九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材人教版九上25～30章：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转+圆）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~30章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A．B．C． D． 5．（本题3分）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题3分）如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 10．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 12．（本题3分）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 13．（本题3分）若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 14．（本题3分）如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 15．（本题3分）设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 18．（本题8分）如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 19．（本题8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 20．（本题9分）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 22．（本题11分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究：(1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 23．（本题13分）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A、杨辉三角图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、割圆术示意图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、洛书图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2．（本题3分）如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是的直径，， ，，， ， 由于的位置不确定，与的长度没有必然的相等关系， 所以不成立， 则下列结论中错误的是B． 3．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用方程的根的意义得到的值，再整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 4．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】观察选项可知二次函数可以从开口方向以及与轴的交点考虑，一次函数可以从直线所经过的象限考虑；如选项， 当，时，的开口向上，对称轴为轴，经过第一、三象限，此选项不符合；同理再分析其他情况即可． 【详解】解：当的开口向上，对称轴为轴时， ， ，经过第一、三象限，A选项不符合； 当的开口向上，对称轴在y轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，B选项不符合； 当的开口向上，对称轴在轴右侧时，，，经过第一、三、四象限，C选项符合； 当的开口向上，对称轴在轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，D选项不符合． 5．（本题3分）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质，逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大，故A选项不符合题意， ∵中，， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意. ∵二次函数中，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故C选项符合题意， ∵二次函数中，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D选项不符合题意． 6．（本题3分）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 7．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线可知：，，由对称轴直线，可得出即可判断①，由该二次函数过点可判断③，由二次函数的对称性可判断②，再由当时，y的最小值为，当时，比较即可判断④． 【详解】解：由抛物线可知：，， 对称轴直线， ∴， ∴，故①正确， 由函数图象可知，该二次函数过点， 把点代入中，得：， 又∵， ∴，即， ∴，故③错误； 由关于对称轴直线对称的点坐标为， 把代入得：，故②正确， 当时，y的最小值为， ∴当时，， ∴， ∴，故④错误， 综上，正确的结论是①②，共2个． 8．（本题3分）如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：设米，米， ∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 解得， 又， ∴， 设矩形花圃面积为平方米， ， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时， ∴， 即矩形花圃面积的最大值是平方米． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据勾股定理可得，因为，所以得，再解方程即可作答． 【详解】解：根据题意可知， 把代入，得； 把代入，得； ∴，， ， ， ， ， 解得或（，故舍去）， 故选：D 10．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线与坐标轴交点及对称轴，确定点、坐标，利用待定系数法求直线解析式，设点横坐标表示线段长，利用二次函数性质求最值． 【详解】解：令，得，解得． 点在点左侧， ． 令，得， ．抛物线的对称轴为直线． 点与点关于对称轴对称， ． 设直线的解析式为． 将代入得， 解得． 直线的解析式为． 设，则，， ∴． ， 当时，取最大值．此时． ． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式，以及二次项系数，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 整理得：，解得：， ∴的取值范围为且． 12．（本题3分）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点A的坐标得到的长，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据旋转的性质确定点D的坐标，并得到轴，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 13．（本题3分）若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵二次函数的最小值为， ∴， 令，则， 解得，， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为， ∴， 综上，的取值范围为． 14．（本题3分）如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 【答案】6 【分析】如图：连接，则，由切线的性质可得，结合可证明可得，同理可得：；再结合，最后运用等量代换以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵分别切于A、C两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 15．（本题3分）设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】利用反比例函数的对称性，结合特殊四边形的判定定理，通过反证法逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点成中心对称， ∴过原点作任意两条直线，分别交图象于A和C，B和D，可得，， ∴四边形是平行四边形，故①正确． 假设四边形是菱形，则，对角线交点为原点，设，由， 根据勾股定理得， 代入坐标，得， 化简得，方程无实数解，因此不存在这样的菱形，故②错误． ∵反比例函数关于直线对称，可找到四个点满足， 例如，四个点都在函数图象上， 此时四边形是矩形， 因此四边形可以是矩形，故③正确． ∵正方形是特殊的菱形，已经证明四边形不可能是菱形， ∴四边形不可能是正方形，故④正确． 综上，正确结论为①③④． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，三线相交点即为对称中心点． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：观察图形可知，与关于点中心对称． 18．（本题8分）如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 19．（本题8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2) (3)解：，，，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据长方形的面积公式表示出，再求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次项系数为， ∴常数项为， ∴； （2）解： ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为． （3）略 20．（本题9分）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F． ∵四边形是菱形， ∴平分． ∵与相切于点E， ． 又， ， ∴是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证； （2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点． ， ． 由（1）知， ． 又， ， ． 在中，， 由勾股定理，得， 即的半径为． 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 22．（本题11分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球：； (2)球网的高度为，选择吊球的方式正好能过网； (3)的范围是 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，将代入计算，可得吊球时的函数解析式； （2）把代入，可得的高度；把代入，可得选择吊球的方式能否使球过网； （3）先求出接球点过 和 两点，再分两种情况，当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小；当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大，计算即可． 【详解】（1）解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ； （2）当时，， 球网的高度为， 当时，， 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网； （3）球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得， 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得， 抛物线开口向下， 的范围是． 23．（本题13分）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． 试卷第12页（共24页） 试卷第11页（共24页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A C C 题号 6 7 8 9 10 答案 D B A D C 二、填空题 11. 且 12. 13. 14. 6 15. ①③④ 三、解答题 16．（本题8分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，；………………………………………………………4分 （2）解：∵， ∴，，， ∴，………………………………………………………6分 ∴， ∴，．………………………………………………………8分 17．（本题8分） 【答案】(1)解：如图所示即为所作， ………………………………………………………3分 (2)解：如图所示即为所作， ………………………………………………………6分 (3) ………………………………………………………8分 18．（本题8分） 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ………………………………………………………1分 ，， ，，………………………………………………………2分 ， ， ，………………………………………………………4分 是的平分线， ， ，………………………………………………………5分 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即，………………………………………………………6分 解得．………………………………………………………8分 19．（本题8分） 【答案】(1)36；6………………………………………………………2分 (2) ………………………………………………………3分 (3)解：，，，理由如下： 由题意得，，………………………………………………………4分 ，………………………………………………………5分 ∴ ，………………………………………………………6分 ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴．………………………………………………………8分 20．（本题9分） 【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F． ∵四边形是菱形， ∴平分．………………………………………………………1分 ∵与相切于点E， ．………………………………………………………2分 又， ，………………………………………………………3分 ∴是的半径，………………………………………………………4分 ∴是的切线．………………………………………………………5分 （2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点． ， ．………………………………………………………6分 由（1）知， ． 又， ，………………………………………………………7分 ． 在中，， 由勾股定理，得，………………………………………………………8分 即的半径为．………………………………………………………9分 21．（本题10分） 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴．………………………………………………………2分 代入反比例函数得： ， ​∴．………………………………………………………4分 （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵．………………………………………………………5分 ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​………………………………………………………7分 ∴，​………………………………………………………9分 ∴．………………………………………………………10分 22．（本题11分） 【详解】（1）解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为，………………………………………………………2分 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ；………………………………………………………4分 （2）当时，， 球网的高度为，………………………………………………………5分 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网；………………………………………………………7分 （3）球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得，………………………………………………………8分 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得，………………………………………………………10分 抛物线开口向下， 的范围是．………………………………………………………11分 23．（本题13分）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为………………………………………………………1分 ， ∴二次函数的表达式为；………………………………………………………2分 （2）解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，，………………………………………………………3分 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），，………………………………………………………4分 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）；………………………………………………………5分 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），；………………………………………………………6分 综上，满足条件的t值为或．………………………………………………………7分 ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ，………………………………………………………9分 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得，………………………………………………………11分 ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ．………………………………………………………13分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~30章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A．B．C． D． 5．（本题3分）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题3分）如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 10．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 12．（本题3分）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 13．（本题3分）若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 14．（本题3分）如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 15．（本题3分）设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 18．（本题8分）如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 19．（本题8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 20．（本题9分）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 22．（本题11分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 23．（本题13分）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $