同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练-2027届高三数学一轮复习

同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练 平方关系 · 和与积 · 诱导公式 · 齐次式 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节两条主线：一是平方关系 把 与 拴在一起，二是诱导公式把「任意角」化回「锐角」。任何一道题，先判断它走哪条线，解法就清楚了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 70 分钟完成。凡是出现开平方，先停下来问一句「符号怎么定」，这一步漏掉是本节第一号失分点。 同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册 5.2.2（同角三角函数的基本关系）与 5.3（诱导公式）。本节专攻「知一求二、和与积的互化、诱导公式的化简求值、以及齐次式的处理」，不涉及 5.5 的和差角公式与二倍角公式，也不涉及三角函数的图象与性质。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的同角关系与诱导公式类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年湖北黄冈高一期末的「积 + 范围限定」题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东佛山高一期末的和与积互化题改写，例题 3 由 2025 年江苏南通高一期末的「终边上一点 + 诱导公式」题改写，例题 4 由 2024 年山东烟台高一期末的齐次式题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，含参题与范围题另做了唯一性检验。 一、知识要点 （一）同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：，对任意角 都成立。它的几何来源就是单位圆上点的坐标满足 。 2. 商数关系：，条件是 ，即 （）。它把正弦、余弦与正切连在一起，可以互相换。 3. 「知一求二」：已知 、、 中的一个，用上面两个关系求另外两个。开平方时符号由角所在象限决定，这是本节最容易漏的一步。 4. 平方关系的两种用法：一是「凑 1」，如 ；二是把常数项写成 ，为同除 的幂做准备。 5. 和与积的互化：。已知和求积、已知积求和、已知差求积都靠这一步；注意 与 都只能在 内取值。 6. 齐次式：分子、分母都是 与 的同次式时，同除 的相应次幂，化成只含 的式子再代值；不是齐次就先补 再除。 （二）诱导公式 7. 公式一（终边相同）：，，（）。 8. 公式二：，，。 9. 公式三：，，。 10. 公式四：，，。 11. 公式五：，。 12. 公式六：，。正切的对应式可由商数关系推出，如 。 （三）化简与求值的规矩 13. 化简三步：负化正（公式三）→ 大化小（公式一，把角化到 ）→ 化锐角（公式二、四、五、六）。每一步只动一个角，并写清用的是哪一条。 14. 记忆口径： 型「函数名不变、符号看象限」； 型「函数名互余、符号看象限」。判断符号时一律把 看作锐角，再看整个角落在第几象限。 15. 结果要求最简：能约分的约分，能合并的合并；出现 时要写明 ，出现开方时要说明符号是怎么定的。 二、方法提炼 方法1　知一求二（平方关系）：先由 求另一个函数值，符号按象限定。若给出的是 的积，先算 与 ，再由角的范围定这两个平方根的正负。 方法2　和与积的互化：见到 、、 三者中的任何一个，先平方，平方后 变成 1，只剩一个未知量。开方得到的正负由角的范围定；若还要 ，用 直接代，不必先解出 、。 方法3　诱导公式化简：按「负化正、大化小、化锐角」三步走，每一步写清公式编号，最后再代值。含 的角要记得变名；分子分母都化成 与 之后直接代值，不必先化成 。 方法4　齐次式求值：条件给出分式时，先同除 的幂解出 ；待求式若分子分母同次，同除 的相应次幂化成 的式子；不是齐次就先补 再除。 三、易错提醒 ◆ 开平方漏符号：由 得 ，正负必须由象限定。本节绝大多数丢分都出在这一步。 ◆ 用 时不写 ，遇到 一类角就出错。凡是式子最终化成 ，都要回头确认 成立。 ◆ 「变名」记混： 要变名， 不变名；两者的符号规律也不同。记法是「奇变偶不变」——看 的倍数是奇还是偶。 ◆ 判断符号时把 当任意角，忘了口诀的前提是「把 看作锐角」。先锁定 为锐角，再看整个角落在第几象限，最后取该象限原函数的符号。 ◆ 写成 ： 在第二象限，正弦为正，错在把减号用反。 ◆ 齐次式同除 时常数项忘了先写成 ，除完凭空少一项。记住：单独一个常数不是二次齐次式，必须先「补 1」。 ◆ 由平方关系解出字母后不回代：增根往往对应轴线角（如 ），此时根本不是象限角，不检验就会多一个答案。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 知一求二（平方关系） 题注：题注：给的是积 ，先平方求出 与 的绝对值，再用 的范围定两个符号。范围 同时管住了两件事。 已知 ，且 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【例 2】 方法2 · 和与积的互化 题注：题注：给的是和 ，平方一次得积；第（2）问的立方和、第（3）问的 都只要「和」与「积」两个量，不必解出 、。 已知 ，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 【例 3】 方法3 · 诱导公式化简 题注：题注：两问都从「点」出发：第一问用定义定 、，第二问四个角分别用公式六、四、三与「 型」，逐个化角后再代值。 已知角 的终边经过点 。 （1）求 、 的值； （2）求 的值。 【例 4】 方法4 · 齐次式求值 题注：题注：条件式是一次齐次，同除 直接解出 ；第（2）问只有二次项与常数，先除以 补齐，再同除 。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 五、巩固练习 1. 方法1 · 同角关系辨析（多选） 题注：题注：由 出发，先按象限定 ，再逐项判断。诱导公式只管「变不变名、正负号」这两件事。 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 2. 方法4 · 齐次式求值 题注：题注：条件式是一次齐次分式，同除 后解出 ；第（2）问只有二次项，先除以 再同除 。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 3. 方法2 · 和与积的互化 题注：题注：平方一次得积；第（2）问用立方和公式直接由「和」与「积」表示，不必先解出 、。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 4. 方法3 · 诱导公式化简 题注：题注：五个角分别对应公式一、二、三、六、四，逐个化完再约分；注意分子分母会同时出现 。 化简：。 5. 方法3 · 诱导公式正误判断（多选） 题注：题注：四个选项分别考「奇变偶不变」与「符号看象限」，逐项用「把 看作锐角」的口诀判一遍。 下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 方法1 · 「 与 」的互化 题注：题注：由 可得 ，第（1）问一步到位；第（2）问再解方程组。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 「奇变偶不变，符号看象限」：把 的奇数倍记作「奇」、偶数倍记作「偶」：、 属于奇，函数名要换成余函数；、 属于偶，函数名不变。符号则把 当锐角，看原角落在第几象限，取该象限原函数的符号。六组公式用这一句话就能全部复现。 「三兄弟」知一求二：、、 三个量中任知一个，就能求出另两个：平方得和与积的关系，两式相减又得差与积的关系。注意 与 都在 内取值，开方后的符号还要由象限定。 诱导公式的几何来源：把角 的终边分别关于 轴、 轴、原点、直线 作对称，就得到 、、、 四组公式。符号的差别全部来自对称后象限的变化，理解了对称，公式就不必死记。 平方关系的几何意义：单位圆上取点 ，则 ，由勾股定理立刻得到 ；而 正是终边所在直线的斜率（终边不在 轴上时）。所以 、、 不是三个互不相干的对象，而是同一个点的坐标与这条直线的斜率，平方关系与商数关系都是这一点带来的几何性质。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练 平方关系 · 和与积 · 诱导公式 · 齐次式 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节两条主线：一是平方关系 把 与 拴在一起，二是诱导公式把「任意角」化回「锐角」。任何一道题，先判断它走哪条线，解法就清楚了。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 70 分钟完成。凡是出现开平方，先停下来问一句「符号怎么定」，这一步漏掉是本节第一号失分点。 同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册 5.2.2（同角三角函数的基本关系）与 5.3（诱导公式）。本节专攻「知一求二、和与积的互化、诱导公式的化简求值、以及齐次式的处理」，不涉及 5.5 的和差角公式与二倍角公式，也不涉及三角函数的图象与性质。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的同角关系与诱导公式类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年湖北黄冈高一期末的「积 + 范围限定」题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东佛山高一期末的和与积互化题改写，例题 3 由 2025 年江苏南通高一期末的「终边上一点 + 诱导公式」题改写，例题 4 由 2024 年山东烟台高一期末的齐次式题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，含参题与范围题另做了唯一性检验。 一、知识要点 （一）同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：，对任意角 都成立。它的几何来源就是单位圆上点的坐标满足 。 2. 商数关系：，条件是 ，即 （）。它把正弦、余弦与正切连在一起，可以互相换。 3. 「知一求二」：已知 、、 中的一个，用上面两个关系求另外两个。开平方时符号由角所在象限决定，这是本节最容易漏的一步。 4. 平方关系的两种用法：一是「凑 1」，如 ；二是把常数项写成 ，为同除 的幂做准备。 5. 和与积的互化：。已知和求积、已知积求和、已知差求积都靠这一步；注意 与 都只能在 内取值。 6. 齐次式：分子、分母都是 与 的同次式时，同除 的相应次幂，化成只含 的式子再代值；不是齐次就先补 再除。 （二）诱导公式 7. 公式一（终边相同）：，，（）。 8. 公式二：，，。 9. 公式三：，，。 10. 公式四：，，。 11. 公式五：，。 12. 公式六：，。正切的对应式可由商数关系推出，如 。 （三）化简与求值的规矩 13. 化简三步：负化正（公式三）→ 大化小（公式一，把角化到 ）→ 化锐角（公式二、四、五、六）。每一步只动一个角，并写清用的是哪一条。 14. 记忆口径： 型「函数名不变、符号看象限」； 型「函数名互余、符号看象限」。判断符号时一律把 看作锐角，再看整个角落在第几象限。 15. 结果要求最简：能约分的约分，能合并的合并；出现 时要写明 ，出现开方时要说明符号是怎么定的。 二、方法提炼 方法1　知一求二（平方关系）：先由 求另一个函数值，符号按象限定。若给出的是 的积，先算 与 ，再由角的范围定这两个平方根的正负。 方法2　和与积的互化：见到 、、 三者中的任何一个，先平方，平方后 变成 1，只剩一个未知量。开方得到的正负由角的范围定；若还要 ，用 直接代，不必先解出 、。 方法3　诱导公式化简：按「负化正、大化小、化锐角」三步走，每一步写清公式编号，最后再代值。含 的角要记得变名；分子分母都化成 与 之后直接代值，不必先化成 。 方法4　齐次式求值：条件给出分式时，先同除 的幂解出 ；待求式若分子分母同次，同除 的相应次幂化成 的式子；不是齐次就先补 再除。 三、易错提醒 ◆ 开平方漏符号：由 得 ，正负必须由象限定。本节绝大多数丢分都出在这一步。 ◆ 用 时不写 ，遇到 一类角就出错。凡是式子最终化成 ，都要回头确认 成立。 ◆ 「变名」记混： 要变名， 不变名；两者的符号规律也不同。记法是「奇变偶不变」——看 的倍数是奇还是偶。 ◆ 判断符号时把 当任意角，忘了口诀的前提是「把 看作锐角」。先锁定 为锐角，再看整个角落在第几象限，最后取该象限原函数的符号。 ◆ 写成 ： 在第二象限，正弦为正，错在把减号用反。 ◆ 齐次式同除 时常数项忘了先写成 ，除完凭空少一项。记住：单独一个常数不是二次齐次式，必须先「补 1」。 ◆ 由平方关系解出字母后不回代：增根往往对应轴线角（如 ），此时根本不是象限角，不检验就会多一个答案。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 知一求二（平方关系） 题注：给的是积 ，先平方求出 与 的绝对值，再用 的范围定两个符号。范围 同时管住了两件事。 已知 ，且 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由第 5 条，，于是 ， 。 由 知 ， 故 、， 所以 ，。 （2）两式相加、相减： ，， 故 。 检验： ✓； 弧度，确在 内 ✓； 且 ✓。 【点拨】本题的切入点是「积已知、和与差未知」。平方关系在这里的用法是「把积翻译成和与差」：，两个式子一起用，就能把和、差同时定下来。定符号这一步必须写清楚依据——本题 同时保证了 与 ，缺了范围就会多出一组解。 【例 2】 方法2 · 和与积的互化 题注：给的是和 ，平方一次得积；第（2）问的立方和、第（3）问的 都只要「和」与「积」两个量，不必解出 、。 已知 ，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）把 两边平方： ， 即 ，得 。 （2）用 ： 。 （3） 。 代入 ，得 。 （由第（1）问 知 且 ，故 与 都有意义。） 检验：，即 ；结合 取 得 弧度： ，，和 ✓，积 ✓， 立方和 ，与 一致 ✓；， ✓。 【点拨】第（2）（3）两问是本题的价值所在：解出 、 再代入也能做，但立方和与 都只依赖「和」与「积」，一步到位，也不用管符号。特别记住 这个变形，它在已知 的题目里能省掉求 的整段过程。凡是遇到 、、 这类对称式，先想想能不能用「和 + 积」整体表示。 【例 3】 方法3 · 诱导公式化简 题注：两问都从「点」出发：第一问用定义定 、，第二问四个角分别用公式六、四、三与「 型」，逐个化角后再代值。 已知角 的终边经过点 。 （1）求 、 的值； （2）求 的值。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）点 到原点的距离 。 由三角函数的定义：，。 （横坐标 、纵坐标 ，故 是第二象限角，正弦为正、余弦为负，与结果一致。） （2）先化角，每一步只动一个角： （公式六：变名， 看作第二象限，余弦为负）； （公式四：不变名）； （公式三）； （ 是 的 3 倍，属「奇」，变名；把 看作锐角时 在第四象限，余弦为正）。 代入得 原式 。 再代入 、： 原式 。 检验：直接取 弧度代入原式，所得同为 ✓。 【点拨】分子分母都是两个函数值的乘积时，化简的结果往往能约成 一类很干净的式子，这时先化简、后代值比先代值省事得多，也不容易算错。另外提醒： 这类角，既可以用「奇变偶不变」直接判，也可以先加 化成 ，两条路结果一致，考场上选自己更熟的那条。 【例 4】 方法4 · 齐次式求值 题注：条件式是一次齐次，同除 直接解出 ；第（2）问只有二次项与常数，先除以 补齐，再同除 。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）条件式分子分母都是一次齐次式，同除以 （由结果 知此处 ，且 ）： ， 即 ，解得 ，。 （2）待求式 分子是二次齐次式，但整体不是分式，先除以 ： 。 分子分母同除以 ： 。 代入 ： 。 检验：取 弧度，，， 条件式 ✓； 待求式 ✓。 【点拨】这两问合起来就是齐次式的完整套路：条件给分式 → 同除定 ；待求式「看着不齐次」→ 除以 补齐。这里的「补 1」是本节最实用的一个技巧，凡是出现 、 与常数混合的式子，第一步就是把它整体除以 。注意最后一步是整体代 的值，不必（也不该）先解出 、 再代入。 五、巩固练习 1. 方法1 · 同角关系辨析（多选） 题注：由 出发，先按象限定 ，再逐项判断。诱导公式只管「变不变名、正负号」这两件事。 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】先定 ： 是第二象限角，故 ， 。 A 错误： 而不是 ，错在开方后没按象限取负号。 B 正确：。 C 错误：由公式二 ，不是 。 D 正确：由公式六 。 故选 BD。 【点拨】多选题里 A 项专门用来抓「开方漏符号」，C 项抓「诱导公式符号搞反」，这两条正是本节的高频错因。做这类题的办法是先一次性把 、、 都算出来，再逐项对照，比边看边算稳。 2. 方法4 · 齐次式求值 题注：条件式是一次齐次分式，同除 后解出 ；第（2）问只有二次项，先除以 再同除 。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）条件式分子分母都是一次齐次式，同除以 （由结果 知 ，且 ）： ， 即 ，解得 。 （2） 是二次齐次式，先除以 ： 。 分子分母同除以 ： 。 代入 ：。 检验： 时取 、， 条件式 ✓； 待求式 ✓。 【点拨】本题是例题 4 的「反方向」：例题 4 由条件式解出 后代齐次式，这里多了一步——第（2）问的式子只有二次项、没有常数，但它同样不是分式，所以仍要除以 才能同除 。判断要不要「补 1」的标准很单纯：看原式是不是分式，不是就补。 3. 方法2 · 和与积的互化 题注：平方一次得积；第（2）问用立方和公式直接由「和」与「积」表示，不必先解出 、。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）两边平方：， 即 ，得 。 （2）由 ，把 、 看成两个量： 。 代入 ： 。 检验：， 即 ， 取 得 ： ，，和 ✓，积 ✓， 四次方和 ✓。 【点拨】第（2）问的标准动作是把「四次方和」看成「 与 的平方和」，再用一次 ：其中 是现成的， 由第（1）问给出。这条路与例题 2 的立方和是同一套思路的两个例子，次数升到四次也一样，关键在于认出「对称式」这四个字。 4. 方法3 · 诱导公式化简 题注：五个角分别对应公式一、二、三、六、四，逐个化完再约分；注意分子分母会同时出现 。 化简：。 【答案】 【解析】逐条化角： （公式一去掉 后为 ，再用公式三）； （公式二）； （公式三）； （公式六）； （公式四）。 代入： 分子 ， 又 ，故分子 ； 分母 。 所以原式 。 （原式有意义需 且 ，即 的终边不在坐标轴上。） 检验：任取 ，，，；，。 原式 ✓。 【点拨】化简题的规范动作是「先列五个等式，再整体代入」，不要一边化一边代，那样很容易把某个符号弄错。列完以后先数一数负号有几个——本题分子三个负号、分母一个负号，负负得正，最后结果为正，这个「数负号」的习惯能挡掉大半的符号错误。 5. 方法3 · 诱导公式正误判断（多选） 题注：四个选项分别考「奇变偶不变」与「符号看象限」，逐项用「把 看作锐角」的口诀判一遍。 下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】A 正确： 是 的 3 倍，属「奇」，函数名要变， 变 ；把 看作锐角时 在第四象限，正弦为负，故 。 B 正确：同样属「奇」， 变 ； 在第三象限，余弦为负，故 。 C 错误：由公式二 ，不是 。 在第三象限，正弦为负。 D 正确：先用公式一去掉 得 ，再由公式三 。 故选 ABD。 【点拨】这类「判断等式正误」的多选，最快的办法是只判两件事：① 变不变名——看 的倍数是奇还是偶；② 符号——把 当锐角，看原角落在第几象限，取该象限原函数的符号。这两件事各自独立，分开判就不容易同时出错。C 项是经典陷阱： 与 的符号规律不同，不能记混。 6. 方法1 · 「 与 」的互化 题注：由 可得 ，第（1）问一步到位；第（2）问再解方程组。 已知 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由平方关系 ，即 。 两边同除以 （由题设 ，且 ，否则左边为 而右边非 ），得 。 故 。 （2）由 得 ， 即 。代入 ： ， 即 ，得 或 。 若 ，则 ，即 ，此时原式 无意义，舍去； 故 ，， 。 检验： ✓； ✓； ✓。 【点拨】 与 互为倒数结构，而这个恒等式就是平方关系的一个变体（）。它在半角、同角求值里反复出现，值得单独记下来。第（2）问的方程组会出现 这个增根，一定要回代到原式看分母是否为零——这正是第 7 条易错提醒说的那件事。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节范围的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 「奇变偶不变，符号看象限」：把 的奇数倍记作「奇」、偶数倍记作「偶」：、 属于奇，函数名要换成余函数；、 属于偶，函数名不变。符号则把 当锐角，看原角落在第几象限，取该象限原函数的符号。六组公式用这一句话就能全部复现。 「三兄弟」知一求二：、、 三个量中任知一个，就能求出另两个：平方得和与积的关系，两式相减又得差与积的关系。注意 与 都在 内取值，开方后的符号还要由象限定。 诱导公式的几何来源：把角 的终边分别关于 轴、 轴、原点、直线 作对称，就得到 、、、 四组公式。符号的差别全部来自对称后象限的变化，理解了对称，公式就不必死记。 平方关系的几何意义：单位圆上取点 ，则 ，由勾股定理立刻得到 ；而 正是终边所在直线的斜率（终边不在 轴上时）。所以 、、 不是三个互不相干的对象，而是同一个点的坐标与这条直线的斜率，平方关系与商数关系都是这一点带来的几何性质。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $