，即两条直线的交点；比较哪个更省钱，可以直接算值作差，也可以由图象上两条直线的上下位置判断。 【解答】（1）方案一：y₁＝0.2x＋20；方案二：y₂＝0.3x； （2）由 0.2x＋20＝0.3x 得 0.1x＝20， 解得 x＝200，即每月复印 200 页时两种方案收费相同（都是 60 元）； （3）当 x＝300 时，y₁＝0.2×300＋20＝80（元），y₂＝0.3×300＝90（元）， 因为 80＜90，所以选方案一更省钱， 能省 90−80＝10（元）。 23．（11 分，第（1）问 3 分，第（2）问 4 分，第（3）问 3 分）某市实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 20 吨时，每吨 2 元；超过 20 吨时，超过的部分每吨 3 元．设某户某月用水量为 x（吨），应交水费为 y（元），其函数图象如图所示．（1）分别写出 0≤x≤20 与 x＞20 时 y 与 x 的函数表达式，并说明图象在 x＝20 处为什么是连续的；（3 分）（2）某户某月交水费 76 元，求该户这个月的用水量；（4 分）（3）若某户某月用水 30 吨，求应交水费．（4 分） 【答案】（1）0≤x≤20 时 y＝2x，x＞20 时 y＝3x−20，理由见解答；（2）32 吨；（3）70 元 【解析】分段计费要按"是否超出 20 吨"分别列式；判断交费 76 元对应哪一段，要先用临界值 20 吨时的水费作比较；图象连续意味着两段表达式在分界点处取值相等。 【解答】（1）当 0≤x≤20 时，y＝2x； 当 x＞20 时，前 20 吨的水费为 20×2＝40 元，超出部分为 (x−20) 吨、每吨 3 元， 所以 y＝40＋3(x−20)＝3x−20； 把 x＝20 分别代入两式，都得到 y＝40，两段图象在 x＝20 处交于同一点 (20,40)，所以图象连续、没有断口； （2）先算 x＝20 时的水费：y＝2×20＝40（元）， 因为 76＞40，所以该月用水量超过 20 吨，应满足 y＝3x−20， 由 3x−20＝76 得 3x＝96，解得 x＝32，即该月用水 32 吨； （3）当 x＝30 时，x＞20，用 y＝3x−20 计算： y＝3×30−20＝90−20＝70（元）。 24．（11 分，第（1）问 3 分，第（2）问 4 分，第（3）问 4 分）如图，直线 l₁：y＝2x−4 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B；直线 l₂：y＝−x＋5 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P．（1）求点 A、B、C 的坐标和交点 P 的坐标；（3 分）（2）求 △BPC 的面积；（4 分）（3）点 Q 是 x 轴上的一个动点，若 △ABQ 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标．（4 分） 【答案】（1）A(2,0)、B(0,−4)、C(5,0)、P(3,2)；（2）9；（3）Q(5,0) 或 Q(−1,0) 【解析】第（1）问是"图象与坐标轴交点"和"两直线交点"的基本功：与 x 轴交点令 y＝0，与 y 轴交点令 x＝0，两直线交点则令两个表达式相等，得到一个关于 x 的一元一次方程，解出横坐标后再代回求纵坐标。第（2）问的三角形中 A、C 在 x 轴上，B 在 x 轴下方、P 在 x 轴上方，用 x 轴把它分成上下两个三角形分别算面积再相加，即分割法。第（3）问的两个三角形都以 x 轴上的线段为底，高都是 4，于是面积条件化为底长的绝对值方程，绝对值方程有两解，必须分类讨论。 【解答】（1）令 y＝0，由 y＝2x−4 得 2x−4＝0，x＝2，所以 A(2,0)； 令 x＝0，由 y＝2x−4 得 y＝−4，所以 B(0,−4)； 令 y＝0，由 y＝−x＋5 得 −x＋5＝0，x＝5，所以 C(5,0)； 令 2x−4＝−x＋5，得 3x＝9，x＝3， 代回 y＝2x−4 得 y＝2，所以 P(3,2)； 检验：把 x＝3 代入 y＝−x＋5 也得 y＝2，与 l₁ 的结果一致； （2）B(0,−4) 与 P(3,2) 都在 l₁：y＝2x−4 上，所以直线 BP 就是 l₁， 它与 x 轴的交点正是 A(2,0)，即 x 轴把 △BPC 分成 △ABC 与 △APC 两部分； △ABC 中 AC＝5−2＝3，AC 边上的高是 B 到 x 轴的距离 4，S＝×3×4＝6； △APC 中 AC＝3，AC 边上的高是 P 到 x 轴的距离 2，S＝×3×2＝3； 所以 S△BPC＝6＋3＝9； （3）A(2,0)、B(0,−4)、C(5,0)，△ABC 中 AC＝5−2＝3，AC 边上的高为 4， 所以 S△ABC＝×3×4＝6； 点 Q 在 x 轴上，设 Q(q,0)，△ABQ 以 AQ 为底，AQ＝|q−2|，高仍为 4， 由面积条件得 ×|q−2|×4＝6，即 2|q−2|＝6，|q−2|＝3； 当 q−2＝3 时 q＝5，Q(5,0)（此时 Q 与点 C 重合）； 当 q−2＝−3 时 q＝−1，Q(−1,0)； 检验：Q(5,0) 时 AQ＝3，S＝×3×4＝6，符合；Q(−1,0) 时 AQ＝3，S＝6，也符合； 所以点 Q 的坐标为 (5,0) 或 (−1,0)。 25．（12 分，第（1）问 3 分，第（2）问 3 分，第（3）问 6 分）如图，直线 l₁ 与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 (−2,0)，直线 l₂ 与 y 轴交于点 B、与 x 轴交于点 (4,0)，两直线交于点 C．已知 A(0,2)、B(0,8)、C(2,4)．（1）分别求直线 l₁、l₂ 的函数表达式；（4 分）（2）点 P 是直线 l₂ 上的一个动点，若 △ABP 的面积等于 12，求点 P 的坐标；（4 分）（3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，当 △BPQ 是以 BP 为底的等腰三角形时，求点 Q 的坐标．（6 分） 【答案】 （1）l₁：y＝x＋2，l₂：y＝−2x＋8；（2）P(4,0) 或 P(−4,16)；（3）Q(−6,0) 或 Q(−26,0) 【解析】 第（2）问是动点面积问题：AB 在 y 轴上、长度不变，面积只取决于点 P 到 y 轴的距离，点 P 在 y 轴两侧各有一种情形，必须分类讨论并把两个解都代回直线检验。第（3）问以 BP 为底，等腰的条件是两条腰相等，即 BQ＝QP，用坐标表示两点间距离的平方化为方程，再对两个 P 分别求解并回代检验。 【解答】 （1）设 l₁ 的表达式为 y＝kx＋b，它经过 A(0,2) 与 (−2,0)， 由 A(0,2) 得 b＝2；把 (−2,0) 代入得 −2k＋2＝0，解得 k＝1； 所以 l₁：y＝x＋2； 设 l₂ 的表达式为 y＝mx＋n，它经过 B(0,8) 与 (4,0)， 由 B(0,8) 得 n＝8；把 (4,0) 代入得 4m＋8＝0，解得 m＝−2； 所以 l₂：y＝−2x＋8； 检验交点：令 x＋2＝−2x＋8，得 3x＝6，x＝2，此时 y＝4，与已知 C(2,4) 一致； （2）AB 在 y 轴上，A(0,2)、B(0,8)，所以 AB＝8−2＝6； 点 P 在直线 l₂ 上，设 P 的横坐标为 t，则纵坐标为 −2t＋8； △ABP 中 AB 边上的高为点 P 到 y 轴的距离，即 |t|， 由面积条件得 ×6×|t|＝12，所以 3×|t|＝12，|t|＝4，即 t＝4 或 t＝−4； 当 t＝4 时，−2×4＋8＝0，得 P(4,0)，此时 P 与 l₂ 和 x 轴的交点重合； 当 t＝−4 时，−2×(−4)＋8＝16，得 P(−4,16)，此时 P 在 y 轴左侧的延长线上； 所以点 P 的坐标为 (4,0) 或 (−4,16)； （3）设 Q(q,0)．△BPQ 以 BP 为底，等腰要求 BQ＝QP，两边平方后比较距离的平方； 先看 P(4,0)：＝＋64，＝， 由 ＋64＝ 得 ＋64＝−8q＋16， 即 8q＝−48， 解得 q＝−6； 检验：BQ＝＝10，QP＝|−6−4|＝10，两腰相等，成立； 再看 P(−4,16)：＝＋64，＝＋256， 由 ＋64＝＋256 得 ＋64＝＋8q＋16＋256， 即 8q＝−208， 解得 q＝−26； 检验：＝676＋64＝740，＝＋256＝740，两腰相等，成立； 所以点 Q 的坐标为 (−6,0) 或 (−26,0)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 综合练习卷（1） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。第 1～9 题每小题只有一个选项符合题意，第 10 题有多项符合题意，全部选对得 4 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分） 1．下列图象中，不能表示 y 是 x 的函数的是（　　） A B C D 2．一次函数 y＝−2x＋3 的大致图象是（　　） A B C D 3．若一次函数 y＝(2−m)x＋(m−4) 的图象经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞2　　B．2＜m＜4 C．m＜4　　D．m＞4 4．已知 y−3 与 x＋2 成正比例，且当 x＝1 时 y＝9，则 y 关于 x 的函数表达式是（　　） A．y＝2x＋7　　B．y＝2x−5 C．y＝3x＋6　　D．y＝−2x＋7 5．已知点 A(−2, y₁)、B(1, y₂) 都在直线 y＝(3−2m)x＋1 上，且 y₁＞y₂，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞　　B．m＜ C．m＞−　　D．m＜− 6．如图，一次函数的图象经过点 (2,0) 与 (0,−4)，则当 x＝−1 时，y 的值为（　　） A．−6　　B．−2　　C．2　　D．6 7．将直线 y＝3x−1 向左平移 2 个单位长度，所得直线的表达式是（　　） A．y＝3x＋5　　B．y＝3x−3 C．y＝3x−7　　D．y＝3x＋1 8．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一条路前往同一目的地，两人离出发地的距离 s（km）与时间 t（h）的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．甲的速度是 4 km/h B．乙在出发后 1 h 内走了 10 km C．乙在 1 h 到 3 h 内的速度是 5 km/h D．甲比乙先到达目的地 9．某水池在注水过程中，容器内水量 V（立方米）与时间 t（min）的关系如图所示（0～6 min 与 6～10 min 各为一段线段），下列说法错误的是（　　） A．0～6 min 内每分钟注水 4 立方米 B．6～10 min 内每分钟注水 10 立方米 C．第 10 min 时容器内共有水 64 立方米 D．前 10 min 内平均每分钟注水 4 立方米 10．下表给出变量 y 与 x 的三组对应值：x＝−2 时 y＝−1；x＝0 时 y＝3；x＝2 时 y＝7。已知 y 是 x 的一次函数，则下列结论正确的有（　　） ①该函数的表达式为 y＝2x＋3 ②该函数的图象与直线 y＝2x−5 平行 ③当 −2≤x≤2 时，y 的取值范围是 −1≤y≤7 ④不等式 2x＋3＞0 的解集是 x＜−1.5 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知一次函数 y＝(2m−1)x＋(3−m)．（1）若它的图象与直线 y＝−3x＋2 平行，则 m＝______；（2）若它的图象与 y 轴交于点 (0,−1)，则 m＝______． 12．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (−1,0) 和 (0,3)，则关于 x 的不等式 kx＋b＞0 的解集是 ______． 13．如图，直线 y＝−3x＋6 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，则 △AOB 的面积是 ______． 14．如图，直线 l 与 x 轴交于点 A(3,0)、与 y 轴交于点 B(0,3)，点 P 在第一象限内且在线段 AB 上，若 △OAP 的面积为 3，则点 P 的坐标是 ______． 15．如图，直线 y＝−2x＋4 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，点 P 在线段 AB 上（可以与端点重合），设点 P 的横坐标为 t．（1）△OBP 的面积 S 关于 t 的函数表达式为 S＝______（并写出 t 的取值范围）；（2 分）（2）当 S＝3 时，点 P 的坐标为 ______；（1 分）（3）在该线段上是否存在点 P，使 S＝5？答：______（填"存在"或"不存在"）．（1 分） 三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分。解答应写出必要的推理过程、演算步骤） 16．（6 分）已知一次函数 y＝2x−3 与函数 y＝．（1）求当 x＝4 时一次函数的函数值；（2 分）（2）求使一次函数的函数值为 5 的自变量 x 的值；（2 分）（3）求函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围．（2 分） 17．（6 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝−2x＋3 的图象经过点 A(−1,5) 与点 B(2,−1)．（1）在图中描出 A、B 两点，画出这个函数的图象，并说明所画直线经过哪几个象限；（4 分）（2）若点 C(m,−3) 在该函数的图象上，求 m 的值．（2 分） 18．（8 分）已知一次函数 y＝(2m−1)x＋(m＋3)．（1）若 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（3 分）（2）若该函数的图象经过原点，求 m 的值；（2 分）（3）若该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方，求 m 的取值范围．（3 分） 19．（8 分）如图，某水库的水位 y（m）随时间 t（h）的变化情况如图中折线所示，其中 0～4 h 水位上升，4～10 h 水位保持不变，10～12 h 水位下降．（1）求 0～4 h 与 10～12 h 两段水位变化的函数表达式；（4 分）（2）求这一天中水位不低于 29 m 的持续时间．（4 分） 20．（8 分）如图，直线 l₁：y＝x＋1 与直线 l₂：y＝−2x＋4 交于点 C，l₁ 与 x 轴交于点 A，l₂ 与 x 轴交于点 B．（1）求点 A、B、C 的坐标；（4 分）（2）求 △ABC 的面积．（4 分） 21．（10 分）如图，小明从家骑自行车前往图书馆，他离家的距离 s（m）与所用时间 t（min）的关系如图中折线所示，其中 0～6 min 匀速前进，6～10 min 原地停留，10～14 min 继续匀速前进后到达图书馆．（1）求 0～6 min 与 10～14 min 小明的骑行速度；（4 分）（2）求 6～10 min 内 s 与 t 的函数表达式，并说明此时小明的运动状态；（3 分）（3）求小明从家到图书馆全程的平均速度（结果保留一位小数）．（3 分） 22．（10 分）如图，某复印店的两种收费方案如图所示：方案一每月固定收费 20 元，另按每页 0.2 元收费；方案二不收固定费用，按每页 0.3 元收费．设每月复印 x 页，按方案一、方案二应付费用分别为 y₁、y₂（元）．（1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 的函数表达式；（3 分）（2）每月复印多少页时两种方案收费相同？（3 分）（3）若每月需复印 300 页，选用哪种方案更省钱？能省多少元？（4 分） 23．（11 分，第（1）问 3 分，第（2）问 4 分，第（3）问 3 分）某市实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 20 吨时，每吨 2 元；超过 20 吨时，超过的部分每吨 3 元．设某户某月用水量为 x（吨），应交水费为 y（元），其函数图象如图所示．（1）分别写出 0≤x≤20 与 x＞20 时 y 与 x 的函数表达式，并说明图象在 x＝20 处为什么是连续的；（3 分）（2）某户某月交水费 76 元，求该户这个月的用水量；（4 分）（3）若某户某月用水 30 吨，求应交水费．（4 分） 24．（11 分，第（1）问 3 分，第（2）问 4 分，第（3）问 4 分）如图，直线 l₁：y＝2x−4 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B；直线 l₂：y＝−x＋5 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P．（1）求点 A、B、C 的坐标和交点 P 的坐标；（3 分）（2）求 △BPC 的面积；（4 分）（3）点 Q 是 x 轴上的一个动点，若 △ABQ 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标．（4 分） 25．（12 分，第（1）问 3 分，第（2）问 3 分，第（3）问 6 分）如图，直线 l₁ 与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 (−2,0)，直线 l₂ 与 y 轴交于点 B、与 x 轴交于点 (4,0)，两直线交于点 C．已知 A(0,2)、B(0,8)、C(2,4)．（1）分别求直线 l₁、l₂ 的函数表达式；（4 分）（2）点 P 是直线 l₂ 上的一个动点，若 △ABP 的面积等于 12，求点 P 的坐标；（4 分）（3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，当 △BPQ 是以 BP 为底的等腰三角形时，求点 Q 的坐标．（6 分） 学科网（北京）股份有限公司 $