简单的三角恒等变换专项训练-2027届高三数学一轮复习

简单的三角恒等变换专项训练 和差角 · 二倍角 · 辅助角 · 配角代换 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 恒等变换的三把钥匙是「角的统一、名的统一、次的统一」。拿到一个式子先问：角是不是同一个？有没有 ？次数是不是二次？三问答完，解法基本就定了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。八条基础公式（、、、、、）请先默写一遍再动笔。 简单的三角恒等变换专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.5（三角恒等变换），含 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式与 5.5.2 简单的三角恒等变换。本节专攻「和差角公式的正用与逆用、二倍角与降幂、辅助角化一个三角函数、以及配角整体代换的给值求值」，不涉及三角函数图象与性质的系统讨论（只在化简后顺带用到周期与最值）。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的三角恒等变换类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年广东广州高一期末的给值求值题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏南京高一期末的「 给值求值」题改写，例题 3 由 2024 年山东青岛高一期中联考的降幂化简题改写，例题 4 由 2025 年湖北襄阳高三一模的配角求值题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 余弦的差角公式（母公式）：。本节其余公式都可以由它推导出来，所以它最值得优先记牢。 2. 余弦的和角公式：。记忆要点：余弦是「同名相乘在前，异名相乘在后」，且连接符号与角号相反（和角用减号，差角用加号）。 3. 正弦的和差角公式：，。记忆要点：正弦是「异名相乘相加」，连接符号与角号相同。 4. 正切的和差角公式：，。使用条件是 、、 都不等于 （）。 5. 一个常用的变形：，。遇到「 与 同时出现」的题，用这个变形比直接展开快。 （二）二倍角公式与降幂 6. 正弦的二倍角：。由它立刻得到 ，这是把「乘积」化成「一次式」的关键一步。 7. 余弦的二倍角有三种写法：。已知 用第三种，已知 用第二种，两者都已知用第一种。 8. 正切的二倍角：，条件同样是 、 都不取到 。 9. 降幂公式（把二次降成一次）：，，。凡是化简 这类式子，第一件事就是降幂。 10. 半角公式（由二倍角反解）：，，。开方时的正负号由 所在象限决定。 （三）简单恒等变换的通法 11. 三统一原则：角的统一（异角用和差角公式或配角化成同角）、名的统一（有 先化弦，或反之弦化切）、次的统一（二次用降幂公式降成一次）。拿到式子按这三句话逐条检查，方向就不会错。 12. 辅助角公式：，其中 、。两个最常用的特例要背下来：，。 13. 给值求值的两条路：一是「先求单角的 、 再代公式」（当角的范围已知、能定符号时）；二是「整体代换、配角」（当单角求不出来、但所求角能表示成已知角的和差时）。判断标准：看已知的是单角还是「整体角」。 14. 符号问题贯穿始终：由某个三角函数值求另一个，必须用角的范围定正负；两个角相加减后落在哪个区间，决定了 、 的符号。本节丢分最多的地方不是公式记错，而是符号定错。 15. 检验的三个习惯动作：① 取特殊角代入（如 、）看两边是否相等；② 用 回代检验；③ 算完用计算器核对数值。花 10 秒做一次，能拦掉绝大多数失误。 二、方法提炼 方法1　和差角公式法（给值求值）：先由已知角的三角函数值与角的范围，求出各单角的 、（务必逐一写清符号依据），再代入 、 展开。若还要判断 的象限，就再算一次 与 的符号。 方法2　二倍角与降幂法：见到 、、，一律先用降幂公式化成一角的三角函数；见到 、 与 混杂，用 、 全部化成 。 方法3　辅助角法：把 提成 后写成一个正弦（或余弦），再求最小正周期、最大值、单调区间。求单调区间时，把 整体代入正弦的单调区间解出 ，别忘了 与区间要写出 （或 ）的形式。 方法4　配角整体代换法：当已知的是「整体角」的三角函数值、而单角求不出来时，把所求角写成已知角的和、差、互余或互补形式，再用和差角公式（或诱导公式）整体代入。找关系的方法是：把已知角与所求角做加减，看结果是不是常数。 三、易错提醒 ◆ 和差角公式的连接符号写反：余弦是「同名相乘、符号与角号相反」，正弦是「异名相乘、符号与角号相同」。把 写成加号，是本节第一大错。 ◆ 求 、 时不定符号：已知 就写 ，完全不管 在第几象限。凡是开方，必须紧跟一句「由 知 ，故取负号」。 ◆ 用正切和角公式不验证条件： 要求 、、 都不等于 。若 ，分母为 0， 恰为 ，此时公式失效。 ◆ 降幂公式记错符号： 与 的正负号极易写反。用 代入检验：， 正确——这个特例能一秒定对错。 ◆ 辅助角公式把 找错： 中， 满足 、，两个条件要同时满足才能唯一定出 。只用一个条件会差一个象限。 ◆ 求单调区间忘写 ：单调区间是无数个区间的并集，必须写成 （）的形式，只写一个区间是不完整的。 ◆ 配角时角的关系算错：把 写成 之前，一定要把右边展开核对一遍：，确实相等。这一步不核对，后面全错。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 和差角公式（给值求值） 题注：题注：两问都要先由角的范围定出 、 的符号，这是本题唯一的难点；公式本身只是代入。第（3）问要再算一次 才能定象限。 已知 ，；，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）判断 是第几象限角。 【例 2】 方法2 · 二倍角与弦化切 题注：题注：已知的是 ，先用正切和角公式把 解出来，再用「万能三式」把 、 都用 表示。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【例 3】 方法3 · 降幂与辅助角（化简求值） 题注：题注：式子里有 与 ，第一步降幂，第二步提辅助角；化成一个正弦之后，周期、最值、单调区间都能直接读出来。 已知函数 。 （1）把 化成 （，）的形式； （2）求 的最小正周期与最大值； （3）求 的单调递增区间。 【例 4】 方法4 · 配角整体代换 题注：题注：、 都求不出来，但所求角 恰好能写成两个已知角的差。这类题的关键全在第一步「找角的关系」，公式反而只是最后一步。 已知 ，，且 ，。 求 的值。 五、巩固练习 1. 方法1 · 公式正误判断（多选） 题注：题注：四个选项覆盖两角和差与二倍角两组公式，逐项核对符号即可。 下列等式中恒成立的有（　　） A. B. C. D. 2. 方法2 · 二倍角求值 题注：题注：已知 ，直接选 这一形式。 已知 ，求 的值。 3. 方法1 · 特殊角的和差角 题注：题注：，拆成两个特殊角之差后用差角公式展开。 求 的值。 4. 方法1 · 正切和角公式 题注：题注：直接用正切和角公式，注意分母 是否为 0 要顺手看一眼。 已知 ，求 的值。 5. 方法3 · 辅助角与性质（多选） 题注：题注：先把 化成一个正弦，再逐项判断四个性质。注意 D 项要在一个区间上看单调性，不能只看端点。 已知函数 ，则（　　） A. B. 的最大值为 2 C. 的最小正周期为 D. 在区间 上单调递减 6. 方法4 · 配角（正切和角逆用） 题注：题注：把式子看成 ，正好是 的展开形式，也就是正切和角公式的逆用。 求 的值。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 三角函数的积化和差与和差化积：，，。它们由和差角公式相加减即得，在物理的波的叠加、以及求 这类连乘积时非常好用（后者结果为 ）。 辅助角公式的几何解释：点 在单位圆上，而 正是向量 与 的数量积，其最大值就是 ，在两向量同向时取得。用向量看辅助角，就不必死记 的取法了。 欧拉公式与三角恒等式：由 ，两角和差公式不过是 的实部与虚部。用它可以一眼看出 、 这类三倍角公式（高中不作要求）。 三角恒等变换与解三角形的联系：正弦定理、余弦定理的推导都要用到本节的和差角公式，而「已知两边及夹角求第三边」本质上就是余弦的差角公式。下一章学习解三角形时，会发现本节的公式在那里以另一种面貌反复出现。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单的三角恒等变换专项训练 和差角 · 二倍角 · 辅助角 · 配角代换 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 恒等变换的三把钥匙是「角的统一、名的统一、次的统一」。拿到一个式子先问：角是不是同一个？有没有 ？次数是不是二次？三问答完，解法基本就定了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。八条基础公式（、、、、、）请先默写一遍再动笔。 简单的三角恒等变换专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.5（三角恒等变换），含 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式与 5.5.2 简单的三角恒等变换。本节专攻「和差角公式的正用与逆用、二倍角与降幂、辅助角化一个三角函数、以及配角整体代换的给值求值」，不涉及三角函数图象与性质的系统讨论（只在化简后顺带用到周期与最值）。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的三角恒等变换类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年广东广州高一期末的给值求值题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏南京高一期末的「 给值求值」题改写，例题 3 由 2024 年山东青岛高一期中联考的降幂化简题改写，例题 4 由 2025 年湖北襄阳高三一模的配角求值题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 余弦的差角公式（母公式）：。本节其余公式都可以由它推导出来，所以它最值得优先记牢。 2. 余弦的和角公式：。记忆要点：余弦是「同名相乘在前，异名相乘在后」，且连接符号与角号相反（和角用减号，差角用加号）。 3. 正弦的和差角公式：，。记忆要点：正弦是「异名相乘相加」，连接符号与角号相同。 4. 正切的和差角公式：，。使用条件是 、、 都不等于 （）。 5. 一个常用的变形：，。遇到「 与 同时出现」的题，用这个变形比直接展开快。 （二）二倍角公式与降幂 6. 正弦的二倍角：。由它立刻得到 ，这是把「乘积」化成「一次式」的关键一步。 7. 余弦的二倍角有三种写法：。已知 用第三种，已知 用第二种，两者都已知用第一种。 8. 正切的二倍角：，条件同样是 、 都不取到 。 9. 降幂公式（把二次降成一次）：，，。凡是化简 这类式子，第一件事就是降幂。 10. 半角公式（由二倍角反解）：，，。开方时的正负号由 所在象限决定。 （三）简单恒等变换的通法 11. 三统一原则：角的统一（异角用和差角公式或配角化成同角）、名的统一（有 先化弦，或反之弦化切）、次的统一（二次用降幂公式降成一次）。拿到式子按这三句话逐条检查，方向就不会错。 12. 辅助角公式：，其中 、。两个最常用的特例要背下来：，。 13. 给值求值的两条路：一是「先求单角的 、 再代公式」（当角的范围已知、能定符号时）；二是「整体代换、配角」（当单角求不出来、但所求角能表示成已知角的和差时）。判断标准：看已知的是单角还是「整体角」。 14. 符号问题贯穿始终：由某个三角函数值求另一个，必须用角的范围定正负；两个角相加减后落在哪个区间，决定了 、 的符号。本节丢分最多的地方不是公式记错，而是符号定错。 15. 检验的三个习惯动作：① 取特殊角代入（如 、）看两边是否相等；② 用 回代检验；③ 算完用计算器核对数值。花 10 秒做一次，能拦掉绝大多数失误。 二、方法提炼 方法1　和差角公式法（给值求值）：先由已知角的三角函数值与角的范围，求出各单角的 、（务必逐一写清符号依据），再代入 、 展开。若还要判断 的象限，就再算一次 与 的符号。 方法2　二倍角与降幂法：见到 、、，一律先用降幂公式化成一角的三角函数；见到 、 与 混杂，用 、 全部化成 。 方法3　辅助角法：把 提成 后写成一个正弦（或余弦），再求最小正周期、最大值、单调区间。求单调区间时，把 整体代入正弦的单调区间解出 ，别忘了 与区间要写出 （或 ）的形式。 方法4　配角整体代换法：当已知的是「整体角」的三角函数值、而单角求不出来时，把所求角写成已知角的和、差、互余或互补形式，再用和差角公式（或诱导公式）整体代入。找关系的方法是：把已知角与所求角做加减，看结果是不是常数。 三、易错提醒 ◆ 和差角公式的连接符号写反：余弦是「同名相乘、符号与角号相反」，正弦是「异名相乘、符号与角号相同」。把 写成加号，是本节第一大错。 ◆ 求 、 时不定符号：已知 就写 ，完全不管 在第几象限。凡是开方，必须紧跟一句「由 知 ，故取负号」。 ◆ 用正切和角公式不验证条件： 要求 、、 都不等于 。若 ，分母为 0， 恰为 ，此时公式失效。 ◆ 降幂公式记错符号： 与 的正负号极易写反。用 代入检验：， 正确——这个特例能一秒定对错。 ◆ 辅助角公式把 找错： 中， 满足 、，两个条件要同时满足才能唯一定出 。只用一个条件会差一个象限。 ◆ 求单调区间忘写 ：单调区间是无数个区间的并集，必须写成 （）的形式，只写一个区间是不完整的。 ◆ 配角时角的关系算错：把 写成 之前，一定要把右边展开核对一遍：，确实相等。这一步不核对，后面全错。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 和差角公式（给值求值） 题注：两问都要先由角的范围定出 、 的符号，这是本题唯一的难点；公式本身只是代入。第（3）问要再算一次 才能定象限。 已知 ，；，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）判断 是第几象限角。 【答案】（1）；（2）；（3）第三象限角 【解析】先由平方关系求出各单角的 、，并逐一写明符号依据。 由 （第二象限）知 ， 。 由 （第三象限）知 ， 。 （1） 。 （2） 。 （3）再算 。 由（1）知 ，又 ，正弦、余弦同时为负，故 是第三象限角。 （也可由范围直接估计：、，得 ，再结合 知 ，即第三象限角。两种写法都对。） 【点拨】这类题的标准流程是「定符号 → 求单角 → 代公式 → 再定符号」，一共要写四次符号判断，一次都不能省。第（3）问提醒一个通用经验：判断 的象限，既可以用 、 的符号组合来判断，也可以先由两个角的范围估出 的大致区间，再用其中一个函数值的符号收窄范围——后者往往更省事，建议优先使用。 【例 2】 方法2 · 二倍角与弦化切 题注：已知的是 ，先用正切和角公式把 解出来，再用「万能三式」把 、 都用 表示。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由正切和角公式，且 ： 。 设 ，则 ，即 ，，。 故 。 检验：分母 ，公式适用；且 ，与题设一致。 （2）把 、 都用 表示。先化 ： （分子分母同除以 ）。 再化 ： （同除以 ）。 代入 ： ； 。 故 。 检验：，结果自洽。 【点拨】、、（）这三式被称为「万能三式」，它们的推导方法完全一样：补上分母 后同除以 。记住这三式，凡是「已知 求二倍角」的题都能一步到位，而且不必讨论 在哪个象限。 【例 3】 方法3 · 降幂与辅助角（化简求值） 题注：式子里有 与 ，第一步降幂，第二步提辅助角；化成一个正弦之后，周期、最值、单调区间都能直接读出来。 已知函数 。 （1）把 化成 （，）的形式； （2）求 的最小正周期与最大值； （3）求 的单调递增区间。 【答案】（1）；（2），最大值为 1；（3）（） 【解析】（1）先用降幂公式：，。 。 再提辅助角：取 、，则 ，于是 。 （检验：取 ，原式 ，而 ，一致。） （2）由 知 ，故最小正周期 。 又正弦函数的最大值为 1，故 （当 ，即 时取得）。 （3）正弦函数 的单调递增区间是 （）。 令 ，则 ， 各边减 ：， 各边除以 2：（）。 故 的单调递增区间为 （）。 【点拨】这类「化简 + 问性质」的题，流程固定为四步：降幂 → 合并 → 提辅助角 → 代入正弦的性质。三个易错点要盯住：①降幂时常数项要一起算（本题 与 抵消）；②周期公式是 而不是 ，别把系数 漏掉；③单调区间的端点要除以 ，且最后必须带上 。化完之后取 代入原式与新式对一遍，是最快的自查办法。 【例 4】 方法4 · 配角整体代换 题注：、 都求不出来，但所求角 恰好能写成两个已知角的差。这类题的关键全在第一步「找角的关系」，公式反而只是最后一步。 已知 ，，且 ，。 求 的值。 【答案】 【解析】第一步找角的关系。记 、，则 。 （这一步务必展开核对一遍，确认 、 的系数各为 。） 于是 ，只需求出 、。 第二步定符号。由 、 得 ； 又 ，故 ，， 。 同理 ； 又 ，故 ，， 。 第三步代入： 。 检验：取 、，由 、 反解得 、，均在题设区间内；此时 ，而 ，一致。 【点拨】配角题的口诀是「先找关系，再定符号，最后代公式」。找关系时把已知角记为 、，试着用 、 去凑所求角；本题的 就是最典型的一种。定符号这一步不能跳：必须先由 、 的范围估出 、 的区间，再结合已知函数值的符号把区间收窄，最后才能确定开方取正还是取负。 五、巩固练习 1. 方法1 · 公式正误判断（多选） 题注：四个选项覆盖两角和差与二倍角两组公式，逐项核对符号即可。 下列等式中恒成立的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】A 正确：这是余弦的差角公式，也是本节其余公式的母公式。 B 错误：正弦和角公式的连接符号应与角号相同，即 ，原式多写了一个负号。 C 正确：由 与 代入即得。 D 正确：这是正弦的二倍角公式。 故选 ACD。 【点拨】判断公式对不对，最快的办法是取特殊角代入。比如 B 项取 ：左边 ，右边 ，两边不等，立刻可判错。这个方法对任何公式疑义都有效。 2. 方法2 · 二倍角求值 题注：已知 ，直接选 这一形式。 已知 ，求 的值。 【答案】 【解析】已知 ，故选用 。 。 注意本题不需要知道 在哪个象限：因为二倍角公式里只出现 ，平方已经把符号信息抹掉了，所以 是唯一确定的。 【点拨】这道题的价值在于提醒： 的三种形式中，「」只含 、「」只含 ，已知什么就选哪个；若已知的是 ，则改用 。选对形式，一步就出结果。 3. 方法1 · 特殊角的和差角 题注：，拆成两个特殊角之差后用差角公式展开。 求 的值。 【答案】 【解析】把 拆成两个特殊角之差：（因为 ）。 由正弦的差角公式： 。 检验：，而 ，一致。 （若改用 ，结果同样是 ，可互相印证。） 【点拨】、、 这三个非特殊角都可以拆成 、、 的和差，对应的值、、、 值得直接记住，记住之后选择题可以秒答，解答题也能用来验算。 4. 方法1 · 正切和角公式 题注：直接用正切和角公式，注意分母 是否为 0 要顺手看一眼。 已知 ，求 的值。 【答案】 【解析】由 ，用正切和角公式： 。 检查条件：分母 ，公式适用。 检验： 且 ，说明 与 落在相邻的不同象限，这与「加上 后正切由正变负」是吻合的。 【点拨】这题有个值得记住的结论：，它建立了 与 的一一对应，在「已知其中一个求另一个」的题里反复出现。另外要养成习惯：算出分母后看一眼是不是 0，若分母为 0，则说明角为 ，正切不存在。 5. 方法3 · 辅助角与性质（多选） 题注：先把 化成一个正弦，再逐项判断四个性质。注意 D 项要在一个区间上看单调性，不能只看端点。 已知函数 ，则（　　） A. B. 的最大值为 2 C. 的最小正周期为 D. 在区间 上单调递减 【答案】ABC 【解析】先化简：提取 ， 。 取 、，则 ， 故 。 A 正确：与化简结果一致。 B 正确：正弦的最大值为 1，故 （当 时取得）。 C 正确：由 知 。 D 错误：当 时，。正弦在 上递增、在 上递减，故 在该区间上先增后减，不是单调递减。（也可直接算：，，，先增后减。） 故选 ABC。 【点拨】判断「某区间上单调」这类选项，最稳的办法是先找出分界点：正弦在 处由增转减，对应的 恰好落在 内部，所以该区间上必不单调。这个「找峰值点是否落在区间内」的判断，比逐点代值快得多。 6. 方法4 · 配角（正切和角逆用） 题注：把式子看成 ，正好是 的展开形式，也就是正切和角公式的逆用。 求 的值。 【答案】 【解析】注意 ，于是 。 这恰好是正切和角公式 在 、 时的形式，故 原式 。 检验：，，一致。 【点拨】正切和角公式的逆用有一个固定识别特征：分子是「」、分母是「」，看到这种形状就把它读成 。同类变形还有 、，三者在小题里出现频率很高。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 三角函数的积化和差与和差化积：，，。它们由和差角公式相加减即得，在物理的波的叠加、以及求 这类连乘积时非常好用（后者结果为 ）。 辅助角公式的几何解释：点 在单位圆上，而 正是向量 与 的数量积，其最大值就是 ，在两向量同向时取得。用向量看辅助角，就不必死记 的取法了。 欧拉公式与三角恒等式：由 ，两角和差公式不过是 的实部与虚部。用它可以一眼看出 、 这类三倍角公式（高中不作要求）。 三角恒等变换与解三角形的联系：正弦定理、余弦定理的推导都要用到本节的和差角公式，而「已知两边及夹角求第三边」本质上就是余弦的差角公式。下一章学习解三角形时，会发现本节的公式在那里以另一种面貌反复出现。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $