专题05 一元一次方程32大题型96题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题05 一元一次方程（大题型题） 基础·固本强基 题型1 代数式 题型2 求代数式的值 题型3 用代数式表示数、图形的规律 题型4 单项式与多项式 题型5 整式 题型6 合并同类项 题型7 整式加减中化简求值 题型8 等式与方程 题型9 等式的基本性质 题型10 解一元一次方程 题型11 一元一次方程解的关系 题型12 一元一次方程的实际应用 提升·进阶突破 题型13 已知字母、式子的值，求代数式的值 题型14 数字、图形规律探究 题型15 单项式规律题 题型16 多项式系数、指数中字母求值 题型17 整式加减中的化简求值问题 题型18 已知方程的解求参数 题型19 解复杂的一元一次方程（重点） 题型20 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型21 一元一次方程解的关系（重点） 题型22 绝对值方程 题型23 配套问题（重点） 题型24 销售问题（重点） 题型25 方案选择问题（重点） 题型26 几何问题（重点） 题型27 和差倍分问题（重点） 题型28 水电费问题（重点） 拔高·压轴破难 题型29 整式压轴问题（难点） 题型30 一元一次方程的含参问题（难点） 题型31 一元一次方程的实际应用压轴（难点） 题型32 一元一次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 代数式（共3小题） 1．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的识别，掌握其定义是关键，代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的式子，不含等号或不等号，方程因含有等号，属于等式而非代数式，由此即可求解． 【详解】解：选项A： 由变量和常数通过加减运算组成，是代数式； 选项B： 是数与变量的除法运算，符合代数式定义； 选项C： 含有等号，表示方程，属于等式而非代数式； 选项D： 是单独的数，属于代数式； 综上，只有选项C不是代数式， 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：10， 10，，，是代数式； 故选：B． 3．（24-25七年级上·北京·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 题型2 求代数式的值（共3小题） 4．（25-26七年级上·北京东城·期中）若，求的值 【答案】4 【分析】根据绝对值的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 6．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_______． 【答案】2028 【分析】本题考查了代数式的求解，将已知条件直接代入表达式计算． 【详解】解：， 代入得． 故答案为：2028 题型3 用代数式表示数、图形的规律（共3小题） 7．（25-26七年级上·北京大兴·期中）如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到第1，2，3个图形所用的火柴棍的数量，由此得到规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要6根火柴棍， 第2个图形需要11根火柴棍， 第3个图形需要16根火柴棍， 拼第个图形需要火柴棍的根数是， 故选：C． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 【答案】(1)7  10 (2) (3)（根） 【分析】本题主要考查了代数式求值，用代数式表示，图形的规律问题， 对于（1），根据图形中火柴棒的数字特点解答； 对于（2），根据（1）中的规律得出代数式； 对于（3），将数值代入计算即可. 【详解】（1）解：第1个正方形需要根火柴棒； 第2个正方形需要根火柴棒； 第3个正方形需要根火柴棒； 故答案为：7,10； （2）解：由（1）得第x个正方形需要根火柴棒； 故答案为：； （3）解：， 所以搭110个这样的正方形需要331根火柴棒. 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么__________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【详解】解：根据差倒数定义可得：，． ∴每三个循环一次，又余 1 ， 故和的值相等． 故答案为：3． 题型4 单项式与多项式（共3小题） 10．（25-26七年级上·北京·期中）代数式，，，， 中，单项式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 根据单项式的定义逐一判断即可． 【详解】解：代数式，，，， 中，单项式有，，，共3个， 故选：C． 11．（25-26七年级上·北京昌平·期中）下列说法正确的是（   ） A．3.14不是单项式 B．表示负数 C．的系数是 D．是三次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式、代数式、系数和多项式的概念，掌握单项式、系数和多项式的定义是解题关键；根据定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵常数3.14是单项式，∴ A错误； ∵表示a的相反数，a可以是正数，0或负数，∴可以是负数，0或正数，∴B错误； ∵单项式的系数是数字因数，∴系数是，而不是，∴C错误； ∵多项式的最高次数为，且多项式有三项，∴是三次三项式，∴D正确； 故选D． 12．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得满足条件的多项式可以为．（答案不唯一） 题型5 整式（共3小题） 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是______，属于多项式的是______，属于整式的是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 14．（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 【答案】①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 15．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式是二次多项式 D．在，，，，0中，整式有4个 【答案】D 【分析】此题考查多项式与单项式，关键是根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念解答．根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，不符合题意； B、单项式m的次数是1，系数是1，不符合题意； C、多项式是三次三项式，不符合题意； D、在，，，，0中，不是整式，其余的都是整式，整式有4个，符合题意． 故选：D． 题型6 合并同类项（共3小题） 16．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【答案】/ 【详解】解： ． 17．（25-26七年级上·北京·期末）下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项的运算，只有同类项才能合并． 首先判断各选项中的项是否为同类项，是否可以进行运算，再判断计算结果是否正确，选择合适的选项即可． 【详解】解：对于A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 对于B：，故本选项不符合题意； 对于C：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 对于D：和是同类项，则，故本选项符合题意； 故选：D． 18．（25-26七年级上·吉林松原·期中）合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．先去括号，再合并同类项即可得． 【详解】解：原式 ． 题型7 整式加减中化简求值（共3小题） 19．（专题06 整式加减中的化简求值（计算题专项训练）-2024-2025学年七年级数学上册计算题专项训练系列（湘教版2024））先化简，再求值：，其中 【答案】；3 【分析】本题主要考查整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，有理数计算，是解题关键．先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 20．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）若是关于的一元一次方程. (1)求的值； (2)先化简，再求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可； （2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键． 21．（25-26七年级上·山西大同·期末）先化简，再求值     其中 【答案】； 【分析】本题首先将原式去括号，继而合并同类项，最后代入求值． 【详解】原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，按照运算法则化简，平方差以及完全平方公式较为常用，其次注意仔细即可． 题型8 等式与方程（共3小题） 22．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：将代入，得 24．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 题型9 等式的基本性质（共3小题） 25．（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 27．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 题型10 解一元一次方程（共3小题） 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 29．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为的步骤，进行计算即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 30．（25-26七年级上·北京·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）先去括号，然后移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型11 一元一次方程解的关系（共3小题） 31．（24-25七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 32．（25-26七年级上·浙江·期中）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴中； ∴． 故选：C． 33．（25-26七年级上·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤，理解方程的解的意义是解答的关键． 先求得方程的解，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入方程中，得， 解得. 故选：B． 题型12 一元一次方程的实际应用（共3小题） 34．（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 35．（25-26七年级上·北京·期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 【答案】应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 首先设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件，再根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件， ∴根据题意得：，解得：， ∴制作机翼部件的成员数为名， ∴应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件． 36．（25-26七年级上·北京·期末）如图，初一年级组设计了一款三棱柱形状的文创产品包装盒，现在要用正方形印花纸为这些三棱柱盒子做贴面装饰，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，正方形印花纸有如图所示的两种裁剪方法（裁剪后的边角料不再利用）． 方法一：裁成6个侧面和7个底面；          方法二：裁成8个侧面． 现有25张正方形印花纸，全部用以上两种方法之一进行裁剪． (1)若其中x张用方法一裁剪，则能得到______个侧面和______个底面；剩余的印花纸用方法二裁剪能得到______个侧面； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能装饰多少个盒子？ 【答案】(1)；； (2)56 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式，读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）由张用方法一裁剪，就有张用方法二裁剪，则可分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法一裁剪，   裁剪时张用方法二裁剪， 用方法一裁剪，能得到个侧面和个底面；用方法二裁剪能得到个侧面； （2）解：由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：（个）， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做56个盒子． 提升·进阶突破 题型13 已知字母、式子的值，求代数式的值（共3小题） 37．（25-26七年级上·北京延庆·期末）在下面的表格中给出了当取不同数值时，整式与分别所得的值，例如，当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，请写出的值． ___________，___________，___________，n=___________； (2)当时，；当时，；且直接写出的值． 【答案】(1)7；1；；2 (2)2014 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给式子和数据进行求解即可； （2）根据可得，再根据（1）所求得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，代数式的值为2， ∴， ∵当时，代数式的值为3， ∴， ∴； 故答案为：7；1；；2； （2）解：∵当时，；当时，，且， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25七年级上·北京·期中）关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有________，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；     ②；     ③；     ④ (2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是________． 【答案】(1)①③，②④ (2)， (3)69 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义． （1）把和分别代入求值，再根据定义即可判定； （2）把和分别代入计算即可； （3）、、是“奇代数式”，分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时，，故①是“偶代数式”； ②当时，，当时，，故②是“奇代数式”； ③当时，，当时，，故③是“偶代数式”； ④当时，，当时，，故④是“奇代数式”； ，，， “偶代数式”有①③；“奇代数式”有②④， 故答案为：①③，②④； （2）解：当时，原式， 整式值为； 当时，原式， 整式值为7； （3）解：、、是“奇代数式”， 分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， 而是“偶代数式”， 当分别取，，，，0，1，2，3，4时， 九个整式的值之和是， 故答案为：69． 39．（25-26七年级下·北京·单元测试）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：， ， ． 题型14 数字、图形规律探究（共3小题） 40．（2024·湖南·二模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为___________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． 根据图形分别表示各个图案中黑白棋子的变化规律，可得第n个图案的规律． 【详解】解：由图可知， 黑棋子的变化为： 时，0个； 时，个； 时，个； 时，个； ……； 故第n个图案中黑棋子个数为； 故答案为：． 41．（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 【答案】(1) 解：例子，； 特征：两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10； 规律：十位数字乘以比它大1的数作为积的前两位，两个个位数字相乘的积作为积的后两位． (2) 解：设这两个两位数分别为和（为十位数字，），则． 证明如下： ． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，总结特殊两位数乘积的规律，列代数式，整式的乘法等内容，解题的关键是善于寻找规律并掌握整式的乘法法则． （1）根据给出的乘式，发现两因数的规律，并寻找两因数和乘积的关系即可； （2）列代数式，利用多项式乘多项式的运算法则进行整理即可． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 题型15 单项式规律题（共3小题） 43．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律题，由所给的单项式可得，系数是，次数为奇数，则可求第个单项式为：．根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 【详解】解：由所给的单项式可得，系数为， 则第n个单项式的系数为， 由所给的单项式可得，次数为， 则第n个单项式的次数为， 第个单项式为：， 故选：D． 44．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是_______．第n个代数式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，单项式的系数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：， 单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：①，②． 45．（24-25七年级上·北京·期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为__，第n个代数式为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、单项式规律题，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 所给代数式的系数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的系数为； 所给代数式的次数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的次数为， 所以第个代数式可表示为：． 当时， 第个代数式为． 故答案为：，． 题型16 多项式系数、指数中字母求值（共3小题） 46．（25-26七年级上·广西贵港·期中）多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据五次三项式的定义，最高次数为5且有三项，需确保各项系数非零． 【详解】解：∵多项式是五次三项式， ∴第一项次数为， 即， 解得． 当时，第二项系数，多项式为，只有两项，不符合； 当时，第二项系数，多项式为，是五次三项式； ∴． 故选：A． 47．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的七次五项式， ∴， 即， 故该多项式为， ∴该多项式的三次项是． 48．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 题型17 整式加减中的化简求值问题（共3小题） 49．（25-26七年级上·云南丽江·期末）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)；10 (2)； 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ＝10； （2）解：原式 ； 当时， 原式 ． 50．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题主要考查新定义下的运算，规律探索，整式加减运算，去括号，合并同类项，理解题目中的运算法则是解题关键． （1）根据题目中的式子即可得到的结果； （2）根据题目中的式子即可得到的结果； （3）根据（2）中的结果化简，再将a、b的值代入计算． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ， 当时，原式． 51．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个正方体展开后的平面示意图，相对的面上的数相等．已知，求M的值． 【答案】16 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，整式加减中化简求值，先根据相对面的确定方法：相对面必定隔一个小正方形，确定相对面，得到的值，根据整式的加减运算法则，进行化简，再代值计算出M的值即可． 【详解】解：由图可知，． ． 将代入，得： 原式 ． 题型18 已知方程的解求参数（共3小题） 52．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知关于x的一元一次方程． (1)若是这个方程的解，求代数式的值； (2)若关于的方程与方程的解相同，则k的值为_______． 【答案】(1) 7 (2) 2023 【分析】本题考查一元一次方程的解，以及方程的同解问题； （1）利用方程解的定义，将代入方程得到m与n的关系，再代入代数式化简求值； （2）利用两个方程解相同的条件，先求方程的解，再代入方程求解k． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程与方程的解相同， ∴， ∴解得； 故答案为：2023． 53．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键． 根据“郡园方程”的定义，方程的解应为，同时题目给定解为 ，因此建立等式求解． 【详解】解：由“郡园方程”定义，解满足， ∴， ∵， 解得， ∵给定解为， ∴， 代入，得， 解得， 代入，得， 解得 ， 故， 故答案为：3． 54．（24-25七年级上·山东日照·期中）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型19 解复杂的一元一次方程（共3小题） 55．（25-26七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1，； （2）， 去括号， 移项， 合并同类项，， 系数化为1， 56．（24-25六年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．先把方程的小数系数化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】解：， 方程化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 57．（25-26六年级上·上海·单元复习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 先去括号，再去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：， 去括号得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型20 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 58．（25-26七年级下·重庆垫江·期中）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 【答案】 【分析】先解关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示x，再根据x是非负整数、m为整数，确定所有符合条件的m的值，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【详解】解： 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵原方程有解， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数， ∴，且x为整数， 当时，把代入原方程得，此时等式不成立，故， 为正整数， ∴是负整数， ∵且是整数， ∴为负整数，且是的约数， 的可能取值为， ∴m的值是或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为． 59．（25-26七年级上·北京海淀·期中）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 【答案】(1)，m为任意实数 (2) (3) 【分析】本题主要考查含参数的方程解的讨论，解题的关键是将方程化为形如的形式，即，然后对系数（即）是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． （1）先化简得，再根据方程只有一个解，列式求解即可； （2）根据方程无解，列式求解即可； （3）根据方程有无数个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：由，得 ， ∵方程只有一个解， ∴， 即，此时m可取任意实数， ∴当时，m为任意实数，方程只有一个解，即． （2）解：∵方程无解， ∴且， 解得． ∴当时，方程无解． （3）解：∵方程有无数个解 ∴且， 解得， ∴当时，方程有无数个解． 60．（25-26七年级上·全国·期中）关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值． 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴． ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）． 15的约数为． 令，则． 代入值求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）． ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9． 其和为． 故选：D． 题型21 一元一次方程解的关系（共3小题） 61．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】0 【分析】本题考查换元法解方程，将第二个方程转化为，进而得到方程的解满足，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴方程的解，满足， ∴； 故答案为：0． 62．（25-26七年级上·全国·期中）我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）解方程，再将求出的解代入方程即可求出； （2）解关于的方程，再将求出的解代入方程即可求出． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 63．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 题型22 绝对值方程（共3小题） 64．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 65．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了化简绝对值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值得，，结合，进一步即可作答． （2）根据，得出，再结合，得，，则的值为或，即可作答． 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，或，， 或． （2）解：， ， ，， ，， ∴，或，， 或． 66．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 题型23 配套问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 【答案】应安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－配套问题． 设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，则每天生产甲种零件个，乙种零件个，根据甲、乙两种零件按配套列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件， ∵每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵甲、乙两种零件按配套， ∴， 解得：， 即安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 68．（25-26九年级上·北京·期中）实验室需要购买三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为_____元； （2）一次性购买所需盒子总费用最少为______元． 【答案】 59 56 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值． （1）设购买B型号盒子个，列方程求出，进而根据单价计算即可． （2）设购买A、B、C盒子个数分别为、、，分情况求出总费用的代数式，根据题意得到，则时，总费用为，时，总费用为，可知最小时总费用最小，分别求出最小值，进而比较即可． 【详解】解：（1）设购买B型号盒子个， ∴， 即， 解得． 总费用为（元）． 故答案为：； （2）设购买A、B、C盒子个数分别为、、， 若，总费用为； 若，总费用为； ∵现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个， ∴即， 则时，总费用为 ； 则最小时总费用最小， 当，时，，不合题意； 当，时，，总费用为元， 当，时，，不合题意； 若时，总费用为 ， 则最小时总费用最小， 当，时，，总费用为元， 综上所述，最小费用为56元． 故答案为：56． 69．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 题型24 销售问题（共3小题） 70．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【分析】（1）种商品的利润率用“利润率”直接计算，将上述公式变形后，可得“”，代入公式即可求解种商品每件进价． （2）可以设购进种商品件，则购进种商品件，由于总进价是元，根据等量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 71．（25-26七年级上·四川泸州·期末）纳溪区某学校为举办2021年秋学期末表彰大会，派李老师到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个12元，请认真阅读结账时老板与李老师的对话图片，解决下面两个问题： (1)求李老师原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共40支作为补充奖品，其中钢笔标价每支10元，签字笔标价每支8元．经过沟通，这次老板给七五折优惠，合计276元．问李老师购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】(1)李老师原计划购买文具袋11个 (2)李老师购买了钢笔24支和签字笔16支 【分析】（1）设李老师原计划购买文具袋x个，根据“再多买一个，就可以全部打八折，所付金额比现在还省16.8元”，即可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可求解； （2）设李老师购买了钢笔y支，则购买了签字笔支，根据题意列出一元一次方程，解出方程即可解答． 【详解】（1）解：设李老师原计划购买文具袋x个，根据题意得， ， 解得：， ∴李老师原计划购买文具袋11个； （2）解：设李老师购买了钢笔y支，则购买了签字笔支，根据题意得， ， 解得：， 则， ∴李老师购买了钢笔24支和签字笔16支． 72．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【答案】(1)40； (2)购进A种商品40件 (3)690元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，求出的值； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品40件． （3）解：设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：； ,舍去， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 题型25 方案选择问题（共3小题） 73．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 74．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 75．（25-26七年级上·北京丰台·期末）列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 【答案】王老师购买奖品数量为25本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据两次购买的费用与一次性购买的费用相等列方程求解即可． 【详解】解：设王老师购买奖品数量为x本． 解得． 答：王老师购买奖品数量为25本． 题型26 几何问题（共3小题） 76．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 77．（2026·北京昌平·二模）端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 78．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 题型27 和差倍分问题（共3小题） 79．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 80．（25-26七年级上·北京·期末）在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 【答案】小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次，分析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4倍”，可列出方程，最后求解方程并求得小宇和小七的搜索量． 【详解】解：设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴小七的搜索量为：（次） 即小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次． 81．（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工共同搬运298箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱．已知徒手搬运工每小时搬运箱货物． (1)用含的代数式表示叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数． (2)若他们仅用半小时就把这298箱货物全部搬运完毕，求两人每小时各搬运货物的箱数． 【答案】(1) (2)徒手搬运工每小时搬运96箱货物，叉车驾驶员每小时搬运500箱货物． 【分析】题目主要考查列代数式及一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵徒手搬运工每小时搬运箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱， ∴叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 答：徒手搬运工每小时搬运96箱货物，叉车驾驶员每小时搬运500箱货物． 题型28 水电费问题（共3小题） 82．（25-26七年级上·北京东城·期中）为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 【答案】295度 【分析】设王奶奶家4月份用电x度，推导出，再根据题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设王奶奶家4月份用电x度， ∵， ∴， 依题意，得 ， ， ． 答：王奶奶家4月份用电295度． 83．（25-26七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【详解】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 84．（24-25七年级上·江苏南通·期末）请根据素材1、素材2与素材3，探索并完成任务1、任务2与任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量不超过14吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第二阶梯（用水量超过14吨，且不超过21吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第三阶梯（用水量超过21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 素材3 如，某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：设该用户12月份的污水处理费为元；任务2：当时，应缴水费元；当时，应缴水费元；当时，应缴水费元；任务3：该户居民5、6月份各用水14吨和28吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：求出用水量是14吨及21吨所需的自来水费，将其与元比较后，可得出该用户12月份的用水量超过14吨且不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，根据该用户12月份的自来水费为元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； 任务2：分，及三种情况，利用总价=单价数量，结合各阶段的单价，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则6月份的用水量为吨，分及两种情况考虑，根据该用户2024年5、6月份共缴水费元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：元，元，， 该用户12月份的用水量超过14吨且不超过21吨． 设该用户12月份的用水量为x吨， 根据题意得：， 解得：， 元 答：设该用户12月份的污水处理费为元； 任务2：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：， 吨； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该户居民5、6月份各用水14吨和28吨． 拔高·压轴破难 题型29 整式压轴问题（共3小题） 85．（24-25七年级上·全国·单元测试）若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 【答案】2或3 【分析】本题考查多项式的次数与项数，掌握多项式的次数与项数的定义是解题的关键． 根据五次三项式的定义，分别分析多项式各项的次数，确定关于的方程和不等式，进而求解的值． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①，解得，当时，，不符合题意， 将代入多项式中： 第一项：，次数为5； 第二项：，次数为2； 第三项：，次数为3． 故符合题意； ②，解得． 此时，符合题意． 综上所述，的值为2或3． 故答案为：2或3 86．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 【答案】3或5 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 87．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 题型30 一元一次方程的含参问题（共3小题） 88．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，用表示出方程的解是解题的关键． 先解方程得到，再根据解为非负整数，即且为整数，结合为正整数求解即可． 【详解】解：解方程 ， 得 ∵方程的解为非负整数，即 且为整数， 又∵为正整数， ∴或2， 当时，，不是整数， 当时，，是非负整数， ∴符合条件的正整数的值为2． 故答案为：2． 89．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值． 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 90．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 题型31 一元一次方程的实际应用压轴（共3小题） 91．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 92．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 93．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 题型32 一元一次方程的新定义问题（共3小题） 94．（25-26七年级上·北京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 【答案】(1)是 (2)2 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，解题的关键是理解“和谐方程”的定义以及一元一次方程的解是解题的关键． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出m的值即可； （3）先解出方程的解为，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为，代入方程，结合题意得到方程组，求出a与b的值，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得： ∵与3互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的方程是“和谐方程”， ∴，解得：． （3）解：解方程得：， ∵关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理得：， ∵无论m取任何有理数，上式都成立， ∴，，解得：，， ． 95．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据m的系数为0时符合题意，求解即可． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵两方程不是“2差解方程”， ∴， 整理得，， 当，即时，对于任意数m，都使得 ∴当时，对于任意数m，都使得方程与方程不是“2差解方程”， 故答案为：． 96．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（大题型题） 基础·固本强基 题型1 代数式 题型2 求代数式的值 题型3 用代数式表示数、图形的规律 题型4 单项式与多项式 题型5 整式 题型6 合并同类项 题型7 整式加减中化简求值 题型8 等式与方程 题型9 等式的基本性质 题型10 解一元一次方程 题型11 一元一次方程解的关系 题型12 一元一次方程的实际应用 提升·进阶突破 题型13 已知字母、式子的值，求代数式的值 题型14 数字、图形规律探究 题型15 单项式规律题 题型16 多项式系数、指数中字母求值 题型17 整式加减中的化简求值问题 题型18 已知方程的解求参数 题型19 解复杂的一元一次方程（重点） 题型20 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型21 一元一次方程解的关系（重点） 题型22 绝对值方程 题型23 配套问题（重点） 题型24 销售问题（重点） 题型25 方案选择问题（重点） 题型26 几何问题（重点） 题型27 和差倍分问题（重点） 题型28 水电费问题（重点） 拔高·压轴破难 题型29 整式压轴问题（难点） 题型30 一元一次方程的含参问题（难点） 题型31 一元一次方程的实际应用压轴（难点） 题型32 一元一次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 代数式（共3小题） 1．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级上·北京·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 题型2 求代数式的值（共3小题） 4．（25-26七年级上·北京东城·期中）若，求的值 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 6．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_______． 题型3 用代数式表示数、图形的规律（共3小题） 7．（25-26七年级上·北京大兴·期中）如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么__________． 题型4 单项式与多项式（共3小题） 10．（25-26七年级上·北京·期中）代数式，，，， 中，单项式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级上·北京昌平·期中）下列说法正确的是（   ） A．3.14不是单项式 B．表示负数 C．的系数是 D．是三次三项式 12．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 题型5 整式（共3小题） 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是______，属于多项式的是______，属于整式的是______． 14．（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 15．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式是二次多项式 D．在，，，，0中，整式有4个 题型6 合并同类项（共3小题） 16．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 17．（25-26七年级上·北京·期末）下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·吉林松原·期中）合并同类项：． 题型7 整式加减中化简求值（共3小题） 19．（专题06 整式加减中的化简求值（计算题专项训练）-2024-2025学年七年级数学上册计算题专项训练系列（湘教版2024））先化简，再求值：，其中 20．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）若是关于的一元一次方程. (1)求的值； (2)先化简，再求的值. 21．（25-26七年级上·山西大同·期末）先化简，再求值     其中 题型8 等式与方程（共3小题） 22．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 23．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 24．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 题型9 等式的基本性质（共3小题） 25．（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型10 解一元一次方程（共3小题） 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 29．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解方程： (1)； (2)． 30．（25-26七年级上·北京·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型11 一元一次方程解的关系（共3小题） 31．（24-25七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．（25-26七年级上·浙江·期中）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m的值为(　　) A． B． C． D． 题型12 一元一次方程的实际应用（共3小题） 34．（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 35．（25-26七年级上·北京·期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 36．（25-26七年级上·北京·期末）如图，初一年级组设计了一款三棱柱形状的文创产品包装盒，现在要用正方形印花纸为这些三棱柱盒子做贴面装饰，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，正方形印花纸有如图所示的两种裁剪方法（裁剪后的边角料不再利用）． 方法一：裁成6个侧面和7个底面；          方法二：裁成8个侧面． 现有25张正方形印花纸，全部用以上两种方法之一进行裁剪． (1)若其中x张用方法一裁剪，则能得到______个侧面和______个底面；剩余的印花纸用方法二裁剪能得到______个侧面； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能装饰多少个盒子？ 提升·进阶突破 题型13 已知字母、式子的值，求代数式的值（共3小题） 37．（25-26七年级上·北京延庆·期末）在下面的表格中给出了当取不同数值时，整式与分别所得的值，例如，当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，请写出的值． ___________，___________，___________，n=___________； (2)当时，；当时，；且直接写出的值． 38．（24-25七年级上·北京·期中）关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有________，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；     ②；     ③；     ④ (2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是________． 39．（25-26七年级下·北京·单元测试）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 题型14 数字、图形规律探究（共3小题） 40．（2024·湖南·二模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为___________．（用含的式子表示） 41．（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 42．（25-26七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 题型15 单项式规律题（共3小题） 43．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是_______．第n个代数式是_______． 45．（24-25七年级上·北京·期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为__，第n个代数式为__． 题型16 多项式系数、指数中字母求值（共3小题） 46．（25-26七年级上·广西贵港·期中）多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 47．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 48．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 题型17 整式加减中的化简求值问题（共3小题） 49．（25-26七年级上·云南丽江·期末）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 50．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 51．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个正方体展开后的平面示意图，相对的面上的数相等．已知，求M的值． 题型18 已知方程的解求参数（共3小题） 52．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知关于x的一元一次方程． (1)若是这个方程的解，求代数式的值； (2)若关于的方程与方程的解相同，则k的值为_______． 53．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则______． 54．（24-25七年级上·山东日照·期中）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 题型19 解复杂的一元一次方程（共3小题） 55．（25-26七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 56．（24-25六年级上·上海·期中）解方程：． 57．（25-26六年级上·上海·单元复习）解方程： 题型20 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 58．（25-26七年级下·重庆垫江·期中）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 59．（25-26七年级上·北京海淀·期中）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 60．（25-26七年级上·全国·期中）关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 题型21 一元一次方程解的关系（共3小题） 61．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 62．（25-26七年级上·全国·期中）我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 63．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 题型22 绝对值方程（共3小题） 64．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 65．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 66．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 题型23 配套问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 68．（25-26九年级上·北京·期中）实验室需要购买三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为_____元； （2）一次性购买所需盒子总费用最少为______元． 69．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 题型24 销售问题（共3小题） 70．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 71．（25-26七年级上·四川泸州·期末）纳溪区某学校为举办2021年秋学期末表彰大会，派李老师到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个12元，请认真阅读结账时老板与李老师的对话图片，解决下面两个问题： (1)求李老师原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共40支作为补充奖品，其中钢笔标价每支10元，签字笔标价每支8元．经过沟通，这次老板给七五折优惠，合计276元．问李老师购买了钢笔和签字笔各多少支？ 72．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 题型25 方案选择问题（共3小题） 73．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 74．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 75．（25-26七年级上·北京丰台·期末）列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 题型26 几何问题（共3小题） 76．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          77．（2026·北京昌平·二模）端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 78．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 题型27 和差倍分问题（共3小题） 79．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 80．（25-26七年级上·北京·期末）在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 81．（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工共同搬运298箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱．已知徒手搬运工每小时搬运箱货物． (1)用含的代数式表示叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数． (2)若他们仅用半小时就把这298箱货物全部搬运完毕，求两人每小时各搬运货物的箱数． 题型28 水电费问题（共3小题） 82．（25-26七年级上·北京东城·期中）为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 83．（25-26七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 84．（24-25七年级上·江苏南通·期末）请根据素材1、素材2与素材3，探索并完成任务1、任务2与任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量不超过14吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第二阶梯（用水量超过14吨，且不超过21吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第三阶梯（用水量超过21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 素材3 如，某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 拔高·压轴破难 题型29 整式压轴问题（共3小题） 85．（24-25七年级上·全国·单元测试）若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 86．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 87．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 题型30 一元一次方程的含参问题（共3小题） 88．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 89．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 90．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 题型31 一元一次方程的实际应用压轴（共3小题） 91．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 92．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 93．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 题型32 一元一次方程的新定义问题（共3小题） 94．（25-26七年级上·北京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 95．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是______． 96．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $