专题02 二次函数解答题（压轴专练）14大题型70题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版

专题02二次函数解答题（压轴专练） 基础·固本强基 题型1求抛物线解析式（一般式、顶点式、交点式）（重点） 题型2抛物线解答题中简单面积问题（重点） 提升·进阶突破 题型3抛物线上动点，求线段长度或周长最值（难点） 题型4抛物线上动点，求面积（铅垂法）（难点） 题型5抛物线上动点，求面积的最值（难点） 题型6抛物线上动点，求面积倍数问题（难点） 拔高·压轴破难 题型7抛物线上动点，构造直角三角形存在性（压轴） 题型8抛物线上动点，构造等腰三角形存在性（压轴） 题型9抛物线上动点，构造平行四边形存在性（压轴） 题型10抛物线上动点，构造菱形存在性（压轴） 题型11抛物线上动点，构造矩形、正方形存在性（压轴） 题型12抛物线上动点，构造相似三角形存在性（压轴） 题型13抛物线背景下角度相等、二倍角问题（难点） 题型14抛物线背景下的定值、定点、定线段问题（难点） 基础·固本强基 题型1求抛物线解析式（一般式、顶点式、交点式）（共5小题） 【模型】抛物线解析式三形式模型→一般式；顶点式；交点式 【步骤】①根据已知条件选择合适解析式形式；②代入点坐标列方程（组）；③求解参数，写出解析式；按需化为一般式 【易错】交点式展开时计算出错；漏掉条件；已知顶点时选错解析式形式 1．（26-27九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据待定系数法代入已知点的坐标，即可得到该抛物线的表达式； （2）将该二次函数的表达式转化为顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 2．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)该抛物线的顶点坐标为 【分析】（1）把时，函数值是4；当时，函数值是分别代入列出方程组，解出即可得二次函数的表达式． （2）把（1）的二次函数表达式配方后得，即可得抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）解：根据（1）得：二次函数的表达式为， 配方得， ∴该抛物线的顶点坐标为． 3．（26-27九年级上·天津和平·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两根分别为、，且，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解； （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知等式求解，再结合（1）的取值范围检验结果． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∵，，， ∴， 整理得， 解方程， 得， ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴的取值范围是或； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 解得， ∵，符合（1）中的取值范围， ∴的值为． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求抛物线的解析式及表格中的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，的值为 (2)的取值范围是. 【分析】（1）找出顶点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入求出的值； （2）根据二次函数的增减性确定在取得的最大值与最小值，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∴点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 将代入中，解得． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴直线在范围内， ∴在对称轴处取得最小值， ∵当时，； 当时，， ∴当无限接近时，无限接近， ∴在时，． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】(1) (2) 点在这个二次函数的图象上 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）令，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得， ∴； （2）解：将代入二次函数解析式，得， ∵计算所得的函数值与点的纵坐标相等， ∴点在这个二次函数的图象上. 题型2抛物线解答题中简单面积问题（共5小题） 【模型】割补基础面积模型→规则图形分割、补形，用坐标求底、高， 【步骤】①标出各点坐标；②确定图形底与高，或分割成三角形、梯形；③代入面积公式计算；④整理结果 【易错】坐标直接当作线段长度，忽略正负；割补时重复或者漏掉部分区域 6．（26-27九年级上·上海闵行·期中）已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)抛物线上的一点的横坐标是，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式代入点坐标求解系数即可得到解析式； （2）先求出点坐标，再利用、纵坐标相同的特点计算底长和对应高，进而求三角形面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为（）， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线的函数解析式为，即； （2）解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，， ∴线段平行于轴，， ∵点的坐标为， ∴点到直线的距离为， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线与x轴交于、B两点． (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)一次函数的图象与抛物线相交于A，C两点，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）先求出点B的坐标，进而求出的长，再求出点C的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， 联立得， 解得或， ∴点C的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 9．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出a的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出k，b的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以二次函数为， 将代入，得， 所以 将和代入得： ，解得， 所以一次函数为； （2）解：． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1)；； (2)直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围；当时，y的取值范围. 【答案】(1)；4 (2) (3)6 (4)； 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求得，将代入求出； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据求解即可； （3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 故答案为：；4； （2）解：设直线的解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）解：在中，令，则， ∴C的坐标为， ∴， ∴； （4）解：∵、， 观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值； y的取值范围； 当时， 当时有最小值， 当时有最大值， ∴y的取值范围， 故答案为：；． 提升·进阶突破 题型3抛物线上动点，求线段长度或周长最值（共5小题） 【模型】竖（横）线段最值+将军饮马周长模型→竖线段：；周长最值利用对称转化折线为线段 【步骤】①设动点横坐标，表示出动点、定点坐标；②写出线段表达式，转化为二次函数；③开口判断求最值；周长类先作对称点连线求最短 【易错】线段表达式上下相减写反；周长最值忘记固定线段不能动；自变量取值范围忽略 11．（25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 【答案】(1) (2)，的最小周长值为 【分析】（1）根据直线交坐标轴于，两点，可得点，点坐标，利用待定系数法即可求解． （2）根据当的周长最小时，则最小，此时点D为直线与直线的交点，把代入，求出y值即可求点D坐标．再求出点A坐标，从而可求得，，即可由的周长最小值求解． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， 抛物线交直线于坐标轴上，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交x轴于点A、B， ∴点A、B关于直线对称， ∵点D在抛物线的对称轴上， ∴， ∴ ∴当点B、D、C三点共线时，的值最小，最小值等于的长， ∵的周长， ∴当的周长最小时，则最小， 此时点D为直线与直线的交点，如图， 把代入，得， ∴． 把代入，得， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键． 12．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线； (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，若，求点P的坐标． (3)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，进而求得点C的坐标； （2）设．由面积值即可求得n的值，进而求得m的值，即可求得点P的坐标； （3）连接，则的最小值为的长．求出直线的解析式，其与抛物线对称轴的交点即为点Q的坐标，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 所以； 令得， 所以． （2）解：设． ， 解得． ∴，得， 解得， 所以或． （3）解：如图，连接， 因为A、B关于抛物线的对称轴对称， 所以， ∴， 即的最小值为的长． 直线与抛物线的对称轴的交点即为Q． 直线过， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 所以直线的解析式为， 令，得， 所以； 的最小值为． 13．（26-27九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出的值，得出抛物线解析式，配方即可求出抛物线顶点坐标； （2）根据（1）中所求解析式，求出、坐标，即可求出的面积； （3）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的对称性得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，根据顶点坐标可得对称轴为直线，把代入的解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，连接，， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：如图，连接，交对称轴于，连接， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得, ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点坐标为． 14．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，． (1)根据图象，直接写出不等式的解集． (2)若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是数形结合． （1）根据直线方程得到点的坐标，再根据图象不等式的解集即为二次函数在一次函数上方时对应的自变量取值范围； （2）根据待定系数法求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，则，得出当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点，即可求解； 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 则点， 根据图象得，不等式的解集为； （2）解：把，分别代入得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 如图，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接， 则， 当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点， ∴． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的面积为6； (3)抛物线对称轴上存在一点E，使的值最小，点E的坐标为． 【分析】本题是二次函数的综合题，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论； （2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论； （3）连接交对称轴于点E，则此时最小；分别求得对称轴方程和直线的解析式，据此即可求得点E坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴的面积为6； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 连接交对称轴于点E，则此时最小，如图，    设直线的解析式为，由题意得：， 解得：． ∴直线的解析式为． 当时，． 解得：． ∴． ∴抛物线对称轴上存在一点E，使的值最小，点E的坐标为． 题型4抛物线上动点，求面积（铅垂法）（共5小题） 【模型】铅垂高面积模型→，水平宽：左右两点横坐标之差；铅垂高：动点到定直线竖直距离 【步骤】①设动点坐标；②找到水平宽；③表示铅垂高；④代入铅垂法公式列式计算 【易错】铅垂高、水平宽找错；铅垂高写成时上下顺序颠倒 16．（26-27九年级上·山东临沂·期中）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)为顶点，求三角形的面积． (3)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离及此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P到直线的最大距离为，此时点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先将抛物线解析式转化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，从而得到三角形的高，根据，得到三角形的底长，最后利用三角形面积公式，即可求解； （3）用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交轴于点，交于点，过点作于点，由题可推出，从而根据勾股定理，得，即，推出，所以当最大时，最大，即点到直线距离有最大值，设，则，可得，故当时，有最大值，可求得，，从而求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴设抛物线函数解析式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴三角形的高为的纵坐标绝对值，即， ∵， ∴三角形的底为点、之间的距离，即， ∴三角形的面积为； （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点作轴交轴于点，交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得， ∴，即， ∴， ∴当最大时，最大，即点到直线距离有最大值， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值 此时，，， ∴点P到直线的最大距离为，此时点坐标为 17．（26-27九年级上·全国·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 19．（25-26九年级上·吉林四平·期中）已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)判断的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为 (2)点坐标为点坐标为． (3)的面积为3． 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）把分别代入可求出，可得两点的坐标,再把点坐标代入求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）解：把代入得，， ∴； 把代入得， ∴， ∵， ∴， ∴； 把代入，得：， 解得：； （3）解：由（2）得， 当时，， ∴与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 20．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知二次函数的图象经过点与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若P是抛物线上一点，使，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)P点的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）设，根据题意得出，然后代入二次函数求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P是抛物线上一点， ∴当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或， ∴或， 综上可得：P点的坐标为或或． 题型5抛物线上动点，求面积的最值（共5小题） 【模型】铅垂法+二次函数最值模型→先用铅垂高写出面积关于x的二次函数，再在自变量范围内求最值 【步骤】①设动点坐标；②铅垂法写出面积表达式；③整理成二次函数；④结合开口、自变量范围求面积最值 【易错】求最值不看动点x取值范围；面积表达式化简计算符号出错 21．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，抛物线交x轴于点A，，交y轴于点C，对称轴为直线，点D是第四象限内抛物线上一点，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形面积的最大值，并求出此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，点D的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟悉二次函数的性质是解题的关键， （1）根据抛物线的对称性可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据和，连接，根据四边形的面积，利用二次函数顶点式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴，即， ∵点，， ∴， 设点D的坐标为， 如图，连接， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值是， 此时， 此时点D的坐标为． 22．（26-27九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 【答案】(1)（）． (2)当时，的面积取得最大值，最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示、，写出与的函数解析式及自变量取值范围； （2）把与的解析式化成顶点式，求面积的最大值． 【详解】（1）解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． （2）解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 23．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点A，B的坐标，再将点A，B的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程即可； （2）设，过P作y轴的平行线交直线于Q，则，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：直线中， 时，故； 时，故． 将、代入， 得， 解得； （2）解：由（1）可得：， 设， 过P作y轴的平行线交直线于Q，则， ∵P在直线上方， ∴， ∴， 当时，的面积最大，最大值为8． 24．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式： (2)的面积______； (3)点N是直线上方抛物线上的一点，的面积最大值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由顶点，设抛物线为，将代入得，解得，展开整理得解析式为； （2）先求，由抛物线对称性得，求出直线．过M作竖直线交于，得，水平宽，由，计算得面积为； （3）设，对应直线上点，得，面积，开口向下，当时取最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令， 代入抛物线解析式得， ∴， ∵抛物线为， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入、直线解析式中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴于点E，交直线于点D，如图： ∴点D横坐标为1， 代入直线解析式得，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：设点N的横坐标为，则， 过N作轴，交直线BC于点Q，连接，如图： ∴， ∴ ， 同理可得， ， ∵， ∴当时取得最大值，即， 将代入得， ． 25．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 题型6抛物线上动点，求面积倍数问题（共5小题） 【模型】面积比例等式模型→先算出基准图形面积，根据倍数关系列面积方程求解动点 【步骤】①计算已知图形面积；②设动点，铅垂法表示目标图形面积；③根据倍数关系列方程；④解方程，检验动点范围 【易错】方程多解不检验是否在抛物线上、是否符合题意；倍数关系列式颠倒 26．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出点、的坐标，代入，即可求解； （2）当时，可得抛物线解析式为，设点，过点作于点，由，，可得，则，即可求解； （3）由，可得抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得， 当时，， ∴，， 把，代入，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，， 当时，， ∴抛物线解析式为， 如图，设点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或 整理得或 解得，，，， 当，时，， ∴，， 当，时，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（26-27九年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，点在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线上，且，，求的值； (3)过点作直线，交轴于点，当的面积等于时，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，推出，据此求解即可； （3）求得直线的表达式为，设直线的表达式为，求得直线的表达式为，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为，可得， 把点，，代入表达式得， 解得， 抛物线表达式为； （2）解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，由（1）得抛物线表达式为， ， 设直线的表达式为，把代入得， 直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， ， ， 直线的表达式为， ， 由抛物线对称轴为，，得， 当点在点上方时， ， ， 的面积等于， ， 解得或； 当点在点下方时，， ， 的面积等于， ，此方程无实数根， 综上，或． 28．（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，点D的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一元二次函数和一元一次函数的解析式、一元二次函数的性质、一元二次方程的求解． （1）利用待定系数法将代入抛物线建立方程组，解得的值即可求解； （2）设直线的表达式为，将代入得关于的方程组，解之求得一次函数表达式，设，，进而得．时，时，时，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：直线能把分成面积之比为的两部分，理由如下： 设直线的表达式为， 把代入，得，解得， 则直线的表达式为． 设，则， ∴， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去）， 此时点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去）， 此时点坐标为． 综上所述，当点的坐标为或时，直线能把分成面积之比为的两部分． 29．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 30．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于、两点，与轴相交于，，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． (3)若点在抛物线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据，可求；再依据对称轴是直线，点的坐标为，可求、，即可求得抛物线解析式． （2）求出直线解析式，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． （3）可求的面积，设，则，根据的面积是的面积的倍，列方程即可求点坐标． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵对称轴是直线，点的坐标为， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将点代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． （3）解：∵，关于对称轴直线对称， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积是的面积的倍， ∴，解得， 当时，即，解得， ∴，； 当时，即，解得或， ∴，； 综上，点的坐标为，，，． 拔高·压轴破难 题型7抛物线上动点，构造直角三角形存在性（共5小题） 【模型】直角三角形分类讨论模型→分三种情况：定点A为直角顶点、定点B为直角顶点、动点P为直角顶点，用垂直斜率/勾股/向量列式 【步骤】①设动点坐标；②分三类讨论直角顶点；③利用勾股定理或者垂直条件列方程；④解方程，舍去不合理解 【易错】漏掉其中一类直角顶点情况；解方程得到的增根不检验；垂直条件列式符号错误 31．（26-27九年级上·山东济宁·期中）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 32．（2026九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 33．（2022·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则，根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 34．（2022·山东临沂·模拟预测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 35．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 题型8抛物线上动点，构造等腰三角形存在性（共3小题） 【模型】等腰三角形三分类模型→，两点距离公式，平方去掉根号 【步骤】①设动点坐标；②算出定边长的平方；③分三种腰相等情况列距离平方等式；④解方程，检验点是否符合范围 【易错】分类不全；直接保留根号计算繁琐易算错；得到的点三点共线不舍去 36．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 37．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值是1 (3)存在，或或 【分析】（1）利用矩形的性质即可得到点A的坐标；用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由题意可得的长，且用待定系数法可求得直线的解析式，易得，由相似三角形的性质可求得的长，从而可求得点E、G的坐标，得到关于t的二次函数关系式，即可求得的最大值及此时的t值； （3）分三种情况：；利用两点间的距离公式可得关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：矩形的三个顶点，，， 轴，轴，点的坐标为， 将、两点坐标分别代入得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：如图1，由题意得：， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， ，即， ， 当时，， ，，，， ， ， 当时，有最大值是1； （3）解：有三种情况： ①当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ． 整理得， ， 解得或（此时、重合，不能构成三角形，舍去）； ②当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ， 整理得， 解得：，（此时不在矩形的边上，舍去）； ③当时， ，，， 根据两点间距离公式，得：， 解得（此时、重合，不能构成三角形，舍去）或． 综上，的值是或或． 38．（26-27九年级上·四川德阳·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，解方程组求解即可； （2）确定直线的表达式，设，则点的坐标可用含的代数式表示，进而表示出的长度，利用函数性质求最大值； （3）先确定对称轴及点坐标，再分情况进行讨论求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的表达式为， ，， 解得 ， 设， 轴， ， ， 点在轴下方的抛物线上， ， 当时，值最大，最大值为； （3）解：对抛物线， 当时，， ， 对称轴为直线， 设， 则，，， 当时， 解得， ； 当时，， 解得，， 或； 当时，， 解得，， 或， 设直线关系式为， 解得 直线关系式为， 当时，，即在直线上，点，，三点共线，故舍去； 综上可知点的坐标为或或或． 39．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设点的横坐标为，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）由、得、坐标，用待定系数法求抛物线的表达式； （2）点在上，；过作的垂线，由得等腰直角三角形，用等积法表示垂线段长，结合勾股定理列方程求出点的坐标； （3）用勾股定理把、、表示为的式子，按“以为腰”分、两种情况列方程，并检验点在直线上方． 【详解】（1）解：∵，，点在点左侧， ∴，，点为抛物线与轴的交点，． ∵抛物线经过点、， ∴ 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点在上， ∴与在同一直线上， ∴． 过点作，垂足为． ∵点在直线上方， ∴垂足落在射线上． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由待定系数法可求出直线的解析式为， 设点的横坐标为，则，， 其中轴，垂足为，则点的坐标为． 过点作，垂足为，则，． 在中，． ． ∵， ∴． 又， ∴， 两边除以（），得 ， 即， 两边同乘，得， 即， ∴， ∴， ∴或． ∵点在直线上方，， ∴不合题意，舍去，． 当时， ， ∴， 此时，点在直线上方，符合题意， ∴存在点，其坐标为． （3）解：∵，交于点，点的横坐标为， ∴，． ∴． 过点作，垂足为，则，． 在中，． 又． ①若，则， 两边除以（），得， ∴， ∴或， ∴或（此时点与点重合，不在直线上方，舍去）； ②若，则， 两边除以，得， ∴， ∴或（大于，舍去）． 检验：时，在直线上方；时，在直线上方． ∴或． 40．（18-19九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）先根据一次函数求出点坐标，再由求出坐标，然后由待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则，然后设，表示出，，，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当， ∴， 将代入，则， ∴， 当，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 将代入，则 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，由可得对称轴为直线，则 ∴设， 则，，， ①时，， 解得：或（舍）， ∴； ②时，， 解得：， ∴； ③当时，， 解得：， ∴或， 综上：当是等腰三角形，，，，． 题型9抛物线上动点，构造平行四边形存在性（共5小题） 【模型】平行四边形中点坐标模型→对角线中点重合：若为对角线，则 【步骤】①分清定点、动点；②分类确定哪两个点作为对角线端点；③中点公式列方程组；④求解，验证点位置 【易错】对角线分类讨论不全；混淆顶点对应关系；解出来的点重合不剔除 41．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】(1)①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 (2)点，点或点，点或点，点 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， （2）解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 42．（26-27九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时，点坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，进而得出，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出对角线的交点分别为两对角线的中点，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，交于， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时，， ∴点坐标为． （3）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的交点分别为两对角线的中点， 设， ∵是抛物线的对称轴直线上的一动点， ∴设， ①当、为对角线时， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴，即； ②当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； ③当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； 综上所述，点的坐标为或或． 43．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 44．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，过点作直线垂直于轴，交直线于点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，的最大值为9 (3)或或或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，根据二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为：；直线的解析式为：； 设点， ∵过点作轴，交直线于点， ∴点， ， ∴当时，的最大值为9， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 45．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 题型10抛物线上动点，构造菱形存在性（共5小题） 【模型】菱形判定模型→平行四边形+邻边相等；或者四条边长相等；优先先用平行四边形中点模型，再加边长相等条件 【步骤】①先按平行四边形中点公式得到坐标关系；②增加一组邻边相等的距离等式；③联立方程求解；④检验四点不共线 【易错】只满足平行四边形，忘记邻边相等条件；四点共线情况没有排除 46．（25-26九年级上·四川眉山·期中）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，，． 47．（25-26九年级下·重庆·期中）已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．和1是关于x的一元二次方程的两个根． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点，与y轴交于点E，P为直线下方抛物线上的一个动点，连接交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q，点M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点A，M，N，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，点N的坐标为或或或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系列方程组，求出系数a、b的值即可确定解析式； （2）过点P分别向x轴、直线作垂线，构造三角形，设点P的横坐标为t，根据相似三角形的对应边成比例的性质，用含x的代数式表示的高，该三角形的底边、平行线、之间的距离为定值，由此求出关于t的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值及点P的坐标； （3）先求出点Q的坐标为，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，解方程求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵和1是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴该抛物线的解析式为 （2）解：作轴，交于点H，作于点G，作于点K，如图所示： 当时，，则、， 当时，，则． 设直线的解析式为，则，解得 ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∵轴， ∴， ∴， ， 当时，的面积最大，最大值为，此时． （3）解：存在． ， ∴原抛物线的对称轴为直线， 设点M的坐标为， ∵将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， ∴， 此时、为菱形的对角线， ∴， 解得：， 此时点N的坐标为； 当时，， 则， 解得：， ∴点的坐标为或， 此时、为菱形的对角线， ∴当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当时，， 则， 解得：， ∴点的坐标为或， 此时、为菱形的对角线， ∴当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或或或． 48．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为平面内一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 【答案】(1)； (2)面积最大值为，点P的坐标为； (3) 解：，该抛物线向左移动个单位， 新抛物线的解析式为：， 新抛物线的对称轴为直线， 设； 当线段为菱形的对角线时，， ，， ，， ，解得， ， ，， ，， ； 当线段为菱形的边时， ，， ，，， ①当时， ，即， 或； 或； 直线为， 当时，， 在直线上，不合题意，舍去， ，， ，， ； ②当时， ，即， 或； 或； ，， ， 或； 综上，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据题意先求出，，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． （2）过点作轴平行线，交直线于点，连接，，再利用待定系数法求得直线解析式为：，故可设，，根据三角形面积可得，即可求得面积最大值为，点P的坐标为． （3）根据抛物线移动可得新抛物线的解析式为：，即新抛物线的对称轴为直线，设，分成当线段为菱形的对角线时、当线段为菱形的边时的两种情况，再当线段为菱形的边时，分成、的两种情况分别讨论，结合勾股定理，菱形的性质和二次函数的性质即可求解， 【详解】（1），，， ，， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴平行线，交直线于点，连接，，如图所示： 设直线解析式为：， 将，代入上式，可得， 解得：， ∴直线解析式为：， 故可设，， ∵，， ∴， ∴， ∴面积最大值为，点P的坐标为． （3）略 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，菱形的性质和二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 49．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，得， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为，顶点为D， ∴点D的坐标为， 分两种情况讨论： ①当为菱形的边时， 如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②当为菱形的对角线时， 如图3， 设点，， ∵， ， 解得： ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键． 50．（2026·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为、、或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解； （3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线解析式为， 抛物线过， ， ， 此抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，如下图所示， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 则， ，， 当时，最大，此时最大， ； （3）根据题意可设， ，， ，，， ①，即， ，， ，， ②，即， ， ，， ③，即， （不合题意，舍去）， 综上所述，满足条件的点坐标有、、或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 题型11抛物线上动点，构造矩形、正方形存在性（共5小题） 【模型】矩形：平行四边形+有一个直角；正方形：矩形+邻边相等 【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加垂直条件（直角）得到矩形；③再加邻边相等得到正方形；④检验、取舍 【易错】正方形双重条件容易漏一条；垂直条件计算出错；忽略动点限制范围 51．（26-27九年级上·天津武清·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 52．（25-26九年级下·辽宁抚顺·期中）已知一次函数，若，则称为的升幂函数；若，则称为的降幂函数．若该一次函数的升幂函数经过点，降幂函数经过点． (1)求此一次函数的表达式． (2)若，，的图象都交于点和点，且点的横坐标小于点的横坐标，求出点，的坐标． (3)图象上是否存在点，图象上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在图象对称轴左侧的图象上存在一点，连接，，使得的面积为，交的图象于点，求证：． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，点的坐标为； (3)存在，点的坐标为; (4) 证明：如图，过点作轴交直线于点，过点作于点，过点作于点， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴， 解得，， ∵点在图象对称轴的左侧，对称轴为直线， ∴点， ∵点， ∴同理得直线的表达式为， 联立，解得（舍去），， ∴点的坐标为， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴． 【分析】（）根据升幂函数和降幂函数定义，一次函数的升幂函数经过点，降幂函数经过点得出，然后求出，的值即可； （）由（）得，，，又，是，，图象的交点，令解得，，然后代入验证即可； （）易知以为对角线的矩形不存在，分别得出直线的表达式为，直线的表达式为，联立，从而得到点的坐标为，同理得点的坐标为，所以，则，然后证明四边形是矩形，从而可得点的坐标为； （）过点作轴交直线于点，过点作于点，过点作于点，所以，设点的坐标为，则点的坐标为，则，所以，解得，，得点，然后得出直线的表达式为，联立，解得（舍去），，所以点的坐标为，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则，，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得升幂函数，图象经过点， ∴， 由降幂函数，图象经过点， ∴， 联立， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（）得，，， ∵，是，，图象的交点， 令解得，， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴点，， 把点，代入，得，，点，均在图象上， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：存在，如图，易知以为对角线的矩形不存在， ∴为矩形的一边， ∴直线的表达式为， 设直线与交于点，当时，， ∴， ∴， ∵点，， ∴点为中点， ∵， ∴直线经过原点， ∴设直线的表达式为， 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 联立，解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴点的坐标为； （4）略 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的应用——特殊平行四边形，两点间的距离，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 53．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 54．（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 55．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 题型12抛物线上动点，构造相似三角形存在性（共5小题） 【模型】相似三角形对应顶点分类模型→固定一组等角，再分两组对应边成比例 【步骤】①先找到一组相等角；②分类讨论对应顶点；③列出对应边比例式；④代入坐标解方程，检验 【易错】对应顶点分类漏情况；比例式前后项写反；忽略三角形形状限制 56．（2025九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线的解析式，设点的坐标为，求出，，根据二次函数最值，求出最后结果即可； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， 令，得， ∴点的坐标为． ∴． ∵， ∴， 即点A的坐标为． ∵点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式是，即． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图1，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 设直线的解析式为，把代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， ∵轴， ∴． 把代入得：，解得， ∴． ∴ ． ∴当时，有最大值，且最大值为． ∴的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：如图2， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形． 也是锐角三角形． ∴点在点的上方． ∴． ∴． ∵，，， ①当时， ∴，即，解得， 即点． ②当时， ∴，即，解得， 即点． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 57．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【分析】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，二次函数综合—相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 58．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) 解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． 59．（2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，，； (2)所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，，解得，，则，，当时，，通过，求出的值即可； （）分当时，则时，当时，则时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，当时，则时，， ∴轴， 设， ∴， ∴，， 由（）得，， ∴，解得：， 经检验是原方程的解， ∴，； 如图，当时，则时，，过作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 60．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，， (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，刚好使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的坐标为：或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）将，分别代入中，求解可得点的坐标为，点的坐标分别为：、，结合题意可得，待定系数法求得直线的表达式为：，设点，则点，即，当时，取得最大值，进而求得点、，，将点向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，利用平行四边形的判定和性质可得，故此时为最小． （3）根据平移的性质可得新抛物线的表达式为：，待定系数法求得直线的表达式为：，再分成点在下方时，当点在上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：；· （2）解：将代入中，即， ∴点的坐标为， 将代入中，即， 解得：，， ∴点的坐标分别为：、， ∵点为线段的中点，，， ∴点， 设直线的表达式为， 将，分别代入上式，即 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值， 即点、， ∴， 将点向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （3）解：∵抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，可得新抛物线， ∴新抛物线的表达式为：， 设直线的表达式为， 将，分别代入上式，即 解得：， ∴直线的表达式为：， 当点在下方时， ∵， ∴则， 则直线和表达式中的值相同， 设直线的表达式为， 将代入上式，即 解得：， ∴的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时，同理可得，点，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点Q的坐标为：或． 题型13抛物线背景下角度相等、二倍角问题（共5小题） 【模型】角度转化模型→等角：平行线、对称、构造等腰；二倍角：外角构造等腰、三角函数正切值关系 【步骤】转化角度条件，转化为等角或者正切相等；②设动点坐标，表达正切值；③列方程求解；④检验角度符合要求 【易错】二倍角转化模型用错；等角时没有考虑角度在直线两侧的多解情况 61．（26-27九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求以点、、为顶点的三角形的面积； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②抛物线上始终存在与不重合的点； 理由如下：点在抛物线上， ， 轴， 直线为， 点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 把坐标代入，得 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组： 整理得，， 解得，，， 对应点， 点的横坐标为， 代入抛物线，得： ， ， ， ， 点在射线上， 射线与射线关于直线对称， ， 点始终存在． 【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解． （2）①求出直线的解析式，利用平行四边形一组对边平行且相等列方程． ②作射线与射线关于直线对称，求射线与抛物线除点外的另一个交点，并验证该点始终存在． 【详解】（1）解：令， ， 整理得：， ， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，得， ， ， ． （2）解：设， 点在抛物线上， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： 解得：，， 直线的解析式为， 轴， ， ， ， ， ①四边形为平行四边形， ， ， 整理得：， ， ， ． ②略 62．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 63．（26-27九年级上·重庆涪陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的一动点，为y轴上的动点，在的下方，满足，连接，当面积最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为平移后新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为；的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接用待定系数法把已知点的坐标代入解析式解答即可； （2）过点作轴的垂线，交轴于点交于点，用含的代数式表示出点的坐标，把用含的代数式表示出来，再把用含的代数式表示出来，求出当面积最大时点的坐标，再利用轴对称的性质解答即可； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，连接，用含的代数式表示出点的坐标，把用含的代数式表示出来，再利用三角函数解答即可． 【详解】（1）解：把点、点代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：如图， 抛物线的函数表达式为， 令，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为． 在上截取，作点关于轴的对称点，连接， 则点的坐标为，点的坐标为，四边形是平行四边形， ,， ， ， 的最小值就是的最小值加上， 当三点在同一直线上时的值最小， 此时，， 的最小值为． （3）解：如图， ， 向右平移个单位，向上平移个单位变为：， 其对称轴为直线，点的坐标为， 过点作轴的垂线，交轴于点，连接， 设点，则，， 点、点， ， ， ， ， ， ， 或， 整理得：或， 或或或， 当点在对称轴左侧时，， 点只能在对称轴的右侧，即， 或， 点的坐标为或． 64．（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 65．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 题型14抛物线背景下的定值、定点、定线段问题（共5小题） 【模型】代数消元定值模型→设动点参数，写出目标代数式，化简后参数消去，结果不变 【步骤】①设动点参数；②表示线段、交点坐标；③列式化简；④观察式子消去变量，得到定点/定值④解方程，检验动点范围 【易错】化简过程计算错误；误以为含参数就是变量，没有耐心化简；漏特殊位置检验 66．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 67．（25-26九年级上·福建福州·期中）抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式． ②点P为抛物线在第一象限上一点，若点B、点C到直线AP距离相等，求P点坐标． (2)如图2，在（1）的条件下将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，TP交抛物线于点M，TQ交抛物线于点N，连接MN．请判断直线MN是否经过定点，若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)直线过定点，理由： ∵将抛物线：平移得到抛物线， 的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，， 则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 联立，， 则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 得， ∴，， ∴， ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 【分析】（1）①用待定系数法求解即可；②用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，则或经过线段的中点，当时用待定系数法求出直线的解析式，然后联立求点P坐标：当经过线段的中点时，直线不过第一象限，不合题意． （2）根据抛物线的解析式为，联立得，所以，，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时，，所以直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴或经过线段的中点， 当时， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得：（舍去），， ∴； 当经过线段的中点时，设的中点为D， ∵，， ∴的中点坐标为， ∴直线不过第一象限， ∴不合题意， 综上，P点坐标为； （2）略 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，是解题的关键． 68．（2025·福建福州·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点．点关于对称轴的对称点为，点为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．求证：点在一条定直线上． 【答案】(1) 证明：令，则， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (2) (3) 证明：如图， 作于，作对称轴直线于点， 作于，作于，作于， 对称轴直线，， 抛物线的解析式为：， ，， 设，， ，， ∵， ， ， ， ， 即， ，， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 将代入，， 点在一条定直线上． 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断得，当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）作于，作对称轴直线于点，作于，作于，作于．由对称轴直线，得，进而得抛物线的解析式为，则，．设，，则，．根据列比例式得，整理得．再求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得，，将代入中，求得，则可得结论点在一条定直线上上． 【详解】（1）略 （2）解：由二次函数的解析式得， 抛物线的顶点是， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ， ∴，， 当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9， ， （舍去）或， ∴二次函数的解析式为； （3）略 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 69．（26-27九年级上·湖北武汉·期中）抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图1，点，分别在第三，第一象限抛物线上，若点，，到直线的距离都相等，求点的横坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为原点．过的两直线，均不与轴平行，与抛物线有唯一的公共点，与抛物线交于，两点．过点作的平行线，交直线于点．若点为的中点，则点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点在一条定直线上，该直线的解析式为 【分析】（1）由已知条件分别令，，即可求得点A，B，C的坐标； （2）过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴交点S，过点C作交于点J，连接，由已知条件得出四边形是矩形，得到，继续证明，得到点S是的中点，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到，得出直线的解析式，联立抛物线解析式即可得到点E的横坐标； （3）先求出：，设，，，分别利用待定系数法求出，，，的解析式，由所在直线与所在直线均过点，求得，联立：，求得x，y的表达式，从而得到点N的坐标表达式，由点K为的中点，求得点K的表达式，进而得出点K在定直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：如图，过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴于点S，过点C作交于点J，连接， ∵点A，B，C到直线的距离都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点S为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线恒过点， ∴将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵， ∴，即点E的横坐标为． （3）解：由题意知，：， 设，，， ∴，，， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴， 设的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∵所在直线与所在直线均过点， ∴，得， ∵点Q在y轴右侧，即， ∴， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为， 联立：， ∴， ∴ ， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点K为的中点， ∴， ∴， ∴点K在定直线上． 70．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点P在直线上 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分为点C在下方和点C在上方，两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及一次函数的平移解题即可； （3）解：设，求得直线：，直线，联立直线得：，解得：，联立直线与抛物线得：，得到，则，化简得，则，，故，则点P在定直线上． 【详解】（1）解：依题意，把，，分别代入， 得出 解得 ∴． （2）解：如图： 当点C在下方时， 设直线的解析式为， 把，代入 则 解得 ∴． ∵ ∴ ∴设直线的解析式为， ∵点是原点， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得 ∵点是原点， ∴， 当点C在上方时，如图： 设直线交轴于点，过点作轴于点，交直线于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，解得， ∴，即点的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立解得，， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：设 设直线：， 则， 解得：， ∴直线：， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 联立直线得：， 解得：， 联立直线与抛物线得：， 得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点P在定直线上． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，直线与抛物线的交点问题以及相似三角形的判定和性质，为中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 1/29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数解答题（压轴专练） 题型图谱·导航总览 题型1求抛物线解析式（一般式、顶点式、交点式） (重点) 基础固本强基 题型2抛物线解答题中简单面积问题（重点） 题型3抛物线上动点，求线段长度或周长最值（难点） 题型4抛物线上动点，求面积（铅垂法）（难点） 提升进阶突破 题型5抛物线上动点，求面积的最值（难点） 题型6抛物线上动点，求面积倍数问题（难点） 题型7抛物线上动点，构造直角三角形存在性（压轴） 题型8抛物线上动点，构造等腰三角形存在性（压轴） 题型9抛物线上动点，构造平行四边形存在性（压轴） 题型10抛物线上动点，构造菱形存在性（压轴） 拔高·压轴破难 题型11抛物线上动点，构造矩形、正方形存在性（压轴） 题型12抛物线上动点，构造相似三角形存在性（压轴） 题型13抛物线背景下角度相等、二倍角问题（难点） 题型14抛物线背景下的定值、定点、定线段问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 1/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1求抛物线解析式（一般式、顶点式、交点式)（共5小题） 【模型】抛物线解析式三形式模型→一般 y=ax+bx+c(a≠0：顶点式 y=a(x-h2+k: 交点式 y=ax-x1x-x2 【步骤】①根据已知条件选择合适解析式形式：②代入点坐标列方程（组）；③求解参数，写出解析式： 按需化为一般式 【易错】交点式展开时计算出错：漏掉条件a≠O;已知顶点时选错解析式形式 1. (26-27九年级上广东东莞期中)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过-1，-2,1,6两点， (1)求该抛物线的表达式： (2)求该二次函数的对称轴和项点坐标： 2.(26-27九年级上.安徽合肥期中)已知二次函数y=x2+bx+c,当x=1时，函数值是4；当X=2时， 函数值是3 (1)求这个二次函数的表达式. (2)求该抛物线的顶点坐标. 3.(26-27九年级上天津和平：期中)关于x的一元二次方程X+2m-1x+m=0有两个不相等的实数根。 (1)求m的取值范围： (2)若此方程的两根分别为X1、X2,且x1X2+X1+X2=9,求m的值. 4.(26-27九年级上，浙江杭州期中)抛物线y=ax+bx-3(a≠0，a,b为常数)上部分点的横坐标x、 纵坐标y的对应值如表： … 0 -4 -3 m (1)求抛物线的解析式及表格中m的值： (2)当-1<x<2时，求y的取值范围. 5.(26-27九年级上浙江杭州期中)已知二次函数y=ax+bx+3的图象经过点-3,0,1,0. (1)试确定此二次函数的解析式： (2)请你判断点P-2,3是否在这个二次函数的图象上？ 2/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2抛物线解答题中简单面积问题（共5小题） 【模型】割补基础面积模型一规则图形分割、补形，用坐标求底、高，面积S号×底×高 【步骤】①标出各点坐标；②确定图形底与高，或分割成三角形、梯形；③代入面积公式计算；④整理结 课 【易错】坐标直接当作线段长度，忽略正负：割补时重复或者漏掉部分区域 6. (26-27九年级上·上海闵行.期中)已知抛物线的顶点为B3,-4,且经过点C0,5: (1)求抛物线的函数解析式； (2)抛物线上的一点E的横坐标是6，求△CBE的面积. 7.(2627九年级上全国期中)如图，菱形0ABC的顶点0，A,C在抛物线y=X上，其中点O为坐标 3 原点，对角线OB在y轴上，且OB=2. (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积， 8.（25-26九年级上-陕西西安期中)如图，抛物线y1=aX-1P+4与x轴交于A-1,0B两点. (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式： (2)一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A,C两点，求△ABC的面积. 9.(25-26九年级上·云南曲靖期中)如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax的图象交于点 3/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A1,m和点B-2,4,与y轴交于点C0,2. y=ax2 y=kx+b (1)求一次函数和二次函数的解析式： (2)求△AOB的面积. 10.(25-26九年级上吉林长春期中)如图，点A-2,1、B4,m在y=ax的图象上.直线AB与y轴交 于点C,连接OA、OB y=ax2 B 4 (a=m= (2)直线AB的函数表达式： (3)求△AOB的面积： (4)观察图象，当-2<X<4时，y的取值范围；当3≤X≤6时，y的取值范围. 提升进阶突破 题型3抛物线上动点，求线段长度或周长最值（共5小题） 【模型】竖（横）线段最值+将军饮马周长模型→竖线段：L=y上~y下；周长最值利用对称转化折线为线 段 【步骤】①设动点横坐标，表示出动点、定点坐标；②写出线段表达式，转化为二次函数；③开口判断求 最值；周长类先作对称点连线求最短 【易错】线段表达式上下相减写反；周长最值忘记固定线段不能动：自变量取值范围忽略 4/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11,(25-26九年级下广东肇庆期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c交直线y=-x+4于坐标轴上B,C 两点，交x轴于另一点A,连接AC VA (1)求抛物线的解析式： (2)点D在对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标和△ACD的最小周长值， 12.(26-27九年级上广东汕头，期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1,0、B3,0两点， 与y轴交于点C,对称轴为直线X=1; 61 4头 2 1 -2-10 1254x (1)求抛物线的解析式及点C的坐标. (2)点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，若S△PAB=10,求点P的坐标， (3)点Q是对称轴x=1上的一个动点，当QA+QC最小时，求点Q的坐标及QA+QC的最小值. 13.(26-27九年级上.安徽六安期中)如图，已知抛物线y=-x+mx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,点B的坐标为3,0) 5/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的顶点坐标： (2)求△ABC的面积： (3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标. 14.(25-26九年级下江苏连云港·期中)如图，平面直角坐标系XOy中，直线y=X+2与坐标轴交于A, B两点，点A在X轴上，点B在y轴上，抛物线y=-x+bx+c经过点A,B. (1)根据图象，直接写出不等式-x2+bx+c>x+2的解集. (2)若对称轴上有一点P,当PC+PB最小时，则点P的坐标是. 15.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，已知抛物线y=aX2+ x+c与x轴交于点 A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C. y (1)求该抛物线的解析式： (2)求△ABC的面积： (3)点E是抛物线的对称轴上一点，当BE+CE的值最小时，求点E的坐标. 题型4抛物线上动点，求面积（铅垂法）（共5小题） 6/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】铅垂高面积模型→S=】×铅垂高×水平宽，水平宽：左右两点横坐标之差；铅垂高：动点到 定直线竖直距离 【步骤】①设动点坐标；②找到水平宽；③表示铅垂高；④代入铅垂法公式列式计算 【易错】铅垂高、水平宽找错；铅垂高写成y动一y定时上下顺序颠倒 16. (26-27九年级上山东临沂·期中)如图，二次函数y=ax+bx+c的图像经过 A-3,0,B1,0,C0,-3三点. (1)求抛物线的解析式： (2)M为顶点，求三角形ABM的面积. (3)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离及此时点P坐标， 17.(26-27九年级上全国·期中)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A-1,0,点 B,与y轴交于点C0,3,顶点为D,连接AD,BD. (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求△ABD的面积： 3)①当0≤X≤3时，求y的取值范围： ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是 18.(25-26九年级上山东临沂期中)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A0,4,B1,0,C5,0,其 对称轴与x轴相交于点M, 7133 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求抛物线的解析式和对称轴： (2)求△ABM的面积. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由， 19.(25-26九年级上·吉林四平期中)已知二次函数y=x的图象与直线y=ax+2(a为常数)的图象如 图所示. V=x B y=ax+2 O (1)判断y=x的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)设直线y=ax+2与抛物线y=x的交点分别为A2,m、Bn,1,试确定A、B两点的坐标及a的值； (3)连接OA、OB,求△AOB的面积 20.(25-26九年级上·海南省直辖县级单位期中)如图，已知二次函数y=-x+bx+c的图象经过点 A-1,0,B3,0与y轴交于点c,抛物线的顶点为D. VA (1)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积； (3)若P是抛物线上一点，使S△B=8,请直接写出点P的坐标. 8/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5抛物线上动点，求面积的最值（共5小题） 【模型】铅垂法+二次函数最值模型→先用铅垂高写出面积关于x的二次函数，再在自变量范围内求最值 【步骤】①设动点坐标；②铅垂法写出面积表达式；③整理成二次函数：④结合开口、自变量范围求面积 最值 【易错】求最值不看动点x取值范围；面积表达式化简计算符号出错 21. (25-26九年级上福建漳州期中)如图，抛物线y=x+bx+c交x轴于点A,B3,0,交y轴于点 C,对称轴为直线X=1,点D是第四象限内抛物线上一点，连接AC,CD,BD (1)求抛物线的表达式： (2)求四边形ACDB面积的最大值，并求出此时点D的坐标. 22.(26-27九年级上江西赣州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,动 点P从点A出发，沿线段AC向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B移动，若点P,Q均以 2cm/s的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接PQ,设运动时间为t, △PCQ的面积为Scm2. B (1)写出S与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. (2)当t为何值时，△PCQ的面积取得最大值，最大值为多少？ 23.（26-27九年级上安徽合肥期中)如图，A、B为一次函数y=X-5的图象与二次函数y=-x+bx+c 的图象的公共点，点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数y=-x2+bx+c的图象上的动点，且位于 直线AB的上方，连接PA、PB. 9/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x-5 B y=x2+bx+c (1)求b、c的值： (2)求△PAB的面积的最大值. 24.(26-27九年级上吉林长春期中)如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中 A点坐标为-1,0，M1,6为抛物线的顶点. B (1)求抛物线的解析式： 2△MCB的面积SANCB=—:, (3)点N是直线BC上方抛物线上的一点，△NBC的面积最大值为 25.(26-27九年级上·上海金山·期中)如图，已知抛物线 y=aX2+bx+cla≠0的图像与x轴交于A-1,0: B3,0,与y轴交于点C0,-3,P、Q为抛物线上的两点. B (1)求该二次函数的表达式： (2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,连接MA、MC,使MA+MC的值最小，求点M的坐标： 10/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最 小值；若不存在，请说明理由。 题型6抛物线上动点，求面积倍数问题（共5小题） 【模型】面积比例等式模型→先算出基准图形面积，根据倍数关系列面积方程求解动点 【步骤】①计算已知图形面积；②设动点，铅垂法表示目标图形面积；③根据倍数关系列方程：④解方 程，检验动点范围 【易错】方程多解不检验是否在抛物线上、是否符合题意；倍数关系列式颠倒 26.(26-27九年级上黑龙江齐齐哈尔期中)在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴 交于点B抛物线y=aX+bx+cla<0经过点AB V (1)求a、b满足的关系式及c的值， (2)如图，当a=-1时，在抛物线上是否存在点P,使△AOB的面积与△PAO的面积相等？若存在，请求 出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)当x<0时，若y=aX2+bx+ca<0的函数值随x的增大而增大，请直接写出。的取值范围。 27.（26-27九年级上：安徽毫州：期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物 y=aX+bx+c(a≠0)与x轴交 于A1,0B两点，与y轴交于点C0, 对称轴为x=-2点PX,y在该抛物线上. (1)求该抛物线的函数表达式： 2若点DX,y在抛物线上，且x≠x,'X,+X,=2求业的值： X1-X2 B过点P作直线PQ‖AC,交y轴于点Q,当△BCQ的面积等于5时，求X,的值. 11/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(25-26九年级上全国期中)如图，己知抛物线y=ax+bx+5与x轴交于A-1,0,B5,0两点， 与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式： (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于 点E,连接BD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，若不能， 请说明理由， 29.（2025安徽宿州模拟预测)已知抛物线y=-X2+bx+c与x轴交于AX1,0BX,0两点(x1<X 与y轴交于点C0,3,对称轴为直线x=-1. (1)求抛物线的函数表达式. (2)点P在直线AC上方的抛物线上，PD⊥y轴，交直线AC于点D,求线段PD的最大值. (3)抛物线上是否存在一点Q,使得△QBC的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值：若不存在， 请说明理由. 30.(26-27九年级上内蒙古巴彦淖尔期中)如图，抛物线y=aX2+bx+cla≠0的对称轴为直线x=-1' 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C,OA=OC,点A的坐标为-3,0. (1)求抛物线的表达式； (2)设点Q是线段AC上的动点，作QE⊥x轴交抛物线于点E,求线段QE长度的最大值， (3)若点P在抛物线上，且△ABP的面积是△BOC的面积的4倍，求点P的坐标. 12/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 拔高·压轴破难 题型7抛物线上动点，构造直角三角形存在性（共5小题) 【模型】直角三角形分类讨论模型一分三种情况：定点A为直角顶点、定点B为直角顶点、动点P为直角 顺点，用垂直斜率/勾股/向量列式 【步骤】①设动点坐标：②分三类讨论直角顶点；③利用勾股定理或者垂直条件列方程；④解方程，舍去 不合理解 【易错】漏掉其中一类直角顶点情况：解方程得到的增根不检验：垂直条件列式符号错误 527九年级上山东济宁期中)已知，如图一次函数y三X+1的图象与x轴交于点A,与 点B;二次函数y=ax+m+k的图象与一次函数y= x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两 点且限点坐标司 (1)求二次函数的解析式： (2)若点P是X轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标： (3)在X轴上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由. 32.(2026九年级上·全国·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+C过A,B,C三点， 点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是0，-3)，动点P在抛物线上. 13/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (b= c=——一，点B的坐标为 (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐 标；若不存在，说明理由 33. (2022内蒙古赤峰三模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， 抛物线y=-x+bx+c经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为1,0，-4,0，抛物线的顶点为点D. 备用图 (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形ABC斜边AB上（除AB与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线， 交抛物线于点F,当△ABF面积为15时，求点F的坐标： (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P,使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出 所有点P的坐标：若不存在，请说明理由 34.(2022山东临沂模拟预测)如图，A,B,C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线BC:y=-X+3与 抛物线y=ax2+bx+c交于B,C两点，OB=3OA,抛物线经过A,B,C三点. 14/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线上是否存在点M,使得△BCM是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件 的点M的坐标：若不存在，说明理由： (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方，试求△BCN的最大面积. 35.(25-26九年级上-重庆合川：期中)如图，已知抛物线y=aX+bx+4a≠0与x轴交于A°B两点.过 点A的直线l与抛物线交于点C.其中点A-1,0,点C3,4. 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)M是直线AC上方的抛物线上的一个动点，求△ACM面积的最大值以及此时点M的坐标. (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线y1,在抛物线y1上是否存在点P, 使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在， 请说明理由， 题型8抛物线上动点，构造等腰三角形存在性（共3小题） 【模型】等腰三角形三分类模型→PA=PB、PA=AB、PB=AB,两点距离公式 日=x-x+y-y,平方去掉根号 【步骤】①设动点坐标；②算出定边长的平方；③分三种腰相等情况列距离平方等式；④解方 15/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程，检验点是否符合范围 【易错】分类不全；直接保留根号计算繁琐易算错；得到的点三点共线不舍去 36. (2026河南周口.一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0,B3,0,与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥X轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段 PE的最大值： (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBE为等腰三角 形？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由， 37.(25-26九年级下江苏盐城期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B2,0, C4,0,D4,-4,抛物线y=ax+bx经过A,C两点.动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动， 同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点 P作PE⊥AB交AC于点E. B (1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式： (2)过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接EQ,是否存在t的值使△ECQ为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由. 38.(26-27九年级上四川德阳期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A-1,0,B3,0,与y轴 交于点C. 16/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，过点A的直线与抛物线交于另一点D4,5,点M在x轴下方的抛物线上，MN‖y轴与AD交于 点N,求线段MN长度的最大值； (3)如图2，点P在抛物线的对称轴上，若△PAC是等腰三角形，求点P的坐标. 39.(26-27九年级上山东济南·期中)如图，抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E, 垂足为点F,连接CD 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)是否存在点D,使∠BCD=45°，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设点D的横坐标为t,是否存在点D,使△CDE是以CE为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条 件的t的值：若不存在，请说明理由 40.(18-19九年级上山东烟台期中)如图，抛物线y=ax+bx+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C其对称轴交x轴于点D.已知线段AB=5,直线y=一之x+m经过，C两点 17/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由. 题型9抛物线上动点，构造平行四边形存在性（共5小题） 【模型】平行四边形中点坐标模型→对角线中点重合：若AC、BD为对角线，则 XA+Xc_XB+xp,yA+yc_yB+yD 2 2 2 2 【步骤】①分清定点、动点；②分类确定哪两个点作为对角线端点：③中点公式列方程组；④ 求解，验证点位置 【易错】对角线分类讨论不全：混淆顶点对应关系：解出来的点重合不剔除 41.(26-27九年级上湖北襄阳期中)如图，已知抛物线y=- 4x+(m-2)x+m2-2m(m>0)的图象 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C0,3, (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标： ②当t-1≤x≤t+1时，y的最大值为3，求t的值； ③若点DO,2是y轴正半轴上一点，作直线BD,点P是直线BD上方抛物线上一点，PQX轴交BD于 点Q,令L=PQ,求L的最大值及此时点P的坐标： 18/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形 时，直接写出MN两点的坐标， 42.（26-27九年级上四川广安期中)如图，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于点A-1,0和点B3,0, 与y轴交于点C0,3,P是抛物线上的一动点. YA M 0 M 图① 图② 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)如图①，若点P在第一象限的抛物线上，且PE⊥x轴，交BC于E.求△PBC面积的最大值及此时P的 坐标： (3)如图②，M是抛物线的对称轴直线X=1上的一动点，当以B,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形 时，直接写出点P的坐标. 43.(26-27九年级上湖南长沙期中)如图，抛物线y=ax+bx-3的图象与x轴交于A-1,0,B3,0 两点，与y轴交于点C,直线l与抛物线交于点B,交y轴于点D0,3. 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点Pm,0为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF,分别交抛物线与直线于点E,F,连接CE, CF,BE,求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN‖AC交直线l于点N,是否存在点M,使以A,C, M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由， 44.(26-27九年级上黑龙江牡丹江期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A、B两点(A在B的 19/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 左侧)，与y轴交于点N,过A点的直线l:y=k心+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x+bx+c的另一个交 点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）. ⅓ (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过点P作直线PQ垂直于x轴，交直线AD于点Q,当线段PQ最大时， 求点P的坐标及PQ的最大值： (3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形？若 存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 45.(26-27九年级上全国期中)如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,直线y=-x+k经过B,C两点，点A的坐标为(-2,0)，P是第一象限内抛物线上 的一个动点，PQ⊥BC于点Q,设点P的横坐标为n. 备用图 (1)求抛物线的函数解析式： (2)求线段PQ的最大值，并求此时n的值： (3)在(2)的条件下，当线段PQ取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断 是否存在这样的点M,使得以点B,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的 坐标；若不存在，请说明理由， 题型10抛物线上动点，构造菱形存在性（共5小题） 【模型】菱形判定模型，平行四边形+邻边相等：或者四条边长相等：优先先用平行四边形中点模型，再 20/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 加边长相等条件 【步骤】①先按平行四边形中点公式得到坐标关系；②增加一组邻边相等的距离等式：③联立方程求解： ④检验四点不共线 【易错】只满足平行四边形，忘记邻边相等条件；四点共线情况没有排除 46. (25-26九年级上四川眉山期中)已知，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A3,0,B-1,0两点，交y 轴于点C,· M C +P 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点M是直线AC上方的抛物线上一动点（不与A,C重合），连接MA,MC,求△MAC的 面积最大值以及此时点M的坐标. (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以 A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说 明理由。 47.(25-26九年级下·重庆期中)已知抛物线y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C.-3和1是关于x的一元二次方程ax+bx-2=0的两个根. (1)求该抛物线的解析式： (2)过点B作BD‖AC交抛物线于点D,BD与y轴交于点E,P为直线AC下方抛物线上的一个动点，连接 21/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB交AC于点F,求SAPEF的最大值及此时点P的坐标： (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q, 点M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N,使得以点A,M,N,Q为顶点的四边 形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标：如不存在，请说明理由. 48.(25-26九年级上四川泸州期中)如图1，抛物线y=ax2+bx+c与X轴相交于点B、C(点B在点C 左侧)，与y轴相交于点A.已知点B坐标为B(1,0),BC=3,△ABC面积为6. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，求△PAC面积的最大值及此时P点的坐标； > (3)如图2，将抛物线向左平移子个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴1上一点，N为平面内一 点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点 坐标的过程。 49.(25-26九年级上·福建漳州期中)如图，抛物 y=aX2+bx+6la≠0与x轴交于A-1,0'B13,0l 两点，与y轴交于点C,顶点为点D. AyD yD yD M M M B B B 备用图① 备用图② (1)求抛物线的解析式； 22/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若在线段BC上存在一点M使得∠BMO=45°，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶 点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由， 50.(2026广东·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A,点 B,与y轴交于点C,其中A-4,0,B2,0,C0,-4. 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC,当线段PD的长度最大时，求点P的坐标； (3)将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△BOC(其中点O与点O不重合)，点S是坐标平面内 一点，若以A,C,O,S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O的坐标. 题型11抛物线上动点，构造矩形、正方形存在性（共5小题） 【模型】矩形：平行四边形+有一个直角；正方形：矩形+邻边相等 【步骤】①先用中点模型满足平行四边形；②增加垂直条件（直角）得到矩形；③再加邻边相等得到正方 形：④检验、取舍 【易错】正方形双重条件容易漏一条；垂直条件计算出错；忽略动点限制范围 51.(26-27九年级上·天津武清·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0与x轴交 于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点. 23/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2 X=2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P在抛物线对称轴上，且在顶点下方： ①若DP= 行，点E、F是x轴上的两个动点，点E在点F左侧且EF=1,连接CE和PF,求CE+EF+PF 的最小值以及E点坐标： ②平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标. 52.（25-26九年级下辽宁抚顺：期中)已知一次函数y,=x+bk≠0若y,=Xy,:则称y,为y,的升幂函 数：若y当 ,则称y3为y1的降幂函数.若该一次函数的升幂函数经过点3,3，降幂函数经过点-2,2. (1)求此一次函数的表达式. (2)若y1,y2,y3的图象都交于点B和点C,且点B的横坐标小于点C的横坐标，求出点B,C的坐标. (3)y,图象上是否存在点D'y,图象上是否存在点E使得以D'E'B'C四点为顶点的四边形为矩形？ 若存在，请求出点D的坐标：若不存在，请说明理由. (4)在y2图象对称轴左侧的图象上存在一点A,连接AB,AC,使得△ABC的面积为10，AB交y3的图象 BM 3 于点M,求证：AM5 53.(2025安徽合肥三模)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(6,0)点，顶点为B 24/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式。 (2)如图，C点坐标3,3，D为抛物线对称轴上一动点，过点D的直线EF平行x轴交抛物线于E、F两点 (点E在点F的左侧)· ①若BD+EF=8,求点E坐标； ②若以EF为边构造矩形EFGH(G、H在线段AC、OC上)，求该矩形周长的最大值. 54.(2026安徽阜阳三模)如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0,B3,0,与y轴交于点 C. B B市 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t,过点P分别作PD⊥x轴于点D,PE⊥y轴于点E, 作CFX轴交直线PD于点R,若四边形CEPF的周长f为号，求 (3)如图2，连接BC,M为线段BC上一动点（不与点B,C重合），其横坐标为m,过点M分别作 MG⊥x轴于点G,MN‖x轴交抛物线于一点N,过点N作NH⊥x轴于点H,若四边形MNHG为正方 形，求点M的坐标， 55.(2026辽宁阜新.一模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A-1,0,B2,0,交 y轴于点C,P是抛物线上一点. 25/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求这个二次函数的表达式： (2)如图1，当点P在直线BC上方时，求△PBC面积的最大值： (3)直线PE‖x轴，交直线BC于点E,点D在X轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P,使得以D,E, F,P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由. 题型12抛物线上动点，构造相似三角形存在性（共5小题） 【模型】相似三角形对应项点分类模型→固定一组等角，再分两组对应边成比例 【步骤】①先找到一组相等角：②分类讨论对应顶点；③列出对应边比例式；④代入坐标解方程，检验 【易错】对应顶点分类漏情况：比例式前后项写反；忽略三角形形状限制 56. (2025九年级上全国期中)如图，已知抛物线y=ax+bx-3与X轴交于A、B两点，与y轴交于点 C,O是坐标原点，已知点B的坐标是3,0， 0C=3 OA 图1 备用图 (1)求该抛物线的对称轴： 2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQx轴交直线BC于点Q,求PQ+2 2 BQ的最大值及 此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标. 26/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 57.(2026甘肃嘉峪关模拟预测)直线y=- 3X+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆 时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax+bx+c经过A、C、D三点. (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标： 3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 58.(2026黑龙江鸡西一模)如图所示，抛物线坐标轴交于A、B、C(0,3),其顶点是D(-1,4)」 (1)求该抛物线的解析式： (2)试判断△BCD的形状，并说明理由： (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 59。（2025陕西模拟预测)已知在平面直角坐标系x0y中二次函数y=aX-2aX-3a(a>0与x抽交于 点A:BxA<Xa与y轴交于点C,且OC=OB (1)试求抛物线解析式及点A,B的坐标： (2)连接AC,若在y轴上有一动点P,在y轴右侧，x轴上方的抛物线上有一动点Q,连接PQ,CQ,试问 是否存在符合题意的点P,Q,使得以点P,Q,C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出所有 符合题意的点Q坐标，以及对应的点P坐标：若不存在，请说明理由， 27/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 60.(2627九年级上·重庆期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物 y=ax2+bx+4a≠0经过点 -1,6,点B1,0,与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC, 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE 上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段PD长度取得最大值 时，求此时点D的坐标及AM+MN+NF的最小值： (3)将该抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，刚好使得新抛物线经过(2)中线段PD长 度取得最大值时的点D,且与直线AC相交于另一点K,点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 题型13抛物线背景下角度相等、二倍角问题（共5小题) 【模型】角度转化模型→等角：平行线、对称、构造等腰；二倍角：外角构造等腰、三角函数正切值关系 【步骤】转化角度条件，转化为等角或者正切相等：②设动点坐标，表达正切值：③列方程求解；④检验 角度符合要求 【易错】二倍角转化模型用错；等角时没有考虑角度在直线两侧的多解情况 61. (26-27九年级上福建厦门期中)如图，已知抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A,B(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C. 28/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求以点A、B、C为顶点的三角形ABC的面积： (2)点P(m,n)是线段BC上方抛物线上的一动点，过P作y轴的平行线，交线段BC于点Q, ①当四边形OCPQ为平行四边形时，求点P的坐标： ②当0<m< ,在点P运动过程中，拉物线上是否始终存在与C不重合的点E,使得∠EPO=∠CPQO 请说明理由， 62.(26-27九年级上重庆沙坪坝期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+6与X轴交于 B-3,0,C6,0两点，与y轴交于A点. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点E是线段BC上一动点（不与点B,C重合），过点E作EF‖AB交AC于点F,连接AE,当 △AEF的面积最大时，G是第一象限内抛物线上一点，连接AG,CG,若四边形AOCG的面积为△AEF 11 的最大面积的3倍，求点G的坐标： 3)在(2)问条件下，将抛物线沿射线AB方向平移V5个单位长度得到抛物线y，M是平移后抛物线y上 一点，射线BM交直线EF于点N,且∠BNE+∠BAO+∠ACO=90°.请直接写出所有符合条件的点 M的横坐标， 63.(26-27九年级上重庆涪陵期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-号x2+bx+c与x轴交于 点A(-2,0、点B(4,0),交y轴于点C. 29/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，E,F为y轴上的动点，E在F的下方，满足EF=1,连 接PB,PC,BE,PF,当△PBC面积最大值时，求点P的坐标及PF+EF+BE的最小值； (3)将抛物线沿着射线AC方向平移5个单位长度（即向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度）得到 新抛物线y,新抛物线y的对称轴与X轴交于点H,点M为平移后新抛物线y上一动点，当 ∠MHB=∠CAO时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程. 64.(26-27九年级上重庆九龙坡期中)如图1，抛物线y=x2+bx与X轴交于点A,与直线OB交于点 B3,3,过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点C, 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥X轴交直线OB于点E,过点E作EF⊥AC于点F, 连接DF.求△乙面积的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，在(2)问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过(2)问中的点D,得到新抛物线.点M为 新抛物线上的动点，连接AM、DM,若∠DAM=∠DAO,直接写出所有符合条件的点M的坐标， 65.(26-27九年级上安徽安庆期中)如图1，抛物线y=ax2+bx-3经过A-1,0,B3,0两点，与y轴 交于点C,P为第四象限内抛物线上一点 30/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)设四边形PBOC的面积为S,求S的最大值： (2)连接BC,若△PBC的面积为S1,求S1的最大值： (3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点N,当∠MPA=2∠PAC时， 求点N的坐标. 题型14抛物线背景下的定值、定点、定线段问题（共5小题） 【模型】代数消元定值模型→设动点参数，写出目标代数式，化简后参数消去，结果不变 【步骤】①设动点参数：②表示线段、交点坐标：③列式化简：④观察式子消去变量，得到定点/定值④ 解方程，检验动点范围 【易错】化简过程计算错误；误以为含参数就是变量，没有耐心化简；漏特殊位置检验 66.(25-26八年级下·福建福州期中)己知抛物线L:y=-x2+bx+c (1)当b=2,c=1时，求抛物线L的顶点坐标： 2点0为平面直角坐标系原点，点Mm,2m2Nn,2n2在抛物线L上，且m<n'm≠0 ①若m+n=p,用含p的代数式表示b: ②当∠MON=90°时，求证：抛物线L恒过定点，并求出定点的坐标. 67.(25-26九年级上福建福州期中)抛物线F1与x轴交于A-1,0、B4,0两点，与y轴交于点C. 31/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，若C0,-4. ①求抛物线F1的解析式. ②点P为抛物线F1在第一象限上一点，若点B、点C到直线AP距离相等，求P点坐标. (2)如图2，在(1)的条件下将抛物线F1平移得到抛物线F2,F2的顶点为原点.直线y=sX+t(s,t为常 数，S>0)交抛物线F2于点P、点Q.已知点T0,-s,TP交抛物线F2于点M,TO交抛物线F2于点N, 连接.请判断直线MW是否经过定点，若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 68。(2025福建福州一模)已知二次函数y=-X+2a+4X-d-4a（a为常数） (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与X轴总有两个公共点： (2)当a+1≤x≤2a+5a≥-1时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式： (3)若二次函数图象对称轴为直线X=1,该函数图象与X轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于 点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为CD的中点，过点M的直线！（直线l不过C,D两点）与二次 函数图象交于E,F两点，直线CE与直线DF相交于点P.求证：点P在一条定直线上 26-27九年级上湖北武汉期中)抛物线C:y号X-X-3交x轴于A,B两点(A在B的左边 交y轴于点C. 32/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)直接写出A,B,C三点的坐标： (2)如图1，点D,E分别在第三，第一象限抛物线上，若点A,B,C到直线DE的距离都相等，求点E的 横坐标： (3)如图2，平移抛物线得到抛物线C2,其顶点为原点.过P-1,-3的两直线l1,12均不与y轴平行，1与 抛物线C2有唯一的公共点Q,2与抛物线C2交于G,H两点，过点H作PQ的平行线，交直线QG于点N. 若点K为NH的中点，则点K是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由. 70.(25-26九年级上湖北武汉期中)抛物线y=ax2+bx+c经过A-1,3,B-5,-5,00,0三点. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若抛物线上存在点C,使得∠COB=∠ABO,求点C的坐标； 3)如图2，直线y=kx+k-1交抛物线于M,N两点，直线MO与直线BN交于点P,问点P是否在一条定 直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由 33/33