专题01 有理数28大题型84题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题01 有理数（28大题型84题） 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 科学记数法（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（26-27七年级上·北京通州·阶段检测）在，，0，，，，3这几个数中，负数：______；非正整数：______． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 3．（26-27七年级上·北京·阶段检测）小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（    ） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数集合{      } 负分数集合{      } 非正整数集合{      } 5．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）在中，分数有______个，非负整数有______个． 6．（24-25七年级上·青海西宁·阶段检测）把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 题型3 数轴（共3小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·北京大兴·期中）五个有理数在数轴上的对应点，，，，的位置如图所示，解答下列问题： (1)点表示的有理数是_____，表示有理数的点是_____； (2)这五个点中表示的数最大的点是_____． 9．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．绝对值等于本身的数只有正数 C．互为相反数的两个数的和为 D．任何有理数都有相反数 11．（25-26七年级上·重庆合川·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．4和 C．和 D．和 12．（25-26七年级上·北京·期中）已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且，则_______． 14．（25-26七年级上·北京·期中）计算：______． 15．（25-26七年级上·北京房山·期中）已知，求的值． 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）比较大小：2_____；_____（填“”或“”）． 17．（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）若，则、、用“”号连接起来是___________． 18．（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）计算： (1) (2) 20．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）计算： (1) (2) 21．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·北京西城·期中）下表是某校年龄都是13岁的5位同学的体重（单位：）情况，其中高于标准体重的千克数记为正数，低于标准体重的千克数记为负数．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 已知编号为5的同学的体重是． (1)①请计算：标准体重为______，的值为______； ②体重是标准体重的同学编号为______； (2)求这5位同学体重的平均值． 23．（25-26七年级上·北京·阶段检测）某一出租车一天下午以某市市中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市中心的方向为______________，离市中心出发点______________． (2)出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则汽车共耗油多少升？ (3)出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为元，超过2千米的部分每千米的价格为元，第八位乘客应付多少元打车费？ 24．（24-25七年级上·广东广州·期中）某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（25-26七年级上·北京·期中）计算：． 26．（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 27．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 题型10 科学记数法（共3小题） 【步骤】写成a×10n，1≤a＜10，数原数整数位数确定n，n等于整数位减 1 【易错】a范围不能超标；负数不要漏负号，n的正负容易判断错误。 28．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 29．（2022·北京·模拟预测）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 30．（2026·北京顺义·二模）我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 32．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 33．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 35．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 36．（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．    （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是________；若以B为原点，则________； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，则________． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在数轴上任取一条长度为2025的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 38．（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 39．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（24-25七年级上·北京·期中）若，则__________ ． 41．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，满足，则______． 42．（25-26七年级上·广东广州·期末）若A、B两点在数轴上的对应位置如图所示，a，b分别代表A、B两点所对应的数值，且． (1)求出a，b； (2)直接写出A、B两点之间的距离______，的中点C所对应的数值为______； (3)若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)代数式的最小值是_______； (4)写出所有符合条件的整数，使成立． 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 45．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______， 的几何意义是：______． ②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______， 若，那么______． (2)探索发现：求的最小值； (3)知识迁移：求的最大值． 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 47．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，这样做的依据是______； ②运算从第______步开始出现错误． (2)任务2：写出正确的解题过程． 48．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）按要求完成各题 (1)观察下面的运算过程，写出或补全每步运算的依据． 计算：． 解： （减去一个数，等于加上这个数的①______） （加法交换律） （②______） （同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加） ．（绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值③______的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） (2)计算：． 解法1：； 解法2：． 对比两种解法，思考并回答以下问题：解法1是先去括号，然后再相加减；解法1用到的运算律是④______；从运算顺序上比较，解法2是⑤______． 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）用合适的方法进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 51．（25-26七年级上·河北·单元复习）简便运算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）表示数的点在数轴上的位置如图所示，某某根据图示写出了5个不同的结论： ①四个数中，最小的是a；②；③；④；⑤． 请问他所写结论正确的是______． 53．（25-26七年级上·北京顺义·期末）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（25-26七年级上·北京通州·期中）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 56．（25-26七年级上·北京通州·期中）综合与探究： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作， 读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 【初步探究】 （1）直接写出结果： ______； ______． （2）关于除方，下列说法正确的是______． A． B．负数的2次商都等于 C． D．，其中为正整数 【探究应用】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：除方乘方幂的形式 ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ______； ______． ②算一算：． 57．（25-26七年级上·北京延庆·期中）【阅读学习】给出如下规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：___________；___________； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果写成幂的形式：___________，___________； 【探索应用】（3）计算：． 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（25-26七年级上·湖南永州·期末）对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 59．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 (1)应对折多少次？ (2)有多少条折痕？ (3)对折次时有多少条折痕？ 60．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值：　 　．(用含n的代数式表示) (3)延伸与拓展：将一根小木棒从中间断开，取走一半：剩下的那一半再从中间断开，又取走一半……以此类推，每次都取走一半，若进行n次操作后剩下的木棒长为1，则用含n的代数式表示木棒的原长为　 　． 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 62．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 63．（25-26七年级上·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 题型22 算24点（共3小题） 64．（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式：________． 65．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 66．（25-26七年级上·北京朝阳·阶段检测）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：．（上述运算与视为相同方法的运算） (1)现有四个有理数3，4，，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24.运算式如下： ①______________，②_______________； (2)另有四个有理数3，，7，，可通过运算式_______________使其结果等于24． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 68．（25-26七年级上·北京顺义·期末）点，，均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点是点关于点的“倍关联点”．例如：当点表示数1，点表示数2．点表示数3时，则称点是点关于点的“2倍关联点”． (1)数轴上点表示数，点表示数． ①若点表示数，且点是点关于点的“倍关联点”，则______； ②若点是点关于点的“2倍关联点”，在，，，0四个数中，点可以表示的数是_____； (2)数轴上点表示数，点表示数2，点表示数6． 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；按照此方式继续操作，得到点，，，， 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点，表示数；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；按照此方式继续操作，得到点，，，， ①点是点关于点的“_____倍关联点”； ②当为最小正整数时，是否存在正整数，使得点是点关于点的“倍关联点”．如果存在，直接写出点表示的数的值；如果不存在，说明理由． 69．（25-26七年级上·北京·期末）我们将数轴上点T表示的数记为，对于数轴上的点P和线段，给出如下定义：若线段上存在点Q，使得，则称点P是线段的关联点． 例如，如图，数轴上点M，N，P表示的数分别为，，，则．∵线段上存在点Q，，，∴点P是线段的关联点． (1)已知数轴上点A，B表示的数分别为，，点C是线段的关联点． ①在，0，5中，的值可以是______； ②的最大值为 ，最小值为______； (2)已知线段的长为a，线段的长为b，线段，的关联点分别为G，H． ①若的最大值与最小值的差为9，求a的值； ②若数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点，记的最大值为m，的最小值为n，，直接写出d的最大值．（用含a，b的代数式表示） 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数轴是一种可以将抽象的数字具体为数轴上的点的重要数学工具．如图，小明在纸上画下一条数轴(纸条近似看为数轴)，现剪下数轴上10个单位长度(从到3)，并把这条线段沿某处折叠，在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段，若这三条线段的长度比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______________． ②三段从左到右为：端点为， ③三段从左到右为：端点为， 剪断点在和，折痕为； 71．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ 72．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级上·北京东城·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 74．（25-26七年级上·北京·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要．在数轴上不重合的三点，若点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的等距关联点． (1)已知，点在数轴上，表示的数分别为，且点为点与点的等距关联点． ①若，则_____； ②若，且点与点之间的距离为8，则_____； ③a，b，c之间的数量关系为_____； (2)已知，点，在数轴上，且表示的数分别为，1，点从点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点从点以2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为； ①点与点之间的距离为_____．（用含的代数式表示） ②若点与点的等距关联点在线段上，则的最大值为_____． 75．（25-26七年级上·北京·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”． 例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”． (1)若，则的值为 ； (2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是 ； (3)若与1，的“关联距离”为5，的值是 ； (4)“关联距离”的最小值是 ，此时的值是 ． 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 77．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动． (1)求a，b，c的值； (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 78．（25-26七年级上·北京·阶段检测）定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______． （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上是否存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·北京·期末）2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 80．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 81．（25-26七年级上·重庆垫江·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（25-26七年级上·北京·阶段检测）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 83．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 84．（24-25七年级上·北京丰台·期末）点和点，点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点． (1)如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点表示的数分别为则点_______（填“”，“”或“”）为线段的“2倍关联点”； ②若原点为线段的“3倍关联点”，直接写出点所表示的数； (2)已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（28大题型84题） 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 科学记数法（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（26-27七年级上·北京通州·阶段检测）在，，0，，，，3这几个数中，负数：______；非正整数：______． 【答案】 ，， ， 【分析】根据负数和非正整数的定义，逐个判断所给数字即可得到结果． 【详解】解：负数是小于的数，逐个判断所给数： ，，，其余数都不小于， 负数为，，， 非正整数是和负整数，逐个判断所给数： 是整数且不属于正数，是负整数，其余数都不符合非正整数的要求， 非正整数为，． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类、正负数的定义和实际意义，正确理解正负数的定义和相反数的概念是解题关键． 依据“有理数包含正数、、负数”，“既不是正数也不是负数”，“正负数的实际应用”，逐一分析选项的正误． 【详解】解：∵既不是正数也不是负数，∴错误； ∵不是正数，∴错误； ∵的符号未知，不一定是负数，∴错误； ∵ 收入为正，则支出为负，∴支出元记作元正确，∴正确． 故选：． 3．（26-27七年级上·北京·阶段检测）小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（    ） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【答案】B 【分析】根据表示收入元，确定正数表示收入，则负数表示支出作答即可． 【详解】解：表示收入元， 收入记为正数，支出记为负数， 表示支出元． 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数集合{      } 负分数集合{      } 非正整数集合{      } 【答案】正有理数集合， 负分数集合， 非正整数集合 【详解】略 5．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）在中，分数有______个，非负整数有______个． 【答案】 【分析】明确分数和非负整数的定义，逐个对给出的数进行分类计数即可． 【详解】解：逐个判断给定的数：属于分数的数为，共个， 属于非负整数的数为，共个， 因此可得分数有个，非负整数有个． 6．（24-25七年级上·青海西宁·阶段检测）把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 【答案】 正有理数集合{．．．}； 负有理数集合{．．．}； 整数集合{．．．}； 正分数集合{．．．}． 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解： 题型3 数轴（共3小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 8．（25-26七年级上·北京大兴·期中）五个有理数在数轴上的对应点，，，，的位置如图所示，解答下列问题： (1)点表示的有理数是_____，表示有理数的点是_____； (2)这五个点中表示的数最大的点是_____． 【答案】(1)， (2)点C 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）根据数轴即可求解； （2）根据数轴上右边的数比左边大即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可得点表示的有理数是，表示有理数的点是， 故答案为：，； （2）解：由数轴可得这五个点中表示的数最大的点是点， 故答案为：点． 9．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 【分析】本题考查数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含的代数式表示点所表示的数即可 （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①， 到点和点距离相等的点是的中点 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为：， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：依题意，， 解得， ∴当时，，两点相遇， 此时 相遇点所表示的数为4． 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．绝对值等于本身的数只有正数 C．互为相反数的两个数的和为 D．任何有理数都有相反数 【答案】B 【分析】本题考查相反数和绝对值的性质，掌握相反数和绝对值的性质是解题关键． 依据“相反数的定义”、“绝对值的性质”，逐一分析选项的正误． 【详解】解：∵互为相反数的两个数绝对值相等，∴正确； ∵绝对值等于本身的数包括正数和，∴错误； ∵互为相反数的两个数和为，∴正确； ∵任何有理数都有相反数，∴正确． 故选：． 11．（25-26七年级上·重庆合川·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．4和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值，化简多重符号，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 分别化各选项中的数，再根据相反数的定义判断． 【详解】解：A、和2是互为相反数，符合题意； B、，那么和4不是互为相反数，不符合题意； C、和不是互为相反数，不符合题意； D、，，则和不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26七年级上·北京·期中）已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为相反数的意义，解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 与互为相反数，得，代入a和b的表达式后解方程求m． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 代入得： 通分后乘以 4： 简化： 展开： 合并同类项： ∴ ∴的值为， 故选：B． 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且，则_______． 【答案】7或 【分析】此题考查了绝对值的性质和有理数的加减运算，根据条件正确确定x和y的值是解题关键． 根据绝对值的意义，可得x和y的可能值，再由可知x与y异号，从而确定x和y的取值组合，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或． 又∵， ∴x与y异号． 当时，，则； 当时，，则． 故的值为7或． 故答案为：7或． 14．（25-26七年级上·北京·期中）计算：______． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的减法，求绝对值，利用有理数的减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，再结合绝对值的性质计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为 1． 15．（25-26七年级上·北京房山·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值和完全平方公式的非负性， 先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，再代入代数式求值即可. 【详解】解：因为， 所以， 解得， 所以代数式. 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）比较大小：2_____；_____（填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据正数大于负数得：； 因为，且， ∴． 17．（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）若，则、、用“”号连接起来是___________． 【答案】 【详解】解：，，， ∵， ∴． 18．（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减运算，根据新运算定义，表示a与b中的较大者，表示a与b中的较小者，通过比较有理数大小并计算得出结果． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；②． 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)11 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算． 根据去绝对值符号去掉绝对值，可得：，根据有理数的乘法法则可得：，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 首先根据有理数的乘法法则和除法法则把各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3)14 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·北京西城·期中）下表是某校年龄都是13岁的5位同学的体重（单位：）情况，其中高于标准体重的千克数记为正数，低于标准体重的千克数记为负数．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 已知编号为5的同学的体重是． (1)①请计算：标准体重为______，的值为______； ②体重是标准体重的同学编号为______； (2)求这5位同学体重的平均值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）①根据标准体重计算方式即可得出标准体重，用编号为5的同学的体重减去标准体重即可得出的值；②根据编号为4的同学的体重情况为即可得解； （2）先求出这5位同学体重情况的总和，再利用标准体重加上体重情况的总和的平均数即可得解． 【详解】（1）解：①由题意可得标准体重为， 的值为； ②∵编号为4的同学的体重情况为， ∴体重是标准体重的同学编号为； （2）解：， 故这5位同学体重的平均值为． 23．（25-26七年级上·北京·阶段检测）某一出租车一天下午以某市市中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市中心的方向为______________，离市中心出发点______________． (2)出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则汽车共耗油多少升？ (3)出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为元，超过2千米的部分每千米的价格为元，第八位乘客应付多少元打车费？ 【答案】(1)西方，9 (2) (3)元 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数混合运算的实际应用．熟练掌握有理数的计算是解题的关键． （1）计算即可求解； （2）计算即可求解； （3）由题意得：第八位乘客坐出租车向西走了；计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将最后名乘客送到目的地，出租车位于市中心的方向为西方，离市中心出发点； （2）解：（升）， ∴汽车共耗油升； （3）解：由题意得：第八位乘客坐出租车向西走了； ∴元； 即：第八位乘客应付元打车费； 24．（24-25七年级上·广东广州·期中）某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（25-26七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 26．（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，化简绝对值，再算乘法，最后再计算加减法． （2）先算乘方，再把除法转化乘法，利用乘法分配律计算乘法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，先算乘方，再算减法． 【详解】解：， 故选：B． 题型10 科学记数法（共3小题） 【步骤】写成a×10n，1≤a＜10，数原数整数位数确定n，n等于整数位减 1 【易错】a范围不能超标；负数不要漏负号，n的正负容易判断错误。 28．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 29．（2022·北京·模拟预测）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的一般形式为，满足，n为整数，根据科学记数法的规则确定a和n的值即可． 【详解】解：亿． 30．（2026·北京顺义·二模）我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 32．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【分析】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【详解】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)的最小值为，此时 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的几何应用． （1）求出，，，进而代入计算即可； （2）求出，分两种情况作答即可； （3）由题意可知取得最大值时取得最大值，则P在线段外且位于线段上离线段较远的端点，根据取最小值，求出，进而求出此时的最大值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点表示的数分别为和2， ∴， ∵点表示的数为3， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设点表示的数为x， 当P在A左侧时，，解得：； 当P在B右侧时，，解得：； ∴点表示的数为或； （3）解：点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为， ∵恒定， ∴取得最大值时取得最大值， ∵， ∴此时P在线段外且位于线段上离线段较远的端点． ∵取最小值， ∴当， 即， 解得：， 此时的最大值， ∴最小值． 35．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 【答案】(1)30，40 (2)15秒或5秒 (3)14秒或10秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 36．（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．    （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是________；若以B为原点，则________； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，则________． 【答案】 3 5 或17 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得点所表示的数；先根据数轴的性质可得点所表示的数，再计算有理数的加减法即可得的值； （2）分两种情况：①原点在点的左侧和②原点在点的右侧，再分别求出点所表示的数，然后计算有理数的加减法即可得的值． 【详解】解：（1）点到点的距离为3，点为原点，点在点的右侧， 数轴上点所表示的数是； 点到点的距离为3，点为原点，点在点的左侧， 数轴上点所表示的数是， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数是， ， 故答案为：3；5． （2）①如图，当原点在点的左侧时，    点到原点的距离为4， 点所表示的数为4， 点到点的距离为3，点在点的左侧， ∴点所表示的数为， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数为， ； ②如图，当原点在点的右侧时，    点到原点的距离为4， 点所表示的数为， 点到点的距离为3，点在点的左侧， ∴点所表示的数为， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数为， ， 故答案为：或17． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在数轴上任取一条长度为2025的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 【答案】B 【分析】要使线段覆盖的整数点最多，需让线段端点与整数点重合，结合端点不重合的情况比较得结果． 【详解】解：当线段两端点与数轴上的整数点重合时，设左端点对应整数为， 则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点个数为， 当线段两端点不与整数点重合时， 设左端点位于整数与之间，则右端点位于整数与之间， 此时覆盖的整数点为，个数为， ∵， ∴这条线段最多能覆盖个整数点． 38．（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 39．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 【答案】15或16 【分析】分小棒端点是否与整点重合两种情况，根据长度与盖住整点个数的关系计算即可． 【详解】解：∵长度为厘米（为正整数）的小棒， 端点不与整点重合时，盖住个整点， 端点与整点重合时，盖住个整点， ∴已知小棒盖住16个整点， 第一种情况：端点不与整点重合，可得，即小棒长度为16厘米， 第二种情况：端点与整点重合，可得，解得，即小棒长度为15厘米， 因此这根小棒的长度为15厘米或16厘米． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（24-25七年级上·北京·期中）若，则__________ ． 【答案】8 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由题意可得，，求解然后代入原式即可，解题的关键是掌握非负数的性质． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 41．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、求代数式的值，掌握几个非负数的和为零，则每个数均为0成为解题的关键． 先根据非负数的性质求解得到x、y的值，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 42．（25-26七年级上·广东广州·期末）若A、B两点在数轴上的对应位置如图所示，a，b分别代表A、B两点所对应的数值，且． (1)求出a，b； (2)直接写出A、B两点之间的距离______，的中点C所对应的数值为______； (3)若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数． 【答案】(1)，6 (2)22， (3)或 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离的求法是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性列式计算即可； （2）根据两点间距离的求法求出A、B两点之间的距离即可；根据中点的计算方法求出中点C所对应的数值即可； （3）设点P对应的数为x，则，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：． 的中点C所对应的数值为． 故答案为：22，； （3）解：设点P表示的数为x，则，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P表示的数是或． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)代数式的最小值是_______； (4)写出所有符合条件的整数，使成立． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)满足条件的整数为，，，． 【分析】（1）由题设给出的数轴上两点间的距离公式，把表示这两点的有理数代入，求出两点间的距离； （2）把表示的数与代入距离公式，写出这两点间的距离； （3）把与分别看成数轴上表示的点到表示、的点的距离，再由这两点间的距离确定距离之和的最小值； （4）把看成数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和，由它等于确定的取值范围，再从中找出整数． 【详解】（1）解：由题设，数轴上表示有理数、的两点之间的距离为． 把、代入，得 ． ∴数轴上表示和两点之间的距离是． （2）解：由题设的距离公式，数轴上表示与的两点之间的距离为 ． ∴数轴上表示和的两点之间的距离表示为． （3）解：∵， ∴表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 同理，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离． ∴表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和． 当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和恰好等于这两点间的距离， 即； 当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于这两点间的距离， 即． ∴当时，取最小值． ∴代数式的最小值是． （4）解：由（3）可知，表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和， 而表示与的两点之间的距离为． ∴当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和等于，等式成立； 当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于，等式不成立． ∴符合条件的满足． ∵为整数， ∴的值为、、、． ∴符合条件的整数为、、、． 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】 8 【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小． 【详解】解：原式可变形为， 根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和， ， 当时，该距离之和最小，最小值为． 45．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______， 的几何意义是：______． ②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______， 若，那么______． (2)探索发现：求的最小值； (3)知识迁移：求的最大值． 【答案】(1)①；数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离；②；0或4 (2)最小值为3 (3)最大值为 【分析】（1）①直接运用题干给出的两点距离公式计算距离，理解绝对值对应的几何含义；②根据距离公式列式，结合几何意义找出满足条件的数x． （2）先利用数轴几何意义判断最值，再代数验证即可解答． （3）借助数轴分析差值变化规律，确定取最大值的区间，再计算验证即可． 【详解】（1）① 根据题干两点距离公式，与两点距离： 对照的几何意义，表示数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． ② 数与的距离：； 的几何含义：数轴上到表示的点距离等于的点，该点在左侧个单位为，右侧个单位为， 所以或． （2）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到、两点的距离之和．根据两点之间线段最短，当在与之间（包含端点）时，距离和最小，最小值就是到的线段长． 代数验证： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故的最小值是． （3）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到的距离减去到的距离．当在右侧（包含）时，差值最大，最大值为到的线段长． 代数验证： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故的最大值是． 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用乘法分配律，提取公因数，先计算括号里加等于，再计算得到结果． （2）逆用乘法分配律，提取公因数，先算括号内等于，再用得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 47．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，这样做的依据是______； ②运算从第______步开始出现错误． (2)任务2：写出正确的解题过程． 【答案】(1)①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；②二 (2)正确解题过程如下： 原式 【分析】（1）①根据除法法则，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数，作答即可；②第二步计算中，运算符号出现错误； （2）先乘除，再进行加法运算即可． 【详解】（1）略 （2）略 48．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）按要求完成各题 (1)观察下面的运算过程，写出或补全每步运算的依据． 计算：． 解： （减去一个数，等于加上这个数的①______） （加法交换律） （②______） （同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加） ．（绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值③______的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） (2)计算：． 解法1：； 解法2：． 对比两种解法，思考并回答以下问题：解法1是先去括号，然后再相加减；解法1用到的运算律是④______；从运算顺序上比较，解法2是⑤______． 【答案】(1)相反数；加法结合律；较大 (2)乘法分配律；先计算括号里面的 【分析】（1）观察计算过程，即可得第一步把减法转变为了加法，依据是有理数减法法则，第三步运算把交换过来的计算式结合在一起，依据是有理数加法结合律，第五步运算依据是有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）观察解法1的计算过程发现，解法1的计算是先去括号时用到乘法分配律展开，解法2的计算是有括号的，先计算括号里面的． 【详解】（1）解：观察计算过程的第一步发现，此步运算把减法转变为了加法，依据是有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 观察计算过程的第三步发现，此步运算把交换过来的计算式结合在一起，依据是有理数加法结合律． 观察计算过程的第五步发现，此步运算依据是有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）解：观察解法1的计算过程发现，先去括号时用到乘法分配律展开． 观察计算过程发现，解法2的计算是先计算括号里面的． 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）用合适的方法进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数运算律． （1）将转化为，再利用除法法则计算即可求解； （2）逆用乘法分配律，简便运算计算即可求解； （3）除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 51．（25-26七年级上·河北·单元复习）简便运算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)2 (6) (7)15 【分析】本题考查有理数的运算： （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）利用乘法分配律进行计算即可； （6）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （7）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）原式 ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）表示数的点在数轴上的位置如图所示，某某根据图示写出了5个不同的结论： ①四个数中，最小的是a；②；③；④；⑤． 请问他所写结论正确的是______． 【答案】 ①③/③① 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围，结合有理数的大小比较、乘法法则、减法法则及绝对值的性质逐一判断各结论． 【详解】解：∵在数轴的最左端， ∴四个数中，最小的是，故①正确， ，故②错误， ，， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， ∵， ∴， ∵， ∴，，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①③． 53．（25-26七年级上·北京顺义·期末）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据点在数轴的位置判断式子的正负，相反数的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据与互为相反数，与互为相反数，再结合表示数，的点的位置，可分别表示出数，的点的位置，然后从左到右依次写下来，并用小于号连接即可． 【详解】解：如图， 由数轴可知， 故选：D． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：由数轴图可知， ，，， ∴①③④错误，②正确，正确结论只有1个． 故选：A． 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（25-26七年级上·北京通州·期中）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步； （2）解： ． 56．（25-26七年级上·北京通州·期中）综合与探究： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作， 读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 【初步探究】 （1）直接写出结果： ______； ______． （2）关于除方，下列说法正确的是______． A． B．负数的2次商都等于 C． D．，其中为正整数 【探究应用】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：除方乘方幂的形式 ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ______； ______． ②算一算：． 【答案】（1），；（2）A；（3）①，；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握除方的定义是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，并结合有理数的除法法则计算即可得解； （2）根据题干所给的运算方式列式计算，逐项分析即可得解； （3）①根据题干所给例子计算即可得解；②根据题干所给例子计算即可得解． 【详解】解：（1）；； （2），故A正确； 负数的2次商都等于，故B错误； ，，故，故C错误； 当为奇数时，，当为偶数时，，故D错误； 故说法正确的是A， 故选：A； （3）①， ； ② ． 57．（25-26七年级上·北京延庆·期中）【阅读学习】给出如下规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：___________；___________； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果写成幂的形式：___________，___________； 【探索应用】（3）计算：． 【答案】（1），2；（2），；（3）33 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，除方的定义，正确理解除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义求解即可； （2）仿照题干的方法求解即可； （3）先计算出和的结果，再计算乘方，接着计算乘除法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解：（1）； ； （2）； ； （3） ， ， ∴ ． 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（25-26七年级上·湖南永州·期末）对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． 59．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 (1)应对折多少次？ (2)有多少条折痕？ (3)对折次时有多少条折痕？ 【答案】(1)7 (2)127 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设对折n次，根据题意可得求解出即可解答； （2）根据对折1次的折痕数为1条，对折2次的折痕数为3条，对折3次的折痕数为7条，进行规律分析即可求解； （3）由（2）可得解． 【详解】（1）解：设对折n次，纸张厚度为． 由题意得 解得， 答：应对折次； （2）解：∵对折1次的折痕数为1条， 对折2次的折痕数为3条， 对折3次的折痕数为7条， 对折4次的折痕数为15条， ∴折痕数的规律为：， ∴当时，折痕数为． 答：有条折痕； （3）解：由（2）可得对折n次时，折痕数为． 60．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值：　 　．(用含n的代数式表示) (3)延伸与拓展：将一根小木棒从中间断开，取走一半：剩下的那一半再从中间断开，又取走一半……以此类推，每次都取走一半，若进行n次操作后剩下的木棒长为1，则用含n的代数式表示木棒的原长为　 　． 【答案】(1) 上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积法等知识． （1）根据题意填表即可． （2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值． （3）设木棒原长为，由题意得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】（1）解：略． （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：； （3）解：设木棒原长为，由题意得， 则 解得 故答案为： 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设输入的结果是， 由题意可得，， 解得 ∴输入的结果是， 故选：． 62．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 63．（25-26七年级上·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 题型22 算24点（共3小题） 64．（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意数字的正负，先确定四个数分别为：、、2、4，由于答案不唯一，列出一个算式即可． 【详解】红桃3代表、方块6代表、黑桃2代表2、梅花4代表4， 运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 65．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 66．（25-26七年级上·北京朝阳·阶段检测）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：．（上述运算与视为相同方法的运算） (1)现有四个有理数3，4，，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24.运算式如下： ①______________，②_______________； (2)另有四个有理数3，，7，，可通过运算式_______________使其结果等于24． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据游戏规则，在给定的数字之间，添加任意的加减乘除符号，使其结果等于24即可； （2）根据游戏规则，在给定的数字之间，添加任意的加减乘除符号，使其结果等于24即可． 【详解】（1）解：，， 运算式为，， 故答案为：，； （2）解：， 有理数3，，7，，可通过运算式使其结果等于24， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算—算“24”点，灵活运算运算法则和运算顺序是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 68．（25-26七年级上·北京顺义·期末）点，，均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点是点关于点的“倍关联点”．例如：当点表示数1，点表示数2．点表示数3时，则称点是点关于点的“2倍关联点”． (1)数轴上点表示数，点表示数． ①若点表示数，且点是点关于点的“倍关联点”，则______； ②若点是点关于点的“2倍关联点”，在，，，0四个数中，点可以表示的数是_____； (2)数轴上点表示数，点表示数2，点表示数6． 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；按照此方式继续操作，得到点，，，， 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点，表示数；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；按照此方式继续操作，得到点，，，， ①点是点关于点的“_____倍关联点”； ②当为最小正整数时，是否存在正整数，使得点是点关于点的“倍关联点”．如果存在，直接写出点表示的数的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；②， (2)①2；②存在，4或5或8 【分析】本题主要考查数字规律，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据操作步骤得到变化规律，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：①点表示数，点表示数，点表示数， ，， 又点是点关于点的“倍关联点”， ， 即， ； ②设点表示数为， 则，， 点是点关于点的“2倍关联点”， ， 即， 解得，或， 因此，在，，，0四个数中，点可以表示的数是，． （2）解：先分析点的变化规律： 点系列： ，且， ， ，且， ， ， 按照0，4，5，的顺序循环，周期为4； 点系列： ，，， ． ①，，点表示数6， ，， 由得，， 解得，． ②存在， 为最小正整数， ， 若点是点关于点的“倍关联点”，则， 当为奇数时，或， 解得或5（舍去非正整数以及偶数的值）， 时，，且， ， 此时； 当为偶数时，或， 解得，或6（已舍去非正整数以及奇数的值）， 此时，或， 综上，的值为4或5或8． 故存在，点表示的数的值为4或5或8． 69．（25-26七年级上·北京·期末）我们将数轴上点T表示的数记为，对于数轴上的点P和线段，给出如下定义：若线段上存在点Q，使得，则称点P是线段的关联点． 例如，如图，数轴上点M，N，P表示的数分别为，，，则．∵线段上存在点Q，，，∴点P是线段的关联点． (1)已知数轴上点A，B表示的数分别为，，点C是线段的关联点． ①在，0，5中，的值可以是______； ②的最大值为 ，最小值为______； (2)已知线段的长为a，线段的长为b，线段，的关联点分别为G，H． ①若的最大值与最小值的差为9，求a的值； ②若数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点，记的最大值为m，的最小值为n，，直接写出d的最大值．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，5；②9， (2)①，②d的最大值为 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意、掌握知识点的应用是解题的关键． （1）①根据关联点定义，逐个分析判断即可；②根据关联点定义，逐个分析判断即可； （2）①设，（当时，思路相同），得到，，推导出，，由的最大值与最小值的差为9，列方程求解即可； ②设，(当时，思路相同)，求出，要使d最大，需让尽可能大，尽可能小，继而推导出，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4，点B表示的数为， ∴线段的长度为． 根据关联点定义，存在点Q在线段AB上，使得． ①当时，， 解得或， ∵在线段上， ∴符合条件． 当时， 解得或， ∵5和均不在线段上， ∴不符合条件， 当时，， 解得或． ∵在线段AB上， ∴符合条件． 因此的值可以是，5． 故答案为：，5； ②∵要使且在线段上， ∴当（点A）时，， 解得或， 当（点B）时， 解得或， 因此的最大值为9，最小值为． 如图 （2）解：设，（当时，思路相同） 由题意，得 ， ①如图， ∵G是的关联点，且取得最大值， ∴， ∵G是的关联点，且取得最小值，记为， ∴， ∵的最大值与最小值的差为9， ∴， 即， 解得； ②设，(当时，思路相同)， ∵取得最大值，取得最小值 ∴，， ∴． 要使d最大，需让尽可能大，尽可能小，且数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点， ∴， 如图 ∴． 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数轴是一种可以将抽象的数字具体为数轴上的点的重要数学工具．如图，小明在纸上画下一条数轴(纸条近似看为数轴)，现剪下数轴上10个单位长度(从到3)，并把这条线段沿某处折叠，在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段，若这三条线段的长度比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______________． 【答案】或或 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：这条剪下的线段总长度为， ∵三段长度比为， ∴三段长度分别为，，， 按最短段2的位置分三种情况讨论： ①三段从左到右为 ：端点对应数轴上的数为 、、、， 折痕是剪断处对应两个重合点的中点，剪断位置在和处，折痕为； ②三段从左到右为：端点为， 剪断点在和，折痕为； ③三段从左到右为：端点为， 剪断点在和，折痕为； ∴折痕表示的数为或或． 71．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)①；②2；③，8 (2)①2；②6或8 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，折叠的特点，数轴上表示数，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的两个数到折痕点数的距离相等，数轴上两点间的距离是解题的关键， （1）①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反，计算即可； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，由此得到，得到，计算即可； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，点B表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可； （2）根据题意，得，根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得,列式计算即可； ②根据题意，得到点P表示的数为，结合，两点之间的距离为2个单位长度，得到，计算即可． 【详解】（1）解：①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反， ∴数对应的点与数对应的点重合， 故答案为：； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设折叠后与0重合的数为x， 由此得到， 解得， 故答案为：2； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，点B表示的数是， 根据折叠的性质，得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动， 设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得 ∴， 解得； ②根据题意，得到点P表示的数为，根据，两点之间的距离为2个单位长度， 得， 解得或． 72．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级上·北京东城·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)点对应的数的值是或 (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，线段的中点，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据及求解即可； （2）分两种情况讨论：点P在点左侧或点右侧，根据两点间的距离公式列方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点为线段的中点， ， ，即， 两点，对应的数分别为，， ， 故答案为：1； （2）解：由，若存在点到点、点的距离之和为，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． 在点左侧，，， 依题意，得， 解得：． 在点右侧，，， 依题意，得， 解得：． 综上所述，点对应的数的值是或； （3）解：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 因为点恰好是点，的“倍点”， 所以， 或， 解得：不合题意，舍去，或，或，或， 所以的值为或或． 74．（25-26七年级上·北京·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要．在数轴上不重合的三点，若点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的等距关联点． (1)已知，点在数轴上，表示的数分别为，且点为点与点的等距关联点． ①若，则_____； ②若，且点与点之间的距离为8，则_____； ③a，b，c之间的数量关系为_____； (2)已知，点，在数轴上，且表示的数分别为，1，点从点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点从点以2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为； ①点与点之间的距离为_____．（用含的代数式表示） ②若点与点的等距关联点在线段上，则的最大值为_____． 【答案】(1)①1；②或；③； (2)①② 4 【分析】（1）根据题意，， ①当，则，故或 解答即可； ②当，则，由点与点之间的距离为8，得到，解答即可； ③a，b，c之间的数量关系为_____； （2）①根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为；则点与点之间的距离为解答即可． ②设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为，则，，根据题意，得， 故，由点，在数轴上，且表示的数分别为，1，故，解答即可； 本题考查了新定义，绝对值，两点间的距离，解方程组，一元一次方程的动点问题，熟练掌握定义，数轴上的动点问题是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，， ①当，则， 故或 解得或不成立， 故， 故答案为：1； ②当，则，由点与点之间的距离为8，得到， 故或，且或， 故（舍去）或，且或， 故或， 解得或， 故答案为：或； ③解：根据题意，， 故或， 故（舍去）或， 故 a，b，c之间的数量关系为， 故答案为：． （2）①解：根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为； 则点与点之间的距离为， 故答案为：． ②设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为， 则，， 根据题意，得， 故， 由点，在数轴上，且表示的数分别为，1， 故， 故当时，有最大值，且最大值为4， 故答案为：4． 75．（25-26七年级上·北京·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”． 例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”． (1)若，则的值为 ； (2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是 ； (3)若与1，的“关联距离”为5，的值是 ； (4)“关联距离”的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)或 (2)0和1 (3)或2 (4)6； 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上的两点距离计算，正确理解题意是解题的关键． （1），表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则；，再讨论点A的位置，进而表示出，从而确定x的取值范围即可得到答案； （3）由（2）可得当点A在点B左侧时，，当点A在点B右侧时，，据此求出或的长即可得到答案； （4）根据（2）和绝对值的非负性可证明当时，和能同时取得最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3， ∴当数x在数的左侧时， ， 当数x在数的右侧时， ， ∴x的值为或； （2）解：∵与1，的“关联距离”为3， ∴； 设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则； ∴， 当点A在点B左侧时，则，不符合题意； 当点A在点B和点C之间时（包含点B和点C），则，符合题意； 当点A在点B右侧时，则，不符合题意； 综上所述，当点A在点B和点C之间时， ∴， ∴满足条件的的非负整数值是0和1； （3）解：由设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1， ∴ 由（2）可得当点A在点B左侧时，， ∴， ∴； 当点A在点B右侧时，， ∴， ∴； 综上所述，x的值为或2； （4）解：同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或－2；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的概念，熟练掌握数轴两点间距离的几何意义是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； 根据数轴上两点之间的距离公式用代数式表示； 根据绝对值的几何意义可得关于的方程，解方程求出的值即可； 根据绝对值的几何意义进行化简求值，注意分类讨论． 【详解】解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：， 或， 解得：或； 几何意义：数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时， 可得：， ， ， ； 当时， 可得：； 当时， 可得：， ， ； 当时，有最小值为． 77．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动． (1)求a，b，c的值； (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)能，点P表示的数为或0或3或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点P表示的数为2，进而可求得 ，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点P在点Q右侧，两点同向而行，②当点P在点Q左侧，两点同向而行，③当点P在点Q左侧，两点背向而行，④当点P在点Q右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，， 因为点P在之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍， 所以； 因为点C表示的数为8，点P在点C的左边， 所以点P表示的数为：， 所以； 因为点P以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点P的运动时间为：（秒）时，点P到点A距离是到点C距离的3倍； （3）解：能， 理由如下：点P从点B运动到点C需要（秒）， 而点Q从点A运动到点C需要（秒）， 点Q到达点C时，此时点P表示的数为2， 所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C，又从点C返回，因此可分为四种情况讨论： 点Q到达点C之前： ①点P在点Q右侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ②当点P在点Q左侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； 点Q从点C返回后： ③当点P在点Q左侧，两点背向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为； ④当点P在点Q右侧，两点背向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为 综上所述，点P表示的数为或0或3或 78．（25-26七年级上·北京·阶段检测）定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______． （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上是否存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）（答案不唯一）；（3）或 秒；（4）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键；注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离，两点所对应的数的差的绝对值； （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得，，再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点在点和点之间，②点在点的左侧讨论； 进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得，分类讨论，即可求解； 【详解】解：（1）表示的数为或， 故答案为：或； （2）由题意可得：，解得，， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点、的“幸福中心”， ∴点在点、之间， 即点表示的数可以是与之间的数， ∴点表示的数可以是， 故答案为：（答案不唯一）； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为， ①点Q在点B和点P之间时，则有：， 解得：， ②点在点的左侧时，则有， 解得：， 综上所述：当经过或 秒时，点Q是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得，当时，点Q表示的数为 ， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合， ∴点在点的右侧， ∴点表示的数是； 当，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合，则点在点的左侧， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数为或； 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·北京·期末）2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 80．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三： 所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 【分析】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键． 任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解； 任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解； 任务三：按六进制数的特征即可求解． 【详解】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：略 81．（25-26七年级上·重庆垫江·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)6， (2) (3)存在，即且或且或且． 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数乘方运算的法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法计算即可； （2）n进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满n进一，由此计算即可； （3）由题意，，即，m被3整除，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 则． （2）解：． （3）解：若存在m和n满足， 由题意可得：，，且m、n为不超过7的非负整数， ∵，，，，， ∴，整理得：， ∴，即m能被3整除， ∵m、n为不超过7的非负整数， ∴当时，；当时，；当时，． ∴存在这样的m、n．即且或且或且． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（25-26七年级上·北京·阶段检测）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数混合运算的应用，解绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第次跳到所表示的点即可；②点表示的数为，根据题意得出，蚂蚁乙跳跃次时，即跳到，蚂蚁甲跳到，然后根据点的位置分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 与的距离为：， 与的距离为：． 故答案为：；． （2）①解：由题意及跳跃规律可得， 蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，即跳到， 此时蚂蚁甲共跳跃了：（次）． 故答案为：． ②解：存在． 由题意及跳跃规律可得， 当蚂蚁乙跳跃次时，即跳到； 又， 此时蚂蚁甲跳到． 设点表示的数为，故分两种情况： 情况一：当点与蚂蚁甲同轴时， 由题意可得，， 此时方程无解； 情况二：当点与蚂蚁乙同轴时， 由题意可得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，，不符合，故舍去； 当时，即， 解得，， 综上，或． 答：存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍，点表示的数为或． 83．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)0或3 (3) 【分析】本题主要考查两点间的距离，一元一次方程的应用，注意分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据“倍分点”的定义进行判断即可； （2）根据“倍分点”的定义进行解答； （3）根据“倍分点”的定义，分两种情况列出关于的一元一次方程，解得的值即可； 【详解】（1）解：由题意的：， ， ， ， 点是点到点的倍分点．点是点到点的倍分点， 故答案为：； （2）解：设3倍分点为，则， 若在左侧，则，不成立； 若在之间，则有， ， ， ， 点为0， 若在点右侧，则有， ， ， 所以点为3， 综上所述，点到点的3倍分点表示的数是0或3； （3）解：当2倍分点为点且点在点左侧时，取得最小值， 此时 解得：， 当2倍分点为点且点在点右侧时，取得最大值， 此时 解得， 综合两种情况，的取值范围是． 84．（24-25七年级上·北京丰台·期末）点和点，点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点． (1)如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点表示的数分别为则点_______（填“”，“”或“”）为线段的“2倍关联点”； ②若原点为线段的“3倍关联点”，直接写出点所表示的数； (2)已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 【答案】(1)①；②或或或 (2)或时最小， 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，分别求出长；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）①根据点表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，分别求出，再利用“2倍关联点”的定义判断即可；②根据“3倍关联点”的定义即可写出点B的坐标； （2）当点运动的时间为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离可求出，，得，，得进而可求解． 【详解】（1）解：①，点在点右侧， 点所表示的数为， 点表示的数为， 对于点， 表示的数为， ， ， ，， ， 点为线段的“2倍关联点”； 对于点， ，， ，， ， 点不是线段的“2倍关联点”； 对于点， ，， ，， ， 点不是线段的“2倍关联点”； ②原点为线段的“3倍关联点”， ，， ， 当即时， ， 点所表示的数为， 当即时，， ， 点所表示的数为， 综上，点所表示的数为：或或或； （2）解：点运动的时间为， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 当或，即或时的值最小， 的最小值为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $