专题05 知识点37 解三角形 专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点37 解三角形

一、核心定理

1. 正弦定理

其中 为三角形外接圆半径。

常用变形：

2. 余弦定理

注：勾股定理是余弦定理当 （即 ）时的特殊情况。

变形（已知三边求角）：

3. 内角和定理及推论

由此可得：，，；。

此外，在 中有恒等式：

二、面积公式

公式	条件
（底×高÷2）	任意三角形
	已知两边及夹角

公式	条件
	已知外接圆半径
	已知内切圆半径
，其中	海伦—秦九韶公式，已知三边

已知三条中线 求面积：

三、形状判断（设 为最大边）

四、SSA 型（已知两边及一边对角 ）解的判定

由正弦定理 ：

五、边角转化判断形状的两条路径

边化角：利用 ，将边的关系化为 的关系；若得 ，则 或

角化边：将角的关系化为 的代数关系，如 为直角、 为等腰

六、典型例题

例 1（两角一边）：，则

例 2（两边夹角）：，则

例 3（判定形状）：设方程 两根之和等于两根之积，则

故为等腰三角形。

例 4（向量结合）：若 且 ，则

记忆口诀：夹角三边用余弦、角边对应用正弦；SSA 验两解、内角和补第三；平方关系定形状、面积半乘夹正弦。

实战演练

一、单选题

1. [2025 江苏南京、盐城二模] 在锐角 中，角 所对的边分别为 。若 ，则 （　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. [2025 河北石家庄二模] 如图，在 中，已知 ， 是 边上的一点，，，，则 （　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

3. [2025 湖北武汉调研] 在 中，内角 的对边分别是 ，且 ，， 的面积为 ， 为边 上一点， 是 的平分线，则 （　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.