考前练19 同角三角函数的基本关系及诱导公式&考前练20 两角和与差的公式-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

∴.f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增， ..f(x)≥f(1)=0. 2证明：要证f(x)<e十。，只需证ex-h<e十女，即 er-e<nster 令h(x）=lnx+(x>0),则h'(x）=e二，易知h(x)在 ex e (0,。)上单调递减，在（日，+∞）上单调递增， 则A=A(日)=0nx+>0, 再令p(x)=ex-e,则p(x)=e-e,易知p(x)在(0,1)上单 调递增，在(1，十∞)上单调递减， 则p(x)mx=p(1)=0,.ex-e≤0. :h(a)与（不同时为0，er一c<hx十立 故原不等式成立 3a解：fa=子-a,由f3)=日-a=0,得a=日， f(1)=号11)=0，即切线方程为y=号x一号. (2②解：f)=士-a=12x>0 x 当a≤0时，f(x)>0,f(x)的增区间为(0，十∞) 当>0时，令fx)>0,得0<<： 令f(x)<0,得x>1 a 故增区间为(0，)，减区间为（日，十∞） (3)证明：令F(x)=g(x)一f(x)=xe-lnx一x-1(x>0), 则Fa)=e+e--1=史ae-1D. 令h(x)=xe-1,则h'(x)=(x十1)e2>0,h(0)<0, h(1)>0, .函数h(x)在(0，+∞)上单调递增，且存在唯一零点c∈(0， 1),使得h(c)=0, 且当x∈(0，c)时，h(x)<0;当x∈(c,十o∞)时，h(x)>0,即当 x∈(0，c)时，F(x)<0;当x∈(c,+o∞)时，F(x)>0, 函数F(x)在(0，c)上单调递减，在(c,十c∞)上单调递增， ..F(x)>F(c)=cef-In c-c-1, 而h(c)=ce-1=0,即ce=1, 两边取对数得lnc十c=0, .F(x)≥F(c)=0,故f(x)≤g(x)在(0，十∞)上恒成立. 考前练18利用导数研究函数零点问题 1.解：(1)当=1时，f(x)=e-x,f(x)=e2-1. 令f(x)>0,则x>0,f(x)单调递增； 令f(x)<0,则c<0,f(x)单调递减： 故f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，单调递减区间为（一∞，0）. (2)设P(x,y%)是函数y=e上一点. 由y=e得y'=e, y=e在点P处的切线方程是y一e=e(x-x). 令x=y=0,得x0=1, ∴过原点作y=e的切线方程是y=ex, 故当<0或=e时，函数f(x)有1个零点；当>e时，函数 f(x)有2个零点；当0≤k<e时，函数f(x)无零点. 2.解：(1)f()=1-ln工 x4 当x∈(0，e)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(e,十o∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减. ∴f)的极大值为f(®)=。，无极小值。 (2)要使y=f(x)-f(a)有且仅有两个零点，即y=f(x)与 y=血有两个交点， a (1),知当x∈(0，e)时，f)(-0,是），当xe(e,+∞) 时，)(0，日)0<0<日，则y=f)-fa)有且 仅有两个零点，又a>0且a≠1， ∴a∈(1，e或(e,+o∞)时，fa)∈(0，是）， .∴.a的取值范围为(1，e)U(e,十∞). 3.解：(1)当a=2时，f(x)=x2+2x-3,f(x)=2x十2， 则f(1)=4, g(x)=1血，g1)=,由题意可知k=4 (2)若F(r)存在零点，则F(r)=r十ax一3-4n工-=0， x 即a=h一士十3工有实数根. 令-血者+红-h-x计是 x2 x 则)=1红=gxhg-1-是-4仁8二3 x x 令p(x)=4-8lnx-x3-3x, 则p(x=-8-32-3<0恒成立，g(x)单调递减。 又(1)=0， .当x>1时，p(x)<0,当x∈(0,1)时，p(x)>0, ∴.当x>1时，h(x)<0,当x∈(0,1)时，h'(x)>0, 故h(x)在(1，+∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，即 h(x)mx=h(1)=2. 易知当x→十o∞时，h(x)→-o∞，当x0时，h(x)→-∞， ∴.a≤2，即实数a的取值范围为（一∞，2]. 考前练19同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.B解析：由sim(受+a）=cosa=-号，且a∈（受，），得 sina=号，sim(x-a)=sina-号 4 2B解折：由题高知ma号e0sa=号m(。一2g)- 2 3 sim(a-受）=-cosa=-号 3.C解析：sin2023°=sin223°=-sin43°<0，cos2023°= c0s223°=-cos43°<0. 4A解析：由已知得1叶2如6ma2血csa=号，∴ma叶 d。-+-a2-士-2 sin acos a 1 2 5.B解析：：cos(-80)=cos80°=k,.sin80°=√/1-cos80-= V1-及，tan100°=-tan80=-/E 6.B解折：sn(e+吾）=os(答-a)=mn[受- (晋-]=im(a+晋)-是 7.AB解析：sina=号，且a为锐角，∴cosa=V-sina- V-(信}=号故B正瑞：ma品总富-专成A正 3 确：sina十cosa=号+号-号≠号，故C错误：sina一c0sa- 号-号=号≠-弓，故D错误。 8.BD解析：tan(A十B)=tan(π一C)=一tanC,故A错误； cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos2C,故B正 确simA生=sin2=cos号，故C错误，D正确， 2 9,B解析：m(受十o·ma=in=28。 tan a 10.B解析：由题意，知sim0叶cos0=-受，sin6cos0= :(sin0叶c0s02=1+2sin6cos0,=1+受，解得m 1土√5.又△=4m2-16m≥0，..m≤0或m≥4，.m=1一√5 1.-2解析：sin(x-)=sim9 sin(o-g） -cos0--tan0=-2. 12.-35解析：原式=sim(x十于）·cos(x看）·am-不 5)=(-sin）·(-cos8）·(-tan5)=(-5)× (-9)×(-)=-g. 18.25解析：a终边上-点(-2》m台=-之又mx 5 a)=2→tana=-2,∴.y=4,∴.sina= 4_2W5 √（-2)2+4g5 140解析：原式=ase√低。+如eV盒。=waa十 sina1sina:a是第二象限角，sina>0,cosa<0, 1 c+sinsin--1+1=0,即原式等于0， 15.一2云解析：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直 角边为cos0,短直角边为sin0,小正方形的边长为cos0- sin月小正方形的面积是2方(cos0-sin)2=250为 直角三角形中较小的锐角，.cos0>sin0,.cos0-sin0= 寻又：(caos0-s如0m=1-2sn6cos0=六，2sin6cos0- 2筹1+2sns0器，即(os0叶s如-器ics6叶 sin0=子∴sir0-cos0=(cos0叶sn0)(sng-6s0= 7 25 -9 考前练20两角和与差的公式 1.A解析：sim(2x-变）=-cos2x=1-2cos2x=1-2× (g)= 2.D解折：02g-20g=2na=6 3.B解析：由题意，得tana=一2，从而tan(π一2a)=一tan2a= 。-器=青 4.A解析：cos(a十B)=-l,则sin(a十B)=0,sin(2a+)= sin(a+a+8-sinac0s(@+8)+c0sasin(a+B)-X(-1)+ 0=-3 5.B解析：osa=3a∈(m,2),.号∈（受m),cos + 31 6.D解析：sin(a+登)sin(+a）=sin(a+卺)sin乏+ (8+a)]=sim(e+)cos(a+)=2sim2(e+8)- 是sin(2a+晋) 7.C解析：sin(a十B)sin(a-B)=(sin acos B+cos asin B)· (sin acos B-cos asin B)=sinacos B-cos asinB=(1-cos a). cos'B-cos'a(1-cos'B)=cosB-cosa=-a. 8.B解析：由二倍角公式可知4 sin acos a=2cos2a.a∈ (0,受），∴osa0,sina>0,∴2sina=cosa又sira+cosa 1.sin 9.AC解析：由已知，得siny=sinB-sina,cosy=cosa一 cosB.两式分别平方相加，得(sinB-sina)2+(cosa一cos)2=1, ·-20s(g-a)=-1,c0s(9-a)=号，故A正确，B错误； 'siny=sin Bsin a>0,a,8e(0,受)，g>a,∴ga=号， 故C正确，D错误. 10.C解析：由题意，2n1g=m=5,∴m=4sr18,则 mV4mt=2sin18·V√4-4sim18=2sin18°·2cos18°= 2c0s227°-1 c0s54° c0s54° 2sm35=2. sin 36 1.号解折：nx=-号∴os2z=1-2sirx=日 12.号解析：sim(答-)=号∴sm(晋+2)=os（号 2a)=cos2(答-a)=1-2sir(g-a）=号 3.3解析：am0=2,∴am(0-)=am9= tan0-1_2-1_1 1+tan01+23 14务解析：设等腰三角形的底角为。，则项角为石一2,0(。 2a)=-c0s2a=-1-2sia)=2sia-1=2×(号)）°-1= 务 l5.b<a<c解析：由题意，得横线处的实数等于cos(A十B),即 c0s(-C),故当C是直角时，a=c0s(A十B)=cos乏=0；当 C是锐角时，-1<b=cos(A+B)<0;当C是钝角时，0<c= cos(A+B)<1.故b<a<c. 考前练21辅助角公式及应用 1.C解折：-s血e+5cosa-2(停osa-合sm 2(sin2 cos a十os经sna）=2sin(a+2） 2.D解析：y=sinx十√3cosx=2sin(x+),当x十 +2kx,k∈Z,即x=石+2km,k∈Z时，y=sinx十3cosx 取得最大值2. 3.A解析：sm9叶os(叶晋)=sm0叶号os0-号mg= 2sin0+5cos0=sin(0+3)-1. 4.D解析：s血a-V5cosa=号∴2（停cosg分sne) -号∴2ams(e叶g）=-号ios(a叶晋）=月，os(2a叶 晋）=2cos(a+吾）-1=-日 5.D解析：sin0+cos0=2sin(0叶年)，0e(0,受)，∴0叶 ∈（开，），9<m(+)1,1<(0叶)≤2. 6A解新君0后 2sin10cos10° sin20° 4(2oas1o-9n10）4mG0-04 7.CD解析：方法-：f(x)=sin asin(x+号)-是=sinx· (合n+经os）}-名rx+号血asx-子 4 (停m2x3s2z)=号m(2红吾)e[-日， ] 方法二：f)=mwim(+君）-是=-2[m(x+x计晋） as(x-x吾)]是-2[s(2x+肾)-ms(-晋)] 4-=-号os(2x+吾)+}-}=-os(2x+受)， ∴ae[2] -9 8.C解析：，sin2a=1-cos2a,∴.sin2a十cos2a=√2sin2a十 ）=1,sim(2a+子)=9.又ae(0,受)，∴2a+∈ (牙，平）…2a+-要，故a=平 9.BC解析：：f(x)=2√3 sin xcos z-2cos2x=√3sin2x- cos 2z-1=2sin(2x)-1,=f(+)=2sin(2x+ 2p否)-1.又函数y=f(x+p)为偶函数，∴29-否=x十 吾，k∈乙，即g经+子，∈Z9的值可以是晋，要 10.C解析：“f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+子)在x=0 时取得最大值，0+于=受+2km,k∈Z,即日=否+2k, ∈Z,os(20+平)=cos(5+4kx+牙）=cos（号+ 香）=as吾×os至-sin吾×血景-B5,k∈Z 4 1.T解折：f(x)=号如osx+号smz=子(sm2z- 5cms2+9=号血(2z一音)+：最小正周期是T 经=元 12.13解桥：)-5m(+语)+12a(x+悟）=18[品s(x十 吾)+号ms(+音)小，令csg=是ng=最则) 13 cosin(x+吾)+sin(z+若）]=13sin(x+ 百十)，由正弦函数的性质可知f()的最大值为13. 13.吾解折：3cosa一月sna=25(停cosa2n） 2/5(csas否--sin asin吾）=2W3cos(a+否），又：3osa 3sina=23cos(a十p）,-<g,∴9-石 14.2√13解析：：f(x)=2sinx+3cosx=√/13sin(x+p)(其 中ang-）f(x)s=13,f(x)am=-3.:a, x∈R,∴.f(x)-f(x2)的最大值为f(x)mx-f(x)m= √13-(-√13)=2/13. 15.是（答案不唯一）解析：sn20sx十3co2x=2sin2x+ g1+oas2)=音m2r+号m2x+g-m(2z+肾）+ 号，当2+号-受+2kx∈刀时，sin+3cosx取 得最大值，=km十吾(k∈ZD. 考前练22三角函数的性质及应用 1.A解析：y=sinx为偶函数；y=tan2x的最小正周期为7；考前练19同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.若sn(受+a)=一号，且a∈（昏则sm(x B.cos(2A+2B)=cos 2C a)=() c.sin B=sin号 C 2 A号 B号 D-器 nm45-as 2.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过 9.已知tana=-3,则sin(受十a·sina=( 点P8,0,则ne-221)符于( A 9 R-品 c是 n A-告B-是 c D 10.若sin0,cos0是方程4x2+2mx+m=0的两 3.点A(sin2023°，cos2023)在直角坐标平面 个根，则m的值为() 上位于() A.1+5 B.1-√5 A第一象限 B.第二象限 C.1±5 D.-1-√5 C.第三象限 D.第四象限 11.已知tan0=2,则sin(r-)_ 4.已知sina十cosa=一√2，则tana+ 1 tan a sin(0-2) 等于() 12.s血号·cos管·m(经)的值是 A.2 R号 C.-2 D. 1 13.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原 5.设cos(-80)=k,则tan100°等于( 点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点 A.- B.-√1- (一2，y),且tan(x-a)=2,则sina= k 14.已知a为第二象限角，则cosa√1十tana十 D.- k C.-夜 √1- sina1+1 tan a 6已知s血e+》-号则s后等T( ) 15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形 A B品 中较小的内角为0，大正方形的面积是1，小 7.(多选)若sina= ，且。为锐角，则下列选项 正方形的面积是25，则simn20-cos0的值 中正确的有( ) 是 A.tana=号 B.cOsa-g 8 C.sin a+cos a= D.sin a-cos a=- 1 8.(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的 0 是() A.tan(A十B)=tanC -20 考前练20 两角和与差的公式 1.已知cosx=3,则sim(2x-）=( 9.(多选)已知a,B,y∈(0，受)，sina十siny= A日 B-名 c. D.-8 sinB,cosB十cosy=cosa,则下列说法正确的 是() 2若ama=3,则02器的值等于(） A.cos(g-0)-号 B.cos(B-a)-- A.2 B.3 C.4 D.6 3.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O, CBa=骨 DBa=号 始边为x轴的非负半轴，若点P(一1,2)是角 10.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家 a终边上的一点，则tan(π一2a)等于() 华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和 D 科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618 4已知sina= 3,cos(a+B)=-1,则sin(2a十 就是黄金分制比m=52的近似值，黄金 )=() 分割比还可以表示成2sin18°，则 A-号B吉 c号 n号 m√/4-m2 2cos227-1=( 5.已知cosa=3,a∈(，2m),则cos号等 A.4 B.√5+1 于() C.2 D.√5-1 A.16 B~6 C D~3 1l.若sinx=- 3 3 3 则os2x 6.化简sin(e+)sin(经+a)等于( 12.若m(晋-=号，则m(悟+2) A-2cos(2a）B-2sin(2a-） 13.已知tan0=2,则tan(g-平）= C.2cos(2&-晋）D.2sim(2a+答） 14.已知等腰三角形底角的正弦值为号，则顶角 7.若cos2a-cos2B=-a,则sin(a十B)sin(a-B)等 的余弦值是 于() 15.“在△ABC中，cos Acos B= sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同 A.-2 B号 C.-a D.a 学在横线处填上一个实数a,这时C是直角； 8.已知a∈(0,2)，2sin2a=cos2a+1,则 乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是 锐角；丙同学在横线处填上一个实数c,这时 sin a=( ) C是钝角.则实数a,b,c的大小关系 A号 B C③ D25 5 是 -21