三角函数中 ω 的范围问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

三角函数中 ω 的范围问题专项训练 单调性 · 零点个数 · 极值点个数 · 恒成立 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本册所有题目共用同一个起手式：令 ，把 的区间翻译成 的区间。这一步做完，四类题型的差别才显现出来。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。本册最需要盯住的是区间端点的开闭——每解完一题，把端点值单独代回去数一遍零点（或极值点）的个数。 三角函数中 ω 的范围问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.4（三角函数的图象与性质）的深化专题。本节专攻「已知 （）在某个区间上具有某种性质，反求参数 的取值范围」，覆盖单调性、零点个数、极值点个数、不等式恒成立四类题型，不涉及 的范围问题与解三角形。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的 范围类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年河北石家庄高一期末的单调性型题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏常州高三一模的零点个数型题改写，例题 3 由 2024 年河南洛阳高一期末的极值点个数型题改写，例题 4 由 2025 年浙江温州高一期末的恒成立型题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，并用区间扫描确认了每一个端点的开闭。 一、知识要点 （一） 的作用与通用起手式 1. 决定周期：（）。 越大周期越小，图象越「密」——同一个区间里塞进的零点、极值点就越多。这是所有 范围问题的直观背景。 2. 通用起手式（整体代换）：令 ，则 对应 。本册每一道题都要先写这一步，把「关于 的条件」翻译成「关于 的条件」。 3. 区间长度是关键量： 区间的长度 ，它决定了这个区间最多能容纳多少个半周期。若某个性质要求区间落在长度为 的单调区间内，就必须先有 ，这是一个立即可用的必要条件。 4. 四类题型：本册把 范围问题分成四类——单调性型、零点个数型、极值点个数型、不等式恒成立型。读题时先认出属于哪一类，再选对应的方法，这是本册唯一的「选择成本」。 5. 通用三步：① 算 的范围；② 把条件翻译成「 的区间包含于某个集合」或「该集合内恰有 个点」；③ 列不等式（组）解出 ，并检验端点的开闭。 （二）单调性型与恒成立型 6. 单调性的充要条件：（，）在区间 上单调递增，当且仅当 的区间包含于某个递增区间 ；递减则对应 。 7. 列式方法：记 、（），则需存在整数 使 且 （递增情形）。两个不等式联立即可解出 。 8. 先查必要条件：单调区间的长度是 ，故必须有 。若它都不成立，直接判定无解，不必再列不等式组。 9. 怎么取：由于 且 、 随 增大，一般从 开始试；解出后把 的情形代入检查——通常因区间长度限制而无解，写一句「 时无解」即可。 10. 恒成立型： 在 上恒成立，等价于 的区间包含于 {} 的某一段内。也就是说，先解出「」在 轴上的一段区间，再要求 的区间落进去——与单调性型完全同构。 （三）零点个数型与极值点个数型 11. 零点的通式： 的零点由 给出，即 （）。余弦同理（零点由 给出）。 12. 数零点的标准做法：把 代入区间条件 ，解出关于 的不等式，数满足条件的整数 有几个，令这个个数等于题给值，解出 。 13. 极值点的通式： 的极大值点由 给出，极小值点由 给出； 的极大值点由 给出，极小值点由 给出。四个式子要分清。 14. 端点的取舍是这类题的全部难点：若区间是开区间 ，则「恰好使 」的那个 不算数。这常常导致答案左端开、右端闭（例如 ）：左端取等时少一个点，右端取等时刚好不多一个点。 15. 通用检验法：解出 的范围后，取范围内的一个值代入数一遍（应等于题给个数），再取范围两侧紧邻的值各验一次（应不等于题给个数）。这三次代入能百分之百确认端点的开闭。 二、方法提炼 方法1　区间包含法（单调性型）：算出 的区间 后，要求它包含于某个单调区间内，列出 、 两个不等式（起点、终点含 ），先取 解得 的范围，再说明其他 无解。动手前先查 这个必要条件。 方法2　 计数法（零点个数型）：写出零点通式 ，代入 解出 的范围，把「恰有 个整数 满足条件」翻译成关于 的两个不等式（第 个 要满足、第 个 不满足），再按区间开闭确定端点是否取等。 方法3　最值点计数法（极值点个数型）：与零点型同构，只是通式换成极大值点（或极小值点）的表达式。额外要注意 的起始值可能不是 0（由 决定），列式时先把满足条件的 逐个写出来再数。 方法4　解集包含法（恒成立型）：先在一个周期内解出 （或 ）对应的 的区间，再要求 全部落在这个区间内，列出 左端、 右端两个不等式解出 。 三、易错提醒 ◆ 忘了整体代换直接对 列不等式：单调区间、零点、极值点都是针对「整体 」说的，直接拿 去比对 之类，必错。 ◆ 单调性型漏掉区间长度条件：只列 而忘了 ，会得到一个偏大的范围。两个不等式是「且」的关系，缺一不可。 ◆ 单调性型只取 不说明其他 ： 时 与 往往矛盾，但必须写一句验证（用区间长度 即可说明），否则过程不完整。 ◆ 零点型把端点取反：区间为开区间 时，使 的那个 不算，所以答案右端可以取等；而使 的那个 本来就不算，左端就要严格大于。所以这类题的答案「一开一闭」是常态，凭感觉写端点必错。 ◆ 零点型把 的起始值弄错： 中，由 得到的是 ，当 时最小可取的 是 而不是 。列式前先把前几个 代进去算一遍，看清从哪个开始。 ◆ 极值点型混淆极大与极小： 的极大值对应 、极小值对应 ； 则分别对应 与 。把极大算成极小，答案会整个平移半段。 ◆ 恒成立型当成「存在」处理：「 恒成立」要求区间内每一点都满足，即最小值 ；若误按「存在 使 」（最大值 ）来做，得到的范围会大得多。两者的差别只在「 区间包含于解集」与「 区间与解集有交集」。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 区间包含（单调性型） 题注：题注： 的区间必须整个落进某个递减区间。先查区间长度 这个必要条件，再对 列两个不等式，最后说明其他 无解。 已知函数 ，其中 。若 在区间 上单调递减，求 的取值范围。 【例 2】 方法2 · 计数（零点个数型） 题注：题注：把零点通式代进开区间 ，得到 要满足的不等式；「恰有 3 个整数 满足」要翻译成「第 3 个满足、第 4 个不满足」两个条件。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 3 个零点，求 的取值范围。 【例 3】 方法3 · 最值点计数（极值点个数型） 题注：题注：极大值点的通式里带 ，代入开区间后得到 ；把满足条件的 逐个写出来（）再数，不要凭空想。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 2 个极大值点，求 的取值范围。 【例 4】 方法4 · 解集包含（恒成立型） 题注：题注：「恒成立」要求区间内每一点都满足，即 的区间整个落进 的解集里。先解出这个解集（在一个周期内是一段区间），再夹住两端。 已知函数 ，其中 。若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围。 五、巩固练习 1. 方法1 · 的作用辨析（多选） 题注：题注：四个选项分别考 对周期、零点个数、零点个数的表达式、以及最值的影响，逐条判断即可。 已知函数 ，其中 ，则（　　） A. 越大， 的最小正周期越小 B. 越大， 在区间 内的零点个数越多 C. 在区间 内的零点个数等于 D. 在区间 内的最大值恒为 1 2. 方法3 · 极小值点个数 题注：题注： 的极小值由 给出；数出满足 的 的个数即可。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 3 个极小值点，求 的取值范围。 3. 方法1 · 周期型 题注：题注：周期型是最简单的一类，直接由 列出关于 的双边不等式，再解出 （注意取倒数时不等号方向）。 已知函数 ，其中 ，其最小正周期 满足 ，求 的取值范围。 4. 方法1 · 单调性型（求最大值） 题注：题注：与例题 1 同型，但区间更短、且 ，解出的是 的上界，题目问的就是这个上界。 已知函数 ，其中 。若 在区间 上单调递增，求 的最大值。 5. 方法3 · 极值点性质判断（多选） 题注：题注：四个选项分别考极大值点通式、具体 下的个数、极小值点通式、以及个数对应的 范围。 已知函数 ，其中 ，则（　　） A. 的极大值点为 （） B. 当 时， 在区间 内有 2 个极大值点 C. 的极小值点为 （） D. 若 在区间 内恰有 3 个极小值点，则 6. 方法2 · 零点个数（带初相） 题注：题注：与例题 2 的差别是多了一个初相 ，零点通式变成 ，代入区间后的不等式也随之改变。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 4 个零点，求 的取值范围。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 为什么 范围题偏爱开区间：若区间写成闭区间 ，端点 、 是否被计入零点会让答案在两端都变紧，讨论量翻倍；命题人用开区间正是为了避开这个歧义。所以做题时区间开闭必须逐个确认，不能想当然。 范围与「周期的整数倍」：零点个数型本质上是在数「 的区间里包含几个 的整数倍」。设 的区间为 ，则其中 的整数倍个数为 ，把这个数令为 就得到关于 的不等式——这是 计数法的等价写法，熟练后更快。 频率与 ：物理中 ，所以「 的范围」在物理语境下就是「频率的范围」。交流电中 对应 Hz，这正是我国民用交流电的频率。 更一般的参数问题：除 外，还有已知零点（或极值点）在区间内「至少有一个」「至多有一个」的题型，解法是把「恰有 个」的不等式组改成相应的单边不等式。有兴趣的同学可以把本册四道例题都改成「至少有一个」再解一遍，会发现思路完全平行。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数中 ω 的范围问题专项训练 单调性 · 零点个数 · 极值点个数 · 恒成立 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本册所有题目共用同一个起手式：令 ，把 的区间翻译成 的区间。这一步做完，四类题型的差别才显现出来。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。本册最需要盯住的是区间端点的开闭——每解完一题，把端点值单独代回去数一遍零点（或极值点）的个数。 三角函数中 ω 的范围问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.4（三角函数的图象与性质）的深化专题。本节专攻「已知 （）在某个区间上具有某种性质，反求参数 的取值范围」，覆盖单调性、零点个数、极值点个数、不等式恒成立四类题型，不涉及 的范围问题与解三角形。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的 范围类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年河北石家庄高一期末的单调性型题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏常州高三一模的零点个数型题改写，例题 3 由 2024 年河南洛阳高一期末的极值点个数型题改写，例题 4 由 2025 年浙江温州高一期末的恒成立型题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，并用区间扫描确认了每一个端点的开闭。 一、知识要点 （一） 的作用与通用起手式 1. 决定周期：（）。 越大周期越小，图象越「密」——同一个区间里塞进的零点、极值点就越多。这是所有 范围问题的直观背景。 2. 通用起手式（整体代换）：令 ，则 对应 。本册每一道题都要先写这一步，把「关于 的条件」翻译成「关于 的条件」。 3. 区间长度是关键量： 区间的长度 ，它决定了这个区间最多能容纳多少个半周期。若某个性质要求区间落在长度为 的单调区间内，就必须先有 ，这是一个立即可用的必要条件。 4. 四类题型：本册把 范围问题分成四类——单调性型、零点个数型、极值点个数型、不等式恒成立型。读题时先认出属于哪一类，再选对应的方法，这是本册唯一的「选择成本」。 5. 通用三步：① 算 的范围；② 把条件翻译成「 的区间包含于某个集合」或「该集合内恰有 个点」；③ 列不等式（组）解出 ，并检验端点的开闭。 （二）单调性型与恒成立型 6. 单调性的充要条件：（，）在区间 上单调递增，当且仅当 的区间包含于某个递增区间 ；递减则对应 。 7. 列式方法：记 、（），则需存在整数 使 且 （递增情形）。两个不等式联立即可解出 。 8. 先查必要条件：单调区间的长度是 ，故必须有 。若它都不成立，直接判定无解，不必再列不等式组。 9. 怎么取：由于 且 、 随 增大，一般从 开始试；解出后把 的情形代入检查——通常因区间长度限制而无解，写一句「 时无解」即可。 10. 恒成立型： 在 上恒成立，等价于 的区间包含于 {} 的某一段内。也就是说，先解出「」在 轴上的一段区间，再要求 的区间落进去——与单调性型完全同构。 （三）零点个数型与极值点个数型 11. 零点的通式： 的零点由 给出，即 （）。余弦同理（零点由 给出）。 12. 数零点的标准做法：把 代入区间条件 ，解出关于 的不等式，数满足条件的整数 有几个，令这个个数等于题给值，解出 。 13. 极值点的通式： 的极大值点由 给出，极小值点由 给出； 的极大值点由 给出，极小值点由 给出。四个式子要分清。 14. 端点的取舍是这类题的全部难点：若区间是开区间 ，则「恰好使 」的那个 不算数。这常常导致答案左端开、右端闭（例如 ）：左端取等时少一个点，右端取等时刚好不多一个点。 15. 通用检验法：解出 的范围后，取范围内的一个值代入数一遍（应等于题给个数），再取范围两侧紧邻的值各验一次（应不等于题给个数）。这三次代入能百分之百确认端点的开闭。 二、方法提炼 方法1　区间包含法（单调性型）：算出 的区间 后，要求它包含于某个单调区间内，列出 、 两个不等式（起点、终点含 ），先取 解得 的范围，再说明其他 无解。动手前先查 这个必要条件。 方法2　 计数法（零点个数型）：写出零点通式 ，代入 解出 的范围，把「恰有 个整数 满足条件」翻译成关于 的两个不等式（第 个 要满足、第 个 不满足），再按区间开闭确定端点是否取等。 方法3　最值点计数法（极值点个数型）：与零点型同构，只是通式换成极大值点（或极小值点）的表达式。额外要注意 的起始值可能不是 0（由 决定），列式时先把满足条件的 逐个写出来再数。 方法4　解集包含法（恒成立型）：先在一个周期内解出 （或 ）对应的 的区间，再要求 全部落在这个区间内，列出 左端、 右端两个不等式解出 。 三、易错提醒 ◆ 忘了整体代换直接对 列不等式：单调区间、零点、极值点都是针对「整体 」说的，直接拿 去比对 之类，必错。 ◆ 单调性型漏掉区间长度条件：只列 而忘了 ，会得到一个偏大的范围。两个不等式是「且」的关系，缺一不可。 ◆ 单调性型只取 不说明其他 ： 时 与 往往矛盾，但必须写一句验证（用区间长度 即可说明），否则过程不完整。 ◆ 零点型把端点取反：区间为开区间 时，使 的那个 不算，所以答案右端可以取等；而使 的那个 本来就不算，左端就要严格大于。所以这类题的答案「一开一闭」是常态，凭感觉写端点必错。 ◆ 零点型把 的起始值弄错： 中，由 得到的是 ，当 时最小可取的 是 而不是 。列式前先把前几个 代进去算一遍，看清从哪个开始。 ◆ 极值点型混淆极大与极小： 的极大值对应 、极小值对应 ； 则分别对应 与 。把极大算成极小，答案会整个平移半段。 ◆ 恒成立型当成「存在」处理：「 恒成立」要求区间内每一点都满足，即最小值 ；若误按「存在 使 」（最大值 ）来做，得到的范围会大得多。两者的差别只在「 区间包含于解集」与「 区间与解集有交集」。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 区间包含（单调性型） 题注： 的区间必须整个落进某个递减区间。先查区间长度 这个必要条件，再对 列两个不等式，最后说明其他 无解。 已知函数 ，其中 。若 在区间 上单调递减，求 的取值范围。 【答案】 【解析】令 。当 时， 。 记 、，区间长度 。 的递减区间是 ，其长度为 。 要使 在给定区间上递减，需存在整数 使 。 先看必要条件：，即 。 又 ，故 ，于是 时递减区间的右端 ，不可能（取 即可见）。 取 ：需 且 ，即 ； 。 得 。 再看 ：需 且 ， 即 且 。两者相容需 ，即 、，与 矛盾，故无解。 综上，。 检验： 时 ，递减 ✓； 时 ，递减 ✓；（超出范围）时 ，在 处由减转增，不单调 ✓。 【点拨】单调性型的固定动作是「长度检查 + 两端夹住」：长度 是门槛，两端夹住是 区间起点、 区间终点两个不等式。本题 无解的论证值得记住模板——把两个不等式解出的 上下界摆在一起，下界 增长得比上界 快，所以 一大就必然无解。最后取范围内外各一个值代回验证，是这类题最有效的自检。 【例 2】 方法2 · 计数（零点个数型） 题注：把零点通式代进开区间 ，得到 要满足的不等式；「恰有 3 个整数 满足」要翻译成「第 3 个满足、第 4 个不满足」两个条件。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 3 个零点，求 的取值范围。 【答案】 【解析】 的零点由 （）给出，即 。 由 且 ，得 ，即 （两边同乘 ）。 于是满足条件的零点对应整数 ，一直到不超过 的那个最大整数为止。 要恰有 3 个零点，即 都满足、而 不满足： 满足：； 不满足：（注意 是严格不等式， 时 不满足，此时 不在开区间内）。 故 ，即 。 检验： 时零点为 、、，即约 、、，恰 3 个 ✓； 时零点为 、、、，其中 不在开区间内，仍为 3 个 ✓； 时多出 ，共 4 个 ✗； 时只有 、，共 2 个 ✗。 【点拨】零点型的答案形状有个规律可循：区间开在右端（）时，右端点对应的 「刚好不算」，所以答案右端闭；而左端 对应的 本来就不算，要让第 3 个零点进来就必须 严格成立，所以左端开。记住「右闭左开」这个形状，再拿端点值代回数一遍确认，就不会在开闭上丢分。 【例 3】 方法3 · 最值点计数（极值点个数型） 题注：极大值点的通式里带 ，代入开区间后得到 ；把满足条件的 逐个写出来（）再数，不要凭空想。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 2 个极大值点，求 的取值范围。 【答案】 【解析】 取到最大值 时 （）。令 ，则极大值点满足 ，即 。 由 及 ，得 ，即 。 逐个代入 ： ：，不满足； ：； ：； ：。 要恰有 2 个极大值点，即 、 都满足、而 不满足： 满足：（严格，取等时 不在开区间内）； 不满足：（取等时 不算，仍只有 2 个）。 故 ，即 。 检验： 时极大值点为 、，共 2 个 ✓； 时第三个点 ，不在开区间内，仍为 2 个 ✓； （超出范围）时第三个点 ，共 3 个 ✗； （低于范围）时第二个点 ，只有 1 个 ✗。 【点拨】极值点型比零点型多一个坑： 的起始值。本题 因为 而被排除，所以计数从 起；换个 就可能从 或 起，务必逐个代入算一遍，不要默认从 开始。另外注意： 的极大值点是 ，而 的极大值点是 ，两者不要混。 【例 4】 方法4 · 解集包含（恒成立型） 题注：「恒成立」要求区间内每一点都满足，即 的区间整个落进 的解集里。先解出这个解集（在一个周期内是一段区间），再夹住两端。 已知函数 ，其中 。若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围。 【答案】 【解析】令 。当 时， （由 知这是从左到右的一段）。 先解 ：在一个周期内解集为 ，一般解集为 （）。 要使区间内每一点都满足 ，需整段 的区间落进某一段解集中。 左端 已在 内，故取 ，只需右端不超过 ： ， 即 ，。 结合 ，得 。 （ 时解集左端 ，而 的左端是 ，无法落进去，故无解。） 检验： 时 ，两端处 ，中间更大，恒成立 ✓； （超出范围）时 的右端 ，此时 ，不成立 ✗； 时 ， ✓。 【点拨】恒成立型的口诀是「最小值 」，但直接求最小值往往要讨论，所以更好用的是「区间包含于解集」的写法：先解出解集（在一个周期里是一段），再要求 的两端都落在这一段里。本题左端 已经在解集内，所以只需夹住右端——但如果左端不在解集内，那就说明无解，不要硬凑。另外，「恒成立」与「存在」的差别只在「包含于」还是「有交集」，审题时务必看清这两个词。 五、巩固练习 1. 方法1 · 的作用辨析（多选） 题注：四个选项分别考 对周期、零点个数、零点个数的表达式、以及最值的影响，逐条判断即可。 已知函数 ，其中 ，则（　　） A. 越大， 的最小正周期越小 B. 越大， 在区间 内的零点个数越多 C. 在区间 内的零点个数等于 D. 在区间 内的最大值恒为 1 【答案】AB 【解析】A 正确：， 越大 越小。 B 正确：零点为 ，由 得 ，整数 的个数随 增大而不减。 C 错误：由上式，零点个数是满足 的整数 的个数，即 （ 为整数时还要看端点 是否计入），一般不等于 。例如 时零点为 、（后者对应 ），个数为 2 而 。 D 错误： 时 ，若 很小（如 ），，最大值 ，取不到 1。 故选 AB。 【点拨】判断这类「随 变化」的命题，最快的办法是取两个具体的 （一大一小）代入算一遍。本题 C、D 两项都是靠一个小 的反例排除的—— 很小时三角函数在区间里还没「走完」一个峰值，很多「想当然成立」的结论就不成立了。 2. 方法3 · 极小值点个数 题注： 的极小值由 给出；数出满足 的 的个数即可。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 3 个极小值点，求 的取值范围。 【答案】 【解析】 取到最小值 时 （）。令 ，则极小值点为 。 由 及 得 ，即 。 逐个代入： 时 ， 时 ， 时 ， 时 。 要恰有 3 个极小值点，即 满足、 不满足： （严格，取等时 不在开区间内）； （取等时 不算，仍为 3 个）。 故 。 检验： 时极小值点为 、、，共 3 个 ✓； 时第四个 不在开区间内，仍为 3 个 ✓； 时 ，共 4 个 ✗； 时第三个 不算，只有 2 个 ✗。 【点拨】本题与例题 2、例题 3 是同一套流程，差别只在通式： 的零点是 、 的极大值点是 、 的极小值点是 。建议把这三个通式抄在一起对比记忆，用时先问一句「现在要的是哪一条」，再代入。本题计数从 开始（因为 ），与例题 3 从 开始不同，这正是要逐个代入的原因。 3. 方法1 · 周期型 题注：周期型是最简单的一类，直接由 列出关于 的双边不等式，再解出 （注意取倒数时不等号方向）。 已知函数 ，其中 ，其最小正周期 满足 ，求 的取值范围。 【答案】 【解析】由 得 。 由 得 。 各边同除以 ：。 由 ，取倒数（不等号方向改变）：。 故 。 检验： 时 ✓； 时 ✓； 时 ✓； 时 ✗。 【点拨】周期型的关键一步是「取倒数要变号」：由 到 ，两个不等号都要翻转。这一步若忘了翻转，答案会变成 ，正好相反。做完取端点代回算一次 ，立刻能发现问题。 4. 方法1 · 单调性型（求最大值） 题注：与例题 1 同型，但区间更短、且 ，解出的是 的上界，题目问的就是这个上界。 已知函数 ，其中 。若 在区间 上单调递增，求 的最大值。 【答案】 的最大值为 1 【解析】令 。当 时， ，记两端为 、，长度 。 增区间为 ，长度为 ，必要条件 ，即 。 由 知 ，故 时增区间右端 ，不可能。 取 ：需 （ 自动满足）且 ， 即 ，，。 取 ：需 且 ， 即 ，且 ，两者矛盾，无解。 结合 得 ，故 的最大值为 1。 检验： 时 ，递增 ✓；（超出）时 ，右端 ，先增后减 ✗。 【点拨】本题的 情形出现「 且 」的矛盾，正是这类题的典型现象： 每增加 1，下界加 8（由 的条件）、上界加 4（由 的条件），下界跑得更快，所以 一大必然无解。看到这个结构可以直接写「 时下界大于上界，无解」，不必逐个验算。 5. 方法3 · 极值点性质判断（多选） 题注：四个选项分别考极大值点通式、具体 下的个数、极小值点通式、以及个数对应的 范围。 已知函数 ，其中 ，则（　　） A. 的极大值点为 （） B. 当 时， 在区间 内有 2 个极大值点 C. 的极小值点为 （） D. 若 在区间 内恰有 3 个极小值点，则 【答案】BCD 【解析】A 错误： 时 ，故极大值点为 ； 是零点的表达式。 B 正确： 时极大值点为 ，在 内取 （）、（），共 2 个（ 时 ）。 C 正确： 时 ，故极小值点为 。 D 正确：这正是练习 2 的结论。 故选 BCD。 【点拨】把 的三个通式并排记最省事：零点 、极大值点 、极小值点 。三个式子的分子分别是 、、，相差很明显，记混的可能性就小了。 6. 方法2 · 零点个数（带初相） 题注：与例题 2 的差别是多了一个初相 ，零点通式变成 ，代入区间后的不等式也随之改变。 已知函数 ，其中 。若 在区间 内恰有 4 个零点，求 的取值范围。 【答案】 【解析】零点由 （）给出，即 。 由 及 得 ， 即 。 逐个代入：（ ✓）、、、、（要它不满足）。 要恰有 4 个零点，即 满足、 不满足： 满足：； 不满足：（取等时 不在开区间内，仍为 4 个）。 故 。 检验： 时零点为 、、、（即约 、、、），共 4 个 ✓； 时第五个 不在开区间内，仍为 4 个 ✓； （超出）时第五个 ，共 5 个 ✗； 时第四个 不算，只有 3 个 ✗。 【点拨】带初相时不等式的形状是 （对 ），两端都多了同一个 。所以最终答案就是「 取值的上下界各减去 」——本题即 、。掌握这个规律后，带初相的题可以一步写出答案，但仍要取端点代回数一遍确认开闭。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 为什么 范围题偏爱开区间：若区间写成闭区间 ，端点 、 是否被计入零点会让答案在两端都变紧，讨论量翻倍；命题人用开区间正是为了避开这个歧义。所以做题时区间开闭必须逐个确认，不能想当然。 范围与「周期的整数倍」：零点个数型本质上是在数「 的区间里包含几个 的整数倍」。设 的区间为 ，则其中 的整数倍个数为 ，把这个数令为 就得到关于 的不等式——这是 计数法的等价写法，熟练后更快。 频率与 ：物理中 ，所以「 的范围」在物理语境下就是「频率的范围」。交流电中 对应 Hz，这正是我国民用交流电的频率。 更一般的参数问题：除 外，还有已知零点（或极值点）在区间内「至少有一个」「至多有一个」的题型，解法是把「恰有 个」的不等式组改成相应的单边不等式。有兴趣的同学可以把本册四道例题都改成「至少有一个」再解一遍，会发现思路完全平行。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $