专题12 幂的混合运算问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题12 幂的混合运算问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、幂的混合运算 题型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 题型三、逆用幂的相关公式求值 题型四、利用幂的乘方比较大小 题型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方混合出现，常含负指数与零指数，考查运算顺序与法则辨析。 - 解题方法：先算括号内，再算幂的乘方与积的乘方，最后同底数幂乘除；零指数a0=1（a≠0）；负指数化正（a−n=）；系数与字母分别运算。 - 易错提醒：混淆同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）；积的乘方漏乘系数；负指数结果符号处理错误；忽略零指数底数不为零的条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、幂的混合运算 典例1 （2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型模版 1.特征：含同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等混合运算，需按法则顺序进行。 2.方法：先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂乘除，最后合并；注意符号与指数相加、相乘规则。 变式1-1（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运算顺序：先算积的乘方，再算同底数幂乘法，最后做同底数幂除法； （2）先分别计算同底数幂相乘、积的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-2（25-26七年级下·重庆长寿·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项； （2）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-3（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，单项式除以单项式，合并同类项等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （2）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （3）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可； （4）先进行幂的乘方和同底数幂的乘法，再进行同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 典例2 （26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型模版 1.特征：含零指数（a0=1，a≠0）和负整数指数（a-n=），需转化后计算。 2.方法：先化负指数为正指数倒数、零指数为1，再按幂的运算法则进行乘除与加减，注意底数非零。 变式2-1（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，包含负整数指数幂、零次幂、绝对值化简、立方根四个基础考点，逐项化简后合并计算即可． 【详解】解：原式 变式2-2（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）计算 【答案】 【分析】先计算乘方、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再进行加减法运算即可． 【详解】解： ． 变式2-3（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型三、逆用幂的相关公式求值 典例3 （26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）根据条件求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的运算法则变形所求式子，代入已知条件计算； （2）统一式子底数，提取公因式后化简求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴． 题型模版 1.特征：已知幂的值或幂的等式，逆用同底数幂乘除、幂的乘方公式求指数或代数式值。 2.方法：将已知等式化为同底数，比较指数列方程；或逆用 am+n=am·an等公式变形求值。 变式3-1（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把变形为，代入求值即可； （2）把变形为，根据已知得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 解得． 变式3-2（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果， 求的值； (2)已知， ，用含， 的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式左侧的幂统一为以3为底的同底数幂，合并后根据题给结论列方程求解x； （2）将拆分为5和6的乘方之积，利用幂的乘方逆运算变形后代入m、n的表达式. 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； （2）解： ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴. 变式3-3（26-27八年级上·全国·单元复习）逆向运用幂的运算可以得到：，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)________； (2)若，的值是________． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用积的乘方逆用即可简化计算. （2）根据，逆向运用幂的运算法则将转化为，继而得到关于的方程，解方程即可得到答案． （3）根据，逆向运用幂的运算法则将转化为相同次幂的数，进而比较底数的大小即可得到答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：， ， ，解得； 故答案为：； （3）解：由题可知，，，， ， ， ． 题型四、利用幂的乘方比较大小 典例4 （25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 【答案】 【分析】根据题干给出的解题思路，将两个数转化为指数相同的幂，通过比较底数的大小即可得到结果． 【详解】解： 已知 ， ，观察指数可知，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ， 即 . 题型模版 1.特征：比较几个幂的大小，底数或指数不同，需化为同底数或同指数后比较。 2.方法：化为同底数比较指数（底数>1时指数大者大）；或化为同指数比较底数，注意底数正负与0、1关系。 变式4-1（25-26七年级下·山东青岛·期中）比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成底数为2的数，然后再比较即可； （2）将，，化成指数为13的数，然后再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 变式4-2（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 变式4-3（25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料1的方法，化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小，即可求解； （2）根据材料2的方法，化为底数相同的幂的形式，再比较指数的大小，即可求解； （3）分别化为，，即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 题型五、与幂的运算有关的新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·江苏扬州·期末）对于有理数，定义一种幂的新运算：，其中，是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)97 (2) 【分析】（1）按照题干定义的运算法则计算即可； （2）由题干定义的运算法则得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由，得， 即， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：定义新的幂运算规则（如a*b=ab），按规则求值或化简，重理解与迁移。 2.方法：将新定义转化为幂的运算，代入数值或字母，运用同底数幂、幂的乘方等法则化简求值。 变式5-1（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式5-2（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 变式5-3（25-26七年级下·江西景德镇·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)①5；3  ② (2)，理由如下： 设，，则，， ， ，即； (3) 证明：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①②根据“雅对”定义解答即可； （2）设，，仿照题干所给例子解答即可； （3）由已知得出，，整理可得结论． 【详解】（1）解：①，； ，； ②，，； （2）略； （3）略． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、， B、， C、无法合并，不等于， D、， 故选：D． 2．（云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再根据同底数幂的除法法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = = ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏·假期作业）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 【答案】 27 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，则，再根据可得答案； （3）可求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得答案； （2）先化简绝对值、计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 16．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若，，用含a的代数式表示b． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算将原式化为，根据同底数幂的乘除法运算法则得到，再解方程即可； （2）由条件可得，再由平方根的定义求解a，由幂的乘方逆运算得到，再求解b，即可求解的值； （3）先将转换为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：，， ，， ，， ， 或； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12幂的混合运算问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、幂的混合运算 题型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 题型三、逆用幂的相关公式求值 题型四、利用幂的乘方比较大小 题型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方混合出现，常含负指数与零指数，考查运算顺序与法则 辨析。 -解题方法：先算括号内，再算幂的乘方与积的乘方，最后同底数幂乘除；零指数a°-1（ā≠0）；负指数 化正(a" a)；系数与字母分别运算。 ·易错提醒：混淆同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）；积的乘方漏乘系数；负指数结果 符号处理错误；忽略零指数底数不为零的条件。 刁题型归纳一精诗来型道法，务失解题根透 题型一、幂的混合运算 典例1 (2026七年级上全国专题练习)计算： 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (+((2y; ②a+3a-2)-(a+a2)*a 题型模版 1.特征：含同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等混合运算，需按法则顺序进行。 2方法：先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂乘除，最后合并；注意符号与指数相加、相乘规则。 变式1-1(26-27八年级上福建泉州阶段检测)计算： -2d2(-a2）÷ad. ②rx-x+x+3x 变式1-2(25-26七年级下·重庆长寿阶段检测)计算 )xr-(2x}+x"÷x2 ②3x-2(xx+x"x5+”x 变式1-3(25-26六年级下全国课后作业)计算下列各题： 03x÷x-x 2(-a'd-(3ay÷a 8rd+2a-3a÷d: ④2a-ad2.d3+2a}÷d 题型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 典例：(2627九年级上云南曲请阶段检测别计算。--(226-小++(-2 题型模版 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1特征：含零指数(a1,a≠0)和负整数指数(a), 需转化后计算。 2方法：先化负指数为正指数倒数、零指数为1，再按幂的运算法则进行乘除与加减，注意底数非零。 变式2-1(26-27九年级上湖南长沙阶段检测)计算： 2 +(-2026)°+2-v3-27 变式22(2627九年级上用龙江齐齐哈尔阶段检测计2+2026-5-4()° 变式2-3(26-27九年级上湖南长沙阶段检测)计算： m+-7+5-2 题型三、逆用幂的相关公式求值 典例3(26-27八年级上福建泉州阶段检测)根据条件求值： (1)已知a=3,a=4,求a3”的值： (②)已知9-32”=72，求n的值. 题型模版 1特征：己知幂的值或幂的等式，逆用同底数幂乘除、幂的乘方公式求指数或代数式值。 2方法：将已知等式化为同底数，比较指数列方程；或逆用a+=aa”等公式变形求值。 变式3-1(26-27八年级上·河南南阳阶段检测)根据已知条件求值. ()已知a”=4,d=8,求am2”的值： (2②)已知3×9×81=3，求x的值. 变式3-2(26-27八年级上甘肃天水阶段检测)若a"=d”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n. 利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果3×9×27=326，求x的值： 3/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知m=6,n=5°，用含m,n的式子表示302 变式33(26-27八年级上全国单元复习)逆向运用幂的运算可以得到：a+"=a”a”,am”=a”÷a”, a"=(a”,ab”=(b).在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解 2026 050 (2)若3×9"×27m=3,m的值是 (3)比较大小：a=25,b=3,c=5,d=62,则a,b,c,d的大小关系是什么？ 题型四、利用幂的乘方比较大小 44,433 典例4(25-26七年级下甘肃张掖期中)某同学在比较 的大小时，发现44,33都是11的倍数，于 是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小. 解：因为3=(3"=81"，4=(4=64 所以811>644 34>433 即 请根据上述解题思路完成下题：若0=2心，6=3“ 试比较a,b的大小. 题型模版 1.特征：比较几个幂的大小，底数或指数不同，需化为同底数或同指数后比较。 2方法：化为同底数比较指数（底数>1时指数大者大）；或化为同指数比较底数，注意底数正负与0、1关 系。 变式4-1(25-26七年级下山东青岛期中)比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法：一种是将幂 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式.例如： ①比较43和2的大小 解，因为4=2=2,2乎<2， 所以43<28」 ②比较3°和25的大小 解：因为3”=(3=9,25=(2-8.9>8. 所以310>215 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较8”和32的大小： (2)已知a=22,b=3”,c=526,试比较a,b,c的大小. 变式42(25-26七年级下·北京延庆期中)阅读下面材料： 材料一：比较2和8的大小 材料二：比较3”和4"的大小 解：因为8=(2=2，且8>6，所以2>2，即 解：因为4”=(2”=2”，且3>2，所以3>2， 28>82 即32>4 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小， 来确定两个幂的大小 来确定两个幂的大小. 解决下列问题： (1)比较20,4°0,826的大小： (2)比较32”，45,5°的大小. 变式43(25-26七年级下·江苏镇江·期中)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较32和4的大小. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：4"=(2)八"=22且3>2,30>2，即3>4 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较3和27的大小. 解：27=(3=3且9>8,3>38，即27> 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. 【方法运用】 (1)比较2和3的大小. (2)比较278和9的大小. (3)比较7”×5与7×5的大小. 题型五、与幂的运算有关的新定义型问题 典例5 (25-26七年级下·江苏扬州期末)对于有理数a,b定义一种幂的新运算： aOb"=(ab)m+(a+b)m ，其中m,”是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： 求（o3 的值： (2)若2⊙2+1=80，求x的值. 题型模版 1.特征：定义新的幂运算规则（如a*b=a),按规则求值或化简，重理解与迁移。 2方法：将新定义转化为幂的运算，代入数值或字母，运用同底数幂、幂的乘方等法则化简求值。 变式5-1(25-26七年级下江苏泰州期中)对于整数a、b定义运算： a⑧b=(d)”+(b（其中m、n为 常数)，如4®3=(4）”+(3) 0填空：当m=2,n=2025时， 2⑧(-1)= 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若1⑧4=7,2⑧2=18，求42m-"的值. 变式5-2(25-26七年级下全国·周测)新定义：两数“，b之间的一种运算记 a,,若a=b,则 (a,b)=m 为“雅对”.例如：因为2=8，所以28)=3 （a,b) 我们称 103,9)= ②若56=0，(59)=6，(554)=C,探充“，b,·之间的数量关系 变式53(25-26七年级下江西景德镇期中)规定两数“，b之间的一种运算，记作a,0),如果d=b, 那么a）=c.我们ma为“雅对”，例如：2-8，（么8）-3 我们还可以利用“雅对”定义证明 等式83到+(3,5)=(3,15) 成立，证明如下： 段=m.(列=n,则3”-3，=53-”35-15 (B,15)m+n即3,3+(B,5)=(B,15) ①根据上述规定，填空：@232)=—，（3-27)=—。 则x= (2)计算： (2,3)+(2,5)= ,并说明理由. 6)记2,6)=a.（2,12)=b2,24)=c 求证：a+c=2b 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一文克满障压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级上·吉林·月考)下列各式运算结果为α°的是() A.ata B.a2.a C.a+a D.(a月 2.(云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题)下列运算中正确的是() A.x2.x3=x0 B.m+m=m c.（y2）}=xy D.-r÷(-x=x 3.(25-26八年级上内蒙古呼伦贝尔月考)已知3x+5y-4=0,则832”的值为() A.8 B.16 C.32 D.64 王25-26八年级上全国期末)若a=2,b=22,0=(2)，4=号 则() A.b<a<d<c B.a<b<d<c C.a<c<b<d D.a<b<c<d 5.(2526八年级上全国月考)已知48=2021,47-2021，则[(-01-]=() A.1 B.2021 C.-1 D.22021 二、填空题 6.（25-26九年级上上海静安期末)计算：（a+a= 12025 7.(25-26七年级上上海期中)计算： 8.(25-26七年级上江苏假期作业)若a=25,b=3“,c=5,d=62,则a,b,c,d的大小关系是- 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .（提示： x>y>0 x”>y"、 ,n为正整数，那么 ?.(2425七年级上~上海黄浦月考)若等式+8)”1成立，则的值为 10.(25-26八年级上福建厦门期末)计算：（山(2ab)=,-2(-) (2)若5°=12.55=1 10,则3÷30的值为 (3)已知x-3=2,x4=5,x州=10，则a,b,c三者之间的数量关系是 三、解答题 1.(2425七年级上上海黄浦月考)计算：（-2)+（π-3）°+2 12.(25-26八年级上河北廊坊月考)计算： ①a3+2a-(-a÷(a2} a2(ay-a2.a+(-2a}÷a 13.(25-26八年级上全国期末)计算： (①2m43m2-(2m2）+m3÷m a+(-产-314-( 14.(25-26八年级上四川巴中·期中)计算下面各题： (1)已知10°=3,10=5，求10-的值： 3b-4a (2②)己知47°=27,4230=81，求b的值. 15.(24-25七年级下全国周测)定义一种幂的新运算：x田x=xb+x.如： 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3⊕32=32+3+2=32+33=9+27=36 请利用这种运算规则解决下列问题： (1求2©2的值. (2)若2”=3,29=4,29=9，求2”⊕29的值. 16.(25-26八年级上·吉林长春周测)阅读：已知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的幂也大， 若对于同指数，不同底数的两个幂a和c,当a>c时，则有a”>c,根据上述材料，回答下列问题. (1)比较大小：520 420(填写>、<或=)· (2)比较23与32的大小（写出比较的具体过程）. (3)计算：42025×0.252024-82025×0.1252024 17.(2025七年级上全国专题练习)尝试解决下列有关幂的问题： (1)若9×27m÷9=36,求的值： (2)若2=a2=4,求a+b值； 3)若a=3-1,b=9+3,用含a的代数式表示b. 18.(25-26八年级上·辽宁大连期末)著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式， 变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”， 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当，n都是正整数. ①若a>l,当m=n时，a"=a；当m>n时，am>a”；当m<n时，a"<a ②若a>0,b>0,当a=b时，a"=b"；当a>b时，a">b":当a<b时，a"<b". 【理解知识】例如： ①若4=20，求x的值. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：法一：4=(2=2…22=202x=10x=5 法二：20=(2=44=4x=5 ②比较20与320的大小. 解：2”=(2）”=8,3”=(6)°-90,8<9,2<3m 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题， (1)若2×8”=2°，求x的值. (2)比较32与9的大小. ③定义两个正教a,b之间的种运算，记作a,如果口=b,那么a小m,例如：2=82，]=3 2+4g]商位 11/11