第22讲简单的三角恒等变换专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换公式的灵活应用，通过分层题型构建“公式应用-角的变换-综合证明”解题体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式应用|1-9题|弦切互化、辅助角公式、齐次化切|从诱导公式、二倍角公式到和差角公式的正逆向应用| |角的变换|4-6、13题|角的配凑（如α±β与已知角关系）|通过角的拆分实现未知向已知转化| |综合证明|10、14题|恒等式证明、条件等式转化|公式变形与逻辑推理结合，发展数学思维|

第22讲　简单的三角恒等变换 (时间:45分钟) 1.化简:= (　 ) A.tan 25° B.sin 25° C.tan 65° D.sin 65° 2.已知sin x+cos x=,则= (　 ) A.2 B.1 C. D. 3.[2025·山东济南三模] 已知tan θ=3,则= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2026·河北张家口模拟] 已知sin=-,则sin= (　 ) A. B.- C. D.- 5.已知sin=-,则cos= (　 ) A.- B. C. D.- 6.[2026·陕西咸阳模拟] 已知cos-cos α=,则sin= (　 ) A.- B.- C. D. 7.(多选题)下列选项的结果为-的是 (　 ) A.sin 690° B.-2sin215°sin 90° C.-2sin 15°sin 105° D. 8.[2025·湖北武汉质检] 已知sin(α-β)=,且=3,则cos(2α+2β)=　　　　.  9.[2026·浙江金华三模] 若tan θ=2,则=　　　　.  10.已知sin αsin β≠0,且sin(α-β)=2sin αsin β,证明: (1)-=2; (2)cos(α+β)=cos. 11.已知=2,则sin= (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知 sin αcos β=,则下列等式可能成立的有 (　 ) A.cos αsin β= B.cos αsin β=- C.cos 2α= D.cos 2α= 13.已知sin=-,cos=,α∈,β∈,则cos(α-β)=　　　　.  14.[2026·江苏连云港联考] 已知tan=,sin β=,且α∈(0,π),β∈.求: (1)cos 2α; (2)β-2α. 1.A　[解析] =====tan 25°.故选A. 2.C　[解析] sin x+cos x=sin=,故sin=1,可得x+=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z,所以==,k∈Z.故选C. 3.B　[解析] ====2.故选B. 4.D　[解析] 因为sin=-,所以sin=-sin=-sin=-cos 2=-=2×-1=-.故选D. 5.A　[解析] cos=cos=-cos 2=2sin2-1=-.故选A. 6.C　[解析] 由cos-cos α=,得cos α+sin α-cos α=,即sin α-cos α=,所以sin=,所以sin=sin=cos=1-2sin2=1-2×=.故选C. 7.AC　[解析] 对于A,sin 690°=sin(720°-30°)=-sin 30°=-,故A正确;对于B,-2sin215°sin 90°=-(1-cos 30°)=-1,故B错误;对于C,-2sin 15°sin 105°=-2sin 15°sin 75°=-2sin 15°cos 15°=-sin 30°=-,故C正确;对于D,==tan(45°-15°)=tan 30°=1,故D错误.故选AC. 8.　[解析] 由===3,得sin αcos β=3cos αsin β,由sin(α-β)=,得sin αcos β-cos αsin β=,则2cos αsin β=,即cos αsin β=,所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,则cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=. 9.　[解析] === =×=×=. 10.证明:(1)因为sin(α-β)=2sin αsin β,所以sin αcos β-cos αsin β=2sin αsin β, 等号两边同时除以sin αsin β,得-=2,即-=2,得证. (2)因为sin(α-β)=2sin αsin β,所以sin(α-β)=cos(α-β)-cos(α+β), 所以cos(α+β)=cos(α-β)-sin(α-β),所以cos(α+β)=,所以cos(α+β)=cos,得证. 11.B　[解析] 显然cos α≠-1,因为=2,所以sin α=2(1+cos α),则sin2α=4(1+cos α)2,即1-cos2α=4(1+cos α)2,解得cos α=-或cos α=-1(舍去),所以sin α=,则sin=sin αcos-cos αsin=×+×=.故选B. 12.AC　[解析] 当α=β=时,满足sin αcos β=,此时cos αsin β=,故A可能成立;假设cos αsin β=-,则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=+=>1,假设不成立,故B不可能成立;因为sin αcos β=,所以|sin α|=∈,所以cos 2α=1-2sin2α∈,故C可能成立,D不可能成立.故选AC. 13.　[解析] 由α∈,得+α∈,因为sin=-,所以cos=-.由β∈,得+β∈(π,2π),因为cos=,所以+β∈,故sin=-.故cos(α-β)=cos=-sin=-sincos+cossin=-×+×=. 14.解:(1)由tan==,解得tan α=2,则cos 2α=cos2α-sin2α== =-. (2)因为tan α>0,所以α∈,则2α∈(0,π),于是sin 2α>0,又cos 2α=-,所以sin 2α==.由β∈,得cos β<0,由sin β=,得cos β=-=-. 于是cos(β-2α)=cos βcos 2α+sin βsin 2α=>0,sin(β-2α)=sin βcos 2α-cos βsin 2α=>0,故β-2α是第一象限角,所以β-2α=. 学科网（北京）股份有限公司 $