4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 基础知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系: （2）商数关系:  . 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 3.常考公式 （1）；. （2）. （3） （4）；，其中，. 4.同角三角函数基本关系的应用技巧 （1）弦切互化 利用公式实现角的弦切互化,如不同时为等齐次式类型可进行弦化切 （2） 和（差）积转换 利用进行变形、转化,可以解决知一求二的问题,注意方程思想的应用 （3）巧用“1”的变换 5.诱导公式的应用思路和技巧 题型一 弦切互化 1．在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 2．已知，，则的值是（     ） A．1 B． C．0.5 D． 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知 则 （    ） A． B．3 C． D．2 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，且为第二象限角，则（　　） A．－ B．－ C． D． 9．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 12．若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 13．已知，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 15．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 16． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 17．已知，则_________. 18．已知函数，的零点为，则________． 19．已知角为钝角，且，则________． 20．已知且，则_________，___________. 题型二 和（差）积互化 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且 ，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知（），则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，且，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 17．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．，，则________. 19．已知且，则_______． 20．已知，且，则__________． 21．已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 22．已知，则_________ 23．已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 24．在中，，则______． 25．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 26．已知，，求的值． 27．已知. (1)求和的值； (2)若，求的值． 28．（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 题型三 诱导公式及其应用 1．已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角终边上一点，则（     ） A． B． C． D．2 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．若，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B．2 C．0 D． 10． （    ） A． B． C． D． 11．已知，则______． 12．已知，且，则的值为________． 13． __________． 14．已知，则_____． 15．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 16．已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 17．已知角以轴的非负半轴为始边，终边经过点． (1)求，，的值； (2)将先化简再求值． 18．已知 (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 19．已知. (1)化简； (2)已知，求和的值. 20．已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 基础知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系: （2）商数关系:  . 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 3.常考公式 （1）；. （2）. （3） （4）；，其中，. 4.同角三角函数基本关系的应用技巧 （1）弦切互化 利用公式实现角的弦切互化,如不同时为等齐次式类型可进行弦化切 （2） 和（差）积转换 利用进行变形、转化,可以解决知一求二的问题,注意方程思想的应用 （3）巧用“1”的变换 5.诱导公式的应用思路和技巧 题型一 弦切互化 1．在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】由单位圆及点的坐标求出的值，将所求式化弦为切代入计算. 【详解】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 2．已知，，则的值是（     ） A．1 B． C．0.5 D． 【答案】C 【详解】， ，所以， 则 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则，所以. 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦齐次式求法可构造方程求得，代入中即可求得结果. 【详解】，，解得， . 5．已知 则 （    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】由已知等式，显然， 将等式左边分子分母同除以，得，解得. 则 . 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】，， ， 所以. 7．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 8．已知，且为第二象限角，则（　　） A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【详解】因为，为第二象限角，所以， . 9．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二倍角正弦公式齐次变形为仅含的表达式，代入已知值即可求解． 【详解】因为为第二象限角，故， 由二倍角正弦公式及同角三角函数平方关系可得：， 将上式分子、分母同时除以得：， 代入得． 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 11．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可分别计算出正弦值和余弦值进而求解. 【详解】因为，，所以，则， 所以，，. 12．若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系转化进行计算即可. 【详解】因为， 故原式可化为. 13．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式移项后平方，结合平方关系消元，可求出，，然后根据商数关系求得. 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 15．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式， 又因为为第二象限角,,所以, 所以. 16． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系，结合条件等式与角的范围求出，进而求得，即可求得答案. 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 17．已知，则_________. 【答案】 / 【详解】由. 18．已知函数，的零点为，则________． 【答案】 【详解】因为为函数的零点， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以. 19．已知角为钝角，且，则________． 【答案】/ 【分析】由题意和二倍角公式求出、的值，进而可得，再根据两角和的正切公式展开求解即可. 【详解】因为角为钝角，且， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以. 20．已知且，则_________，___________. 【答案】 【详解】因为，所以； 且，则， 可得，即， 又因为为第一象限角，则，所以. 题型二 和（差）积互化 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 将等式两边同时平方得， 则，即， 解得． 已知，则， 所以， 因此． 则． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 故. 3．已知，，，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将条件等式平方，再结合两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】， ， 则 ， 则，得 因为，均为锐角，所以，则， 则 4．已知，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两边平方得，所以. 又， 而时，，，所以. 与联立解得，，故. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】由两边取平方，得， 即，解得. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 则，解得. 7．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由， 代入得：. 由， 在上，在上， ， 所以. 8．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 10．已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求出，联立求出，，即可求出的值. 【详解】解：因为①，则， 所以，则，所以，，， 又，所以②， 联立①②，解得，， 所以. 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在题干等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 12．（多选）已知，且，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函数的基本关系逐项求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，所以，故B正确； 对于C，， 又，所以所以，故C错误； 对于D，联立，解得， 所以，故D正确. 13．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】平方得到，根据得到，AB正确，根据，，故进行求解，D正确，由二倍角公式判断C错误. 【详解】对选项A：，则，即， 故，，故，则，，正确； 对选项B： ，正确； 对选项D：，，故， 则，正确； 对选项C：，错误； 14．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 15．（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 16．（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【详解】，解得，A正确； ，又为锐角，所以， 则，，，B不正确，D正确； ，C正确. 17．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 18．，，则________. 【答案】 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得：. 由同角三角函数的基本关系，代入上式得： ，解得. 因为，所以，结合，可得，因此. 对平方，得：， 将代入，得：. 结合，开方得：. 19．已知且，则_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，且， 平方得， 可得，可得 所以，则， 又由， 所以. 20．已知，且，则__________． 【答案】 【详解】∵ , ∴ , 解得 . 又∵ , ∴ , , 即 . ∵ , ∴ . 21．已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 22．已知，则_________ 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系与二倍角的正弦公式求解. 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得 因为， 因此有， 则 . 23．已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 24．在中，，则______． 【答案】或 【分析】易知角是钝角，联立可解得和的值，最后根据计算即可得解. 【详解】已知，将等式两边平方，得到， 化简得，解得 在中，，，又，. ，，则角是钝角， 而，则， 当时，联立， 解得，，则； 当时，联立， 解得，，则. 综上所述，或. 25．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式两边平方，结合同角三角函数关系与二倍角公式即可求解. （2）将展开并齐次化构造出关于的一元二次方程，结合角的范围得到的值，最后代入正切和角公式即可. 【详解】（1），即， 即，所以，即. （2）由上知， 分式上下同时除以得， 整理得，解得或， 因为且，则，故， 由，可得， 两边同时除以得，所以， . 26．已知，，求的值． 【答案】 【详解】由，平方得 ，即 ， 于是 ． 因为 ，有 ，，故 ，得 ． 联立 ，解得 ，， 所以 ． 因此 ． 27．已知. (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对两边平方，可得，， 方法一：结合平方和关系式联立方程组，即可求解； 方法二：先求解的值，再联立方程组求解； （2）先求解，再把表示为，最后利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. （2）由（1）知，， 可得， 又， 所以． 28．（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将所求齐次分式分子分母同除以，转化为用表示的形式代入计算； （2）对已知等式两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角正弦公式求解. 【详解】（1）由可知，对所求式子分子分母同除以， 原式. （2）将两边同时平方得： ， 即， 得，解得. 题型三 诱导公式及其应用 1．已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 . 2．已知角终边上一点，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用角终边上点的坐标求出的值，再根据三角函数诱导公式化简待求表达式，最后代入化简后的式子计算即可求解. 【详解】已知角终边上一点， 则，， 因为，， 所以. 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 4．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式可知，结合余弦二倍角公式将化为，代入求值即可. 【详解】由可得，即，所以. 5．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同角三角函数基本关系，求得，再由诱导公式化简，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，根据同角三角函数基本关系，可得， 根据诱导公式化简，， 所以. 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用 二倍角公式，诱导公式 求解. 【详解】由，得， 故， 7．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知角的终边经过点，则， ， ． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得： 由诱导公式． 9．已知，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为，则， 所以. 10． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和二倍角正弦公式即可求解. 【详解】由题意得：. 11．已知，则______． 【答案】 【详解】． 12．已知，且，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据诱导公式求出和，再根据同角三角函数平方关系求出和，进而即可求解． 【详解】由， 则， ， 又，则，， 则，， 所以． 13． __________． 【答案】0 【分析】利用周期性和诱导公式计算. 【详解】 14．已知，则_____． 【答案】 【分析】利用诱导公式拆角，借助于二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】因，， 则. 15．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用诱导公式得到原式，再利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）利用对原式进行齐次化，得到原式，然后直接代入即可求解. 【详解】（1）由诱导公式，分子，分母， 故原式. （2）由，得原式. 16．已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解一元二次方程求出的值，结合为第三象限角确定其符号，然后利用诱导公式化简复杂的三角函数式，最后代入数值计算； （2）利用同角三角函数关系，求出，再求目标式的平方，最后根据的范围判断符号开方求解即可. 【详解】（1）由方程，因式分解得，解得 或 ， 因为是第三象限角，所以，故， 由此可得，， 利用诱导公式化简原式：，， ，，， 所以. （2）已知，两边平方得， 所以， 设，则， 所以， 因为，所以， 又因为 ，所以， 因此，故. 17．已知角以轴的非负半轴为始边，终边经过点． (1)求，，的值； (2)将先化简再求值． 【答案】(1)，， (2)原式 【分析】（1）直接由三角函数的定义及二倍角的正切公式可得； （2）先利用同角三角函数关系式及诱导公式化简，再结合（1）中的值可得. 【详解】（1）因为角终边过点，点到原点的距离​， 所以是角终边与单位圆的交点，且 根据三角函数的定义：，，. 再由正切二倍角公式，. 因此，，. （2）先利用同角三角函数关系式及诱导公式化简原式： . 由（1）知，所以原式. 18．已知 (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简得，将所求齐次式转化为关于的表达式代入计算即可； （2）利用两角和的正切公式求，结合角的取值范围确定角的值. 【详解】（1）由题意得：， 所以，所以， 所以； （2）由有：， 所以， 又，所以， 所以. 19．已知. (1)化简； (2)已知，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）. （2）由，得，即. . . 20．已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）角的终边过点，由定义得； （2）原式 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $