期中培优：二次函数的图像与性质、由二次函数的图象判断式子符号、二次函数中的最短路径问题 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：二次函数的图像与性质、由二次函数的图象判断式子符号、二次函数中的最短路径问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 由二次函数的图象判断式子符号 二次函数中的最短路径问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 例4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）二次函数，当时，二次函数的最大值是，则的值是_________ 例5．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 变式1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线，下列说法中错误的是（     ） A．该抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点为 D．在对称轴右侧，图像是上升的 变式2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式4．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 变式5．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在二次函数中． (1)若它的图像过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 考点二 由二次函数的图象判断式子符号 例1．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 例4．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 变式1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 变式3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 变式4．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 考点三 二次函数中的最短路径问题 例1．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 变式2．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中培优：二次函数的图像与性质、由二次函数的图象判断式子符号、二次函数中的最短路径问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 由二次函数的图象判断式子符号 二次函数中的最短路径问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线. ∴当时，随的增大而增大. ∵关于对称轴的对称点为，且， ∴，即． 例2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 例3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 【答案】C 【详解】已知抛物线解析式为，， 则的开口向下，有最大值3， 故选项B、D错误． 的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，C正确． 例4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）二次函数，当时，二次函数的最大值是，则的值是_________ 【答案】或4 【分析】由可得对称轴为直线，开口向上，再根据与对称轴的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， ∴①当，即时，在上，随的增大而增大， ∴时，取得最大值，此时， 解得，， ∵，不符合，舍去， 符合， ∴； ②当，即时，在上，时，取得最大值， 同理①可得，，， 均不符合，舍去； ③当，即时，在上，时，取得最大值，即， 解得，， 均不符合，舍去； ④当，即时，在上，随的增大而减小， ∴时，取得最大值，即， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，的值是或4． 例5．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据待定系数法代入已知点的坐标，即可得到该抛物线的表达式； （2）将该二次函数的表达式转化为顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 变式1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线，下列说法中错误的是（     ） A．该抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点为 D．在对称轴右侧，图像是上升的 【答案】D 【分析】利用抛物线顶点式中、、的几何意义解题． 【详解】解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； 该抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，故B、C正确； ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小，图象下降，D错误． 变式2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为． 变式3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将，，代入算出结果，进行比较即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ，，， ， ． 变式4．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线，在和之间，可确定的最大值在处取得，再求出和时的值，可得出的最小值，即可确定的范围． 【详解】解：由二次函数得，二次项系数，抛物线开口向下，且， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 变式5．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在二次函数中． (1)若它的图像过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）将点代入中，即可求出的值； （2）先求出抛物线的对称轴为，且开口向上，得到抛物线的增减性，结合当时，的最小值为，即可求得的值； （3）根据已知条件可求得对称轴为直线，于是，由得到，由两点的坐标可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，根据已知条件，可知点可能在对称轴左边，也可能在对称轴右边，分两种情况分别求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得 ， 解得． （2）解：抛物线的关系式为：， 对称轴为直线， 若，当时，函数有最小值， 此时， 或（舍去）， 当时，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， 当时，函数有最小值， 此时， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为． （3）解：， 均在此二次函数的图像上， 则对称轴可表示为直线， 对称轴为直线， ， ， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ， ，即， 点在抛物线上， 当在对称轴左侧时， ，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， ， ， 解得， 此时满足的条件为． 当在对称轴右侧时， 在对称轴的左侧，且， 点到对称轴直线的距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得， 此时满足的条件是， 综上所述，的取值范围是或． 考点二 由二次函数的图象判断式子符号 例1．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 例2．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，①正确，②正确； ∵当时，， ∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为， ∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 例3．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 例4．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【答案】③④ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置，确定的符号及数量关系，结合对称性求出另一交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ，故①错误． 对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点为， 当时，，故②错误． ， ， ，故③正确． ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． 变式1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、与坐标轴交点、对称轴得到，，，进而判断四个结论的正误. 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为， 从图中可以看到，交点在轴正半轴， ，正确； 由图象可得，抛物线开口向下，即， 由对称轴公式：， ，即， ， ，错误； ，， ，正确； 当时，代入函数得， 从图象上看，这个点在抛物线上位于轴上方，此时， 即：，正确. 变式2．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 变式3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值、对称轴、与坐标轴的交点以及直角三角形的存在性等知识点；解题的关键是利用二次函数的对称性和性质，结合代数运算与几何条件进行推理判断． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线，顶点在第二象限． ①当时， 抛物线开口向下，顶点在处取得最大值， ， 即，此结论正确． ②若且， 则， ， ， ， 又， ， 代入得， ， ，此结论错误． ③若，，，点坐标为， 对称轴， ， ，即， 将代入，得 ，即， ， ， ， ，此结论正确． ④若，， 对称轴， ， 设抛物线解析式为， 代入，得， ， ， 设， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，此结论正确． 综上，①③④正确． 变式4．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 【答案】 ②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴的位置判断的符号及与的数量关系，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合时的函数值及的关系式进行推导判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线，且， ， ，故①错误； ， ，即，故②正确； 观察图象可知，当时，图象在轴下方， ，故③正确； 由②可知， 将其代入 中， 得，整理得 ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 考点三 二次函数中的最短路径问题 例1．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或； (3)和的最小值为， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求得点B坐标，进而求得，设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可； （3）根据抛物线的对称性得到，则，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为；求得直线的函数解析式为，求出当时的y值即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，，，， ∴满足条件的点P的坐标为或或或； （3）解：∵点A和点B关于对称轴对称，点M在对称轴上， ∴， ∴，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为； 如图， 设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为． 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 变式2．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及轴对称中最短路线问题， （1）分别求出当时及当时，y值及x值，即可得出交点坐标； （2）根据点A、B关于对称轴直线对称，得出点P为与对称轴的交点，进而求出最小值，再求出直线表达式从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $