专题03 二次函数实际应用8大题型40题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版
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内容正文：
专题03二次函数实际应用
基础·固本强基
题型 1 利润最值问题（重点）
题型 2 抛物线抛射类实际问题（重点）
题型 3 拱桥、隧道通行判断问题（重点）
题型 4 喷水类问题（重点）
提升·进阶突破
题型 5 围栏面积最值问题（难点）
题型 6 二次函数方案选择问题（难点）
拔高·压轴破难
题型 7 二次函数实际应用综合压轴题（重难点）
题型 8 二次函数实际几何动点压轴题（重难点）
基础·固本强基
题型1利润最值问题（共5小题）
【模型】利润模型→总利润 = 单件利润 × 销售量；单件利润 = 售价−进价，销量随售价一次变化，整理成二次函数，在自变量范围内求最值
【步骤】①设涨价 / 降价金额或者售价为未知数；②分别写出单件利润、销售量表达式；③列出总利润二次函数；④结合开口方向、自变量限制求最值
【易错】涨价降价加减搞反；忽略售价、销量的实际取值限制；求最值不看自变量范围
1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）新冠肺炎疫情后期，我市某药店进了一批口罩，成本价为1元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，一段时间调查，发现每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定1.3元，每天销售1080个；销售价定为1.5元，每天销售1000个．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价定为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
2．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元．
(1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个．
(2)求与之间的函数表达式．
(3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．（26-27九年级上·天津河北·期中）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少；
(3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？
4．（26-27九年级上·河北沧州·期中）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
(1)当售价为55元时，月销售利润是________元；
(2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？
(3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元．
5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元．
(1)求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润；
(2)用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围；
(3)当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润．
题型2抛物线抛射类实际问题（共5小题）
【模型】抛射轨迹模型→物体运动轨迹为抛物线，高度y是水平距离x的二次函数，顶点对应最高点
【步骤】①建立平面直角坐标系；②代入已知点求抛物线解析式；③代入横坐标求高度或者代入高度求水平距离；④舍去不符合实际意义的解
【易错】建系原点选取混乱；出现负的距离、高度不进行舍去
6．（26-27九年级上·四川南充·期中）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：
水平距离
竖直高度
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米；
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
7．（26-27九年级上·江西新余·期中）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示．
【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．
(1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式．
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离_____m；
(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离．
8．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)求小球在斜坡上的落点A的坐标；
9．（26-27九年级上·四川德阳·期中）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
10．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示．
【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．
(1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式．
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离 ；
(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围．
题型3拱桥、隧道通行判断问题（共5小题）
【模型】拱桥抛物线模型→拱顶为抛物线顶点，水平方向为x轴，竖直高度为y，根据宽度求高度，判断能否通行
【步骤】①建立坐标系，求出抛物线解析式；②根据车辆宽度找到对应横坐标；③计算该位置的竖直高度；④对比高度，得出能否通行结论
【易错】左右对称横坐标正负混淆；混淆拱高、跨度两个概念
11．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？
12．（26-27九年级上·广东东莞·期中）综合与实践：
【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．
【建立模型】
(1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式．
【解决问题】
(2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号）
13．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求．
14．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米．
(1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方；
(3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值．
15．（26-27九年级上·全国·期中）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离．
题型4喷水类问题（共5小题）
【模型】喷水抛物线模型→水流轨迹是抛物线，喷水口、最高点、落地点为抛物线上关键点，横坐标代表水平距离，纵坐标代表高度
【步骤】①合理建立平面直角坐标系；②找准喷水口、顶点、落水点坐标，求出抛物线解析式；③根据问题代入横坐标求高度，或代入高度求水平距离；④结合实际取舍答案
【易错】坐标系原点设在喷水口时，坐标读取出错；分不清最大高度和喷水最远距离；忽略高度不能为负
16．（26-27九年级上·广西梧州·期中）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
17．（25-26九年级上·陕西安康·期中）某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为．
(1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式；
(2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离．
18．（2026九年级上·上海·期中）飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”），如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，若两辆消防车同时后退米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？
19．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．
(1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度；
(2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？
20．（26-27九年级上·全国·期中）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
提升·进阶突破
题型5围栏面积最值问题（共5小题）
【模型】面积最值模型→固定围栏总长，设一边长，写出面积关于边长的二次函数，求最大面积
【步骤】①设变量，表示矩形各边长；②写出面积二次函数表达式；③确定自变量取值范围（边长 > 0）；④结合开口求最值
【易错】存在隔墙时边长倍数写错；忽略边长大于 0 的限制条件
21．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
22．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
(1)若平行于墙的一边长不小于米，
①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________．
23．（26-27九年级上·湖北咸宁·期中）如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？
24．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示．
(1)求长方形花圃面积的最大值．
(2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积．
25．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为．
设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息：
(1)求与的函数表达式（结果写成一般式）．
(2)与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？
题型6二次函数方案选择问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→分别写出不同方案对应的函数，联立求出分界点，分区间比较函数值选出最优方案
【步骤】①列出每种方案对应的函数关系式；②联立方程求出临界点；③划分区间比较大小；④根据题意选择最优方案
【易错】区间划分不全；不等号方向写反；忽略变量实际限制
26．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息：
信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
模型建立
(1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式．
方案设计
(2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润．
27．（26-27九年级上·河北沧州·期中）在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告．
主题
探究生活中的抛物线
研究内容
如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度．
研究方法
根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）．
方案一
方案二
方案三
方案设计
实践成果
．．．．．．
(1)根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________；
(2)根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式；
(3)因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）．
28．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践
为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．
【数学模型】
如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）．
【实践操作】
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米；
第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
【问题解决】：
(1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式；
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？
(3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由．
29．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与实践 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习：
【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】
问题情境
图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
(1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
任务二
(2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标．
30．（26-27九年级上·北京·期中）为了丰富学生课余生活，学校组织初三年级开展跳绳趣味活动．某数学兴趣小组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）．
探究过程如下：
①选两名身高基本相同的男同学持绳，两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米；
②当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米；
③现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线，记为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式：
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？
(3)现有5位排球运动员参与该活动，身高如下（单位：米）：①②③④⑤．这位同学与两位摇绳人并排一列且人同时起跳（忽略运动员所占空间），为确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？________（填写“能”或者“不能”）．若能，请写出一种排队方案（按排队顺序写序号即可）；若不能，请说明理由__________________________________________________________________________________________．
拔高·压轴破难
题型7二次函数实际几何动点压轴题（共5小题）
【模型】二次函数 + 几何动点综合模型→动点在抛物线上或者坐标轴上运动，结合线段、三角形、四边形、面积、等腰、直角、相似等几何条件，借助抛物线上点坐标(x,y)建立关系式求解
【步骤】①设动点横坐标为x，用抛物线解析式表示出动点纵坐标；②把线段长度、面积用含x的代数式表示；③根据几何条件列方程（等腰：两边相等；直角：勾股 / 垂直；面积：底乘高；相似：对应边成比例）；④解方程，检验点的位置、自变量范围，舍去不合理解；⑤分类讨论所有符合条件的情况
【易错】漏掉多种分类情况；线段表达式没有加绝对值，漏负的情况；忽略动点的运动范围；坐标转化线段长度时符号出错
31．（26-27九年级上·广东东莞·期中）【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为．
(1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽．
(2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽．
(3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？
32．（26-27九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围；
(2)当四边形的面积等于时，求x的值．
33．（26-27九年级上·内蒙古兴安·期中）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？
(2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小．
34．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
(1)填空： （用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由．
35．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接．
(1)点________（填M或N）能到达终点；
(2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
题型8二次函数实际应用综合压轴题（共5小题）
【模型】实际综合模型→融合利润、几何、不等式限制，多小问递进，求最值、取值、最优方案
【步骤】①提取题干等量关系；②建立函数、不等式；③分步求解，每一步检验实际意义；④综合作答
【易错】多小问条件混用；漏掉多个自变量限制条件；作答不贴合实际情景
36．（26-27九年级上·山西大同·期中）项目式学习
【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略．
【信息收集】
信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是．
信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示：
钾肥施用量（公斤）
0
5
销售收入（元）
信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元．
信息4：每亩玉米的销售利润为w元，．
【建立模型】
(1)根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ．
(2)当时，解决下列问题：
①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 .
②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量．
(3)当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值．
37．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）综合与实践
项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划
项目背景：
为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验．
测量数据：
竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．
(1)任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式；
(2)任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积；
(3)任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？
38．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：无人机投递轨迹建模与参数优化分析
无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，年中国工业级无人机市场规模将达亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．现以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分．
【任务一：调整仓库位置】
(1)因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标求满足这些条件的的值．
【任务二：优化重型包裹投递路径】
(2)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量．记作．当无人机投递重型包裹时，因周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一调整后的轨迹顶点相同，同时需要改变抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
39．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践．
项目名称
为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹
问题情境
如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为．
收集信息
①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为．
抽象模型
图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径．
(1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式．
(2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围．
(3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值．
40．（26-27九年级上·安徽芜湖·期中）如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设．
(1)求x的取值范围．
(2)求区域③的面积S关于x的函数解析式．
(3)已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值．
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专题03二次函数实际应用
基础·固本强基
题型 1 利润最值问题（重点）
题型 2 抛物线抛射类实际问题（重点）
题型 3 拱桥、隧道通行判断问题（重点）
题型 4 喷水类问题（重点）
提升·进阶突破
题型 5 围栏面积最值问题（难点）
题型 6 二次函数方案选择问题（难点）
拔高·压轴破难
题型 7 二次函数实际应用综合压轴题（重难点）
题型 8 二次函数实际几何动点压轴题（重难点）
基础·固本强基
题型1利润最值问题（共5小题）
【模型】利润模型→总利润 = 单件利润 × 销售量；单件利润 = 售价−进价，销量随售价一次变化，整理成二次函数，在自变量范围内求最值
【步骤】①设涨价 / 降价金额或者售价为未知数；②分别写出单件利润、销售量表达式；③列出总利润二次函数；④结合开口方向、自变量限制求最值
【易错】涨价降价加减搞反；忽略售价、销量的实际取值限制；求最值不看自变量范围
1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）新冠肺炎疫情后期，我市某药店进了一批口罩，成本价为1元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，一段时间调查，发现每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定1.3元，每天销售1080个；销售价定为1.5元，每天销售1000个．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价定为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)2元或3元；
(3)销售单价为元，最大利润为900元．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据每天获得800元的利润列出方程，解方程即可得到答案；
（3）根据销售利润列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设，把和代入得，
∴，
∴
（2）由题意得：，
∴，
解得，，
答：销售单价为2元或3元．
（3）
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，该药店每天的利润最大，最大利润为900元．
【点睛】此题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键．
2．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元．
(1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个．
(2)求与之间的函数表达式．
(3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
（）
(3)
当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）把代入，即可求出销售单价定为元时每天的销售量；
（2）当销售单价为元时，单件的销售利润为元，根据销售利润销售量单件销售利润，即可求出与之间的函数表达式；
（3）根据与之间的函数表达式求出抛物线的对称轴，根据二次函数的性质可知当时，值最大，把代入函数表达式即可求出最大利润．
【详解】（1）解：当时，
可得：，
销售单价定为元时，该种健身球每天的销售量是个；
（2）解：当销售单价为元时，单件的销售利润为元，
根据题意可得：；
（3）解：∵，
∴对称轴为，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，值最大，最大值为，
答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
3．（26-27九年级上·天津河北·期中）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少；
(3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)（）
(2)（）；当时最大，最大利润为元
(3)售价定为元时利润最大，最大利润为元
【分析】（1）根据销量随降价的变化规律列函数关系式即可；
（2）利用总利润、单件利润、销售量的关系构建二次函数，再结合二次函数性质求最大值即可；
（3）先由销量限制确定x的取值范围，再根据二次函数的增减性求最大利润即可．
【详解】（1）解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元，
∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）．
（2）解：∵ 单件利润为元，销量为件，
∴ （），
∵，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为，
∵ ，
∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）．
（3）解：由题意得，即，解得，
又∵ ，
∴ ，
∵开口向下，对称轴为，
∴在范围内，W随x的增大而减小．
∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）．
答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元．
4．（26-27九年级上·河北沧州·期中）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
(1)当售价为55元时，月销售利润是________元；
(2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？
(3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元．
【答案】(1)
(2)函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元．
(3)元
【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果．
（2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润．
（3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价．
【详解】（1）解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元），
单件利润为（元），
销量减少量（件），现月销量（件），
月销售利润（元）；
（2）解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）．
由题意知，售价不能高于元，即，解得，
∵为正整数，
∴．
根据题意可得：
；
∵，
∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
∵，为正整数，，，
∴是距离对称轴最近的整数，
∴当时，取得最大值，（元），
此时售价为（元），
即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元．
（3）解：令，即，
整理得，
即，
解得，，
∵为正整数，
∴不合题意，舍去，
∴，此时售价为（元）．
5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元．
(1)求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润；
(2)用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围；
(3)当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润．
【答案】(1)
第一期黄菊和铁皮石斛的总利润为2804元.
(2)
，；自变量的取值范围是且为整数.
(3)
当时，第二期总利润最大，最大总利润为3486元.
【分析】（1）利用徽州黄菊的利润+铁皮石斛利润，即可求解；
（2）根据题意分别列出函数解析式即可；
（3）先列出总利润的函数解析式，再配方，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：（元）；
（2）解：由题意得：，
；
∵且，
∴，
∴自变量的取值范围是且为整数；
（3）解：
，
∴当时，
题型2抛物线抛射类实际问题（共5小题）
【模型】抛射轨迹模型→物体运动轨迹为抛物线，高度y是水平距离x的二次函数，顶点对应最高点
【步骤】①建立平面直角坐标系；②代入已知点求抛物线解析式；③代入横坐标求高度或者代入高度求水平距离；④舍去不符合实际意义的解
【易错】建系原点选取混乱；出现负的距离、高度不进行舍去
6．（26-27九年级上·四川南充·期中）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：
水平距离
竖直高度
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米；
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)明明在此次考试中得到满分，理由如下：
把代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
即实心球从起点到落地点的水平距离为米，
∵，
∴明明在此次考试中得到满分．
【分析】（）根据图表解答即可；
（）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可．
【详解】（1）解：由表可知：时，，
∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，
∵当时，；当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，实心球在空中取得最大高度，
又∵当时，，
∴实心球在空中的最大高度是米；
（2）解：由（）知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）略
7．（26-27九年级上·江西新余·期中）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示．
【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．
(1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式．
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离_____m；
(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解；
（3）把代入抛物线解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
，
，
，，
，
，
，
把，代入函数解析式得，
解得，
；
（2）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
，
；
（3）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
乙站在球网右侧，
，
羽毛球离地高度不小于，且，
，
，
即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离．
8．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)求小球在斜坡上的落点A的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最高点坐标知抛物线顶点为且经过原点，用顶点式设解析式、代入原点求待定系数；
（2）落点既在抛物线上又在斜坡所在直线上，把两式联立求解（舍去表示抛出点的解）即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线经过原点，且最高点（顶点）坐标为，
设抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
，即，解得．
抛物线的解析式为，化为一般式得．
（2）解：设落点的坐标为，点既在抛物线上，也在斜坡所在直线上，联立得
，
移项整理得，即．
解得（舍去），．
当时，．
小球在斜坡上的落点的坐标为．
9．（26-27九年级上·四川德阳·期中）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
【答案】(1)抛物线表达式为
(2)球出手时，他跳离地面的高度是米
【分析】（1）根据题中建立的平面直角坐标系，将二次函数经过的点的坐标找出来，再利用待定系数法求解；
（2）根据题意，小杨所在位置为轴处，令求出球出手时的高度，即可求出小杨跳离地面的高度．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点，
其中点为抛物线的顶点，
∴设抛物线表达式为，
将代入中，得，
解得，
∴抛物线表达式为．
（2）解：令，则，
（米），
∴球出手时，他跳离地面的高度是米．
10．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示．
【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．
(1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式．
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离 ；
(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围．
【答案】(1)直角坐标系如图所示：
(2)
(3)
【分析】（1）以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则可求，利用解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得该击球方式接球地点，由乙站在球网右侧和羽毛球离地高度不小于，即可得出结论．
【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系；
连接，设抛物线解析式为，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
把，代入函数解析式得
解得
∴；
（2）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
∴．
∴；
（3）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
∵乙站在球网右侧，
∴．
∵羽毛球离地高度不小于，
∴．
∵，
∴．
∵乙站在球网右侧，
∴的取值范围为．
题型3拱桥、隧道通行判断问题（共5小题）
【模型】拱桥抛物线模型→拱顶为抛物线顶点，水平方向为x轴，竖直高度为y，根据宽度求高度，判断能否通行
【步骤】①建立坐标系，求出抛物线解析式；②根据车辆宽度找到对应横坐标；③计算该位置的竖直高度；④对比高度，得出能否通行结论
【易错】左右对称横坐标正负混淆；混淆拱高、跨度两个概念
11．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）．
(2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度．
【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数；
（2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较．
【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，．
设抛物线的函数表达式为．
∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为，
∴，，且点、都在抛物线上．
∴
解得，．
∴抛物线的函数表达式为（）．
（2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为，
∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面．
在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，．
∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过．
②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面．
集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过．
设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为．
需满足，解得．
∴至少要增加的吃水深度．
12．（26-27九年级上·广东东莞·期中）综合与实践：
【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．
【建立模型】
(1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式．
【解决问题】
(2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)大孔的水面宽度
【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式；
（2）求出水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位的位置，再代入函数表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为，
由题意得，抛物线过，
∴
解得，
∴解析式为；
（2）解：正常水位时水面在处．
小孔顶点距水面，所以小孔顶点在处．
水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位在处．
将代入可得，
解得
此时大孔的水面宽度为，
答：大孔的水面宽度．
13．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据题意列方程组，即可得到结论；
（2）设点，根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，，
设抛物线的解析式为，
则有，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴，
解得，（大于8，舍去），
∴，，
∴．
14．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米．
(1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方；
(3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值．
【答案】(1)；
(2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方；
(3)
的最大值为米．
【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式；
第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进；
第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值．
【详解】（1）解：由题意，顶点．
设顶点式，顶点为：
把代入：
∴，即．
（2）解：车最高点离地，令：
在到顶点这一段，取．
该位置向右可利用的水平长度为．
，
∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方．
（3）解：设直线的函数解析式为．
将点代入中，
得，
点在抛物线上，在直线上，轴：
设,则
时，取得最大值：
答：的最大值为米．
【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入．
15．（26-27九年级上·全国·期中）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可；
（2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，．
把分别代入抛物线对应的函数解析式，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式为．
（2）解：，
∴顶点坐标为，
∴拱顶到x轴的距离为．
由题意得，
将代入中，
解得，
，
∴除湿板与仓顶间的距离为．
题型4喷水类问题（共5小题）
【模型】喷水抛物线模型→水流轨迹是抛物线，喷水口、最高点、落地点为抛物线上关键点，横坐标代表水平距离，纵坐标代表高度
【步骤】①合理建立平面直角坐标系；②找准喷水口、顶点、落水点坐标，求出抛物线解析式；③根据问题代入横坐标求高度，或代入高度求水平距离；④结合实际取舍答案
【易错】坐标系原点设在喷水口时，坐标读取出错；分不清最大高度和喷水最远距离；忽略高度不能为负
16．（26-27九年级上·广西梧州·期中）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：，
点的纵坐标为0.5，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
当时，要使，则，
当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
17．（25-26九年级上·陕西安康·期中）某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为．
(1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式；
(2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案；
（2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入求出解析式，再求出点的坐标，即可求解；
【详解】（1）解：由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为，，
则设消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为；
（2）消防员灭、两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，
可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为，
抛物线过点，
，
解得，
故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为，
令，则，
，
．
18．（2026九年级上·上海·期中）飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”），如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，若两辆消防车同时后退米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？
【答案】消防车后退米后两条水柱相遇点距地面米
【分析】根据题干的平面直角坐标系，结合条件求出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可得答案.
【详解】解：如图，
设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，
根据题意得，，将其代入得：，解得：，
，
经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的，
经过点，的抛物线的顶点为，
经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，得，，
消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米.
19．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．
(1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度；
(2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？
【答案】(1)水管的长度为
(2)应把水管加长
【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答；
（2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将，代入，得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴水管的长度为；
（2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为，
将，代入， 得， 解得，
∴平移后抛物线的解析式为，
∴应把水管加长．
20．（26-27九年级上·全国·期中）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围；
（）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴，
令，得，
解得，
∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为；
（2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，
设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴调整后水管的最大长度为．
提升·进阶突破
题型5围栏面积最值问题（共5小题）
【模型】面积最值模型→固定围栏总长，设一边长，写出面积关于边长的二次函数，求最大面积
【步骤】①设变量，表示矩形各边长；②写出面积二次函数表达式；③确定自变量取值范围（边长 > 0）；④结合开口求最值
【易错】存在隔墙时边长倍数写错；忽略边长大于 0 的限制条件
21．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)（）
(2)不能，理由：
∵，
二次项系数，抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，在对称轴右侧，随增大而减小，
∴取最小值时，取得最大值，即，
∴当时，，
∴不能围成面积比平方米更大的花园．
【分析】（1）根据为米，得到为米，利用院墙的最大长度为米，得到的取值范围，根据矩形的面积计算公式列式即可得到答案；
（2）将与的二次函数的解析式转化为顶点式，继而根据二次函数的图象和性质得到取值范围的的最值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵为米，
∴为米，
∵院墙的最大长度为米，
∴，解得：，
∴（）；
（2）略．
22．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
(1)若平行于墙的一边长不小于米，
①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________．
【答案】(1)①，
②这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米
(2)
【分析】（1）①根据矩形的面积公式求出解析式，再根据限定条件求出自变量的取值范围即可；
②根据二次函数的性质作答即可；
（2）求出时x的值，再根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：①设苗圃园的面积为y，
∴
，
∵，且，
解得：，
∴，
②∵，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当时，y取得最大值，此时平方米；
∵
当时，平方米；
（2）解：当时，
解得：，
∵，
∴时，，
∵，
∴当这个苗圃园的面积不小于平方米时，．
23．（26-27九年级上·湖北咸宁·期中）如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据题意得的长为，可得，根据矩形的面积公式可得出y与x的函数关系式，由矩形的边长可列不等式求出x的取值范围；
（2）根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：根据题意得的长为，可得，
故，
根据题意，得，且，
解得，
故，且．
（2）解：，
，
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
24．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示．
(1)求长方形花圃面积的最大值．
(2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积．
【答案】(1)长方形花圃面积的最大值为1800平方米
(2)网红打卡点的面积为平方米
【分析】（1）设米，长方形花圃的面积为平方米，根据三边所用木栏总长米，写出与的函数关系式，即可求解；
（2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积-花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设米，长方形花圃的面积为平方米，则米，
根据题意，得：，
∵，
∴，
∴当时，有最大值1800，
答：长方形花圃面积的最大值为1800平方米；
（2）解：由（1）可知，长方形花圃面积的最大时，宽为30米，长为（米），
设网红打卡点的边长为米，
根据题意，得：，
解得：，（舍去），
∴网红打卡点的面积为（平方米），
答：网红打卡点的面积为平方米．
25．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为．
设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息：
(1)求与的函数表达式（结果写成一般式）．
(2)与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？
【答案】(1)；
(2)与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为．
【分析】（1）求出与墙平行的边的长度，进而列函数表达式，根据边长为正的实际意义求出的取值范围即可；
（2）将二次函数化为顶点式，进而作答即可．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
，
根据边长为正的实际意义可知且，
解得，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵在范围内，
∴与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为．
题型6二次函数方案选择问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→分别写出不同方案对应的函数，联立求出分界点，分区间比较函数值选出最优方案
【步骤】①列出每种方案对应的函数关系式；②联立方程求出临界点；③划分区间比较大小；④根据题意选择最优方案
【易错】区间划分不全；不等号方向写反；忽略变量实际限制
26．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息：
信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
模型建立
(1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式．
方案设计
(2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润．
【答案】(1)；；12；；
(2)A品的销量为件，B品的销量为件，最大值为4800元
【分析】（1）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；
总利润关于的函数解析式为；
（2）解：
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为4800元，
此时A品的销量为件，B品的销量为件．
27．（26-27九年级上·河北沧州·期中）在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告．
主题
探究生活中的抛物线
研究内容
如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度．
研究方法
根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）．
方案一
方案二
方案三
方案设计
实践成果
．．．．．．
(1)根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________；
(2)根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式；
(3)因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）．
【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三，
(2)选方案一，解析式为；选方案二，解析式为；选方案三，解析式为；
(3)
【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标；
（2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式；
（3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可．
【详解】（1）解：选择方案一：
由题意得，
；
选择方案二：
由题意得，
；
选择方案三：
由对称性可知点与点关于轴对称，，
，
又桥洞与水面的最大距离是，
，
；
（2）解：选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为；
选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为；
选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为，
代入，得，
解得，
抛物线解析式为；
（3）解：选择方案一中的解析式，
，
暴雨水位上升后，代入，得，
解得或，
水面宽为；
选择方案二中的解析式，
，
暴雨水位上升后，代入，得，
解得或，
水面宽为；
选择方案三中的解析式，
，
暴雨水位上升后，代入，得，
解得或，
水面宽为．
28．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践
为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．
【数学模型】
如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）．
【实践操作】
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米；
第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
【问题解决】：
(1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式；
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？
(3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)解：小明能顺利通过，理由如下：
由条件可知，小明同学进入跳绳位置的横坐标为，
当时，，
，
∴小明能顺利通过．
(3)绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案：这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），如：可按，，，，的顺序排成一列
【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可；
（2）由时求出其相应的函数值，进一步与进行比较即可确定结论；
（3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论．
【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点，顶点坐标为，
∴设该抛物线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，
即．
（2）略
（3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下：
这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），
如：可按，，，，的顺序排成一列．
∵将代入得，
∴绳子能顺利甩过身高同学的头顶．
∵将代入得，
∴绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶，
∵将代入得，
∴绳子能顺利甩过和两位同学的头顶，
∴按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶．
29．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与实践 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习：
【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】
问题情境
图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
(1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
任务二
(2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
碗体DEC的抛物线解析式可设为，
轴，，
，
，
，
，
解得，
碗体DEC的抛物线解析式为；
（2）解：根据题意可知，
，
，
，
，
设直线的关系式为
则解得
，
解得，，
当时，，即点，舍去；
当时，，即点；
故，．
30．（26-27九年级上·北京·期中）为了丰富学生课余生活，学校组织初三年级开展跳绳趣味活动．某数学兴趣小组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）．
探究过程如下：
①选两名身高基本相同的男同学持绳，两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米；
②当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米；
③现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线，记为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式：
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？
(3)现有5位排球运动员参与该活动，身高如下（单位：米）：①②③④⑤．这位同学与两位摇绳人并排一列且人同时起跳（忽略运动员所占空间），为确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？________（填写“能”或者“不能”）．若能，请写出一种排队方案（按排队顺序写序号即可）；若不能，请说明理由__________________________________________________________________________________________．
【答案】(1)
(2)解：小明不能顺利通过，理由如下：
由题意得，小明同学进入跳绳位置的横坐标为，
当时，
，
，
小明不能顺利通过；
(3)能；④②①③⑤（除最高同学外的四位同学的位置不唯一）
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再设绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可；
（2）由时求出其相应的函数值，进而与进行比较即可确定结论；
（3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论．
【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点，，
∴此时函数的对称轴为，
又∵最高点距地面的垂直距离为米，
∴顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
抛物线表达式为；
（2）略
（3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下：
这5位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端，
如：可按④，②，①，③，⑤的顺序排成一列．
将代入得，
绳子能顺利甩过身高同学的头顶．
将代入得，
绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶，
将代入得，
绳子能顺利甩过和两位同学的头顶，
按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶．
拔高·压轴破难
题型7二次函数实际几何动点压轴题（共5小题）
【模型】二次函数 + 几何动点综合模型→动点在抛物线上或者坐标轴上运动，结合线段、三角形、四边形、面积、等腰、直角、相似等几何条件，借助抛物线上点坐标(x,y)建立关系式求解
【步骤】①设动点横坐标为x，用抛物线解析式表示出动点纵坐标；②把线段长度、面积用含x的代数式表示；③根据几何条件列方程（等腰：两边相等；直角：勾股 / 垂直；面积：底乘高；相似：对应边成比例）；④解方程，检验点的位置、自变量范围，舍去不合理解；⑤分类讨论所有符合条件的情况
【易错】漏掉多种分类情况；线段表达式没有加绝对值，漏负的情况；忽略动点的运动范围；坐标转化线段长度时符号出错
31．（26-27九年级上·广东东莞·期中）【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为．
(1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽．
(2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽．
(3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)长方形卡片的长和宽分别为和或和
(2)根据题意画图如下：
长方形卡片的长和宽分别为和．
(3)当 cm 时，面积最大，最大值为 ．
【分析】（1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可；
（2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可；
（3）根据，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵如图，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和；
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
当时，，
当时，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
（3）解：设长方形面积为 S，
则，是二次函数且开口向下，
对称轴为
将 代入得
答：当 cm 时，面积最大，最大值为 ．
32．（26-27九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围；
(2)当四边形的面积等于时，求x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：，，故，
设运动的时间为，则，，
∴，
∴
，
即．
（2）解：根据题意：，
整理得：，
解得：，，
即当四边形的面积等于时， x的值为或．
33．（26-27九年级上·内蒙古兴安·期中）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？
(2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小．
【答案】(1)运动开始后第或秒时，的面积等于
(2)，当时，最小值为．
【分析】（1）设运动时间为秒，可将，表示出来，再由三角形的面积公式列出关于的方程求解即可；
（2）根据五边形的面积等于矩形减去，用表示，再通过配方法求得的最小值．
【详解】（1）解：设运动开始后第秒时，的面积等于 ．
则有，，
由得，
，
当时，，即，
解得或，符合题意，
即运动开始后第或秒时，的面积等于 ．
（2）解：五边形的面积等于矩形的面积减去，
，
配方得，
当时，最小值为．
34．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
(1)填空： （用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
(3)存在，当时，的面积最大，则．
【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度；
（2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可；
（3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动，
∴,
∵点从点开始沿边向终点以的速度移动，
∴，
∴；
（2）解：根据勾股定理可得，
∴
解得：或，
∴当或时，的长度等于；
（3）解：由题可得：，
∵，
∴当时，的面积最大，则．
35．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接．
(1)点________（填M或N）能到达终点；
(2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
【答案】(1)M
(2)，当时，S的值最大为
【分析】（1）利用速度公式可计算出点M到点A和点N到点C的时间，从而可判断点M能到达终点；
（2）经过t秒时可得，根据推出的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．
【详解】（1）解：点M需要秒运动到点A，点N需要秒运动到点C，
所以点M能到达终点；
（2）解：经过t秒时，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，S的值最大为．
题型8二次函数实际应用综合压轴题（共5小题）
【模型】实际综合模型→融合利润、几何、不等式限制，多小问递进，求最值、取值、最优方案
【步骤】①提取题干等量关系；②建立函数、不等式；③分步求解，每一步检验实际意义；④综合作答
【易错】多小问条件混用；漏掉多个自变量限制条件；作答不贴合实际情景
36．（26-27九年级上·山西大同·期中）项目式学习
【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略．
【信息收集】
信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是．
信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示：
钾肥施用量（公斤）
0
5
销售收入（元）
信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元．
信息4：每亩玉米的销售利润为w元，．
【建立模型】
(1)根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ．
(2)当时，解决下列问题：
①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 .
②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量．
(3)当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值．
【答案】(1)二次；
(2)①
②每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤.
(3)
【分析】（1）观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，选择三组信息2的表格中的数据，代入列出方程组，解出即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式.
（2）①根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，再根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可列方程组，解出即可得每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式.
②根据（1）得，再根据（2）①得，再把、代入，化简即可得
，当每亩玉米的销售利润为元时，，化简后解出即可得每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量.
（3）根据（1）得，再根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，结合钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可求出每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）的函数关系，再把、代入，化简即可得，进而得与的满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线，当时，利润有最大值，根据每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，即可得，解出即可得每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值.
【详解】（1）解：观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，把，；，；，三组数据代入得：
，解得：，
∴，
∴销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式为.
（2）解：①∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，
∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为，
根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得：
，解得：，
∴，
∴每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为.
②根据（1）得，
再根据（2）①得：，
∵每亩玉米的销售利润，
∴
，
当每亩玉米的销售利润为元时，
，化简得：，解得：，，
∵，在的范围内，
∴，都符合题意，
∴每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤.
（3）解：根据（1）得，
∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，
∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为，
根据钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得：
，解得：，
∴，
∵每亩玉米的销售利润，
∴
，
∴，
∴与满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线，
当时，利润有最大值，
∵每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，
∴，解得：，
∴每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值为．
37．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）综合与实践
项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划
项目背景：
为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验．
测量数据：
竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．
(1)任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式；
(2)任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积；
(3)任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？
【答案】(1)，；
(2)，时，园区有最大面积；
(3)绣球花最多可以购进株．
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）用配方法求最大面积；
（3）设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠，根据题意列不等式并求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
其中，，，
∴，
整理得；
，
∵墙长，
∴，
解得，
∴，；
（2）解：
，
当时，，此时，
即，时，园区有最大面积；
（3）解：在（2）的条件下，种植面积有，
设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠，
由题意知绣球花可种植株，红叶石楠可种植株，
∴，
解得，
即，
当时，绣球花可种植的数量最多，为株，
∴绣球花最多可以购进株．
38．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：无人机投递轨迹建模与参数优化分析
无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，年中国工业级无人机市场规模将达亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．现以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分．
【任务一：调整仓库位置】
(1)因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标求满足这些条件的的值．
【任务二：优化重型包裹投递路径】
(2)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量．记作．当无人机投递重型包裹时，因周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一调整后的轨迹顶点相同，同时需要改变抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平移的方向和距离可知，平移后的抛物线的解析式为，把代入，得到关于的方程，解方程即可求出的值；
（2）由（1）可知，调整后的抛物线的解析式为，所以调整后的顶点坐标为，又因为，所以当时，随的增大而增大，分别求出当时和当时对应的函数值，根据垂直波动量米，列出关于的方程，解方程即可求出结果．
【详解】（1）解：平移后的抛物线的解析式为，
把代入，
可得：，
整理可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
满足这些条件的的值为 ；
（2）解：由（1）可知，调整后的抛物线的解析式为，
调整后的顶点坐标为，
新抛物线的解析式为，
，
当时，随的增大而增大，
当时，可得：，
当时，可得：，
垂直波动量米，
，
解得：，
的值为．
39．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践．
项目名称
为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹
问题情境
如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为．
收集信息
①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为．
抽象模型
图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径．
(1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式．
(2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围．
(3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可；
（2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围；
（3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为，
因此抛物线顶点坐标为．
设抛物线顶点式为，
又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点，
将代入解析式：，
解得，
因此抛物线解析式为；
（2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头，
设抛物线顶点式为，代入得，
即，
因此抛物线解析式可整理为：，
∵顶点横坐标恒为1，且过喷头，
∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池；
∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，
∴当时，，
当时，，解得，
∴；
（3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离．
第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远．
此时（2）中抛物线解析式为，
∵，，
∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E，
∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同，
∴第二层喷头的抛物线解析式为，
将代入抛物线解析式得，
解得：（舍去）
因此底部圆形水池的最小半径为．
40．（26-27九年级上·安徽芜湖·期中）如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设．
(1)求x的取值范围．
(2)求区域③的面积S关于x的函数解析式．
(3)已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，总费用的值最小，最小值为9900元
【分析】（1）先求出，表示出区域②的面积为，再结合题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果；
（2）连接，由题意可得F，N，O三点共线，，，求出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果；
（3）由（2）得，设总费用为w元，表示出关于的关系式，再结合二次函数的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴，
区域②的面积为．
区域②的面积不超过矩形面积的，
，
解得，
x的取值范围为．
（2）解：如图，连接，
由题意可得F，N，O三点共线，，．
，
．
是等腰直角三角形，
，
的面积为，
．
（3）解：由（2）得．
区域①和区域②所种花卉的价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，
区域③的费用为元．
矩形的面积为，
区域①和区域②的费用之和为元．
设总费用为w元，
则
．
，，
当时，总费用的值最小，最小值为9900元．
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