期中培优：二次函数的实际应用4种高频考点专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：二次函数的实际应用4种高频考点专项训练 期中培优：二次函数的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 二次函数与销售问题 二次函数与拱桥、喷水、投球问题 二次函数与图形问题 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与销售问题 例1．（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 例2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． (1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． (2)求与之间的函数表达式． (3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 变式1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 变式2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． (1)求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 考点二 二次函数与拱桥、喷水、投球问题 例1．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 例2．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 变式1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处．为庆祝国庆佳节，公园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”，吸引众多游客驻足． 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (1)①如图，小芳同学测得喷泉场地宽度米，在，处各有一个喷水装置，出水口离地面高度，都为米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点到地面的距离为米．现以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被淋湿，在“彩虹门”下方所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔米．伞的顶端离地面的距离保持米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意．现将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上，），此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动米（记作点）．向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在设备左侧水平距离为处，请问身高的黄师傅是否会被淋湿？ 考点三 二次函数与图形问题 例1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 例2．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若平行于墙的一边长不小于米， ①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________． 变式1．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 变式2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）为了培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃．已知苗圃的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________m． (2)若苗圃的面积为，求x的值． (3)苗圃的面积为，请求出y与x的函数关系式；并求出当x是多少时，面积最大？最大面积是多少？ 考点四 二次函数与动态几何问题 例1．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在中，，，，点从点向点匀速运动，点从点向点匀速运动，连接，已知点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为何值时，的面积取得最大值？最大值为多少？ 例2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：二次函数的实际应用4种高频考点专项训练 期中培优：二次函数的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 二次函数与销售问题 二次函数与拱桥、喷水、投球问题 二次函数与图形问题 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与销售问题 例1．（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)（）；当时最大，最大利润为元 (3)售价定为元时利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销量随降价的变化规律列函数关系式即可； （2）利用总利润、单件利润、销售量的关系构建二次函数，再结合二次函数性质求最大值即可； （3）先由销量限制确定x的取值范围，再根据二次函数的增减性求最大利润即可． 【详解】（1）解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元， ∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）． （2）解：∵ 单件利润为元，销量为件， ∴ （）， ∵， ∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为， ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）． （3）解：由题意得，即，解得， 又∵ ， ∴ ， ∵开口向下，对称轴为， ∴在范围内，W随x的增大而减小． ∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）． 答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元． 例2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． (1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． (2)求与之间的函数表达式． (3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) （） (3) 当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）把代入，即可求出销售单价定为元时每天的销售量； （2）当销售单价为元时，单件的销售利润为元，根据销售利润销售量单件销售利润，即可求出与之间的函数表达式； （3）根据与之间的函数表达式求出抛物线的对称轴，根据二次函数的性质可知当时，值最大，把代入函数表达式即可求出最大利润． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 销售单价定为元时，该种健身球每天的销售量是个； （2）解：当销售单价为元时，单件的销售利润为元， 根据题意可得：； （3）解：∵， ∴对称轴为， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，值最大，最大值为， 答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 变式1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【答案】(1) (2)函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． (3)元 【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果． （2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润． （3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价． 【详解】（1）解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元）， 单件利润为（元）， 销量减少量（件），现月销量（件）， 月销售利润（元）； （2）解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）． 由题意知，售价不能高于元，即，解得， ∵为正整数， ∴． 根据题意可得： ； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵，为正整数，，， ∴是距离对称轴最近的整数， ∴当时，取得最大值，（元）， 此时售价为（元）， 即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． （3）解：令，即， 整理得， 即， 解得，， ∵为正整数， ∴不合题意，舍去， ∴，此时售价为（元）． 变式2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． (1)求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) 函数关系式为，自变量的取值范围是 (2) 销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1250元 【分析】 （1）根据涨价时单价与销量的变化关系推导一次函数关系式，结合涨价要求与售价限制确定自变量范围； （2）根据利润的等量关系列出二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值； 【详解】（1）解：∵销售单价为36元时，每天可卖出88件，每涨价1元，每天少卖出2件， ∴当销售单价为x元时，销售量，化简得， ∵商家进行涨价销售，故， 又∵销售单价不低于成本价30元，且不高于60元， ∴自变量的取值范围是； （2）解：∵每件德昂酸茶的成本为30元，销售单价为x元， ∴每件的利润为元， ∵每天的销售量为y件， ∴每天的总利润， 将代入上式，得， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，w有最大值， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 答：销售单价定为55元时，商家销售该德昂酸茶每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 考点二 二次函数与拱桥、喷水、投球问题 例1．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解； （3）把代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于，且， ， ， 即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 例2．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 变式1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； （2）解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处．为庆祝国庆佳节，公园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”，吸引众多游客驻足． 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (1)①如图，小芳同学测得喷泉场地宽度米，在，处各有一个喷水装置，出水口离地面高度，都为米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点到地面的距离为米．现以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被淋湿，在“彩虹门”下方所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔米．伞的顶端离地面的距离保持米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意．现将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上，），此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动米（记作点）．向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在设备左侧水平距离为处，请问身高的黄师傅是否会被淋湿？ 【答案】(1)①，②4，6 (2)不会 【分析】（1）①根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； ②先求出最外侧雨伞离喷水装置至少4米，得出两把最外侧雨伞之间的距离为8米，再根据两把之间的间距求出把数即可； （2）运用待定系数法求出左侧抛物母的解析式为，根据对称性得右侧抛物线的解析式为，再求出黄师傅位置坐标，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题可知，建立的平面直角坐标系如图1，略， 设所求抛物线的函数表达式为, 由题可知，，，，， ∴点的坐标为，点C的坐标为， 将、代入,得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②∵要求最外侧雨伞顶端与水柱的垂直高度为0.3米，伞顶端高度为3.7米， ∴水柱在雨伞外侧位置的纵坐标为， ∴将代入抛物线解析式， 解得； ∵左侧喷水装置A的坐标为，最外侧雨伞的横坐标为， ∴两者的水平距离为米，即最外侧雨伞离喷水装置至少4米． ∴两把最外侧雨伞分别在和处， ∴两点之间的总长度为米， ∵相邻雨伞间隔1.6米， ∴间隔总数为， ∴雨伞总数为间隔数把； （2）解：∵抛物线形状不变， ∴二次项系数a始终为， 又两个喷水装置向外移动m米后，两条水柱的交点R向下移动1米，由原来的变为， 由对称性，左侧抛物线的顶点横坐标为， 设左侧抛物线解析式为， 将点代入得 移动后的左侧喷水装置坐标为， 代入左侧抛物线解析式， 化简得， 解得， 代入， 解得， 解得， ∵， ∴； ∴左侧抛物线解析式为， ∴由对称性得右侧抛物线解析式为，移动后的B点坐标为，即， ∴黄师傅站在B左侧1米处，对应横坐标为， ∴将代入右侧抛物线解析式得， ∵， ∴黄师傅头顶位置的水柱高度大于他的身高，不会被淋湿． 考点三 二次函数与图形问题 例1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)（） (2)不能，理由： ∵， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，在对称轴右侧，随增大而减小， ∴取最小值时，取得最大值，即， ∴当时，， ∴不能围成面积比平方米更大的花园． 【分析】（1）根据为米，得到为米，利用院墙的最大长度为米，得到的取值范围，根据矩形的面积计算公式列式即可得到答案； （2）将与的二次函数的解析式转化为顶点式，继而根据二次函数的图象和性质得到取值范围的的最值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为米， ∴为米， ∵院墙的最大长度为米， ∴，解得：， ∴（）； （2）略． 例2．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若平行于墙的一边长不小于米， ①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)①， ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米 (2) 【分析】（1）①根据矩形的面积公式求出解析式，再根据限定条件求出自变量的取值范围即可； ②根据二次函数的性质作答即可； （2）求出时x的值，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：①设苗圃园的面积为y， ∴ ， ∵，且， 解得：， ∴， ②∵， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时平方米； ∵ 当时，平方米； （2）解：当时， 解得：， ∵， ∴时，， ∵， ∴当这个苗圃园的面积不小于平方米时，． 变式1．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小路面积等于总面积减去菜地面积，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先列出关于x的不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得． 变式2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）为了培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃．已知苗圃的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________m． (2)若苗圃的面积为，求x的值． (3)苗圃的面积为，请求出y与x的函数关系式；并求出当x是多少时，面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)8 (3)当时，苗圃的面积最大，最大为 【分析】（1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）先求出自变量的取值范围，然后根据题意列出，再由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）； （2）根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8； （3）解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴当时，苗圃的面积最大，最大为． 考点四 二次函数与动态几何问题 例1．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在中，，，，点从点向点匀速运动，点从点向点匀速运动，连接，已知点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为何值时，的面积取得最大值？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当时，的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得出与之间的函数关系式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，， 点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， ； （2）解：整理， 可得：， 当时，的面积有最大值，最大值为． 例2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． (3) 存在，当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； （2）略； （3）解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． 变式1．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 变式2．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米 【分析】（1）用表示和，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解． （2）用表示两直角边、，根据面积公式列一元二次方程求解． （3）将面积化为关于的二次函数，利用对称轴求最大值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，设运动时间， 则，，，， ∵，由勾股定理得： ， ，（舍去） ． （2）解： 整理： ，． （3）解： 二次函数开口向下，对称轴：， 当时，面积最大，最大面积为： ． 答：当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $