三角函数的图象和性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

三角函数的图象和性质专项训练 五点作图 · 图象变换 · 求解析式 · 对称性 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节最核心的一个转化是「对称轴 取到最值」「对称中心 函数值为 0」。凡遇到对称性条件，先翻译成最值或零点，题就变简单了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。建议先默写 与 的单调区间、对称轴、对称中心各一遍再动笔。 三角函数的图象和性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.4（三角函数的图象与性质）。本节专攻「正弦、余弦函数的图象与基本性质、 的图象变换、由图象求解析式、对称轴与对称中心的综合应用」，不涉及三角恒等变换的化简（只作为工具顺带使用），也不涉及正切函数的图象。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的三角函数图象与性质类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年江苏苏州高一期末的性质综合题并重新设问，例题 2 由 2025 年浙江杭州高一期末的「由图象求解析式」题改写，例题 3 由 2024 年安徽芜湖高一期中联考的图象变换题改写，例题 4 由 2025 年山东济南高一期末的对称轴求 题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）正弦、余弦函数的图象与性质 1. 五点作图法：画 在 上的图象取 、、、、 五点；画 取 、、、、。这十个点是所有三角函数作图题的起点。 2. 周期性： 与 的最小正周期都是 ；一般地 （）的最小正周期 。注意公式只对 成立， 时先提负号。 3. 定义域与值域：、 的定义域都是 ，值域都是 ；（）的值域是 。 4. 单调性： 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，在 上递减（）。 5. 奇偶性与对称性： 是奇函数，对称中心 ，对称轴 ； 是偶函数，对称中心 ，对称轴 （）。 （二） 的图象与变换 6. 三个参数各管一件事： 是振幅，决定纵向伸缩（最值变为 ）； 决定周期 ，即横向伸缩； 是初相，决定左右平移。三个参数互不干扰，可以逐个确定。 7. 变换有两条等价路径：① 先平移后伸缩：，平移量是 ；② 先伸缩后平移：，平移量是 。两条路的平移量不同，这是本节第一大坑。 8. 由图象求 ：读最高点与最低点的纵坐标 、，则 ，上下平移量 （本题组不含平移，故 ）。 9. 由图象求 ：读相邻最高点与最低点的横坐标之差 ，则 ，即 ，。若读的是相邻两个最高点，则直接有 。 10. 由图象求 ：代入一个已知点（优先选最高点或最低点），得到 （最高点）或 （最低点），解出 后必须用题给的范围（如 ）筛选 。 （三）性质的综合应用 11. 对称轴与最值等价： 是 的对称轴，当且仅当 （在该处取到最值）。这一条把「对称性」题翻译成「最值」题，是最常用的转化。 12. 对称中心与零点等价： 是 的对称中心，当且仅当 。注意对称中心的纵坐标必须是 （无上下平移时）。 13. 距离公式：相邻两条对称轴（或相邻两个对称中心）之间的距离是 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离是 。这三条在小题中可以直接用来求 或 。 14. 方程 的解：先算出 的范围，再看水平线 与正弦曲线在该范围内的交点个数；恰有两解时，两解之和等于 （两解关于对称轴对称）。 15. 值域问题的固定三步：① 由 的范围算出 的范围；② 在该范围内求 的最值——要检查驻点 、 是否落在范围内，落在就取 ，不落在就取两个端点中的较小者／较大者；③ 乘 （再加 ）得到最终结果。 二、方法提炼 方法1　五点法与基本性质法：先由 定周期，再由整体代换求单调区间（把 整体代入 的单调区间后解出 ）、对称轴（令 ）、对称中心（令 ）；求值域时按第 15 条的三步走，并注意检查驻点是否落入区间。 方法2　由图象求解析式法：按 的顺序逐个确定—— 用最高、最低点的纵坐标， 用相邻最高点与最低点的横坐标之差， 用「代入一个已知点 + 范围限制筛 」。最后把求得的点代回去验一遍，确认它能取到对应的最值。 方法3　图象变换法：先把目标式写成 的形式再读平移量；若题目要求「先平移」，则平移量是 ，若要求「先伸缩」，则平移量是 。写完变换步骤后，取一个特殊的 代入原式与最终结果对一遍。 方法4　对称性综合法：把对称轴条件翻译成「在该处取到最值」，把对称中心条件翻译成「该点函数值为 0」，分别列出 与 求 ；求方程解的和时，利用「两解关于对称轴对称」直接相加。 三、易错提醒 ◆ 周期公式忘了 的前提： 只对 成立，遇到 要先化成 再求周期。 ◆ 求单调区间时忘除以 ：由 解 时，三步（减 、除以 、化简 项）一步都不能跳；最后还要写成区间并带上 。 ◆ 把 的符号弄反导致单调性反了：若 ， 的单调性与 时相反，这时应先提负号化为 的形式再讨论。 ◆ 图象变换的平移量找错：这是本节最高频的错误。记住一句话——「平移量看的是 本身被替换成什么」，所以先化成 的形式， 才是真正的平移量。 ◆ 求 时不筛 ：代入点后得到 这类通解，必须用题给范围（如 ）选出唯一的 ，不筛就会得到一堆不合要求的答案。 ◆ 求闭区间上的值域只算端点：必须检查 、 （正弦取最值处）是否落在 的范围内，落在的话最值在驻点处取到，而不是在端点。落一个只算端点是丢分最常见的原因。 ◆ 判断奇偶性只看 ： 因 或 而既不是奇函数也不是偶函数；只有当 时为奇函数、 时为偶函数（对 而言）。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 五点法与基本性质 题注：题注：这一类「给解析式问性质」的题，所有结论都从「 整体代入 的性质」这一句话推出来。第（5）问求值域时，务必先看驻点有没有落进 的范围。 已知函数 。 （1）求 的最小正周期； （2）求 的对称轴方程； （3）求 的对称中心坐标； （4）求 的单调递增区间； （5）求 在区间 上的值域。 【例 2】 方法2 · 由图象求解析式 题注：题注：只给两个点（一个最高点、一个相邻的最低点），三个参数 、、 恰好都能定下来： 看纵坐标， 看两点横坐标之差， 代入最高点。 已知函数 （，，）的部分图象如图所示：图象上相邻的一个最高点为 ，一个最低点为 。 （1）求 、、； （2）写出 的解析式，并求 的值。 【例 3】 方法3 · 图象变换 题注：题注：同一个目标函数，可以按「先平移后伸缩」或「先伸缩后平移」两种方式叙述，但两次的平移量不同（ 与 ）——这正是本题要考的点。 （1）说明由 的图象经过怎样的变换可以得到 的图象（要求写出两种不同的变换路径）； （2）在 上求不等式 的解集。 【例 4】 方法4 · 对称轴与对称性的综合 题注：题注：条件「图象关于直线 对称」等价于「 处函数取到最值」，译成方程 就迎刃而解。 已知函数 ，其中 。 （1）若 的图象关于直线 对称，求 ； （2）判断此时 的奇偶性，并说明理由； （3）求此时 在区间 上的单调递减区间。 五、巩固练习 1. 方法1 · 基本性质辨析（多选） 题注：题注：四个选项分别考周期、单调性、对称中心、对称轴，逐条对照 与 的性质即可。 下列命题中正确的有（　　） A. 的最小正周期为 B. 在区间 上单调递增 C. 的图象关于点 对称 D. 的图象关于直线 对称 2. 方法1 · 周期与对称轴 题注：题注：注意 的系数是 ，所以周期是 而不是 ；余弦的对称轴由 解出。 求函数 的最小正周期与对称轴方程。 3. 方法2 · 由图象求 与 题注：题注：相邻最高点与最低点的横坐标之差是半个周期，这是读图求 时最常用的关系。 已知函数 （，）的图象上，最高点的纵坐标为 3，最低点的纵坐标为 ，且相邻的最高点与最低点的横坐标之差为 。 求 与 。 4. 方法3 · 由余弦图象平移 题注：题注：不同名的函数之间平移，先利用 化成同名，再比较相位差。 说明由 的图象经过怎样的平移可以得到 的图象。 5. 方法1 · 性质判断（多选） 题注：题注：逐项验算即可；判断 D 项时要看区间内有没有穿过最大值点。 已知函数 ，则（　　） A. 的最小正周期为 B. 直线 是 图象的一条对称轴 C. 点 是 图象的一个对称中心 D. 在区间 上单调递减 6. 方法4 · 方程解的个数 题注：题注：把方程解的个数问题，转化成「水平线与正弦曲线在一段范围内的交点个数」，先定 的范围，再数交点。 已知函数 。若方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 正弦曲线的物理原型：简谐运动 中， 是振幅、 是角频率、 是初相、 是周期、 是频率。弹簧振子、单摆（小角度）、交流电的电压变化都服从这个模型，这就是为什么三角函数被称为「周期现象的数学语言」。 两个同频简谐运动的叠加： 仍是一个同频的正弦量，其振幅由辅助角公式给出。这正是本册第 12 条辅助角公式的物理意义，而频率不同的两个简谐运动叠加会产生「拍」的现象，图象不再是单纯的正弦曲线。 正切函数的图象： 的周期为 （比正弦、余弦小一半），定义域为 {}，值域为 ，在每个区间 内单调递增，图象有渐近线 。教材单独安排在 5.4.3，本节未纳入。 周期函数的最小正周期：并非所有周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数（有理点取 1、无理点取 0）以任意正有理数为周期，但没有最小正周期。高中阶段遇到的 （）都有最小正周期，这是一个美好的特例。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图象和性质专项训练 五点作图 · 图象变换 · 求解析式 · 对称性 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节最核心的一个转化是「对称轴 取到最值」「对称中心 函数值为 0」。凡遇到对称性条件，先翻译成最值或零点，题就变简单了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。建议先默写 与 的单调区间、对称轴、对称中心各一遍再动笔。 三角函数的图象和性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.4（三角函数的图象与性质）。本节专攻「正弦、余弦函数的图象与基本性质、 的图象变换、由图象求解析式、对称轴与对称中心的综合应用」，不涉及三角恒等变换的化简（只作为工具顺带使用），也不涉及正切函数的图象。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的三角函数图象与性质类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年江苏苏州高一期末的性质综合题并重新设问，例题 2 由 2025 年浙江杭州高一期末的「由图象求解析式」题改写，例题 3 由 2024 年安徽芜湖高一期中联考的图象变换题改写，例题 4 由 2025 年山东济南高一期末的对称轴求 题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）正弦、余弦函数的图象与性质 1. 五点作图法：画 在 上的图象取 、、、、 五点；画 取 、、、、。这十个点是所有三角函数作图题的起点。 2. 周期性： 与 的最小正周期都是 ；一般地 （）的最小正周期 。注意公式只对 成立， 时先提负号。 3. 定义域与值域：、 的定义域都是 ，值域都是 ；（）的值域是 。 4. 单调性： 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，在 上递减（）。 5. 奇偶性与对称性： 是奇函数，对称中心 ，对称轴 ； 是偶函数，对称中心 ，对称轴 （）。 （二） 的图象与变换 6. 三个参数各管一件事： 是振幅，决定纵向伸缩（最值变为 ）； 决定周期 ，即横向伸缩； 是初相，决定左右平移。三个参数互不干扰，可以逐个确定。 7. 变换有两条等价路径：① 先平移后伸缩：，平移量是 ；② 先伸缩后平移：，平移量是 。两条路的平移量不同，这是本节第一大坑。 8. 由图象求 ：读最高点与最低点的纵坐标 、，则 ，上下平移量 （本题组不含平移，故 ）。 9. 由图象求 ：读相邻最高点与最低点的横坐标之差 ，则 ，即 ，。若读的是相邻两个最高点，则直接有 。 10. 由图象求 ：代入一个已知点（优先选最高点或最低点），得到 （最高点）或 （最低点），解出 后必须用题给的范围（如 ）筛选 。 （三）性质的综合应用 11. 对称轴与最值等价： 是 的对称轴，当且仅当 （在该处取到最值）。这一条把「对称性」题翻译成「最值」题，是最常用的转化。 12. 对称中心与零点等价： 是 的对称中心，当且仅当 。注意对称中心的纵坐标必须是 （无上下平移时）。 13. 距离公式：相邻两条对称轴（或相邻两个对称中心）之间的距离是 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离是 。这三条在小题中可以直接用来求 或 。 14. 方程 的解：先算出 的范围，再看水平线 与正弦曲线在该范围内的交点个数；恰有两解时，两解之和等于 （两解关于对称轴对称）。 15. 值域问题的固定三步：① 由 的范围算出 的范围；② 在该范围内求 的最值——要检查驻点 、 是否落在范围内，落在就取 ，不落在就取两个端点中的较小者／较大者；③ 乘 （再加 ）得到最终结果。 二、方法提炼 方法1　五点法与基本性质法：先由 定周期，再由整体代换求单调区间（把 整体代入 的单调区间后解出 ）、对称轴（令 ）、对称中心（令 ）；求值域时按第 15 条的三步走，并注意检查驻点是否落入区间。 方法2　由图象求解析式法：按 的顺序逐个确定—— 用最高、最低点的纵坐标， 用相邻最高点与最低点的横坐标之差， 用「代入一个已知点 + 范围限制筛 」。最后把求得的点代回去验一遍，确认它能取到对应的最值。 方法3　图象变换法：先把目标式写成 的形式再读平移量；若题目要求「先平移」，则平移量是 ，若要求「先伸缩」，则平移量是 。写完变换步骤后，取一个特殊的 代入原式与最终结果对一遍。 方法4　对称性综合法：把对称轴条件翻译成「在该处取到最值」，把对称中心条件翻译成「该点函数值为 0」，分别列出 与 求 ；求方程解的和时，利用「两解关于对称轴对称」直接相加。 三、易错提醒 ◆ 周期公式忘了 的前提： 只对 成立，遇到 要先化成 再求周期。 ◆ 求单调区间时忘除以 ：由 解 时，三步（减 、除以 、化简 项）一步都不能跳；最后还要写成区间并带上 。 ◆ 把 的符号弄反导致单调性反了：若 ， 的单调性与 时相反，这时应先提负号化为 的形式再讨论。 ◆ 图象变换的平移量找错：这是本节最高频的错误。记住一句话——「平移量看的是 本身被替换成什么」，所以先化成 的形式， 才是真正的平移量。 ◆ 求 时不筛 ：代入点后得到 这类通解，必须用题给范围（如 ）选出唯一的 ，不筛就会得到一堆不合要求的答案。 ◆ 求闭区间上的值域只算端点：必须检查 、 （正弦取最值处）是否落在 的范围内，落在的话最值在驻点处取到，而不是在端点。落一个只算端点是丢分最常见的原因。 ◆ 判断奇偶性只看 ： 因 或 而既不是奇函数也不是偶函数；只有当 时为奇函数、 时为偶函数（对 而言）。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 五点法与基本性质 题注：这一类「给解析式问性质」的题，所有结论都从「 整体代入 的性质」这一句话推出来。第（5）问求值域时，务必先看驻点有没有落进 的范围。 已知函数 。 （1）求 的最小正周期； （2）求 的对称轴方程； （3）求 的对称中心坐标； （4）求 的单调递增区间； （5）求 在区间 上的值域。 【答案】（1）；（2）（）；（3）（）；（4）（）；（5） 【解析】（1）由 得 。 （2）正弦取到最值处即为对称轴，令 ， 解得 （），这就是对称轴方程。 （3）正弦为零处即为对称中心，令 ， 解得 （），故对称中心为 （）。 （4） 的递增区间是 。令 ： ， 各边减 ：， 各边除以 2：（）。 故递增区间为 （）。 （5）当 时，。 在 上，驻点 落在区间内，故 的最大值为 ； 驻点 大于右端点 ，不在区间内，故最小值在两个端点处取： ，，较小者为 。 于是 。 （端点检验：，，，与结论吻合。） 【点拨】这一组五个问题有一个统一的动作：把 看成一个整体 。对称轴对应 （正弦取 ），对称中心对应 （正弦取 ），单调区间对应 落在 的单调区间内——三种问题的方程只差右端的常数，务必分清。第（5）问是本题唯一的难点：一定要先算出 的范围，再检查两个驻点 、 有没有落进去，这一步不做，值域十有八九算错。 【例 2】 方法2 · 由图象求解析式 题注：只给两个点（一个最高点、一个相邻的最低点），三个参数 、、 恰好都能定下来： 看纵坐标， 看两点横坐标之差， 代入最高点。 已知函数 （，，）的部分图象如图所示：图象上相邻的一个最高点为 ，一个最低点为 。 （1）求 、、； （2）写出 的解析式，并求 的值。 【答案】（1），，；（2）， 【解析】（1）求 ：由最高点纵坐标 、最低点纵坐标 得 （本题无上下平移，中心纵坐标为 ）。 求 ：相邻最高点与最低点的横坐标之差为 ， 这正好是半个周期，即 ，故 ， 于是 。 求 ：把最高点 代入 ， 得 ，即 ， 故 （），。 由 取 ，得 。 （2）， 。 检验： ✓； ✓。 【点拨】求 时优先代入最高点或最低点，因为这时方程右端是 ，解出来是唯一的「最值方程」，不必讨论多种情形。若只能代入一个普通点，会得到两个可能的 ，那时必须再看图象的升降趋势（该点处是上升还是下降）来取舍。最后一步「把两个已知点代回去验一遍」一定要写，它能立刻抓出 或 算错的问题。 【例 3】 方法3 · 图象变换 题注：同一个目标函数，可以按「先平移后伸缩」或「先伸缩后平移」两种方式叙述，但两次的平移量不同（ 与 ）——这正是本题要考的点。 （1）说明由 的图象经过怎样的变换可以得到 的图象（要求写出两种不同的变换路径）； （2）在 上求不等式 的解集。 【答案】（1）路径一：左移 → 横坐标缩短为原来的 → 纵坐标伸长为原来的 2 倍；路径二：横坐标缩短为原来的 → 左移 → 纵坐标伸长为原来的 2 倍；（2） 【解析】（1）路径一（先平移后伸缩）： 的图象向左平移 个单位，得 ； 再把横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得 ； 最后把纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），得 。 路径二（先伸缩后平移）： 的图象横坐标缩短为原来的 ，得 ； 再向左平移 个单位，得 ； 最后把纵坐标伸长为原来的 2 倍，得 。 两条路径的平移量分别是 与 ，差别就在于伸缩发生在平移之前还是之后。 （2）由 得 。 令 ，则 的解为 （）。 即 ， 各边减 ：， 各边除以 2：（）。 与 取交集： 时得 ； 时得 。 故解集为 。 检验： ✓； ✓。 【点拨】记变换顺序的口诀是「平移量跟着 走」：把目标式写成 的形式后， 才是真正的平移量；，所以「先伸缩后平移」时平移 。解三角不等式的通法是：先把不等式化成 的形式，在一个周期内写出 的区间，加 得通解，最后再与题给区间取交集——取交集这一步最容易漏掉 的某个取值。 【例 4】 方法4 · 对称轴与对称性的综合 题注：条件「图象关于直线 对称」等价于「 处函数取到最值」，译成方程 就迎刃而解。 已知函数 ，其中 。 （1）若 的图象关于直线 对称，求 ； （2）判断此时 的奇偶性，并说明理由； （3）求此时 在区间 上的单调递减区间。 【答案】（1）；（2）既不是奇函数也不是偶函数；（3） 【解析】（1）由第 11 条， 是对称轴等价于 取到最值。 因 的振幅为 ，故 ，即 ，也就是 。 于是 （），得 。 由 取 ，得 。 （此时 为最大值，符合对称轴处取最值的要求。） （2）此时 。 。 取 ：，。 可见 且 ， 故 既不是奇函数也不是偶函数。 （也可由 既不是 也不是 直接判断。） （3） 的递减区间是 。令 ： ， 各边减 ：， 各边除以 2：（）。 与 取交集（取 ）： 。 检验：，，由 降到 ，确为递减。 【点拨】「对称轴 取最值」这一条要用到形成条件反射。本题若不用它，而去硬算 ，也可以得到同样的结论，但计算量大得多。判断奇偶性有个更快的办法：对 ， 时是奇函数、 时是偶函数，其余情形非奇非偶；对 则恰好相反。 五、巩固练习 1. 方法1 · 基本性质辨析（多选） 题注：四个选项分别考周期、单调性、对称中心、对称轴，逐条对照 与 的性质即可。 下列命题中正确的有（　　） A. 的最小正周期为 B. 在区间 上单调递增 C. 的图象关于点 对称 D. 的图象关于直线 对称 【答案】ACD 【解析】A 正确：正弦函数的最小正周期是 。 B 错误：余弦函数在 上单调递减（在 上才递增）。 C 正确：，而正弦的对称中心是 ， 对应 。 D 正确：余弦是偶函数，其图象关于 轴（即直线 ）对称，对称轴的一般形式是 。 故选 ACD。 【点拨】把两个函数的性质做成一张对照表记： 奇、 偶； 的对称中心是 、对称轴是 ； 的对称中心是 、对称轴是 。两者的中心与轴恰好互换，记住一半就能推出另一半。 2. 方法1 · 周期与对称轴 题注：注意 的系数是 ，所以周期是 而不是 ；余弦的对称轴由 解出。 求函数 的最小正周期与对称轴方程。 【答案】；对称轴方程为 （） 【解析】由 得 。 余弦取到最值处即为对称轴，令 （）， 解得 ，（）。 故对称轴方程为 （）。 检验：取 ，，，确为最大值 ✓。 【点拨】求对称轴时，余弦令「整体 」、正弦令「整体 」，两者的方程不同，不要混用。算完取 代回原函数，看是否真的取到 ，这是最快的自查方法。 3. 方法2 · 由图象求 与 题注：相邻最高点与最低点的横坐标之差是半个周期，这是读图求 时最常用的关系。 已知函数 （，）的图象上，最高点的纵坐标为 3，最低点的纵坐标为 ，且相邻的最高点与最低点的横坐标之差为 。 求 与 。 【答案】， 【解析】由最高、最低点的纵坐标得 。 相邻最高点与最低点的横坐标之差为半个周期，即 ， 故 。 于是 。 （若改用公式 ，，同样得 。） 【点拨】把两个公式记牢：相邻「最高点与最低点」之差 ；相邻「两个最高点」之差 。两者相差一个系数 2，读图时先看清给的是哪两点，这一步看错会让 差一倍。 4. 方法3 · 由余弦图象平移 题注：不同名的函数之间平移，先利用 化成同名，再比较相位差。 说明由 的图象经过怎样的平移可以得到 的图象。 【答案】向右平移 个单位 【解析】先化同名：由 得 。 设把 的图象向右平移 （）个单位，则新图象对应的函数为 。 要它等于 ，需 （）， 取 得 ，。 （ 说明是向右平移。） 故把 的图象向右平移 个单位即可。 检验： ✓。 【点拨】跨函数名（ 与 ）的平移题，第一步一定是用 （或反过来）化同名，然后再比相位。注意平移是作用在整个「」上的：右移 后是 而不是 ，漏掉这个括号会得到 的错误答案。 5. 方法1 · 性质判断（多选） 题注：逐项验算即可；判断 D 项时要看区间内有没有穿过最大值点。 已知函数 ，则（　　） A. 的最小正周期为 B. 直线 是 图象的一条对称轴 C. 点 是 图象的一个对称中心 D. 在区间 上单调递减 【答案】ABC 【解析】A 正确：。 B 正确：，取到最大值，故 是对称轴。 C 正确：，故 是对称中心。 D 错误：在 上，。其中 到 段 递增、 到 段递减，故 先增后减，不是单调递减。 （也可直接算：，，。） 故选 ABC。 【点拨】判断「某区间上单调」的选项，最快的办法是看最大值点 是否落在区间内部——落在内部就一定会先增后减，必不单调。这个「找峰值点」的动作比逐点代值快得多，在第十二份专项训练的 范围问题里还会反复用到。 6. 方法4 · 方程解的个数 题注：把方程解的个数问题，转化成「水平线与正弦曲线在一段范围内的交点个数」，先定 的范围，再数交点。 已知函数 。若方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围。 【答案】 【解析】当 时，。 方程化为 ，即 。下面看水平线 与 在 上的交点个数。 在该范围内， 的变化是：从 上升到 ，再下降到 。 于是： 当 时，水平线与曲线有两个交点（一个在上升段、一个在下降段）； 当 时只有一个交点（切于最高点）； 当 时，上升段上无交点（因为左端点的值已是 ），下降段上至多一个交点。 故有两个不同实数解的条件是 ， 即 。 （端点检验： 时， 与 ，对应 与 ，确为两个解； 时只有 一个解，故右端取开区间。） 【点拨】这类「解的个数」题的标准画法是：① 把 的区间翻译成 的区间；② 在 的区间上画出 的示意草图（标出端点值与峰值）；③ 移动水平线数交点。端点能否取到，取决于区间是开还是闭、以及端点处的值是否恰好等于 ——本题中左端 能取到（两个解都落在闭区间内），右端 取不到（只有一个解），这类「一开一闭」的答案是本节最需要细心的地方。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 正弦曲线的物理原型：简谐运动 中， 是振幅、 是角频率、 是初相、 是周期、 是频率。弹簧振子、单摆（小角度）、交流电的电压变化都服从这个模型，这就是为什么三角函数被称为「周期现象的数学语言」。 两个同频简谐运动的叠加： 仍是一个同频的正弦量，其振幅由辅助角公式给出。这正是本册第 12 条辅助角公式的物理意义，而频率不同的两个简谐运动叠加会产生「拍」的现象，图象不再是单纯的正弦曲线。 正切函数的图象： 的周期为 （比正弦、余弦小一半），定义域为 {}，值域为 ，在每个区间 内单调递增，图象有渐近线 。教材单独安排在 5.4.3，本节未纳入。 周期函数的最小正周期：并非所有周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数（有理点取 1、无理点取 0）以任意正有理数为周期，但没有最小正周期。高中阶段遇到的 （）都有最小正周期，这是一个美好的特例。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $