三角函数专题第12讲由单调区间零点个数与对称性反求ω的取值范围专项训练-2027届高三数学一轮复习

由单调区间、零点个数与对称性反求 ω 的取值范围 三角函数 · 专题篇 由单调区间反求 一、本节只有一句话：把区间搬进去，让整体角落在一段单调区间里。 题给的一定是「 在某个 区间上单调」，而 的单调性是由整体角 决定的。所以先把 的区间搬到 上，再看这个 区间有没有整段落在某一段单调区间里。 二、整体换元三步。 第一步，令 ；第二步，把 区间的两个端点代进去，算出 的区间 ——这个区间里带着未知的 ；第三步，写出「 区间 某个单调区间」的双边不等式组。 ★ 第三步要写成 （增）或 （减），那个 不能省 —— 区间可能落在第二个、第三个周期上。 三、 怎么定。 把双边不等式整理成「」的样子，再要求 且 ，就能把 卡到一两个整数上。 ★ 一般只会得出一到两段解（例如 一段、 一段），两段都要留下，答案常常是两段区间的并。 四、只给「单调」不指定增减时，先算区间长。 这时先不急着写 ，用必要条件把 的上界拿到手： 区间的长度必须不超过一整段单调区间的长度 。 区间的长度等于 乘上 区间的长度，所以「 乘上 区间的长度不超过 」是一条零成本的上界。 ★ 但这是必要不充分：满足它只说明「装得下」，还要再看 区间落在哪一段，跨过了峰值点或谷值点就不单调。所以拿它筛掉一部分 之后，还得回头验。 五、「单调 ＋ 另一个条件」型的做法。 另一个条件是等式（过点、对称轴、零点）时，先把它解掉，往往能把 缩成一个等差列（如 、），再拿单调条件去逐个筛，比一开始就联立不等式组省力得多。 另一个条件是不等式（如「在另一段上 」「恰好取到一次最大值」）时，两条条件各自列一组不等式，最后取交集。 ★ 「恰好取到一次最大值」要写成 ：左边保证至少遇到一次峰值，右边保证不超过一次。 六、端点开闭。 区间是开区间 时， 区间也是开区间；闭区间则都是闭的。写成双边不等式时要按开闭决定取不取等号。 ★ 实用判据：把端点值代进去单独验一次。例如相位右端点恰好落在 上，函数仍能取到峰值，等号可以取；若恰好落在谷值点 上，则区间内已经包含了「由增转减」，就不单调。 七、易错三处。 一是漏写 ：只考虑 的那一段单调区间，答案会少一整段。 二是把「区间长 半周期」当成了充要条件 ——它只保证装得下，不保证落在同一段里。 三是化简没做到位就下手： 里带着 、 这类项时，先用二倍角降幂、再用辅助角合成单一正弦，否则整体角写不出来。 例1（填空·★★★☆☆） 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 已经是标准型，整体角就是 。把 的端点代进去，要求这个 区间整段落在正弦的递减区间里。 【关键】令 。当 时，。 要在这一段上递减，就要 且 ，。两边同除 整理得 。 因为 ，；又要求左端不超过右端，即 ，解得 ，所以只能取 。于是 ，选 A。 【易错】那个 千万别省：写成 就只剩 一支，而本题恰好只需要 ，属于「侥幸对」——换成别的题就会漏掉一整段解。整理后一定要补上「左端 右端」这一步，它才是把 卡死的工具。 【答案】A 变式1-1（填空·★★★☆☆） 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「对任意的实数 ， 在 上不单调」是反面条件，翻译过来就是「半周期比 还短」，即 。它与「在 上递增」一正一反，各自给出一段 的范围。 【关键】先化简：，用降幂与二倍角：，，所以 。 第一条：在 上递增。，左端 落在 内，配 ：，得 。 第二条：对任意 ， 上都不单调。一个长度等于半周期的区间一定单调（正好是一个完整的增段或减段），所以要让任何长度为 的区间都装不下一个完整单调段，必须使半周期小于 ，即 ，也就是 ，，得 。 两者取交集：，选 D。 【易错】第二条是本题的关窍：「任意」二字把它从「存在」变成了「对所有」，对应的不等式方向是严格的 ——若 恰好等于 ，取 使区间正好对着一个单调段，那么该区间就单调了，与「任意 都不单调」矛盾，所以取不到等号。化简时 用降幂会多出一个常数 ，它不影响单调性，但写解析式时要带上。 【答案】D 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【切入点】两条条件都是不等式，各列一组，最后取交集。左边的区间 短，会给出两段解（ 与 各一段）；右边的区间 是负的，对应 落在正弦取非正的段上。 【关键】。 第一条： 上递增。，要求落在 内： 且 。 得 ； 得 ； 时左端大于右端，无解。 第二条： 上 。，要求落在正弦取非正的段 内： 且 。取 得 ；取 得 。 两条取交：与 的 相交得 ；与 的 相交得 （因为 ）。所以 ，选 B。 【易错】本题两段解都要留 —— 第一段对应 区间落在第一个周期内，第二段对应它落到了第三个周期附近，两段都是真解。第二条的右端不等式写成 是因为区间端点是闭的： 允许取到 ，所以相位可以压到边界上。 【答案】B 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 不能直接判单调，先用降幂公式把它变成一次式。化完之后会发现 ，所以 递减等价于 递增 —— 方向要转一次。 【关键】。 当 时 。 递减要求 递增，所以 。 时： 得 ； 得 。两式取严者，。 取其他整数时， 区间长 ，要落进长度只有 的单调段里必须 ，与 一致，不会再有新的解。 所以 ，选 B。 【易错】 这个诱导公式要写对 ——写错一个负号就会把「递减」看成「递增」，答案整个反过来。本题 区间的长度等于 ，比 区间长 多了 倍，用「区间长 」这条必要条件快速收一收，可以少讨论几个 。 【答案】B 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________。 【切入点】题干只说「在 上单调」，没说是增还是减 —— 这种题先用区间长卡上界，再分「落在增段」与「落在减段」两支把剩下的 定死。 【关键】。 当 时 ， 区间的长度等于 。整段落在一个单调段里就必须 ，即 。 分两支。落在增段 ：左端 得 ，右端 得 。由 、 得 ，于是 。 落在减段 ：左端 得 ，右端 得 。同样 ，得 。 所以 ，最大值是 。 【易错】「单调」=「落在增段或落在减段」，两支都要解、答案取并集 —— 只算一支会漏掉一段。两支里 的取值都由 与 共同卡死，不要只凭 就放行所有 。 【答案】 变式1-5（填空·★★☆☆☆） 已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干给的是一个长得不像单调的不等式 。两边同除 （ 都是正数）就会发现它是 的单调性定义 —— 先把「商函数」认出来，再走整体换元。 【关键】由 知 ，把 两边同除 得 。又 ，所以 在 上递减。 于是 ，要求落在 内： 且 。 因为 ，；再由左端不超过右端：，解得 ，所以 。于是 ，选 A。 【易错】本题的坑全在第一步： 不是 的单调性，而是 的单调性。而 ，所以 恰好把因子 约掉了 ——这正是命题者的用意。认出这一点，后面就是标准的整体换元。 【答案】A 变式1-6（填空·★★★★☆） 已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________。 【切入点】三条条件里，前两条是等式（零点、对称轴），第三条才是单调。做法：先把两条等式相减，把 缩成一个等差列，再用「区间长 半周期」把候选压到两三个，逐个回代验单调。 【关键】设 。由 的图象关于直线 对称得 ；由 得 。两式相减：，记 ，得 ，。 再由单调：区间长 ，必须不超过半周期 ，即 ，得 。结合 、 得 ，候选是 。从大到小回代。 时：，由 取 。当 时 ，这个区间跨过了谷值点 ，函数先减后增，不单调，舍去。 时：，取 （也可取 ）。当 时 ，整段落在 内， 在这段上递增，函数单调，符合。 所以 的最大值是 。 【易错】两条等式相减时， 与 的符号方向要对齐：这里整理出的是 （不是 或 ），说明 是「除以 余 」的那一类，候选是 ，漏了这一点会去试 这种不可能的值。回代时只看有没有跨过峰值点或谷值点： 时 也在区间内，但 是零点不是极值点，不影响单调。 【答案】18 变式1-7（填空·★★★★☆） 已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________。 【切入点】条件形状与上一题一模一样（一个零点、一条对称轴、一段单调），只是函数换成了余弦。相减之后得到的是奇数列 ，候选比正弦型更密，所以更要靠「先卡上界、再从大到小回代」来省力。 【关键】设 。由 是零点得 ；由 是对称轴得 ，、。相减：，记 ，得 ，即 是奇数。 再由单调：区间长 ，必须 ，得 。奇数候选从大到小是 ，逐个回代。 ：，由 取 。 时 ，跨过 （余弦的极小值点），不单调，舍去。 ：同理取 ，，仍跨过 ，不单调，舍去。 ：，取 ，，整段落在 内， 在这段上递减，单调，符合。 所以 的最大值是 。 【易错】余弦型的对称轴与零点互换了角色：正弦的对称轴是峰值点、零点是 ；余弦的对称轴是极值点、零点是 。本题相减时两者的常数项一个是 、一个是 ，方向若写反会得到 ，候选变成 —— 恰好也对，但换成别的题就会错，所以还是要按函数名逐条写清。 【答案】3 变式1-8（填空·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 对任意 恒成立，意思是 是最大值点 —— 先把它翻译成相位等于 ，顺带求出 ；再用单调条件列不等式组，按 分类取并集。 【关键】因为 ，所以 。由恒成立得它是最大值，即 ，所以 。结合 取 ，得 。 于是 。在 上递增，要求 整段落在 内，即 且 。 ：，与 取交得 ；：； 时左端超过右端（），无解。 所以 ，选 D。 【易错】恒成立要翻译成最大值而不是「对称轴」： 的最大值点相位是 ，少写 会漏掉一整族解（本题靠 恰好只留下一个，但换成别的题就未必）。单调那一支的两段解（ 与 ）必须都留，答案是个并集。 【答案】D 例2（填空·★★★☆☆） 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______。 【切入点】 是正弦与余弦的同角一次组合，先配辅助角收成一个正弦，整体角才写得出来。注意题干只要 的最大值，用「右端点不超过峰值点」一条就够了。 【关键】。 当 时，。左端点 已经落在 内部，所以只要右端点不超过 ，整个区间就落在 上。 于是 ，解得 。所以 的最大值是 。 【易错】本题不需要写 ，但要先确认左端点落在哪一段单调区间里 ——，所以只能配 的那一支；若左端点落在 之外，就得另起一支了。辅助角时 在前还是 在前要对齐公式：，本题 、，所以 。 【答案】1 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 既要降幂又要辅助角，先把解析式收成 ；两条条件（递增区间、恰好一次最大值）各自列一组不等式，最后取交集。 【关键】先化简。，所以 。 第一条：在 上递增。 取遍该区间时 。因为 ，左端 落在 附近，只需配 那一支： 得 ； 得 。所以 。 第二条：在 上只取得一次最大值 。此时 ，左端 够不到峰值 ，所以要求右端至少够到 、又不到 ：，解得 。 取交集：，选 B。 【易错】第二条的右边为什么是 ： 区间从左端 起算，途中遇到的峰值点依次是 、 —— 右端点一旦够到 ，区间里就出现了两次峰值，与「只取得一次」矛盾。第一条的化简里 的辅助角是 （不是 ），符号看 项前面的负号。 【答案】B 由零点与最值点个数反求 一、本节只做一件事：数点。 把 化成 （或余弦型）之后，令 ， 的区间就变成 的区间。函数在 区间上有几个零点、几个最值点，就等于 区间里有几个 、几个 。 二、两张对照表。 零点是 （或 ）取零的位置：；。 最值点是取到 的位置：；。 ★ 注意两者互换：正弦的零点在 处、最值点在 处；余弦恰好相反。写之前先认准函数名。 ★ 相邻两个零点相距 、相邻两个最值点也相距 ；零点与最值点交错排列，彼此相距 。 三、「恰有 个」怎么翻译。 把 区间里这些点按从小到大排好，设第 个点是 、第 个点是 。「恰有 个」就写成 落在区间内、 落在区间外，由此得到关于 的双边不等式。 ★ 不用去背「左边取等右边不取等」这类口诀 —— 把端点单独代进去验一次，就知道等号该不该取。 四、★★ 端点算不算？「零点」与「极值点」答案相反。 这是本讲唯一一处容易两头都写错的地方，记两句话就够： 「零点」是方程的解，落在区间端点上也照算 ——例如 区间的左端点恰好是 ，而 时它不算，但当它恰好对应一个零点时就计入。 「极值点」要求两侧都有定义，区间的端点不算极值点 ——一个点如果在区间的最边上，它没有完整的左邻域和右邻域，只是区间上的端点值，不能叫极值点。 ★ 用词上也有区别：说「最值点」时指的是区间上取到最大值或最小值的点，端点当然算；说「极值点」时端点不算。本讲两道题（26江西省赣州市一模-06 用「极值点」、25广东省清远市-06 用「最值点」）恰好卡在这个区别上，端点一端取等、一端不取等。 五、「无零点」怎么翻译。 无零点 ⇔ 区间整段落在相邻两个零点之间：存在整数 使 且 。 ★ 这是本题型里唯一会得出两段解的地方： 可以取 ，也可以取 ，两段都是真解，答案往往写成两段区间的并。 ★ 拿到 的上界之后别急着结束 ——「区间长 零点间距 」这条必要条件能先砍掉一批 ，但它只保证装得下，还要把端点代进去看零点是不是真的落进来。 六、三种变形。 变形一：换元后是二次方程。如 ，先因式分解解出 的两个可能值，再分别数「」的根的个数，两个数字相加等于题给的根数。 变形二：两曲线交点。 这类题要先把三条边翻译成周期与振幅：底边 等于一个周期 ，高等于两倍振幅。 变形三：「恰好经过某几个点」。这类题不必解不等式，把每个候选 逐一代进三个点验一遍即可 ——是代入验证题，不是范围题。 七、易错三处。 一是把 的零点与最值点位置写反（正弦记成余弦的那一套）。 二是端点归属一刀切：「零点」要单独验端点，「极值点」一定不含端点。 三是「无零点」只取了 一支，漏掉 那一段解。 例4（填空·★★★★☆） 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______。 【切入点】「在区间内无零点」是本节最好用的一种题型：把 区间整段卡进相邻两个零点之间，就有 的双边不等式。本题会得出两段解（ 一段、 一段）。 【关键】令 。当 时 ，是开区间。 无零点 ⇔ 这个开区间里不含 ⇔ 存在整数 使 且 。两边同除 整理得 。 要这组不等式有解，需 ，解得 ，所以 。又 ： 给出 ； 给出 ，与 取交得 ； 时左端 ，与 矛盾。 所以 。 【易错】两段解都要写。 那一段对应 区间落在 上， 那一段对应它落在 上 —— 只写一段是本节最常见的失分点。端点取法等号要把端点代回去验： 时 区间是 ，右端点的零点 取不到，所以 可以取。 【答案】 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】余弦型，最值点（也就是极值点）在 处。本题是本节「极值点不含端点」的样板 —— 左端点恰好压在一个极值点上时，那一点不算，等号因此取不到。 【关键】，令 。当 时 。 余弦的极值点在 处。这个区间里、且位于区间内部的 从右往左依次是 、、、、（右端点 介于 与 之间，所以 在内）。恰有 个 ⇒ 含 、、，不含 。 「不含 」要求左端点严格大于 ：，得 ；「含 」要求左端点不超过 ：，得 。 所以 ，选 D。（ 不是极值点， 在 处等于 ，是零点不是极值点。） 【易错】★ 本题的等号方向全靠「极值点必须落在区间内部」这一条：左端点 若恰好等于 ， 在端点上，按定义不算极值点，那时只有 、 两个，不足 个 ——所以 时可以取，等号落在左边。右端同理： 若恰好等于 ，则 是端点不算，内部正好是 、、 三个 ——所以 也可以取，但等号落在右边就不对了。验一次端点比背口诀可靠：把 与 分别代进去数一遍即可。 【答案】D 变式4-2（填空·★★★☆☆） 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____。 【切入点】与例 1 同型（无零点），但本题的解法更省力：先把零点「搬」到 的表达式里，再把「区间内没有零点」翻译成「某个开区间里没有整数」。 【关键】零点是 ，即 ，解得 ，。 要求区间 内没有零点，就是不等式 没有整数解。两边乘 整理得 。 区间长 ，不超过半个周期 ，所以 ，得 。于是 ，要使开区间内没有整数，最简单的一支是让它整个落在 里：，解得 。 所以 。 【易错】本题与例 1 的差别在于先用了「区间长 零点间距 」这条必要条件，把 压到 之后， 的取值范围就只剩 这一支，不必再讨论 。若不用这条，就要像例 1 那样把 的每一支都解出来 —— 两段解都是对的，只是本题的答案恰好落在第一支里。 【答案】 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______。 【切入点】本题要同时数零点与对称轴，而这两串点在 轴上交错排列（余弦的对称轴在 、零点在 ）。最快的办法是把 区间看成一个以 为中心、半径为 的开区间，再按「离中心由近到远」数点。 【关键】令 。当 时 ，这是一个中心在 、半径 的开区间。 把余弦的对称轴 与零点 按到中心的距离排队： （零点，距离 ）、（对称轴，距离 ）、（对称轴，距离 ）、（零点，距离 ）、 要让区间恰好含「 个零点 ＋ 条对称轴」，半径必须够到 与 、又够不到 ：。 把 代回：，得 ，即实数 的取值范围是 。 【易错】关键是把「区间内恰好含哪些点」换成「半径卡在哪两个点之间」——直接去解 的话， 有两族（零点一族、对称轴一族），还要判断左端点与右端点哪个更远，很容易绕晕。左端取开： 时区间是 ，对称轴 正好是右端点，开区间取不到 ⇒ 只有 个零点、 条对称轴，不合。右端取闭： 时区间是 ，对称轴 是左端点取不到，内部恰有 与 两点，合。 【答案】 变式4-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】同样是「一个极值点 ＋ 一个零点」，但要先看清区间 是开的，再按「极值点不含端点、零点看是否落进开区间」两条分别定端点。 【关键】。令 ， ⇒ ，记左端为 。 要区间内恰有 个极值点与 个零点：右端 介于 与 之间，所以 （零点）自然在内，（极值点）自然在外。还需把 （极值点）纳进来、把 （零点）挡在外面。 于是 。右半支：，得 ，；左半支：，得 ，。 注意左端 时 ， 恰好压在开区间的端点上，按「极值点必须落在区间内部」这一条，它不算极值点，那时区间内只有 个零点、 个极值点，不合 ⇒ 左端取不到等号。而 时 也压在端点上，但 是零点不是极值点，取不到它反而正好让区间内只剩 个零点，合。 故 ，选 A。 【易错】★ 这题把「极值点必须落在区间内部」这条规则用到了极致： 时那个极值点正好压在左端点上，虽然函数在那里确实取到最小值 ，但按定义它不算极值点，所以 不能取。反过来 时 压在左端点上， 是零点不是极值点，它取不到不影响极值点的计数。 【答案】A 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是__________ 【切入点】「恰有一个最大值点和一个最小值点」⇔ 区间恰好跨过一个峰一个谷，即左端点落在某个谷值点与峰值点之间、右端点落在下一个峰值点与谷值点之间。把两端的落点范围写出来即可。 【关键】。令 ， ⇒ 。 正弦的最大值点在 、最小值点在 。要让区间内恰有一个最大值点与一个最小值点，最自然的一支是：左端点落在 内（把谷值点 圈进来，又把上一个谷值点 挡在外面），右端点落在 内（把峰值点 圈进来，又把下一个峰值点 挡在外面）。 左端：，解得 ；右端：，解得 。 取交集：，即 。 【易错】左端的等号方向容易写反： 时左端点 ，它本身是上一个谷值点，一旦取到，区间内就出现两个谷值点（ 与 ），与「恰一个最小值点」矛盾，所以取不到等号。而右端 时 ，那是下一个谷值点：区间 里最大值点是 、最小值点是 ，各一个， 上的谷值点在开区间端点之外（本题 区间是开的），可以取到等号。 【答案】 变式4-6（填空·★★★☆☆） 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先降幂把 化掉，再配辅助角。化完之后 ，零点方程是 —— 又是两族解，要逐个列出来数。 【关键】。令 ，得 。 令 ， ⇒ 。 的解从小到大是 、、、、 恰有 个零点 ⇒ 上界 满足 ，即 。两边加 ：，同除 得 ，选 A。 【易错】 的两族解是 与 ，交错后相邻间隔是 与 ，不等距 —— 所以必须把前四个解逐个写出来，不能凭「第 个零点」的等差规律硬套。左端点 不是零点（），所以从 开始数。 【答案】A 变式4-7（填空·★★★☆☆） 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________。 【切入点】方程里出现 与 ，是二次型：先因式分解解出 的两个可能值，再分别数「」有几个根，两个数字加起来等于 。本题 与 的根数并不对称，要分开数。 【关键】把方程看作关于 的二次式：，所以 或 。 令 ， ⇒ ，记右端为 。 数 的根：，在区间内依次是 、；要有 个，需 。 数 的根： 或 ，在区间内依次是 、、、；要有 个，需 。 两条取交：，即 ，解得 ，即 。 【易错】本题的关窍是两个 值各自能提供几个根： 因为正弦只在一个位置取 ，一个周期只给 个点； 一个周期给 个点。所以「 个根」=「 给 个」＋「 给 个」，不能平均分成 。左端点 恰好是 的一个根（零点计端点），已经算进那 个里了。 【答案】 变式4-8（填空·★★★★☆） 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先做图象变换求出 的解析式，再把「在 上没有零点」翻译成「 区间整段落在相邻两零点之间」。本题先由必要条件把 压到 ，再反求「有零点时 是什么」，最后取补集 —— 比直接解不等式清爽得多。 【关键】把 的图象向右平移 得 ；再把横坐标变为原来的 倍，得 ，周期 。 区间长 ，要让整段落在相邻两零点之间，至少需要 ，即 ，得 。 再反求「有零点」的 ：零点是 ，即 。要它落在 内，即 ，乘 整理得 。配合 ： 给 ； 给 。 所以「有零点」对应 ，取补集得「没有零点」时 ，选 A。 【易错】图象变换两步的顺序不能颠倒：先平移再压缩横坐标，得到的是 ；若先压缩再平移，平移量会被 放大，结果完全不同。「没有零点」这一类题用取补集比直接解双边不等式省事：「有零点」只需解一个单边的不等号链，两端取开闭也更好判。 【答案】A 变式4-9（填空·★★★☆☆） 设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个正弦型曲线的连续三个交点必然构成等腰三角形：底边等于一个周期，高等于两倍振幅。把「锐角」翻译成顶角的一半小于 ，就得到关于 的不等式。 【关键】先用诱导公式把 化成同名：。所以两条曲线都是振幅为 、周期 的正弦型。 设连续三个交点为 、、（ 在下、 与 在上），由对称性 落在 的垂直平分线上， 等腰。底边 正好是一个周期：，所以半底 。 求高：令 ，展开整理得 ，结合 解得 ，所以交点的纵坐标是 ，高 。 为锐角三角形 ⇔ 两底角都小于 ⇔ 底角 （因为两底角相等，和为 ，只要它小于 即可）。于是 ，解得 ，选 B。 【易错】「锐角三角形」不能直接翻译成「顶角小于 」——等腰三角形的两个底角相等，只要它们各自小于 即可，而 这个条件恒成立，真正起作用的是 。底边等于一个周期这一点也要看清：连续三个交点跨越了整整一个周期，不是半个 —— 画个草图数一数比记结论可靠。 【答案】B 变式4-10（填空·★★★☆☆） 已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 【切入点】题干问的是「 的值不可能为」，四个选项都是具体数字 —— 这是代入验证题，把每个选项代进去数「过几个点」，不必解任何不等式。 【关键】三点是 、、，函数是 。逐项验： ：（不过 ）；（过 ）；（过 ）⇒ 恰好过 个，可能。 ：（过 ）；（不过 ）；（过 ）⇒ 恰好过 个，可能。 ：（不过 ）；（过 ）；（过 ）⇒ 恰好过 个，可能。 ：（不过）；（不过）；（过 ）⇒ 只过 个，不可能。选 D。 【易错】本题是验证型而不是范围型 —— 看清题干问的是「不可能为」（四个选项都是数），直接代入最省事，硬去解不等式纯属自找麻烦。代入时用整体角算：、、 分别是 、、，再把 代成具体数化简到 的余角。 【答案】D 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先辅助角把 收成 ，再把 化成 。这个方程的解不是 那样的等间距点，要先把它们列全再数。 【关键】，所以 等价于 。 令 ，当 时 。在 内， 的解从小到大是 、、、、（间隔交替为 与 ，每 循环一次）。 恰有 个零点 ⇒ 第 个 落在区间内、第 个 落在区间外，即 。 两边加 得 ，同除 得 ，选 D。 【易错】本题的零点不是等间距的： 的两族解 与 交错排列，相邻间隔交替取 与 。把四五个解逐个写出来再数，比记规律可靠。左端点 本身就是一个零点（零点计端点），数的时候别忘了它 —— 本题正是靠它凑满 个。 【答案】D 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条计数条件（ 个最值点、 个零点）各自给出一段 的范围，取交集。最值点在 处、零点在 处，两串点交错排列，各数各的。 【关键】。令 ， ⇒ ，记右端为 。 数最值点（）：在这个区间内依次是 、、、，（ 的绝对值，落不进来）。恰有 个 ⇒ 。 数零点（）：依次是 、、、。恰有 个 ⇒ 。 两段取交：，即 ，解得 ，选 D。 【易错】左端 的绝对值小于 ，所以 之前的那个最值点 落不进来，不必去数它 —— 这一点决定了「 个最值点」对应的是 到 这三个点。本题用的是「最值点」这个词，所以右端点上的 若恰好等于 ，它是区间上的最大值点，照算 —— 这也是 能取到等号的原因。（同一讲里 26江西省赣州市一模-06 用的是「极值点」，端点就不算，见下一题。） 【答案】D 由对称性与恒成立反求 一、本节的核心：一句话把两类题合成一类。 「 对任意 恒成立」，说的就是 是函数的最大值 —— 而对 这类函数，取得最大值的地方就是一条对称轴。 所以「恒成立」与「对称性」不是两套方法，它们最后都落到同一个式子上：整体角等于 （轴）或等于 （中心）。 二、四个基本翻译。 是对称轴 ⇔ （取到最值）⇔ 。 是对称中心 ⇔ （取到中位值）⇔ 。 的图象关于原点对称（奇函数）⇔ 且 落在合适的位置⇔ 把 代进去令相位为 。 的图象关于 轴对称（偶函数）⇔ 是对称轴⇔ 把 代进去令相位为 。 三、平移之后再看对称，先算解析式。 「把 的图象向左平移 个单位后关于某点／某轴对称」这类题，第一步永远是写出平移后的解析式：左移 得 ，右移 得 。 ★ 平移量要乘 ：，忘了乘 是本节最高频的错误。 ★ 也可以反过来做：「 是 左移 得到的，而 关于 对称」⇔「 关于 对称」—— 把 的中心横坐标加上平移量就得到 的中心。 四、平移后与原图象重合：这是周期条件。 图象平移后与自己重合，等价于平移量是周期的整数倍：右移 后重合 ⇔ 。 ★ 由此 ，再结合 取最小即可。 五、存在性与恒成立的差别。 「恒有 」是对所有的 ，对应「 就是对称轴」。 「存在 、 使 」是至少能取到两次最大值（两个 不同），对应「区间内至少有两个最大值点」，即区间长要够到两个峰。 「存在 、 使 」对应「区间内同时取到 与 」，即区间长至少半个周期。 ★ 「存在」比「恒成立」弱得多，写不等式时不要漏掉「至少」的边界：常常是「第 个峰够不到就不行」这种卡点。 六、两条常用间距。 相邻两条对称轴相距 ；相邻两个对称中心也相距 ；一条对称轴与相邻的对称中心相距 。 ★ 「在区间上恰有 条对称轴」就是「区间内恰有 个 」（或 个 ），与上一节的数点法完全同源。 七、易错三处。 一是平移量忘了乘 ：左移 后相位增加的是 ，不是 。 二是把「关于点对称」写成 ：中心用 、轴用 ，两者不能混。 三是算「最小正数 」时忘了 的取值受 约束，把 取成负数或零，得到 的伪解。 例7（填空·★★★☆☆） 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 对任意实数 都成立，意思就是 是最大值 —— 于是 是一条对称轴。余弦的对称轴在 处（那里取到 ）。 【关键】 的最大值是 ，所以「 恒成立」要求 ，即 ，。 解出 。因为 ，所以 ， 的最小值在 时取到，为 ，选 B。 【易错】余弦的最大值点在 处，这里写成 而不是 —— 因为 在 处就等于 ，那里就是峰值。最后取值时别忘了 与 一起用： 可以取 ，取最小正值就是 。 【答案】B 变式7-1（填空·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】平移后的 有对称中心，等价于原来的 有对应的对称中心 —— 把那个中心往回搬 就得到 的中心，这样不必先写出 的解析式。 【关键】把平移后的解析式直接写出来最稳：。 由 的图象的一个对称中心是 得 ，。左边把 合并：，所以 ，解得 。 要 ，需 ，即 （ 是整数）。取 得 ，选 B。 【易错】左移 后相位增加的是 ——平移量要乘 ，写成 就错了。也可以换个角度验： 是 左移 得到的，所以 的中心 对应 的中心 （左移 时， 的中心横坐标加上 才是 的中心），代进 得 ，同样解出 ，两条路一致。 【答案】B 变式7-2（填空·★★★☆☆） 若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______。 【切入点】「关于原点对称」就是奇函数： 代入后相位应落在 处（函数值 ，且两侧异号）。先写出平移后的解析式，再令其实为奇函数。 【关键】 向右平移 个单位，得 。 关于原点对称 ⇔ 是奇函数⇔ 相位里的常数项 ，。 解得 。要 ，需 ，即 ； 是整数且越大越接近 ，所以取 ，得 。 【易错】含 的项不必管，只看常数项： 是奇函数的充要条件就是「相位里的常数项是 的整数倍」。解出 之后，让 最小为正的办法是让 取「使 刚刚超过 」的那个整数，即 —— 这一步是本题的关窍，取 会得到负的 。 【答案】 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 【切入点】与上一题同型，但本题问的是「 的值可以是」，四个选项都是具体数 —— 先把 的通式解出来，再看哪个选项落在通式里。 【关键】 向左平移 个单位得 。 关于坐标原点对称 ⇔ 常数项 ，，即 。 所以 的取值是 （）以及 。四个选项里只有 落在这个集合里，选 B。 【易错】本题与上一题的区别在平移方向：本题是向左平移 ，所以常数项是 ；上一题是向右平移，常数项是 。向左取加号、向右取减号，符号写反会让通式变成 ，候选集变成 ，四个选项就全落空了。 【答案】B 变式7-4（填空·★★★☆☆） 若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（ ） A. B. C. 2 D. 【切入点】函数带绝对值 ，它的对称轴与原函数不同 —— 的对称轴在 处（含 与各零点、各最值点），比 密一倍。先把「右移后关于 轴对称」搬回原函数。 【关键】 向右平移 后关于 轴对称，等价于原图象关于直线 对称。 因为 的对称轴在 处，而 对应的整体角是 ，令它等于 （取最中心的那条轴）得 。 （另有 时函数恒为 ，也关于任意竖直线对称，但四个选项里没有，不影响选择。）所以选 A。 【易错】套绝对值之后对称轴的位置变了： 的轴在 ， 的轴在 —— 后者把前者的轴与零点都收进来了，所以间隔从 缩到 。「右移后关于 轴对称」等价于「原图关于 对称」（ 是平移量），这一步搬移不要写错方向。 【答案】A 变式7-5（填空·★★★☆☆） 已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________。 【切入点】本题求的是 而不是 ，但用的是同一条规律：对称轴 ⇔ 整体角等于 。把 代进去，解出 的通式，再取最小正数。 【关键】 的图象关于直线 对称 ⇔ ，。 解出 。要 ，让 从小到大试： 得 ； 得 。所以 的最小值是 。 【易错】通式 里 乘的是 而不是 ——因为正弦的对称轴每隔半个周期出现一次。本题 、周期为 ，轴的间距是 ，写成相位就是每隔 一条轴，与通式一致。求最小正 时不要把 当连续变量去解 —— 是整数，逐个试： 给 ， 给 ，所以最小值就是 。 【答案】 变式7-6（填空·★★★☆☆） 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【切入点】两条条件：一条是周期（ 恒成立），一条是区间最值（最大值与最小值之和为 ）。周期条件把 缩成偶数，再逐个代进区间验最值。 【关键】。由 对任意 成立知 是周期，所以 ，即 ，。 再看区间 ：此时 。最大值与最小值的和为 ，即两者互为相反数，最大值是 、最小值必须是 ，也就是 区间要同时够到 （峰）与 （谷）。 逐个验： 时 ，最大值 、最小值 ，和不为 ； 时 ，最大值 、最小值 ，和不为 ； 时 ，最大值 （ 处）、最小值 （ 处），和为 。 所以 的最小值是 ，选 B。 【易错】 是周期 ⇔ 是正偶数，不要漏掉「正」： 从 开始取，。「最大值与最小值之和为 」是本题最容易被忽略的一句 ——它比「最大值是 」强得多，要求区间右端点必须够到 ，这一步决定了 不能是 或 。 【答案】B 变式7-7（填空·★★☆☆☆） 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条条件先列成两个等式：「 对任意 恒成立」说明 处取到最值；再加上 ，两条相减把 缩成一个等差列。最后用「区间内恰有一个最小值点」把候选定死。 【关键】由恒成立得 ；由 得 ，、。两式相减：，记 ，得 。 「在 上有且只有一个 使 」说明区间内恰有一个最小值点，所以区间长至少够到一个谷、不到两个谷：，得 ；于是 ，。 从 往下试： 时 ，此时 在区间内会经过两个谷值点，出现两个最小值点，舍去； 时 ，区间内恰好经过一个谷值点，符合。 所以 的最大值是 ，选 B。 【易错】恒成立给的是最值点（），零点给的是 —— 两者一个用 、一个用 ，相减得到的是 这种「半步」列，不要把两者写混。候选验到最大那一项时别偷懒： 越大、周期越短，区间里越可能挤进两个最小值点，所以一定要从最大往小验。 【答案】B 变式7-8（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为T。若，且在区间上最小值为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先用 把 定出来，再用「 上的最小值为 」求 的下界。两条条件先后使用，互不纠缠。 【关键】因为 ，所以 ，即 。又 ，所以 。 于是 。当 时 。要让最小值是 ，右端必须够到 ：，解得 。 所以 的最小值是 ，选 B。 【易错】「最小值为 」只要求右端够到第一个谷值点 ，所以是单边不等式 ，不是「恰有一个最小值点」那种双边。把「最小值是 」误读成「恰有一个最小值点」，会把答案算成别的数。另外 里的自变量是 ，代进去正好与 约掉，这是命题者埋的便利，不约掉会算得很累。 【答案】B 变式7-9（填空·★★★☆☆） 函数，其中，若，使得，则的取值范围为______。 【切入点】 而 的最大值是 ，所以只能是两处都取到最大值 。「存在两个不同的 」=「区间内至少有两个最大值点」，于是去找第 个峰值点落在哪。 【关键】，最大值在 处，对应 。 要有两个不同的 落在 内： 给出 ，只要 就落在 内； 给出 ，要求它不超过 ，即 ，得 。 所以 。 【易错】「存在 」是存在性，不是恒成立，写不等式时是「第 个峰值点必须落进区间」，所以是 （能取等号 —— 恰好落在右端点也算取到）。峰值点的相位是 （不是 ）： 取最大值的点只有 这一族，取最小值的是 ，两族不能混。 【答案】 变式7-10（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________。 【切入点】 而 的值域是 ，只有同时取到 与 才可能等于 。于是先拿必要条件「区间长至少半个周期」把 压到 ，再逐个验。 【关键】要在 上同时取到 与 ，这个区间必须至少装下半个周期：，即 ，得 。 再逐个验。 时 ， 在这段上最大值为 （端点处）、最小值为 ，两者之差只有 ，不够 ，舍去。 时 ，这段包含 （）与 （），两者之差恰好 ，符合。 所以 的最小值是 。 【易错】必要条件 只是「装得下半个周期」，装得下不等于正好装到一峰一谷 —— 时区间恰好是 ，峰值点 与 都没落进来，区间上只有谷值点 ，所以差不到 。这就是「必要条件只能筛、不能定」的典型例子。 【答案】5 变式7-11（填空·★★★☆☆） 已知函数的最大值为，则的最小值为______。 【切入点】本题求的是 。函数里既有 又有 ，先把它整成 的标准形，再用「最大值等于 」列方程。 【关键】。 由辅助角公式， 的最大值是 ，所以 。两边平方：，即 ，解得 。 所以 ，。又 ，取 得最小值 。 【易错】第一步展开时 要写成 那一项加上 单独的一个 ：，再加上题干原有的 ，所以 的系数是 。漏掉那个 会得到 之类的错答案。最后取最小正值： 的解是 ，最小正值就是 。 【答案】 变式7-12（填空·★★★★☆） 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________。 【切入点】先用奇函数条件求出 ，再把「 在 上恰有 条对称轴」翻译成「某个开区间内恰有 个整数」—— 与上一节的数点法同源。 【关键】。 是奇函数，所以 ，即 ，。结合 取 ，得 。 于是 。 的对称轴在 处，对应 ，。 要它落在 内：，两边乘 得 ，即 。 这个开区间里恰有 个整数，且它们只能是 与 （最小的候选是 ），所以 ，解得 ，即 。 【易错】 的处理要先看函数本身： 是奇函数 ⇒ ，而 的最大值是 ，所以 而不是等于 。数整数那一步与上一节完全一样：「恰有 个」就是「第 个（）在内、第 个（）在外」，写成 ，右端取等是因为 只要不落进开区间即可。 【答案】 变式7-13（填空·★★★★☆） 若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”。已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是_______。 【切入点】新定义题的第一步永远是把定义翻译成能用已有工具处理的话。「存在整数 、实数 使 」的意思是：在某个整数点旁边的一小段里，函数取到了相同的值 ——单调函数一定不是滞后的（值不会重复）。于是按 分段讨论。 【关键】逐段分析 ，。 第一段 ：，所以 在 上单调递增 ⇒ 不可能有 ⇒ 不是滞后的，符合题意。 第二段 ：此时 、，而 。若 ，由 且 在 附近递减知， 在 内必有零点，取 、 为该零点即得 ⇒ 是滞后的，不符合题意。所以必须 ，即 ，，。 第三段 ：此时 在 内仍有零点（因为 ， 在 右侧先降后升，而 说明它在 之前就已回到 ），所以仍是滞后的，不符合题意。 第四段 ：这时对整数 ，。因为 是整数、，所以 是整数；而 ，其中 ，所以第二项不是整数，整个值不是整数 ⇒ ，符合题意。 综上 。 【易错】新定义题不要急着算，先把定义换一句话说：本题的「不是滞后的」=「任何整数点与它右边一小段里的值都不相等」。分段时 这一支要单独拿出来验，因为它用的是「整数与否」这个性质，与前面几段的单调性、零点讨论不是一回事。另外 里 的情形要单独排除：周期变小后 在 内会多出零点。 【答案】 例8（填空·★★☆☆☆） 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______。 【切入点】「平移后与原图象重合」与「关于某轴对称」是两种完全不同的条件，前者是周期条件：只有当平移量是周期的整数倍时，图象才会落回自己身上。 【关键】 的周期是 。向右平移 个单位后解析式是 。 要与原图象重合，只要相位相差 的整数倍，即 （差一个负号不影响），解得 ，。 因为 是正实数，，所以 的最小值是 。 【易错】「与原图象重合」的唯一条件是 ，不要误当成「关于某轴／某点对称」—— 后者只要求相位差是 或 的整数倍，条件弱得多，答案也不同。平移后的解析式里 那个 不能漏乘。 【答案】8 例9（填空·★★☆☆☆） 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干直接给出对称中心 。正弦型的对称中心在 处（那里函数值为 ，即与中位线相交）。把横坐标代进整体角，令它等于 ，一次方程即可。 【关键】，。图象关于点 中心对称 ⇔ ，。 解出 。要 ，需 ，即 （ 是整数）。取 得 ，选 C。 【易错】正弦型的对称中心在 处、对称轴在 处，两者差 ，写的时候容易互换。判据：把中心横坐标代进去，函数值应当等于中心的纵坐标（本题是 ）；若是轴，函数值应当等于 。最后一步「取最小的正 」要靠 是整数来卡，不要把 当成连续变量去求最小值。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $ 由单调区间、零点个数与对称性反求 ω 的取值范围 三角函数 · 专题篇 由单调区间反求 一、本节只有一句话：把区间搬进去，让整体角落在一段单调区间里。 题给的一定是「 在某个 区间上单调」，而 的单调性是由整体角 决定的。所以先把 的区间搬到 上，再看这个 区间有没有整段落在某一段单调区间里。 二、整体换元三步。 第一步，令 ；第二步，把 区间的两个端点代进去，算出 的区间 ——这个区间里带着未知的 ；第三步，写出「 区间 某个单调区间」的双边不等式组。 ★ 第三步要写成 （增）或 （减），那个 不能省 —— 区间可能落在第二个、第三个周期上。 三、 怎么定。 把双边不等式整理成「」的样子，再要求 且 ，就能把 卡到一两个整数上。 ★ 一般只会得出一到两段解（例如 一段、 一段），两段都要留下，答案常常是两段区间的并。 四、只给「单调」不指定增减时，先算区间长。 这时先不急着写 ，用必要条件把 的上界拿到手： 区间的长度必须不超过一整段单调区间的长度 。 区间的长度等于 乘上 区间的长度，所以「 乘上 区间的长度不超过 」是一条零成本的上界。 ★ 但这是必要不充分：满足它只说明「装得下」，还要再看 区间落在哪一段，跨过了峰值点或谷值点就不单调。所以拿它筛掉一部分 之后，还得回头验。 五、「单调 ＋ 另一个条件」型的做法。 另一个条件是等式（过点、对称轴、零点）时，先把它解掉，往往能把 缩成一个等差列（如 、），再拿单调条件去逐个筛，比一开始就联立不等式组省力得多。 另一个条件是不等式（如「在另一段上 」「恰好取到一次最大值」）时，两条条件各自列一组不等式，最后取交集。 ★ 「恰好取到一次最大值」要写成 ：左边保证至少遇到一次峰值，右边保证不超过一次。 六、端点开闭。 区间是开区间 时， 区间也是开区间；闭区间则都是闭的。写成双边不等式时要按开闭决定取不取等号。 ★ 实用判据：把端点值代进去单独验一次。例如相位右端点恰好落在 上，函数仍能取到峰值，等号可以取；若恰好落在谷值点 上，则区间内已经包含了「由增转减」，就不单调。 七、易错三处。 一是漏写 ：只考虑 的那一段单调区间，答案会少一整段。 二是把「区间长 半周期」当成了充要条件 ——它只保证装得下，不保证落在同一段里。 三是化简没做到位就下手： 里带着 、 这类项时，先用二倍角降幂、再用辅助角合成单一正弦，否则整体角写不出来。 例1（填空·★★★☆☆） 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★★☆☆） 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________。 变式1-5（填空·★★☆☆☆） 已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-6（填空·★★★★☆） 已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________。 变式1-7（填空·★★★★☆） 已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________。 变式1-8（填空·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例2（填空·★★★☆☆） 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______。 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 由零点与最值点个数反求 一、本节只做一件事：数点。 把 化成 （或余弦型）之后，令 ， 的区间就变成 的区间。函数在 区间上有几个零点、几个最值点，就等于 区间里有几个 、几个 。 二、两张对照表。 零点是 （或 ）取零的位置：；。 最值点是取到 的位置：；。 ★ 注意两者互换：正弦的零点在 处、最值点在 处；余弦恰好相反。写之前先认准函数名。 ★ 相邻两个零点相距 、相邻两个最值点也相距 ；零点与最值点交错排列，彼此相距 。 三、「恰有 个」怎么翻译。 把 区间里这些点按从小到大排好，设第 个点是 、第 个点是 。「恰有 个」就写成 落在区间内、 落在区间外，由此得到关于 的双边不等式。 ★ 不用去背「左边取等右边不取等」这类口诀 —— 把端点单独代进去验一次，就知道等号该不该取。 四、★★ 端点算不算？「零点」与「极值点」答案相反。 这是本讲唯一一处容易两头都写错的地方，记两句话就够： 「零点」是方程的解，落在区间端点上也照算 ——例如 区间的左端点恰好是 ，而 时它不算，但当它恰好对应一个零点时就计入。 「极值点」要求两侧都有定义，区间的端点不算极值点 ——一个点如果在区间的最边上，它没有完整的左邻域和右邻域，只是区间上的端点值，不能叫极值点。 ★ 用词上也有区别：说「最值点」时指的是区间上取到最大值或最小值的点，端点当然算；说「极值点」时端点不算。本讲两道题（26江西省赣州市一模-06 用「极值点」、25广东省清远市-06 用「最值点」）恰好卡在这个区别上，端点一端取等、一端不取等。 五、「无零点」怎么翻译。 无零点 ⇔ 区间整段落在相邻两个零点之间：存在整数 使 且 。 ★ 这是本题型里唯一会得出两段解的地方： 可以取 ，也可以取 ，两段都是真解，答案往往写成两段区间的并。 ★ 拿到 的上界之后别急着结束 ——「区间长 零点间距 」这条必要条件能先砍掉一批 ，但它只保证装得下，还要把端点代进去看零点是不是真的落进来。 六、三种变形。 变形一：换元后是二次方程。如 ，先因式分解解出 的两个可能值，再分别数「」的根的个数，两个数字相加等于题给的根数。 变形二：两曲线交点。 这类题要先把三条边翻译成周期与振幅：底边 等于一个周期 ，高等于两倍振幅。 变形三：「恰好经过某几个点」。这类题不必解不等式，把每个候选 逐一代进三个点验一遍即可 ——是代入验证题，不是范围题。 七、易错三处。 一是把 的零点与最值点位置写反（正弦记成余弦的那一套）。 二是端点归属一刀切：「零点」要单独验端点，「极值点」一定不含端点。 三是「无零点」只取了 一支，漏掉 那一段解。 例4（填空·★★★★☆） 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______。 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（填空·★★★☆☆） 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____。 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______。 变式4-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是__________ 变式4-6（填空·★★★☆☆） 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-7（填空·★★★☆☆） 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________。 变式4-8（填空·★★★★☆） 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-9（填空·★★★☆☆） 设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-10（填空·★★★☆☆） 已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 由对称性与恒成立反求 一、本节的核心：一句话把两类题合成一类。 「 对任意 恒成立」，说的就是 是函数的最大值 —— 而对 这类函数，取得最大值的地方就是一条对称轴。 所以「恒成立」与「对称性」不是两套方法，它们最后都落到同一个式子上：整体角等于 （轴）或等于 （中心）。 二、四个基本翻译。 是对称轴 ⇔ （取到最值）⇔ 。 是对称中心 ⇔ （取到中位值）⇔ 。 的图象关于原点对称（奇函数）⇔ 且 落在合适的位置⇔ 把 代进去令相位为 。 的图象关于 轴对称（偶函数）⇔ 是对称轴⇔ 把 代进去令相位为 。 三、平移之后再看对称，先算解析式。 「把 的图象向左平移 个单位后关于某点／某轴对称」这类题，第一步永远是写出平移后的解析式：左移 得 ，右移 得 。 ★ 平移量要乘 ：，忘了乘 是本节最高频的错误。 ★ 也可以反过来做：「 是 左移 得到的，而 关于 对称」⇔「 关于 对称」—— 把 的中心横坐标加上平移量就得到 的中心。 四、平移后与原图象重合：这是周期条件。 图象平移后与自己重合，等价于平移量是周期的整数倍：右移 后重合 ⇔ 。 ★ 由此 ，再结合 取最小即可。 五、存在性与恒成立的差别。 「恒有 」是对所有的 ，对应「 就是对称轴」。 「存在 、 使 」是至少能取到两次最大值（两个 不同），对应「区间内至少有两个最大值点」，即区间长要够到两个峰。 「存在 、 使 」对应「区间内同时取到 与 」，即区间长至少半个周期。 ★ 「存在」比「恒成立」弱得多，写不等式时不要漏掉「至少」的边界：常常是「第 个峰够不到就不行」这种卡点。 六、两条常用间距。 相邻两条对称轴相距 ；相邻两个对称中心也相距 ；一条对称轴与相邻的对称中心相距 。 ★ 「在区间上恰有 条对称轴」就是「区间内恰有 个 」（或 个 ），与上一节的数点法完全同源。 七、易错三处。 一是平移量忘了乘 ：左移 后相位增加的是 ，不是 。 二是把「关于点对称」写成 ：中心用 、轴用 ，两者不能混。 三是算「最小正数 」时忘了 的取值受 约束，把 取成负数或零，得到 的伪解。 例7（填空·★★★☆☆） 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 变式7-2（填空·★★★☆☆） 若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______。 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 变式7-4（填空·★★★☆☆） 若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（ ） A. B. C. 2 D. 变式7-5（填空·★★★☆☆） 已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________。 变式7-6（填空·★★★☆☆） 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 变式7-7（填空·★★☆☆☆） 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式7-8（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为T。若，且在区间上最小值为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 变式7-9（填空·★★★☆☆） 函数，其中，若，使得，则的取值范围为______。 变式7-10（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________。 变式7-11（填空·★★★☆☆） 已知函数的最大值为，则的最小值为______。 变式7-12（填空·★★★★☆） 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________。 变式7-13（填空·★★★★☆） 若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”。已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是_______。 例8（填空·★★☆☆☆） 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______。 例9（填空·★★☆☆☆） 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $