云南省多校联考2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026年秋季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数为 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知直线过点，，且直线的方向向量为，则的值为 A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点，，若点与点关于平面对称，则 A． B． C． D． 5．已知两条直线，，“”是“直线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，体积为．球的表面积为，半径为，则 A． B． C． D． 7．在中，已知向量，向量，若，则 A． B． C． D．1 8．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在上的投影向量为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，若，，共面，则的值可以是 A． B． C． D．2 10．下列说法正确的是 A．在平面直角坐标系中，直线的斜率为0 B．方程表示过点的所有直线 C．经过点且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为或 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是 A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若倾斜角为的直线与直线平行，则______________． 13．定义在上的奇函数，满足，当时，则______________． 14．已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，． （1）求图象的对称中心； （2）求取最大值时自变量的取值集合． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，． （1）利用空间向量证明； （2）求的长． 17．（本小题满分15分） 某校对2026年高二上学期第一次月考数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该校高二上学期第一次月考数学考试成绩的80%分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率． 18．（本小题满分17分） 已知直线． （1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限； （2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期第一次月考·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D A A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1），， 2分 令，，得，，即图象的对称中心为，， 6分 （2）令，，解得，， 9分 ∴取最大值时，自变量的取值集合为． 13分 16．（1）证明：设，，，则构成空间的一个基底， 2分 ， ， 4分 所以， 7分 所以． 8分 （2）解：由（1）知， 9分 所以 ． 14分 所以． 15分 17．解：（1）由， 可得． 3分 （2）由（1）知样本数据中数学考试成绩110分以下的所占比例为， 130分以下的所占比例为， 4分 因此，80%分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的80%分位数约为115分． 据此可以估计该校高二上学期第一次月考数学考试成绩的80%分位数约为115分． 7分 （3）由题意分数段的人数为， 分数段的人数为， 9分 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽取2人，分别记为，，分数段内抽取3人，分别记为，，． 11分 设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件， 则样本空间，共包含10个样本点， 而事件包含7个样本点， 13分 ， 14分 抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为710． 15分 18．解：（1）因为直线，即， 1分 令，得，， 2分 即直线过定点， 3分 所以无论取何值，直线始终经过第一象限． 4分 （2）因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以， 5分 令，解得；令，得， 即，， 8分 ． 10分 ，， 则，当且仅当，即时，取得等号， 则， ，从而的最小值为4， 15分 此时直线的方程为，即． 17分 19．（1）证明：如图，连接．因为，分别为，的中点，所以． 1分 又平面，平面，所以平面． 3分 又平面，平面平面，所以． 5分 （2）解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 6分 所以，， 设平面的法向量为， 所以令，则，， 则． 9分 因为平面的一个法向量为， 10分 所以． 12分 所以平面与底面夹角的余弦值为． 13分 （3）解：易知平面与棱交于一点，设交点， 14分 则， 又，所以， 16分 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $