专题06 反比例函数解答题12大压轴题型50题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版
|
2份
|
140页
|
92人阅读
|
1人下载
内容正文：
专题06反比例函数解答题（压轴专练）
基础·固本强基
题型1反比例函数解答题中面积问题（重点）
题型2反比例函数中面积比值或倍数关系（重点）
提升·进阶突破
题型3平移直线与反比例函数交点问题（重点）
题型4反比例函数解答综合之求点坐标
拔高·压轴破难
题型5存在性问题-等腰三角形（重难点）
题型6存在性问题-直角三角形（重难点）
题型7定点定角、动点在曲线上的定角存在性问题（难点）
题型8存在性问题-平行四边形问题（难点）
题型9存在性问题-菱形问题（难点）
题型10存在性问题-矩形问题（难点）
题型11存在性问题-相似问题（难点）
题型12一次函数与反比例函数综合新定义类（难点）
基础·固本强基
题型1反比例函数解答题中面积问题（共5小题）
【模型】坐标割补面积模型：外包规则图形面积减去周围直角三角形面积，结合k的几何意义【步骤】①求出相关点的坐标；②构造外包矩形或梯形；③用总面积减去多余三角形面积；④化简计算出图形面积
【易错】坐标转化线段长度忘记加绝对值；三角形底、高对应找错
1．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，直线 与双曲线 交于点 ，．
(1)反比例函数解析式______，直线 解析式______；
(2)若 时， 的取值范围______；
(3)求 的面积．
2．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
3．（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
4．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
5．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求的函数解析式；
(2)求的函数解析式；
(3)求的面积．
题型2反比例函数中面积比值或倍数关系（共5小题）
【模型】面积比例传递模型：利用同高面积比等于底之比、同底面积比等于高之比，结合\(|k|\)固定面积转化
【步骤】①找到共底或者共高的两个图形；②写出线段的比例；③转化为面积倍数关系；④列式求解参数
【易错】分不清是同底还是同高；比例前后项颠倒
6．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)若点在线段上，且，求点的坐标．
7．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且．
(1)______，______；
(2)满足不等式的x的取值范围是______；
(3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围．
8．（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为．
(1)直接写出反比例函数解析式为 ；
(2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ；
(3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且．
(1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）；
(2) ， ；
(3)满足不等式的x的取值范围是 ；
(4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值．
10．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求的面积；
(2)若为线段上一点，且，求点的坐标．
提升·进阶突破
题型3平移直线与反比例函数交点问题（共4小题）
【模型】直线平移模型：平移时斜率k不变，只改变截距；联立方程判别式判断交点个数
【步骤】①写出平移后一次函数解析式；②和反比例函数联立；③根据判别式判断交点情况或者求交点；④回代求参数
【易错】直线平移截距加减搞反；联立后整理一元二次方程出错
11．（26-27九年级上·福建福州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，的值；
(2)连接，，求的面积；
(3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值．
12．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与双曲线交于，两点．
(1)求和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
13．（2026九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由．
14．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，是直线和双曲线的两个交点．
(1)求直线和双曲线的函数表达式．
(2)过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式．
15．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
(1)________；________；
(2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标；
(3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标．
题型4反比例函数解答综合之求点坐标（共5小题）
【模型】坐标转化方程模型：利用函数关系式、线段相等、面积条件建立方程求横坐标、纵坐标
【步骤】①设目标点坐标；②结合题干条件列出等式；③解方程；④检验点是否在对应函数图像上
【易错】解方程得到增根，不检验直接保留；坐标符号判断出错
16．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为．
(1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小；
(2)求双曲线的解析式及的值；
(3)求点的坐标．
17．（26-27九年级上·北京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标．
18．（26-27九年级上·全国·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，且点A的坐标为．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)若将直尺放置在图象上，直尺的一边经过点A，O，直尺的另一边交y轴正半轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若点C的横坐标为，求点B的坐标．
19．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标．
20．（26-27九年级上·全国·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标．
拔高·压轴破难
题型5存在性问题 - 等腰三角形（共5小题）
【模型】两圆一线模型：以定线段为腰画两圆，以定线段为底作垂直平分线，三类情况
【步骤】①确定两个定点坐标；②分三类情况讨论；③两点间距离公式列方程；④解方程求动点坐标；⑤检验点在双曲线上
【易错】漏掉其中一种等腰分类；求出坐标后不检验是否符合图像
21．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)求的面积；
(4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2026·江苏常州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点，若，且．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出当时，的解集；
(3)若点P为x轴上一点，是以为底边的等腰三角形，求P的坐标．
23．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集________；
(3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)当x ______ 时，；
(3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
题型6存在性问题 - 直角三角形（共3小题）
【模型】两线一圆模型：分别以三个顶点作为直角顶点分类，直径所对圆周角为直角
【步骤】①确定已知两个定点；②分三个直角顶点讨论；③用勾股定理或者垂直斜率关系列等式；④求解动点坐标；⑤验证
【易错】直角顶点分类不全；垂直条件列式出错
26．（期中九年级上·江西抚州·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，．
(1)求k的值；
(2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长；
(3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由．
27．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
28．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集；
(4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标．
题型7定点定角、动点在曲线上的定角存在性问题（共5小题）
【模型】以角的顶点为旋转中心，旋转线段构造特殊三角形（等腰直角 / 含 30° 直角三角形），利用 K 型全等、三角函数等求出定方向直线，再和动点所在轨迹联立求交点
【步骤】①确定定点，找准角的顶点；②将一条边绕顶点顺时针、逆时针旋转指定角度，得到两条符合角度的射线；③通过全等或三角函数求出射线解析式；④联立射线与动点所在轨迹（直线 / 反比例双曲线）；⑤求出交点，画图检验，舍去角度不符的增根
【易错】看错角的顶点；遗漏旋转方向造成少解；混淆动点轨迹（直线、双曲线）；联立后不检验，保留增根；全等对应边、三角函数计算出错
29．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标．
30．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)连接，，求的面积；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
32．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值；
(3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（25-26九年级上·广东清远·期中）已知点E，F为反比例函数上的点．
(1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式．
(2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式．
(3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
题型8存在性问题 - 平行四边形问题（共3小题）
【模型】平行四边形中点坐标模型：对角线中点重合，中点坐标相同
【步骤】①确定已知两个或三个定点；②分谁和谁为对角线分类；③利用中点公式列方程组；④解出动点坐标；⑤检验
【易错】对角线分类讨论不全；中点公式横纵坐标搞混
34．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围．
35．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为y轴上一点，
①若，求点P的坐标．
②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
36．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标；
(3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标．
题型9存在性问题 - 菱形问题（共3小题）
【模型】菱形判定模型：平行四边形 + 一组邻边相等；或者四条边都相等
【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加邻边相等的条件；③列距离方程求解；④验证四点可以构成菱形
【易错】只满足平行四边形，漏掉邻边相等条件；算出共线四点没有舍去
37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________；
(2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标；
(3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
38．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)若点在反比例函数图象上，求的面积；
(3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型10存在性问题 - 矩形问题（共2小题）
【模型】矩形判定模型：平行四边形 + 有一个内角是直角；对角线相等且互相平分
【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加垂直（直角）或者对角线相等条件；③列方程求解坐标；④检验
【易错】忽略四点共线不能构成矩形的情况；直角条件转化错误
40．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
(2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2026·山东济南·二模）如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)如果一个矩形的长、宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2026·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．
(1)求k的值；
(2)作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值；
(3)若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型11存在性问题 - 相似问题（共5小题）
【模型】定角相似分类模型：先锁定一组固定相等角，再分两组对应边成比例
【步骤】①找到一组确定相等的角；②分两种对应边比例情况；③代入坐标表示线段并列方程；④求解、检验对应关系
【易错】相似三角形对应边颠倒，只讨论一种情况
43．（25-26九年级上·山东济南·期中）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点D，与边交于点E，的面积为2．
(1)求m与n的数量关系及线段的长；
(2)当时，求m，n的值和直线的解析式；
(3)设P是线段上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）综合与探究
如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、B，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2.
(1)求一次函数的解析式．
(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
(3)在（2）的条件下，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
45．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点，连接
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)在直线上存在一个点M（不与A重合），使得，求点M的坐标；
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由
46．（2026·四川成都·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点；
当线段被轴分成两部分时，求线段的长度；
当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12一次函数与反比例函数综合新定义类（共4小题）
【模型】新定义阅读理解模型：读懂题干自定义规则，转化成熟悉的函数、几何关系
【步骤】①拆解新定义，翻译成数学式子；②结合反比例、一次函数性质列式；③解方程或者推导结论；④按定义验证结果
【易错】没有读懂新定义，直接套用旧结论；忽略定义里的限制条件
47．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）新定义探究：函数的“迁移中心”
对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为．
(1)①函数的迁移中心是 ；
②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）．
观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）；
(2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式；
(3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值．
48．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若时，求点C的坐标；
(3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标．
49．（2025·辽宁辽阳·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点满足我们称点P是“和谐等差点”．如：点，都是“和谐等差点”．
(1)点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”，请直接写出点M的坐标；
(2)若反比例函数k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点”，求k的值；
(3)若点C是平面内一个“和谐等差点”，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，连接OC．设点C的横坐标为t，的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②直线与函数S的图象有4个交点时，求出实数b的取值范围．
50．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的 “区分直线”．
例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．
(1)在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；
(2)若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；
(3)如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在点的上方，直角顶点的坐标是与的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式；
(4)正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“区分直线”，
若，“区分直线”有且只有一条时，求的值；
若存在“区分直线”，直接写出的取值范围．
1 / 2
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题06反比例函数解答题（压轴专练）
基础·固本强基
题型1反比例函数解答题中面积问题（重点）
题型2反比例函数中面积比值或倍数关系（重点）
提升·进阶突破
题型3平移直线与反比例函数交点问题（重点）
题型4反比例函数解答综合之求点坐标
拔高·压轴破难
题型5存在性问题-等腰三角形（重难点）
题型6存在性问题-直角三角形（重难点）
题型7定点定角、动点在曲线上的定角存在性问题（难点）
题型8存在性问题-平行四边形问题（难点）
题型9存在性问题-菱形问题（难点）
题型10存在性问题-矩形问题（难点）
题型11存在性问题-相似问题（难点）
题型12一次函数与反比例函数综合新定义类（难点）
基础·固本强基
题型1反比例函数解答题中面积问题（共5小题）
【模型】坐标割补面积模型：外包规则图形面积减去周围直角三角形面积，结合k的几何意义【步骤】①求出相关点的坐标；②构造外包矩形或梯形；③用总面积减去多余三角形面积；④化简计算出图形面积
【易错】坐标转化线段长度忘记加绝对值；三角形底、高对应找错
1．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，直线 与双曲线 交于点 ，．
(1)反比例函数解析式______，直线 解析式______；
(2)若 时， 的取值范围______；
(3)求 的面积．
【答案】(1)，
(2) 或
(3)
【分析】（1）把代入求，再把，代入直线求，；
（2）图象法，根据两函数图象的位置以及交点坐标直接作答；
（3）用 轴分段和面积公式求 的面积．
【详解】（1）解：把代入得，
∴．
把代入得，，即．
把，代入，得，
解得，
∴．
（2）解：由图象可知，当或时，双曲线在直线的下方，即．
（3）解：设直线与轴交于点，连接、，
令得，即．
．
2．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：把代入，
得，则反比例函数解析式为，
把代入，
得，解得，则点坐标为，
把，代入得
解得
一次函数解析式为；
（2）解：在中，令，则，
，
，
．
3．（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点的坐标，代入解析式即可；
（2）根据解题．
【详解】（1）解：∵，，且为中点，
∴，
即，
∵过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点过函数，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
4．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)
【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标满足解析式，先求出反比例函数，再得到P点坐标，代入两点求一次函数解析式．；
（2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，
，
反比例函数的表达式为 ．
将代入，
，
．
把、代入，得
，．
解得 ，．
一次函数的表达式为 ．
（2）解：如图，设一次函数与轴相交于点，
对于，令，则，
，
，
又，，
．
5．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求的函数解析式；
(2)求的函数解析式；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入，即可；
（2）把点代入，求出点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，即可；
（3）连接，，根据，即可．
【详解】（1）解：∵点在的图像上，
∴,
解得：，
∴；
∴的函数解析式；．
（2）解：∵点在双曲线上，
∴,
解得：，
∴点，
∵点，点在一次函数上，
∴
解得：，
∴，
的函数解析式为：．
（3）解：连接，，
设直线与轴的交点为点，
∴当时，，即；
∴
．
题型2反比例函数中面积比值或倍数关系（共5小题）
【模型】面积比例传递模型：利用同高面积比等于底之比、同底面积比等于高之比，结合\(|k|\)固定面积转化
【步骤】①找到共底或者共高的两个图形；②写出线段的比例；③转化为面积倍数关系；④列式求解参数
【易错】分不清是同底还是同高；比例前后项颠倒
6．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)若点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2) 或
(3)
【分析】（1）把点代入反比例函数求出，再代入点横坐标求出，将、两点代入一次函数解析式，列方程组求出和．
（2）对比一次函数图象在反比例函数图象上方部分，读出对应的自变量范围是或．
（3）由两个三角形面积比为得到线段比，设，利用两点间距离公式列方程求出，得到．
【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象经过点 ，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
∵ 点 在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵ 一次函数 的图象经过点 ，，
∴ ，
解得，
∴ 一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象可得，
∴ 的取值范围是 或 ．
（3）解：∵ 点 在线段 上，连接，，．
∴ 设，其中，
∵，
∴，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，（不合题意，舍去）
当 时，，
∴ 点 的坐标为 ．
7．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且．
(1)______，______；
(2)满足不等式的x的取值范围是______；
(3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可；
（2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案；
（3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解．
【详解】（1）解：由条件可知，
，
，
，
把及代入，
则，解得，
∴．
（2）解：令，代入中，
则，
解得，
直线与轴交于点，
根据图象可知，当时，的取值范围为；
（3）解：由条件可得，
，
，
，
的面积不小于的面积，
，
或．
8．（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为．
(1)直接写出反比例函数解析式为 ；
(2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ；
(3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值即可；
（2）先求出点的坐标，再观察图象，即可求解；
（3）先求出，再表示出，然后根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点在上，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：∵点在上，点的横坐标为，
∴，
∴．
由图象知，一次函数值大于反比例函数值时，或．
（3）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴存在点，使得，点的坐标为或．
9．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且．
(1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）；
(2) ， ；
(3)满足不等式的x的取值范围是 ；
(4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值．
【答案】(1)；
(2)2；；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可；
（2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解；
（3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可；
（4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）解：∵，，点B在y轴的负半轴，
∴，
∴，
根据题意，把、代入一次函数，得
，
解得，
（3）解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时，
∴满足不等式的x的取值范围是；
（4）解：∵，，点B在y轴的负半轴，
∴，
∴的面积，
∵为x轴上一点，且的面积等于的面积，
∴，
∴，
∴m的值为或．
10．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求的面积；
(2)若为线段上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)的面积为
(2)
【分析】（1）先求解点，点坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式，设直线与轴的交点为， 根据列式计算即可；
（2）根据，求得点的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，，
∴，，
∵一次函数的图象过点、点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式，
如图，设直线与轴的交点为，
对于，令，得，
∴，
∴；
（2）解：如图，∵，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∵为线段上一点，
∴，
∴．
提升·进阶突破
题型3平移直线与反比例函数交点问题（共4小题）
【模型】直线平移模型：平移时斜率k不变，只改变截距；联立方程判别式判断交点个数
【步骤】①写出平移后一次函数解析式；②和反比例函数联立；③根据判别式判断交点情况或者求交点；④回代求参数
【易错】直线平移截距加减搞反；联立后整理一元二次方程出错
11．（26-27九年级上·福建福州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，的值；
(2)连接，，求的面积；
(3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出；
（2）先求出点的坐标，根据，即可求解；
（3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
，
当时，，
，
将代入得，
解得；
（2）如图，
由（1）可得一次函数的表达式为，
当时，，
解得，
点，
，
；
（3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为，
令，
整理得，
平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点，
，
解得，，
当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点，
．
12．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与双曲线交于，两点．
(1)求和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入求，得到反比例函数的解析式，把代入反比例函数的解析式，确定点B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可；
（2）根据数形结合思想，解答即可；
（3）先确定将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，与反比例函数的表达式联立，转化为一元二次方程，根据图象有且只有一个公共点，利用根的判别式等于零，求的值即可．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，解得，
故反比例函数的解析式为；
把代入，得，
根据题意，的解析式为，
根据题意，得，
解得，
的解析式为．
（2）解：根据图象，得不等式的解集为．
（3）解：根据题意，将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，
根据题意，得，
整理，得，
根据题意，两个函数的图象有且只有一个公共点，
，
或，
解得或，
，且，，
故n的值为或．
13．（2026九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)点落在反比例函数的图象上．理由如下：
把点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，
而当时，，
∴平移后点能落在反比例函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据四边形为平行四边形，得到，再根据点的坐标，得到，从而可知，即可求解；
（3）先求得点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，再将点代入中，即可判定．
【详解】（1）解：把代入，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
，
∵点A，D，B的坐标分别为，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（3）略
14．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，是直线和双曲线的两个交点．
(1)求直线和双曲线的函数表达式．
(2)过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数求出，求出点坐标，再把A、B两点代入一次函数，解二元一次方程组，求出直线解析式．
（2）由直线过点得到a、c的关系式，联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程；利用仅有一个公共点，即判别式求出参数，得到直线表达式．
【详解】（1）解：点在双曲线上，
，
双曲线解析式为．
令，代入，
解得，
．
将，分别代入，得
，解得，
直线解析式为．
（2）解：点在直线上，
，
整理得，
直线解析式为．
联立两个函数解析式：
整理得
直线与双曲线仅有一个公共点，
这个一元二次方程有两个相等的实数根，即．
解得．
把代入，
直线表达式为．
15．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
(1)________；________；
(2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标；
(3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标．
【答案】(1)2，2
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入反比例函数即可求出值，从而确定点坐标，代入一次函数即可求出值．
（2）根据平行可判定横坐标相等，设，则，结合四边形的面积，利用割补法列关于的方程，解出即可求出的值．
（3）设平移距离为，利用平移后点坐标依然在直线上，即可判断平移后的横纵坐标的变化，利用平移后所在的反比例函数即可求出的值，结合点坐标即可求出平移后坐标．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，
．
点在一次函数上，
，
．
（2）解：由（1）可知，直线的解析式为 ，
设，
轴，
点的横坐标为，
在反比例函数上，
．
连接，过点作于点，设与轴交于点，如图所示，
，，．
，
，
，
或（舍去），
，
．
（3）解：由第（2）问可知，，，
设沿射线方向平移，得到，的解析式为，在直线上，
，
，
平移时横坐标增加，纵坐标则增加，
，
，
或（舍去），
，
．
题型4反比例函数解答综合之求点坐标（共5小题）
【模型】坐标转化方程模型：利用函数关系式、线段相等、面积条件建立方程求横坐标、纵坐标
【步骤】①设目标点坐标；②结合题干条件列出等式；③解方程；④检验点是否在对应函数图像上
【易错】解方程得到增根，不检验直接保留；坐标符号判断出错
16．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为．
(1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小；
(2)求双曲线的解析式及的值；
(3)求点的坐标．
【答案】(1)
(2)双曲线的解析式为，
(3)
【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较，
（2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求，
（3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可，
【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限，
，且双曲线在时，随的增大而减小，
点，在双曲线上，且，
；
（2）解：∵为的中点，的面积为3，
∴，
轴，
∴，
∴双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
解得；
（3）解：由（2）得，
设直线的解析式为，
把代入得
，
，
直线解析式为，
设，则，
在直线上，
，
，
，
，
当时，，
．
17．（26-27九年级上·北京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为；
反比例函数解析式为；
(2)或
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设，则，得到，或，分别解方程，求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，
一次函数解析式为；
将代入得，，
，
反比例函数解析式为；
（2）解：由（1）得，一次函数解析式为，
设，则，
，
或，
当时，
解得，或，
经检验，均是原分式方程的解，
，或（不符合题意，舍去）；
当时，
解得或
经检验，均是原分式方程的解，
或（不符合题意，舍去）；
故点的坐标为或．
18．（26-27九年级上·全国·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，且点A的坐标为．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)若将直尺放置在图象上，直尺的一边经过点A，O，直尺的另一边交y轴正半轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若点C的横坐标为，求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)点B的坐标为
【分析】（1）将点A代入反比例函数中求出k的值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）利用待定系数法求出边的解析式，再根据题意得出，设直线的函数解析式为，由已知点C的横坐标且点C在反比例函数解析式得出点C的坐标，进而求出直线的函数解析式，最后根据点B在y轴上求出点B的坐标．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点A在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：设边所在直线的函数解析式为，
将点O和点A分别代入得：
，解得：，
∴边所在直线的函数解析式为，
∵直尺的两组对边分别对应平行，
∴直线向上平移得到直线，
设直线的函数解析式为，
∵点C的横坐标为，且在反比例函数的图象上，
，即点C的坐标为，
又∵点C在直线上，
∴将代入中，
得，解得，
∴直线的函数解析式为，
∵点B在y轴上，
∴当时，，
∴点B的坐标为．
19．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标．
【答案】
【分析】设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，，
∴，，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
解得：，
∴．
20．（26-27九年级上·全国·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：，，
在中，，，
把代入，得，
，
一次函数的解析式为．
四边形是菱形，
．
轴，
，
把代入反比例函数，
得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：将联立，解得或，
．
过点P作x轴的平行线交于Q，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，
设，则，
，
，
由题意，
，
解得，
点P为线段上的一个动点，
，
不合题意（舍去），
，
．
拔高·压轴破难
题型5存在性问题 - 等腰三角形（共5小题）
【模型】两圆一线模型：以定线段为腰画两圆，以定线段为底作垂直平分线，三类情况
【步骤】①确定两个定点坐标；②分三类情况讨论；③两点间距离公式列方程；④解方程求动点坐标；⑤检验点在双曲线上
【易错】漏掉其中一种等腰分类；求出坐标后不检验是否符合图像
21．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)求的面积；
(4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
(4)存在，P点坐标为，，，
【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方部分自变量的范围；
（3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得，所以，进而可得和，所以可得答案；
（4）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求P点坐标即可．
【详解】（1）将代入得：，
则反比例函数的解析式是，
将代入得：，
则B的坐标为，
将，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）根据图像，结合题意，得或．
（3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式，
当时，代入解析式得，
∴，
∴，
∴
，
∴的面积为；
（4）在x轴上存在点P，使是等腰三角形
由可得：，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，过点A作轴于点S，由，等腰三角形三线合一的性质得：
，由 ，，
∴，
故；
②当时，根据题意，得，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴，
③当时，P点在O点左侧时，，
P点在O点右侧时，，
综上所述，当P点坐标为，，，时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键．
22．（2026·江苏常州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点，若，且．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出当时，的解集；
(3)若点P为x轴上一点，是以为底边的等腰三角形，求P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式
(2)
(3)
【分析】（1）先利用的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接由图象，即可得出结论；
（3）先判断出，设，进而表示出最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
点，在一次函数的图象上，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）解：由图象知，的解集为；
（3）解：如图2，过点作轴于，
是以为底边的等腰三角形，
，
设，
由（1）知，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理，求出点坐标是解本题的关键．
23．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集________；
(3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的判定和性质，求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数．
，解得，
故反比例函数的解析式为；
，
故点B的坐标为；
设的解析式为，
根据题意，得，
解得，
的解析式为；
（2）解：根据题意，得不等式的解集或；
（3）解：设直线与y轴交于点F，
根据题意，得，，
，
，
过点D作轴于点D，
则，
，
，
故是等腰直角三角形，
，
；
过点A作于点A，交x轴于点，
则，
，
，
故是等腰直角三角形，
，
，，
；
解得，
故；
24．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的长为，；
(2)满足条件的点的坐标为或．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点．
（）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可；
（）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标．
【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为，
∵点的坐标为，代入解析式，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与一次函数，得
，
解得，
所以点的坐标为，
∴的长为，
(ii)如图，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∵直线的表达式为，
∴设直线的表达式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
联立，
解得或，
∵点在直线的上方，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：存在点使得为等边三角形，
理由如下：设直线为直线，
令得，，令得，，
∴，，
∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰，
∴直线与轴夹角为，
∵直线的解析式为，
∴直线是两坐标轴的夹角平分线，
∴，，
过点作点，
∴，
设点，设直线的表达式为，
∴，
联立，
解得，
∴，
则，
∴，即，
①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点，
∴，
∴在中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点即为点，
∵是等边三角形，轴，
∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即，
∴设，则，
∵点在双曲线上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
②当点在直线上方时，
∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上，
∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意，
如图，连，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标，
∴将代入中得，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
25．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)当x ______ 时，；
(3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点B的坐标为
(2)
(3)点C的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标；
（2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可；
（3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得，
把代入中，可得，
故，点坐标是
（2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当时，；
（3）解：设点C的坐标为，
则，，．
∵为等腰三角形，且，
∴，即，
解得：或（此时，则不合题意，舍去），
∴点C的坐标为．
故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．
题型6存在性问题 - 直角三角形（共3小题）
【模型】两线一圆模型：分别以三个顶点作为直角顶点分类，直径所对圆周角为直角
【步骤】①确定已知两个定点；②分三个直角顶点讨论；③用勾股定理或者垂直斜率关系列等式；④求解动点坐标；⑤验证
【易错】直角顶点分类不全；垂直条件列式出错
26．（期中九年级上·江西抚州·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，．
(1)求k的值；
(2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长；
(3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值；
（2）由得，求出，从而可求出；
（3）分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由可得，
，，
∴，
，
点，
；
（2）解：四边形为平行四边形
，
解得，（不合题意舍去）
；
（3）①当时，
∴,
又，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，即
，
；
②当时，
又
，
；
综上所述，点P的坐标为或．
27．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在， 、、、
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性．
（1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值；
（2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标．
【详解】（1）解：依题得解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形，
联立解得：或，
即，，
，
，．
分三种直角情况讨论：
情况1：为直角
∵，
化简得 ，即 ，
解得 ，对应点 、．
情况2：为直角
则，即
化简得 ，解得 ，对应点 ．
情况3：为直角
则，即，
化简得 ，解得 ，对应点 ．
∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形．
28．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集；
(4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)存在，或或或
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）图象法求出不等式的解集即可；
（4）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵都在一次函数的图像上,
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：设直线与y轴交于点C，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由图象可知：的解集为：或；
（4）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
题型7定点定角、动点在曲线上的定角存在性问题（共5小题）
【模型】以角的顶点为旋转中心，旋转线段构造特殊三角形（等腰直角 / 含 30° 直角三角形），利用 K 型全等、三角函数等求出定方向直线，再和动点所在轨迹联立求交点
【步骤】①确定定点，找准角的顶点；②将一条边绕顶点顺时针、逆时针旋转指定角度，得到两条符合角度的射线；③通过全等或三角函数求出射线解析式；④联立射线与动点所在轨迹（直线 / 反比例双曲线）；⑤求出交点，画图检验，舍去角度不符的增根
【易错】看错角的顶点；遗漏旋转方向造成少解；混淆动点轨迹（直线、双曲线）；联立后不检验，保留增根；全等对应边、三角函数计算出错
29．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的表达式为
(2)点的坐标或
【分析】（1）根据，得到，则反比例函数解析式为；再求出和，代入计算即可；
（2）先求出，再设，则，，，由，得到，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，轴，的面积为，点在第二象限，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为；
∵点的横坐标为，且在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
把，代入得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：直线交轴于点，则，
∵过点作直线轴，直线上存在点，
∴设，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得
解得，
∴点的坐标或．
30．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)连接，，求的面积；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)15
(3)存在，或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式．
（1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出；
（2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案；
（3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
∴将代入中得：，
∴，
∴将代入中得：，
∴反比例函数的表达式：，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为，
∴令，即，解得：，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴设直线解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴，
∴联立，解得：或（与重合舍去），
∴；
②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，
同理可得，
∴
∴设直线解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴，
∴联立，解得：，
∴，
∴综上所述：或．
31．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为；
(2)点的坐标为或；
(3)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式；
（2）过作轴交于点，设，则，则，然后分 ， ，求出的值即可；
（3）分当点在第四象限时， 当点在第二象限时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵一次函数（）的图象过，，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：如图，过作轴交于点，
设，则，
∴，
∴，
∴，
，整理得：，
解得：，
∵，
∴；
，整理得：，
解得：，
∵，
∴，
综上可得：点的坐标为或；
（3）解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且，
过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为，
则，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由点和点坐标同上可得直线解析式为，
联立 ，
解得或 （与点重合，舍去），
∴；
当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且，
同理可得直线解析式为，
联立得 ，
解得或 （与点重合，舍去），
∴，
综上，或．
32．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值；
(3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法进行解答即即可；
（2）根据平移后点的对应点坐标为，代入反比例函数解析式即可求出答案；
（3）求出，，是，的直角三角形，则点P在直线上，得到，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点．
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为，
∵平移后点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
（3）解：存在点，使得是，的直角三角形，
∵四边形是矩形，顶点，，
∴，，
∵是，的直角三角形，
∴点P在直线上，
∵，
∴，
∴点P的坐标为或
33．（25-26九年级上·广东清远·期中）已知点E，F为反比例函数上的点．
(1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式．
(2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式．
(3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)反比例函数为：；
(3)或
【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可；
（2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
（3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点．
设，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴反比例函数为：；
（2）解：如图，过作轴于，连接，
令，则，当时，则，
∴，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴反比例函数为：；
（3）解：如图，∵四边形为矩形，
∴，，
设直线为，，
∴，
解得：，
∴直线为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在直线上，
∴设，
∴，
整理得：，
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
题型8存在性问题 - 平行四边形问题（共3小题）
【模型】平行四边形中点坐标模型：对角线中点重合，中点坐标相同
【步骤】①确定已知两个或三个定点；②分谁和谁为对角线分类；③利用中点公式列方程组；④解出动点坐标；⑤检验
【易错】对角线分类讨论不全；中点公式横纵坐标搞混
34．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)
【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答；
（2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标；
（3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。
【详解】（1）解：，
，
解得：，，
由题意得，，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
点的坐标为；
将代入，得．
（2）解：存在，
点是的中点，，
，
，
反比例函数的解析式为，
设，，
以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形，
下面分3种情况讨论：
①当与互相平分，则
解得，
；
②当与互相平分，则
解得，
；
③当与互相平分，则
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
（3）已知，，设直线解析式为，
将两点代入得：
把代入，得
，
解得，
直线的解析式为．
当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程：
两边同乘整理得：，
只有一个交点，
一元二次方程判别式，
，
解得．
当反比例函数图象经过点时，，
此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点．
当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意；
当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点；
当时，双曲线与四边形无交点．
反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，．
35．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为y轴上一点，
①若，求点P的坐标．
②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点P的坐标为或；
②存在，或或．
理由如下：
∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E，
∴设，，
∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或．
【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论；
（2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解；
②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入中得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：①解得或，
∴，
在中，令，则，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或；
②略
36．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标；
(3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、三角形面积公式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）设，求出直线与轴交点，利用面积为与面积和，结合面积公式列方程求解，确定坐标 ；
（3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数解析式可得，
∴，
将，代入一次函数解析式可得，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）
对于一次函数，
令得，
即直线与轴交点，
根据题意：
解得：，
坐标为或
（3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
设点，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为对角线时，与互相平分，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，
解得：，
∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
题型9存在性问题 - 菱形问题（共3小题）
【模型】菱形判定模型：平行四边形 + 一组邻边相等；或者四条边都相等
【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加邻边相等的条件；③列距离方程求解；④验证四点可以构成菱形
【易错】只满足平行四边形，漏掉邻边相等条件；算出共线四点没有舍去
37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________；
(2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标；
(3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)或或或．
【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式；
（2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到；
（3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解．
【详解】（1）解：（1）作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
，
；
（2）解：由同理可得，点，
点恰好落在反比例函数的图象上，
当时，，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
当点在第二象限时，，
当时，如图，
则点与关于轴对称，
，
当时，如图，设，
则，
，
解得，
，
，
综上：或或或．
【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解．
38．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)若点在反比例函数图象上，求的面积；
(3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)15
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）将点代入，求出点坐标，再将点A坐标代入，求出，然后联立两个函数解析式即可求解交点B坐标；
（2）先求出，然后求出直线，过点轴交于点，求出点坐标，最后由求解即可；
（3）设，由以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，得到为等腰三角形，然后分三种情况讨论等腰三角形，求出点坐标，再由坐标平移法求解点．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点
将点代入，则
∴，
∴，
将点代入，则，
∴反比例函数解析式为：，
∵一次函数与反比例函数交于点和点B．
∴
∴
解得（舍）或
∴；
（2）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴；
设直线：，
∴代入点得，，
解得，
∴直线，
过点轴交于点，
当，，
∴
∴；
（3）解：设
∵以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，
∴为等腰三角形，
①时，
解得，，
∴，，
当平行四边形时，
∴
∵，
∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点，
∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点；
当平行四边形时，
∴
∵，
∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点，
∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点；
当时，
，
解得，
∴，
当平行四边形时，
∴
∵，
∴点向左平移个单位，向下平移1个单位得到点，
∴向左平移个单位，向下平移1个单位得到点；
当时，
，
整理得，，此时，方程无实数根，
故不存在点使得，
综上：在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，与面积的综合问题，菱形的性质，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点．
39．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为，
(2)存在满足条件的，坐标为
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案；
（2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答．
（3）先求出的长，分情况讨论计算即可．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得，
正比例函数表达式为，
，
反比例函数解析式为，
点、关于原点对称，
；
过作轴，交于点，
设，
直线的解析式为，
当时，
，
解得，
，
，
，
解得或（舍去），
；
（2）解：存在，理由如下：
设，
，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
∴
，
，
两边同乘，整理得：
，
解得：，．
对应点，舍去．
当时，，即．
存在满足条件的，坐标为．
（3）解：，
．
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此时点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，、为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过作轴于点，
设，则，，
在△中，，
解得，
，
；
点坐标为或或或．
题型10存在性问题 - 矩形问题（共2小题）
【模型】矩形判定模型：平行四边形 + 有一个内角是直角；对角线相等且互相平分
【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加垂直（直角）或者对角线相等条件；③列方程求解坐标；④检验
【易错】忽略四点共线不能构成矩形的情况；直角条件转化错误
40．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
(2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
(2)点C的坐标为；
(3)点N的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键．
（1）分别把代入和，计算即可求解；
（2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可；
（3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
41．（2026·山东济南·二模）如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)如果一个矩形的长、宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
(3)存在，点 、点 或点 、点
【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式；
（2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解；
（3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
将点代入，解得，
∴反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
设直线的表达式为，
将点，点分别代入表达式，得，
解得，
∴直线的表达式为：．
（2）解：连接，
令，则，解得，即点，
则，
点为线段中点，
，
则；
（3）解：存在，理由如下：
由题意得，，
①当时，
如图，过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
则，，
则且，
解方程组，得，
则点，
∵点，点，
∴线段中点的坐标为，即，
∵四边形为倍边矩形，
∴点是线段的中点，
由中点坐标公式得：点；
即点、点；
②当时，如图，
过点A、B作y轴的平行线，过点P作y轴的垂线交两直线于点M、N，
同理可证明，
∴，
设，，
则，，
则且，
解方程组，得，
则点，
∴点
综上，点、点或点、点．
42．（2026·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．
(1)求k的值；
(2)作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值；
(3)若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）过点B向x轴的垂线，交x轴于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（2）根据轴对称的性质求得，，，分经过边的中点和边的中点两种情况讨论，求得中点坐标，代入即可求解；
（3）过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，设点Q的横坐标为a，证明，求得，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
∴，，
过点B向x轴的垂线，交x轴于点C，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴点B在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，
∵与关于直线对称，
∴，，，
当反比例函数过边的中点时，
边的中点是，
∴，解得；
当反比例函数过边的中点时，
边的中点是，
∴，解得；
由上可得，或；
（3）解：存在．理由如下：
如图，过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，
，，
∴，
设点Q的横坐标为a，
，，
∴，
，即，
∴，
，
点Q在上，
∴，
解得或，
点Q的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
题型11存在性问题 - 相似问题（共5小题）
【模型】定角相似分类模型：先锁定一组固定相等角，再分两组对应边成比例
【步骤】①找到一组确定相等的角；②分两种对应边比例情况；③代入坐标表示线段并列方程；④求解、检验对应关系
【易错】相似三角形对应边颠倒，只讨论一种情况
43．（25-26九年级上·山东济南·期中）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点D，与边交于点E，的面积为2．
(1)求m与n的数量关系及线段的长；
(2)当时，求m，n的值和直线的解析式；
(3)设P是线段上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，，直线的函数解析式为：；
(3)点P的坐标为；．
【分析】（1）将D、E代入反比例函数解析式，进而得出n，m的关系；利用的面积为2，可求得；
（2）利用的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）分和两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作，垂足为H．
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∵的面积为2，
∴，
∴；
（2）解：∵D，，
∴B，
∵即，
∴．
∵，
∴，
∴D，E，B．
设直线的解析式为，代入B、E，
得，解得：，
∴直线的函数解析式为：；
（3）解：①如图2，作于F，于H，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，可得，
∴，
∴点P的坐标为；
②如图3，当时，，
∵，由勾股定理，，
∴，，
∴，，，
∴，可得，
∴，
∴点P的坐标为
综上，点P的坐标为；．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
44．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）综合与探究
如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、B，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2.
(1)求一次函数的解析式．
(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
(3)在（2）的条件下，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据反比例函数的图象也经过点，点横坐标是 2 ，求得 ，解方程组即可得到结论；
（2）过作轴于，则，，根据三角函数的定义得到 ，求得 ，把 分别代入和即可得到结论；
（3）如图，设 ，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
【详解】（1）∵反比例函数 的图象也经过点，点横坐标是 2，
把代入得：
，
解得：
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于
则
把代入得 ，
把代入得
（3）设 ，
当 ，
∴
∴
解得 或 (不合题意舍去)
当
∴
∴
解得 或 (不合题意舍去)
∴点坐标为 或
【点睛】本题是反比例函数的综合题，查了待定系数法求一次函数的解析式，似三角形的判定和性质，股定理，角函数的定义，类讨论是解题的关键．
45．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点，连接
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)在直线上存在一个点M（不与A重合），使得，求点M的坐标；
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由
【答案】(1)；；
(2)；
(3)存在；
【分析】本题考查了利用待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解题意，综合运用知识点是解题的关键．
（1）把点C坐标代入，求出b的值，得出直线的解析式；把点代入得到n的值，求出A点的坐标，再把将A点代入中，求出m的值，从而得出双曲线的解析式．
（2）根据题意得到，根据A点坐标，得出，当时，解得的值，即可解答．
（3）过点A作轴，垂足为点N，根据，，求出的值，根据，求出的值，再根据，得出，从而得出或，最后根据或，再代入求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴把点代入得：，
∴直线的解析式是：；
∵直线也过A点，
∴把A点代入得到：，
∴，
把将A点代入得：，
∴双曲线的解析式是：；
（2）若，则，
∵，
∴，
当时，，解得，
∴．
（3）存在；
过点A作轴，垂足为点N，
则，，则，
∵，
∴，，
∴，
①若，则，
即，
解得
②若，
则，
即，
解得，
∵点，
∴点D的坐标是或．
46．（2026·四川成都·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点；
当线段被轴分成两部分时，求线段的长度；
当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；
(2)线段的长度为或； 或．
【分析】（）先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解；
（）记与轴交于点，过作轴于点，过作轴于点，则 或，据此可得点坐标，进而求解即可；
易得，，从而可得，，，根据相似可得，再用两点距离公式求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
将代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：①如图，记与轴交于点，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵线段被轴分成两部分，
∴或，
∴或，
∴或，
联立得，
解得或（点坐标，重合），
∴，
当点时，则；
当点时，则；
∴线段的长度为或；
如图，
∵点的横坐标和纵坐标相等，且在第三象限图象上，
∴，
∵点关于原点的对称点为点，
∴，
由各点坐标可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
，
解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，原点对称，反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题型12一次函数与反比例函数综合新定义类（共4小题）
【模型】新定义阅读理解模型：读懂题干自定义规则，转化成熟悉的函数、几何关系
【步骤】①拆解新定义，翻译成数学式子；②结合反比例、一次函数性质列式；③解方程或者推导结论；④按定义验证结果
【易错】没有读懂新定义，直接套用旧结论；忽略定义里的限制条件
47．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）新定义探究：函数的“迁移中心”
对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为．
(1)①函数的迁移中心是 ；
②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）．
观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）；
(2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式；
(3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值．
【答案】(1)
；，对称中心为
(2)
（或）
(3)
【分析】（1）① 对照定义比较系数得 、、，直接写出迁移中心；② 将函数式变形为 ，明确双曲线由 平移得到，列表描点画图，由双曲线的中心对称性读出对称中心；
（2）先求 的迁移中心 ，由“中心从 平移到 ”确定平移方式，写出平移后的解析式并化成标准形验证；
（3）设 、，把双曲线与直线都化为 、 的关系式，联立后利用两交点对应的 值之积整体代换，避免求 、 的具体值．
【详解】（1）解：① 在 中，，，分母 ，故 ，
所以迁移中心为 ．
② ，
其图象由 的图象向左平移 1 个单位、向上平移 1 个单位得到，是两支双曲线．
列表如下：
描点连线可得图象（图象分两支，无限接近直线 和 ）．
由双曲线的中心对称性可知，对称中心为 ．
（2）解： 可写成 ，即 ，，，迁移中心为 ．
新图象的迁移中心为 ，由 平移到 ，故图象向左平移 2 个单位、向上平移 2 个单位，
得 ．
验证：，，，，符合定义．
所以所求函数解析式为 ．
（3）解：由（2），函数图象满足 ．
设 ，，则双曲线为 ；直线 即 ．
联立得 ，即 （，方程有两个不相等的实数根）．
设交点 对应 ，交点 对应 ，则 ．
点 的横坐标为 ，则 ；点 的纵坐标为 ，则 ．
所以 ．
【点睛】① 迁移中心是 ，分母须化成 的形式：，，易误写为 ；
② 平移方向与中心对应：中心 平移到 是左移 2、上移 2，分母是 而不是 ；
③ 第（3）问中 、 含参数 ，不能（也不必）分别求出具体值，须设 、 整体代换，利用 消去 ．
48．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若时，求点C的坐标；
(3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数表达式的求解、三角形面积的坐标计算以及新定义“铅垂平行四边形”的综合应用；解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征求解析式，结合坐标表示面积建立等量关系，以及分类讨论平行四边形中对角线与边的垂直关系．
（1）由点B在反比例函数上求出反比例函数解析式，进而确定点A的坐标，再将A、B坐标代入一次函数求出其表达式；
（2）设点C的坐标，通过坐标表示出三角形的高（即点C与直线的纵向距离），结合面积关系列方程求解点C的坐标；
（3）按“铅垂平行四边形”的垂直条件分三类：①为对角线且，通过构造相似三角形求得直线解析式，联立反比例函数得，再用平移求；②为对角线且，构造相似直角三角形，用相似比列方程求，再求；③为对角线且，同理求C后用平移求D．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，
，
反比例函数的表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
把，代入，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，，
，，
，
，
即，
整理得：或，
或或，
点C在第一象限，
或，
或；
（3）解：分三类讨论：
①当为对角线，时，如图2，
直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L，
当时，，当时，，
∴点，且，
所以，，，
设直线与与x轴交于点N，
∵，
∴，
∴，即，得，
∴，即，
设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
联立方程组得：，
解得：舍去，，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
由平移规律得：，，
；
②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F，
则，，，，，
，
，
∽，
，即，
解得：（舍去）或舍去或，
，
四边形是平行四边形，
，，
由平移规律得：，，
；
③当为对角线，时，如图4，
同理可得：，
四边形是平行四边形，
，，
由平移规律得：，，
；
综上所述，点D的坐标为或或
49．（2025·辽宁辽阳·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点满足我们称点P是“和谐等差点”．如：点，都是“和谐等差点”．
(1)点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”，请直接写出点M的坐标；
(2)若反比例函数k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点”，求k的值；
(3)若点C是平面内一个“和谐等差点”，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，连接OC．设点C的横坐标为t，的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②直线与函数S的图象有4个交点时，求出实数b的取值范围．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)①；②当时，直线与函数图象有4个交点
【分析】（1）根据“和谐等差点”的定义，当时，求出y值，即可得出答案．
（2）设点是反比例函数上的“和谐等差点”，根据“和谐等差点”的定义得出，
然后化为一元二次方程，再结合已知条件可知，进而可求出k的值．
（3）①根据“和谐等差点”的定义可设点C的坐标为，然后分三种情况分别求出函数解析式式即可．
②分析出当直线过点和与函数有4交点时的情况然后根据零界状态分别求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”，
令,
则有，解得：，
当时，，
则点是一次函数图象上的一个“和谐等差点”．
（2）解：设点是反比例函数上的“和谐等差点”
则根据题意得：
整理得：
∵反比例函数（，k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点”
∴
解得：
（3）解：①∵点C是平面内的一个“和谐等差点”，
∴可设点C的坐标为
I当，，即时，
∴
Ii当，，即时
Iii当，，即时，
综上所述，
（或者写成）
②当直线过点和与函数有唯一一个交点时，
为两个临界状态，
当直线过点时，此时
解得∶
当直线与函数有唯一一个交点时，与函数的图象有
3个交点，则有两个相等的实数根
整理得：
，
解得
当时，直线与函数图象有4个交点．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根判别式的应用，“和谐等差点”是解题的关键．
50．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的 “区分直线”．
例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．
(1)在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；
(2)若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；
(3)如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在点的上方，直角顶点的坐标是与的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式；
(4)正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“区分直线”，
若，“区分直线”有且只有一条时，求的值；
若存在“区分直线”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据“区分直线”的定义即可解答；
（2）因为直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，则令，解得，因为直线与函数的图象有一个公共点，则，将代入中，解得，将代入中，解得，即可得解；
（3）如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则，直线是与的唯一一条“区分直线”，根据点的坐标求得，在中，根据勾股定理得：，求得，根据得，，求得，设直线的解析式为，代入求得，即可解答；
（4）若，则正方形在轴下方，则正方形为图形，函数的图象为图形，如图，对于抛物线，当时，，当时，所以直线过点时，，即，得出直线恰好经过点和点，当点在直线上时，“区分直线”有且只有一条，求出的坐标为，将点坐标代入，解得，即可得解；
由得，当时，存在“区分直线”，若，如图，则的图象为图形，正方形为图形，由得，当直线与抛物线有唯一公共点时，，解出，此时唯一公共点的横坐标在和之间，当点在直线时，得，解得，则时，存在“区分直线”，即可求解．
【详解】（1）解：根据“区分直线”的定义可知是图函数的图象与正方形的“区分直线”，
故答案为：；
（2）解：直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，
则只有一个公共点，令，整理得，，
解得：，
因为直线与函数的图象有一个公共点，则，
将代入中，得，
解得：，
将代入中，则，
公共点的坐标为；
（3）解：如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则，直线是与的唯一一条“区分直线”，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
代入，则，
解得：，
与的“区分直线”是；
（4）解：若，则正方形在轴下方，则正方形为图形，函数的图象为图形，
如图，对于抛物线，当时，，当时，
直线过点时，，
，
当时，，
直线恰好经过点和点，
当点在直线上时，“区分直线”有且只有一条，
正方形的中心在轴上，
点到边的距离为，则的坐标为，
将代入，得，
解得：，
当，“区分直线”有且只有一条时，的值为；
或，
由得，当时，存在“区分直线”，
若，如图，则的图象为图形，正方形为图形，
由得，
当直线与抛物线有唯一公共点时，，
，
解得：，
此时唯一公共点的横坐标在和之间，
点坐标为，
当点在直线时，得，
，
则时，存在“区分直线”，
综上所述，的取值范围为或．
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、解一元二次方程、勾股定理、特殊角度的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
1 / 2
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
