2026-2027学年人教版九年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年人教版九年级数学上册期中测试卷 测试范围：第25章一元二次方程~第27章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.若x=m是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，则m2+m+2026=() A.2024 B.2026 C.2028 D.2030 2.下列函数中，y是关于x的二次函数的是() A.y=ax+bx+c B y=x+1 C.y=r2+2x-1 D.y=3x 3。在平面直角坐标系中，将二次函数”=的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移 2个单位长度，所得抛物线为() A.y=(x-2)}2+3 B.y=(x+2}2+3 cy=(x+2)2-3 D.y=(x-2}-3 4,生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 210件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是() A.(x+1)=210 B.x(x-)=210 x(x+）=210 x(x--210 C.2 D.2 5.对于任意实数a、b定义一种新运算：a⑧b=ab+a-b,例如2⑧1=2×1+2-1=3，若 x⑧(x-3)=7 ,则x的值为() A.-1或3 B.-1或4 C.1或-3 D.1或-4 6如图是=次函数y=m+bxa,b是常数的图象，则关于反比例函数y=a+力 x的性质， 下列叙述正确的是() 试卷第1页（共3页） A.y随x的增大而减小 B.y随x的增大而增大 C.图象在第二、四象限 D.图象在第一、三象限 7.已知，点4(m,m在反比例函数y=一的图象上，下列判断正确的是() A.若n>-2,则m>1 B.若n<-2,则0<m<1 C.若n>2,则m<-l D.若n<2,则m<-1 8。抛物线)=+r+C的对称轴是直线x=-1且过点L0 ，其部分图象如图所示，给出 以下判断：①abc>0:②b2>4ac:③9a-3b+c>0:④4a+c>0:⑤ am2+b(m+1)<a(m≠-1) 其中正确的有() X三一 A.①②⑤ B.①③④⑤ C.①②④⑤D.②③④⑤ 9、若反比例函数y x的图象如图所示，则一次函数y=cx-a和二次函数y=ar2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 试卷第2页（共3页） 专 D 10.如图，在平面直角坐标系中，直线 =+6(k>0)与抛物线=×相交于A,B两 点，己知C,D两点在抛物线上，且CD∥AB,C,D两点的横坐标分别为m 、n(m<n) ,以下说法正确的是() 0 A.若点A的坐标为-2,4)，则点B的坐标为3,4) B.若点A的坐标为2，)，P为线段B下方抛物线上一个动点，作PQ1 B,交 MB于点2.侧P2的最大值是35 PO C.若k=2,则m+n=4 试卷第3页（共3页） D,若k=2,当m≤x≤n时，函数y=(-h总在=n处取得最大值，则h≤1 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 1.用配方法解一元二次方程-8x+4=0时，将它化为(x+m=n 的形式，则m+n= 12如图，抛物线'=+r+e 的对称轴为直线=1，点P,点P是抛物线与轴的两个 交点，若点P的坐标为 4,0 ,则点P的坐标为 6 13.如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，反比例函数y=一与一次函数 y=+4为常数)交于点A(3,-2)和点B(-1,6).则关于x的不等式 6>c+4的解集为 14,如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，函数'=mx(m>0)与函数 y=(k>0)交于A、B两点点C在x轴上，且AC=A0,若S.=12,则k的值为 试卷第4页（共3页） 15.如图，一次函数y=-2x+5的图象交x轴于点A,交y轴于点B,点P在线段AB上 (不与A,B重合)，PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C. B y=-2x+5 (1)则CD的最小值为 (2)当0C= 时，矩形OCPD的面积为2. a(a≥b) 16.定义： max a,b= b(a<b).若函数y=max{-x-1,x2-2x-3},则该函数的最小值为 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(8分)解下列方程： 0)2x-P=9 (2)r-4=0 (3)2x2-5x+1=0: x2-2x-5=0 (4 18.(8分)廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，己知抛 物线的函数表达式为 y=心+10，AB长40米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 试卷第5页（共3页） AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯. (1)求二次函数表达式： (2)求这两盏灯的水平距离EF, 19.(8分)在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻 的关系”.他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压0（伏特）不变，通过更换不同的定 值电阻R(欧姆)，记录下对应的电流表读数I(安培).已知该电路允许的最大电流为1.5安 培.记录的数据如下表所示： 电阻R(欧姆) 15 20 30 50 电流I(安培) 1.00 0.75 0.50 0.30 ()根据表中的实验数据，可以将电流I与电阻R看成 函数关系，其函数解析式为 (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为8欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是 否安全（即电流是否会超过电路允许的最大值1.5安培）？如果不安全，接入的电阻最小应为 多少欧姆？ 20.(8分)如图，抛物线’=r+m与直线’=-x+h交 交于点4，B- ,且点A在”轴 上 (1)求m和b的值： (2)结合图象写出关于x的不等式x2+mx>-x+b的解集. 试卷第6页（共3页） 21.(8分)如图，一次函数y=c+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于4L,6), B(3,m两点 (I)求反比例函数和一次函数的关系式： (2)求△AOB的面积： 3)根据图象，直接写出不等式c+b> x的解集」 22.(8分)操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方， 用4个长为x+2,宽为x,面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的 面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：(x+x+2=4×24+2 r+2 比 24 24 x+2 22 r+2 24 24 x+2 图1 图2 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：？+5x+3=0,变形为 (x+5)=-3 没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是(a+)=4b+(a-b 模型，于是有了另一种方法，设 试卷第7页（共3页） 「ab=-3 x=a,x+5=b,则有a-b=-5,(a+b}=4x(-3)+(-5},(x+x+5}=13,配方成 功，从数到形，又从形回归到数。 【模仿实践】 (1)仿例题配方解x2+5x-14=0,先变形为. 一，如图2，每个小长方形的长为 宽为 利用图形的面积关系得配方后的方程为」 解为 (2)请你用小聪的方法配方解x2-7x+2=0,写出解题过程. 23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B,D的坐标 分别为 B(1,0)D3,3) B (1)点C的坐标是一： (回法过点的反比例眉数y-生0的图家经过直线AC上的点G:且点E的坠标为 (2,m ,求m的值及反比例函数的解析式： (3)若(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点F,连接EF,在直线AB上找一点P, 使得△EFP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标. 24.(12分》如图，抛物线y=(x-1+4与精交于点A,B,与轴交于点C,过点 C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BC,BD,己知点A的坐标为 （-1,0) 试卷第8页（共3页） D D B A B O 备用图 (1)求该抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在一点E,使得∠DBE=90°，若存在，求出E点坐标，若不存在，请 说明理由、 (3)在抛物线上是否存在一点P,使△PBC的面积与△DBC的面积相等？若存在，求出点P 的横坐标：若不存在，请说明理由. 试卷第9页（共3页） 2026-2027学年人教版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第25章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若是一元二次方程的一个根，则（     ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【分析】利用方程根的定义求的值，整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的根． ． ． ． 2．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、未明确，当时不含二次项，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意； C、中的最高次数为2，且二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； D、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】向上平移个单位得，再向右平移个单位得． 4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 5．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 【答案】B 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据新运算定义，， 移项得， 因式分解得， 解得或． 6．如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【答案】C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 7．已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到与的关系，再根据给定的的范围推导的范围，对选项逐个判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，则，即，， A：若，当时，，不满足，A错误，不符合题意； B：若，则，不等式两边同乘得， ∴， ∵， ∴，即，B正确，符合题意； C：若，则， ∵， ∴，两边同乘可得，即，不满足，C错误，不符合题意； D：若，当时，，不满足，D错误，不符合题意． 8．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 9．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出直线解析式为，然后联立，解出方程组从而可判断；直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点，则，所以，可证，然后通过勾股定理得，设，则，所以，然后求出的最大值即可求出的最大值，从而判断；设直线解析式为，联立，则有，然后通过一元二次方程根与系数的关系可判断；由，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，根据题意可得，则有，从而判断． 【详解】解：、∵直线的图象经过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴，故此选项错误； 、∵点的坐标为， ∴由上得直线解析式为， 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点， ∴， 由直线解析式为得，令，则；令，则，解得； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为， ∴的最大值是，故此选项错误； 、∵， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 联立， ∴， ∵，两点的横坐标分别为， ∴，故此选项错误； 、由上得， ∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， ∴函数总在处取得最大值，则， ∴，故此选项正确． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 【答案】8 【分析】将原方程移项、配方化为的形式，得到和的值，计算即可． 【详解】解： ， ， ， 整理得， 对比，可得 ，， 因此． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】抛物线与轴的两个交点、关于其对称轴（直线）对称，利用中点坐标公式由已知交点即可求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点， 、关于对称轴对称． 设，则与的中点横坐标为， 由对称轴为直线得，解得， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 【答案】6 【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，从而求得的面积；利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】∵ 函数与函数交于A、B两点， ∴ 点A和点B关于原点对称， ， ， 过点A作轴于点E（如下图）， ， ， ， 又∵ 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， ， ． 15．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与A，B重合），于点于点C． （1）则的最小值为___________． （2）当___________时，矩形的面积为2． 【答案】 2或 【分析】（1）根据矩形的判定得出四边形为矩形，连接，过点O作，得出当即时，取得最小值，利用一次函数解析式得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解； （2）设，得出，确定，再由矩形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵于点于点C，， ∴四边形为矩形， 连接，过点O作，如图所示， ∴， 当即时，取得最小值， ∵， ∴当时，； 当时，； ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时取得最小值， ∴的最小值为； （2）设， ∴当时，， ∴， ∴， ∵矩形的面积为2， ∴， 解得：或， ∴或． 16．定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 【答案】 【分析】先求解两个函数表达式相等时的自变量取值作为分界点，逐段确定对应的函数表达式，结合一次函数、二次函数的增减性求出各段的最小值，比较后得到整个函数的最小值． 【详解】解：令， 移项整理得， 因式分解得， 解得，． 分区间讨论函数取值： 当时， ∵， ∴， ∴此时， ∵一次函数中，的系数为，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，代入得； 当或时， ∵， ∴， ∴此时， 将二次函数配方得，开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴时，； 当时，函数在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴时，， 综上，该函数的最小值为． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 直接开平方，得 或， 解得； （2）， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （3）， 其中， ∴， ∴， ∴； （4）， 移项、配方得：， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，长40米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯． (1)求二次函数表达式； (2)求这两盏灯的水平距离． 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解:∵抛物线的函数表达式为，长40米， ∴将代入抛物线解析式， ∴， ∴, ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， , ∴（米）． 答：这两盏灯的水平距离为米． 19．（8分）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 【答案】(1)反比例，． (2)不安全（此时电流为安培，超过安培）；接入的电阻最小应为欧姆． 将代入， 得（安培）． ， 接入欧姆电阻时电流超过电路允许的最大值，不安全． 若电流不超过安培，则， 解得． 接入的电阻最小应为欧姆． 【分析】（1）由与的乘积为定值判断二者成反比例函数关系，并用表中数据求出，得解析式； （2）将代入解析式算出电流，与安培比较判断安全性，再由反求最小电阻． 【详解】（1）解：电压保持不变， 电流与电阻的乘积为定值，即与成反比例函数关系． 取表中时，得（伏特）． 函数解析式为． （2）略 20．（8分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数关系式：；一次函数的关系式： (2)8 (3) 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：当时，解得， 即， ， ； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 22．（8分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)， 【分析】（1）先把方程变形为，确定长方形长、宽，再利用面积关系列出，开方求解得到方程的两个根． （2）先把方程变形为，设，得到，套用得到，开方算出的值． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解得，． （2）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质解答即可求解； （2）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （3）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由（2）知， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为,代入、 得 解得： ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， 当时， 、、三点共线，不能构成三角形，舍去， ∴； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴；且不在直线上. 综上，点的坐标为或． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $