解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形专项训练 正弦定理 · 余弦定理 · 面积与最值 · 解的讨论 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 解三角形的第一件事永远是「画图标已知」：标完后看已知的是「两角一边」「两边一夹角」「三边」还是「两边一对角」，题型一定，定理也就定了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。凡是「已知两边及其中一边的对角」，都要先按知识要点第 4 条判一下解的个数，别急着开方。 解三角形专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册第六章 6.4（解三角形）。本节专攻「正弦定理与余弦定理的选用、三角形解的个数的讨论、面积的求法与最值、以及边角互化后的代数变形」，不涉及三角形的中线、角平分线等延伸内容，也不涉及正余弦定理在平面几何证明中的系统应用。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的解三角形类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年广东深圳高一期末的两解讨论题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏扬州高一期末的余弦定理题改写，例题 3 由 2024 年湖北宜昌高一期末的「面积 + 外接圆半径」题改写，例题 4 由 2025 年浙江嘉兴高一期末的「边角关系 + 面积最值」题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）正弦定理 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （ 为外接圆半径）。这个「」是它的完整形式，别忘了。 2. 正弦定理主要管两类题：已知两角及一边（求其余边角）；已知两边及其中一边的对角（求另一边的对角，可能两解）。 3. 边角互化：由正弦定理立刻得到 。于是「已知三个角的正弦之比」等价于「已知三边之比」，这是选择题里最常用的转化。 4. 三角形解的个数的判定（已知 、、）：当 时， 有一解， 无解；当 时， 无解， 有一解（直角三角形）， 有两解， 有一解。这条规则要能默写。 5. 用正弦定理求角时务必检查两解：由 得到的 可能是锐角也可能是钝角，只有当 时钝角解才成立；另外 时无解， 时只有直角一解。 （二）余弦定理 6. 余弦定理：，，。三个式子是轮换的，记住一个就能写出另外两个。 7. 求角的形式：。已知三边求角时用它，注意分子是「另外两边的平方和减去对边的平方」。 8. 余弦定理主要管两类题：已知三边（求三个角）；已知两边及其夹角（求第三边）。这两类都是唯一确定的，不存在多解。 9. 大边对大角：。由此，最大边对最大角，且最大角不小于 、最小角不大于 。求「最大的角」时先找最长的边。 10. 判断三角形的形状只需看最大边所对的角：设最大边为 ，则 （即 ）时为锐角三角形，（）时为直角三角形，（）时为钝角三角形。 （三）面积与综合应用 11. 面积公式（两边及其夹角）：。记住「夹住角的那两条边」即可，不必死记是 还是 。 12. 海伦公式：记 ，则 。已知三边时用它最方便，也常用来校验其他方法算出的面积。 13. 外接圆半径：；结合面积有 。这两个式子把「边」「角」「面积」「」四者连在一起。 14. 常用代数变形：由 ，把 写成 或 ，就能在「已知 （或 ）与 」时解出 。这是本节综合题的关键一步。 15. 解三角形的收尾检查：① 三边是否满足两边之和大于第三边；② 三个内角是否都为正且和为 ；③ 大边是否对着大角。这三条各花 3 秒，能拦掉绝大多数错误。 二、方法提炼 方法1　正弦定理法：已知两角一边时，先由内角和求出第三角，再用 求边；已知两边及其中一边的对角时，先用第 4 条判解的个数，再用 求角，最后逐一检查每个解是否满足 。 方法2　余弦定理法：已知三边时用 求角（先求最大边所对的角）；已知两边及其夹角时用 求第三边。求完角要由 的符号确认它是锐角还是钝角。 方法3　面积法：优先用 （两边及其夹角）；若已知三边则改用海伦公式；若要求外接圆半径，用 或 。算出面积后用另一种方法复核一遍是最有效的自检。 方法4　边角互化与代数变形法：把边角关系（如 ）代入余弦定理的求角公式，先定出角；再把余弦定理写成关于 与 （或 ）的等式，配合基本不等式 求 的最值，进而求面积的最值。 三、易错提醒 ◆ 已知两边一对角时不判解的个数：这是本节丢分最多的一处。拿到 、、，先算 并与 比较，按第 4 条确定无解、一解还是两解，再动手算。 ◆ 由 只取锐角： 时 可能是 也可能是 ，漏掉钝角解就少了一个三角形。反之，若 ，钝角解必须舍去——两种情况都要检验。 ◆ 余弦定理的分子写反：求 时分子是 （另两边平方和减对边平方），写成 就求成了 。记法：求哪个角，就从分子里减掉它对边的平方。 ◆ 由 的值定角时忽略范围：三角形内角 ，在这个范围内 与 一一对应，所以 对应 而不是 。把负号看漏是最常见的失误。 ◆ 面积公式用错了夹角： 中的 必须是边 、 的夹角。若已知的是 、 和 ，不能直接用这个公式，要先由正弦定理求出 、 再算。 ◆ 用基本不等式求 的最值时不写取等条件： 取等当且仅当 ，必须写出这一点，并把取等时的 、 算出来代回检验，否则不知最大值是否真的能达到。 ◆ 忘记「三角形内角和为 」这个约束：求出两个角后第三个角由内角和给出，若发现 ，说明这组数据不构成三角形，该解应舍去。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 正弦定理（两解的讨论） 题注：已知的是 、 和 的对角 ，属于「两边及其中一边的对角」，必须先判解的个数。本题 ，所以有两个解。 在 中，已知 ，，。 求 、 和 。 【答案】，，；或 ，， 【解析】先判解的个数：， 而 ，按第 4 条知本题有两个解。 由正弦定理 ： 。 在 内， 或 。 情形一：。则 ， 由 得 。 情形二：。则 ， 。 检验： 情形一：，确为直角三角形， ✓； 情形二：，与正弦定理一致 ✓。 综上：，，；或 ，，。 【点拨】这类题的规范写法是「先判个数，再逐个解，最后逐个验」。判个数时把 、、 三个数按大小排好：本题是 ，正好落在「两解」区间里。另外提醒一个检验技巧：若算出的 ，可用勾股定理 复核；若 （如情形二），则应有 ，一眼就能看出对不对。 【例 2】 方法2 · 余弦定理（已知三边） 题注：已知三边，先找最长边（它是最大角所对的边），再用求角形式的余弦定理；面积既可以用两边夹角，也可以用海伦公式，两者互为校验。 在 中，已知 ，，。 （1）求 的最大角； （2）求 的面积。 【答案】（1）最大角为 ；（2） 【解析】（1）最长边为 ，由第 9 条，最大角是它所对的角 。 由余弦定理的求角形式： 。 由 且 ，得 。 （注意 ，说明 是钝角，这个符号不能看漏。） （2）用两边及其夹角： 。 用海伦公式复核：， ，与上面一致 ✓。 【点拨】已知三边时有一个固定顺序：先找最长边 → 求它所对的角 → 由 的符号判断锐钝 → 再用这个角算面积。这样做的好处是「最大角」一定是唯一的，不会出现在两个角之间犹豫的情况。另外， 对应 而不是 ，这是一组必须形成条件反射的对应值：，。 【例 3】 方法3 · 面积与外接圆半径 题注：已知两边及其夹角，第三边用余弦定理、面积用 、外接圆半径用 ，三步各自独立。 在 中，已知 ，，。 （1）求边 ； （2）求 的面积 ； （3）求 外接圆的半径 。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）已知两边及其夹角，用余弦定理： ， 故 。 （2）。 （3）由正弦定理 ： 。 检验：，而 ，一致 ✓； 再用 复核：，与（2）一致 ✓。 【点拨】（2）（3）两问看起来是新的量，其实都由 、、、 决定，所以（1）求出的 是关键中间量。记住 时，分子是该角所对的边（本题 对 ），若写成 就错了。最后用 复核一遍，把三个结果串起来验，比单独验每一个更可靠。 【例 4】 方法4 · 边角互化与面积最值 题注：条件 的形状恰好就是余弦定理分子的样子，代入即可定出 ；再把这个条件改写成关于 的等式，配合基本不等式求最值。 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且满足 。 （1）求 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由余弦定理 ，把条件 代入分子，得 。 由 得 。 （2）由余弦定理 ，代入 、： 。 面积 ， 所以只需求 的最大值。 由基本不等式 （取等当且仅当 ）， 代入 得 ，即 。 当 时，由 得 ，此时 ，等号确实能达到。 于是 。 检验： 且 时，，即 ，与题设一致；此时三角形三边均为 2，是等边三角形，面积 ✓。 【点拨】这类「给一个边角关系式」的题，第一步永远是把它往余弦定理的分子（）或（）上凑——凑上了就能直接得到一个角。第二步求最值时，把余弦定理改写成 （当 ）或 的一般形式，再用基本不等式 把左边放缩成只含 的式子。最后务必验证取等条件能否达到（本题 确实能取到）。 五、巩固练习 1. 方法1 · 定理选用辨析（多选） 题注：判断哪些条件能唯一确定三角形，关键看「两边及其中一边的对角」会不会出现两解。 下列条件中，能唯一确定一个三角形的有（　　） A. 已知三角形的三条边 B. 已知三角形的两条边及其夹角 C. 已知三角形的两个角及其夹边 D. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角 【答案】ABC 【解析】A 正确：已知三边，由余弦定理可唯一求出三个角（且三边需满足两边之和大于第三边）。 B 正确：已知两边及其夹角，由余弦定理 可唯一求出第三边，进而求出其余角。 C 正确：已知两角及夹边，由内角和求出第三角，再用正弦定理求出另两边，结果唯一。 D 错误：已知两边及其中一边的对角，按第 4 条可能出现两解（如 时）、一解或无解，不能保证唯一。 故选 ABC。 【点拨】把四种情形记成一句口诀：「三边唯一、两边夹角唯一、两角夹边唯一，只有两边一对角会闹两解」。考试时只要看到「两边 + 其中一边的对角」这个组合，就要立刻警觉——先判个数再算。 2. 方法1 · 正弦定理求角（两解） 题注：先判个数：，属于两解区间，故 有两个值。 在 中，已知 ，，，求 。 【答案】 或 【解析】先判个数：， 而 ，故有两解。 由正弦定理：。 在 内， 或 。 检验内角和： 时 ✓； 时 ✓。 两个解都成立，故 或 。 （对应的第三边分别为 ： 时 ； 时 。） 【点拨】本题与例题 1 的数字几乎一样，只是 从 变成了 ，但两解依然成立——这说明判据 才是本质，而不是具体的数字。做题时先算 这一个数，再把它与 、 一起排个序，答案就出来了。 3. 方法2 · 边角互化求角 题注：由正弦定理，，所以三边之比就是 ，可设 、、 再求角（ 会约掉）。 在 中，已知 ，求最大角的余弦值。 【答案】最大角的余弦值为 【解析】由正弦定理 得 。 设 、、（）。最长边为 ，故最大角为 。 由余弦定理： 。 （ 约掉了，这说明只给比例也足以确定角的大小。） 故最大角的余弦值为 （对应 ）。 【点拨】「正弦之比」与「边长之比」是同一件事，这是正弦定理最好用的推论。设 这类「设比例系数」的写法在解三角形里非常常见，它能把「只有比例没有具体数值」的题变成常规题，而 总会在最后约掉。 4. 方法2 · 两边及其夹角 题注：已知 、 及其夹角 ，直接用 。 在 中，已知 ，，，求边 。 【答案】 【解析】由余弦定理： 。 故 。 检验：三边 、、，满足 、，可构成三角形 ✓；且最长边 对应最大角 ，由 知 为锐角，三角形为锐角三角形，与 不矛盾 ✓。 【点拨】已知两边及其夹角时，第三边是唯一的，这类题不需要讨论解的个数。算完后建议顺手检查一下「两边之和大于第三边」，这是判断计算有无失误最便宜的一道关。 5. 方法1 · 解的个数讨论（多选） 题注：逐项计算 并与 、 比较，按第 4 条判定解的个数；注意 时两解重合，只算一个。 在 中，下列条件能唯一确定三角形的有（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AB 【解析】A：，由第 4 条知有一解（此时 ，，两解重合）。✓ B：，且 ，由第 4 条知有一解。✓（，；钝角解 时 ，舍去。） C：，由第 4 条知无解。✗（也可由 直接看出。） D：，由第 4 条知有两解。✗（， 或 ，两种情形下 都小于 。） 故选 AB。 【点拨】本题四个选项正好覆盖了「一解、一解、无解、两解」四种情形，值得当作判据的练习模板。特别留意 A： 时 是唯一的，不要因为「 有两个解」就判成两解——两解重合时只算一个。而 B 的情形是「钝角解被内角和否掉」，这是另一种只剩一解的常见原因。 6. 方法4 · 已知两边之和与夹角 题注：把余弦定理中的 写成 ，就能在「已知 」的条件下解出 。 在 中，已知 ，，，求 的面积。 【答案】 【解析】由余弦定理 ，把 写成 ： 。 代入 、、： ， 故 ，。 于是 。 检验：由 、 知 、 是方程 的两根，即 ； 此时 ，，三边均为 2，是等边三角形，面积 ✓。 【点拨】把 改写成 或 ，是处理「已知两边之和（或之差）」的万能手法，改写后式子里只剩 这一个未知整体，而面积恰好也只依赖于 ，所以不必分别求出 、。这也提示一个更一般的经验：解三角形里若要求的量只与 、 这类「对称量」有关，就把它当成整体来求，能省掉一半计算。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 三角形的其他面积公式： 之外，还有 、（ 为内切圆半径、 为半周长）、以及 。其中 在已知内切圆半径时非常好用，它与海伦公式合用可以求出 。 正弦定理的几何证明：作三角形的外接圆，由圆周角定理，边 所对的圆心角为 ，而圆心角所对的弦长 ，整理即得 。这个证明同时解释了为什么比值恒等于 ——它本质上就是「弦长 = （半圆心角）」。 余弦定理是勾股定理的推广：当 时 ，余弦定理退化为 ，即勾股定理； 时 ， 时 。所以余弦定理可以理解为「带一个修正项 的勾股定理」。 解三角形在实际测量中的应用：测量不可到达的两点间距离（如河宽、山高）是解三角形的经典应用——先在地面上量出一条基线，再测出基线两端的仰角或方位角，最后用正弦定理或余弦定理算出目标距离。教材 6.4.3 的「应用举例」专门讨论这类问题。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形专项训练 正弦定理 · 余弦定理 · 面积与最值 · 解的讨论 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 解三角形的第一件事永远是「画图标已知」：标完后看已知的是「两角一边」「两边一夹角」「三边」还是「两边一对角」，题型一定，定理也就定了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。凡是「已知两边及其中一边的对角」，都要先按知识要点第 4 条判一下解的个数，别急着开方。 解三角形专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册第六章 6.4（解三角形）。本节专攻「正弦定理与余弦定理的选用、三角形解的个数的讨论、面积的求法与最值、以及边角互化后的代数变形」，不涉及三角形的中线、角平分线等延伸内容，也不涉及正余弦定理在平面几何证明中的系统应用。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的解三角形类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年广东深圳高一期末的两解讨论题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏扬州高一期末的余弦定理题改写，例题 3 由 2024 年湖北宜昌高一期末的「面积 + 外接圆半径」题改写，例题 4 由 2025 年浙江嘉兴高一期末的「边角关系 + 面积最值」题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）正弦定理 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （ 为外接圆半径）。这个「」是它的完整形式，别忘了。 2. 正弦定理主要管两类题：已知两角及一边（求其余边角）；已知两边及其中一边的对角（求另一边的对角，可能两解）。 3. 边角互化：由正弦定理立刻得到 。于是「已知三个角的正弦之比」等价于「已知三边之比」，这是选择题里最常用的转化。 4. 三角形解的个数的判定（已知 、、）：当 时， 有一解， 无解；当 时， 无解， 有一解（直角三角形）， 有两解， 有一解。这条规则要能默写。 5. 用正弦定理求角时务必检查两解：由 得到的 可能是锐角也可能是钝角，只有当 时钝角解才成立；另外 时无解， 时只有直角一解。 （二）余弦定理 6. 余弦定理：，，。三个式子是轮换的，记住一个就能写出另外两个。 7. 求角的形式：。已知三边求角时用它，注意分子是「另外两边的平方和减去对边的平方」。 8. 余弦定理主要管两类题：已知三边（求三个角）；已知两边及其夹角（求第三边）。这两类都是唯一确定的，不存在多解。 9. 大边对大角：。由此，最大边对最大角，且最大角不小于 、最小角不大于 。求「最大的角」时先找最长的边。 10. 判断三角形的形状只需看最大边所对的角：设最大边为 ，则 （即 ）时为锐角三角形，（）时为直角三角形，（）时为钝角三角形。 （三）面积与综合应用 11. 面积公式（两边及其夹角）：。记住「夹住角的那两条边」即可，不必死记是 还是 。 12. 海伦公式：记 ，则 。已知三边时用它最方便，也常用来校验其他方法算出的面积。 13. 外接圆半径：；结合面积有 。这两个式子把「边」「角」「面积」「」四者连在一起。 14. 常用代数变形：由 ，把 写成 或 ，就能在「已知 （或 ）与 」时解出 。这是本节综合题的关键一步。 15. 解三角形的收尾检查：① 三边是否满足两边之和大于第三边；② 三个内角是否都为正且和为 ；③ 大边是否对着大角。这三条各花 3 秒，能拦掉绝大多数错误。 二、方法提炼 方法1　正弦定理法：已知两角一边时，先由内角和求出第三角，再用 求边；已知两边及其中一边的对角时，先用第 4 条判解的个数，再用 求角，最后逐一检查每个解是否满足 。 方法2　余弦定理法：已知三边时用 求角（先求最大边所对的角）；已知两边及其夹角时用 求第三边。求完角要由 的符号确认它是锐角还是钝角。 方法3　面积法：优先用 （两边及其夹角）；若已知三边则改用海伦公式；若要求外接圆半径，用 或 。算出面积后用另一种方法复核一遍是最有效的自检。 方法4　边角互化与代数变形法：把边角关系（如 ）代入余弦定理的求角公式，先定出角；再把余弦定理写成关于 与 （或 ）的等式，配合基本不等式 求 的最值，进而求面积的最值。 三、易错提醒 ◆ 已知两边一对角时不判解的个数：这是本节丢分最多的一处。拿到 、、，先算 并与 比较，按第 4 条确定无解、一解还是两解，再动手算。 ◆ 由 只取锐角： 时 可能是 也可能是 ，漏掉钝角解就少了一个三角形。反之，若 ，钝角解必须舍去——两种情况都要检验。 ◆ 余弦定理的分子写反：求 时分子是 （另两边平方和减对边平方），写成 就求成了 。记法：求哪个角，就从分子里减掉它对边的平方。 ◆ 由 的值定角时忽略范围：三角形内角 ，在这个范围内 与 一一对应，所以 对应 而不是 。把负号看漏是最常见的失误。 ◆ 面积公式用错了夹角： 中的 必须是边 、 的夹角。若已知的是 、 和 ，不能直接用这个公式，要先由正弦定理求出 、 再算。 ◆ 用基本不等式求 的最值时不写取等条件： 取等当且仅当 ，必须写出这一点，并把取等时的 、 算出来代回检验，否则不知最大值是否真的能达到。 ◆ 忘记「三角形内角和为 」这个约束：求出两个角后第三个角由内角和给出，若发现 ，说明这组数据不构成三角形，该解应舍去。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 正弦定理（两解的讨论） 题注：题注：已知的是 、 和 的对角 ，属于「两边及其中一边的对角」，必须先判解的个数。本题 ，所以有两个解。 在 中，已知 ，，。 求 、 和 。 【例 2】 方法2 · 余弦定理（已知三边） 题注：题注：已知三边，先找最长边（它是最大角所对的边），再用求角形式的余弦定理；面积既可以用两边夹角，也可以用海伦公式，两者互为校验。 在 中，已知 ，，。 （1）求 的最大角； （2）求 的面积。 【例 3】 方法3 · 面积与外接圆半径 题注：题注：已知两边及其夹角，第三边用余弦定理、面积用 、外接圆半径用 ，三步各自独立。 在 中，已知 ，，。 （1）求边 ； （2）求 的面积 ； （3）求 外接圆的半径 。 【例 4】 方法4 · 边角互化与面积最值 题注：题注：条件 的形状恰好就是余弦定理分子的样子，代入即可定出 ；再把这个条件改写成关于 的等式，配合基本不等式求最值。 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且满足 。 （1）求 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 五、巩固练习 1. 方法1 · 定理选用辨析（多选） 题注：题注：判断哪些条件能唯一确定三角形，关键看「两边及其中一边的对角」会不会出现两解。 下列条件中，能唯一确定一个三角形的有（　　） A. 已知三角形的三条边 B. 已知三角形的两条边及其夹角 C. 已知三角形的两个角及其夹边 D. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角 2. 方法1 · 正弦定理求角（两解） 题注：题注：先判个数：，属于两解区间，故 有两个值。 在 中，已知 ，，，求 。 3. 方法2 · 边角互化求角 题注：题注：由正弦定理，，所以三边之比就是 ，可设 、、 再求角（ 会约掉）。 在 中，已知 ，求最大角的余弦值。 4. 方法2 · 两边及其夹角 题注：题注：已知 、 及其夹角 ，直接用 。 在 中，已知 ，，，求边 。 5. 方法1 · 解的个数讨论（多选） 题注：题注：逐项计算 并与 、 比较，按第 4 条判定解的个数；注意 时两解重合，只算一个。 在 中，下列条件能唯一确定三角形的有（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 方法4 · 已知两边之和与夹角 题注：题注：把余弦定理中的 写成 ，就能在「已知 」的条件下解出 。 在 中，已知 ，，，求 的面积。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 三角形的其他面积公式： 之外，还有 、（ 为内切圆半径、 为半周长）、以及 。其中 在已知内切圆半径时非常好用，它与海伦公式合用可以求出 。 正弦定理的几何证明：作三角形的外接圆，由圆周角定理，边 所对的圆心角为 ，而圆心角所对的弦长 ，整理即得 。这个证明同时解释了为什么比值恒等于 ——它本质上就是「弦长 = （半圆心角）」。 余弦定理是勾股定理的推广：当 时 ，余弦定理退化为 ，即勾股定理； 时 ， 时 。所以余弦定理可以理解为「带一个修正项 的勾股定理」。 解三角形在实际测量中的应用：测量不可到达的两点间距离（如河宽、山高）是解三角形的经典应用——先在地面上量出一条基线，再测出基线两端的仰角或方位角，最后用正弦定理或余弦定理算出目标距离。教材 6.4.3 的「应用举例」专门讨论这类问题。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $