第27章反比例函数反比例函数 k 的几何意义精讲与配套练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学（人教版）上册第27章反比例函数 反比例函数k的几何意义精讲与配套练习 令结论一点两垂线：矩形面积为、，三角形面积为洲 Am,n y=k(k≠0) 结论与模型设点 是反比例函数x 图象上任意一点，过“分别向 x轴、y轴作垂线，垂足为B、C.则矩形ABOC的面积为k:连接OA,△AOB 与AA0C k 的面积均为2 更一般地，只要三角形的一条边落在坐标轴上、且该边上 A 的高为点”的横（或纵）坐标绝对值，面积就恒为2" ,与第三个顶点在坐标轴上的 位置无关 推导点Am,川在'x上，故m水，即k等于点A的横、纵坐标之积矩形 ABOC的两邻边长为m与m,面积为mm=mm=W△AOB以OB=m)为 底、AB=n为高，面积=mn=k:△AOC同理. 适用边界与易错辨析 (1)k的绝对值等于面积，不带符号：图象在第二、四象限时k<0,但矩形面积仍为 k,切忌写成k (2)已知三角形面积反求k时，若题目没有指明图象所在象限，则k有两个值( k=±2S),只答一个必扣分：若指明了象限，再由k的符号取舍 (③)只有当垂足落在坐标轴上、且所求图形能拆成上述基本图形时才能直接用结论：斜三 角形要先转化. 配套练习 BAC1y轴 题1如图，点A是反比例函数x图象上一点，AB1X轴于点B A V- 于点C.求矩形ABOC的面积， B k 题2如图，点A是反比例函数文的图象上一点， A AB⊥X BAC⊥y 轴于点 轴于点C若矩形ABOC的面积为8，且图象的一支位于第二象限，求k的值 题3（符号取舍）如图，点A是反比例函数'=x图象上一点，AB上x轴于点B V= ,连接OA.若△AOB的面积为3，求k的值. y k 题4（矩形工件下料）如图，某车间按反比例函数曲线)一x设计一块矩形工件：工 件的一边落在x轴上，一个顶点为原点O,与原点相对的顶点A恰好落在曲线上 已知矩形工件的面积为12平方分米，曲线位于第一象限，求k的值及点A的横、 纵坐标之积 0 结论二同一支上两点：S△AOB=S梯形ACDB 结论与模型设A、B是反比例函数”X同一支上的两点，分别过A、B向X轴 1 作垂线，垂足为C、D(C在D左侧)，连接OA、OB、AB.则△AOB的面积等 于梯形ACDB的面积.这个结论的本质是“等底等高、割补等积”：两块图形各自减 去（或加上）同一个公共三角形后仍然相等. B 推导由结论一，S△Aoc=S△BoD=k.设AB与y轴无关、只与两垂线围成的区域相 关，记AC与OB的交点为E,则S△AOc-SAOEC=S△BOD-SAOEC,即 SAAOE=S四边形ECDB.两边同加S△AEB,得S△AOB=S梯形ACDB 适用边界与易错辨析 (1)两点必须在同一支上，且向同一条坐标轴作垂线，梯形才成立：若一点向x轴、另一 点向y轴作垂线，需重新割补 (②)结论是「面积相等」而不是「都等于k小，△AOB的面积一般不等于k,这是最常 见的套错公式 (3)求△AOB 面积的另-条徒径是了-一七 可用于检验， 配套练习 题1如图，A1,4、B4,1是反比例函数图象上的两点，AC1x轴于点C, BD⊥X轴于点D,连接OA、OB、AB.求证：S△AOB=S梯形ACDB,并求出该面积. 题2如图，A1,4、B4,1是反比例函数图象上的两点，连接OA、OB.求 △AOB的面积 题3（误套基本公式）如图，A1,6、B3,2是反比例函数图象上的两点，AC⊥x 轴于C,BD⊥x轴于D,连接OA、OB.某同学直接用SAAOB=k,算得面积为3. 请判断该解法是否正确，并求△AOB的真实面积， 题4（两块试验田)如图，农科所把两块试验田的边界设计成反比例函数的曲线， 田块的顶点分别为A1,4、B4,1.计划在△AOB区域种小麦、在梯形ACDB区域 种玉米(AC、BD均垂直于x轴)问两块地的面积是否相同？若相同，求出面积. y B ”结论三正比例函数与双曲线的两个交点：面积是2k) 结论与模型直线Vxa0与双曲线'交于A、B两点，则A、B关于 原点对称，OA=OB若分别过A、B向x轴作垂线，垂足为A'、B',则梯形 AA'B'B的面积为2k:若只过一个交点作一条垂线，与另一交点及垂足围成的三角 形面积等于k. M B 推导由中心对称，B-m,-n与Am,n关于原点对称，且mn=k.梯形AA'B'B 中，AA'=n以、BB'=n,高A'B'=2|m,s=ln+nl×2m=2mn=2k.若只过A 作垂线得垂足M,连BM,则S△ABM=SAAOM+S△BOM=|k+k=k. 适用边界与易错辨析 (1)必须是“过原点的直线”与双曲线相交，两个交点才关于原点对称：若直线不过原 点，OA≠OB,结论失效 (2)k<0时面积仍为正的2k,不要写成负数 (3)三角形△AOB三点共线(A、O、B在同一直线上)，不构成三角形，切勿去求 S△AOB: 配套练习 6 题1如图，直线y=2x 与双曲线X交于A.B两点，过A作AMLX 轴于 M,连接BM求△ABM的面积. 8 题2如图，直线y=X与双曲线'X交于AB两点，过A、B分别作X轴的 V= 垂线，垂足为A'、B'求梯形AA'B'B的面积 6 如图，直线y=X与双曲线'=一x交于A、B J= 题3（负号陷阱) 两点，过A、 分别作x轴的垂线，垂足为A'、B'某同学由k=-6直接写出梯形面积为-12.请判 断并求正确面积. 题4（支架对称布置) 如图，某光伏电站的两组支架沿直线y=2x对称布置，与反 12 比例函数)的曲线交于A、B两点，两组支架分别竖直落到地面X轴)上的 y= A'、B'处.求两组支架与地面围成的梯形AA'B'B的占地面积. B A 义结论四两条同号双曲线：面积取“差” y=y= 结论与模型设A、B分别在'：、 上k同号，且,丙 x上(、 点横坐标相同（即AB上x轴）则△AOB的面积为k,-k,；以O、A、B及 A的垂足围成的四边形面积为k,一k2;两个矩形的面积差同样为k一k,. y y C 推导由结论一，S△Aoc=k1(C为A在X轴上的垂足)，S△Boc=k2(B在OC 上方、同侧).因为A、B在OC同侧，△AOB由△AOC去掉△BOC得到， SAAo=kk,=k-k.四边形面积同理为两矩形面积之差k-k】 适用边界与易错辨析 ()两曲线必须同号，面积才取差；异号时取和（见结论五），符号判错全题皆错， (2)计算时用绝对值相减，不能直接写k1一k2,否则第二、三象限会出现负面积 (3)若两点横坐标不同、连线不垂直于x轴，则不能直接用「差」，需先作铅垂线割补 配套练习 8 A2,4y= 2,L元子 ,AB⊥X C OA 题1如图， 在x上， x上， 轴于，连接“、 OB.求△AOB的面积， B 题2如图，A2,4y=8 在6， 1,2y=2 在x上过A、B 分别向两坐标轴作垂 线，围成矩形OAMN与矩形OBPQ.求两矩形的面积之差 y B 0 题3（负号与象限） 如图，A-2,4在少=8 在x的图象B2,在的图 上，AB1x轴于点C,连接OA、OB.某同学算得S△AOs=-8+2=-3.请指出错误并 求正确面积 B 12 y=3 题4（双层玻璃采光带)如图，某建筑的采光带由两条同号双曲线x与x 围成，A3,4)在外侧曲线上，B3,1在内侧曲线上，AB垂直于地面(x轴).求采 光带截面△AOB的面积 B 冬结论五两条异号双曲线：面积取“和” AB‖x 轴（两点纵 坐标相同)分别过A、B向x轴作垂线，垂足为M、N,则平行四边形（矩形） ABMN的面积为k1+k2:若只连OA、OB,则△AOB的面积为k+k2 B M 推导由结论一，SAAOM=k1,S△BON=k2.因为A、B位于y轴两侧，四边形 ABMN可分割为△AOM、△BON与矩形OMHN(H为AB与y轴交点)三 块，割补后总面积等于两三角形面积之和的两倍：SABMN=2(k1+k=k,+k】 适用边界与易错辨析 (1)异号时取和、同号时取差，判断依据是两点是否在y轴同侧：画图确认后再动笔， (②)AB必须平行于x轴（纵坐标相同）才能构成上述平行四边形；若平行于y轴，则 改用同号模型的“差”. (3)k的符号只影响象限，不进入面积运算，一律取绝对值」 配套练习 6 题1如图， A23在y=x上，在r 上，AB轴，过A、B分别作 的垂线，垂足为M、N求四边形ABMN的面积. N M 题2如图， A2,4y=8 在x上， ABX 铺，过AB分别 作x轴的垂线，垂足为M、N求四边形ABMN的面积. N M 题3（和差混淆）如图， A2,3到y=6 在x上， LAB‖x x上， 轴.某 同学按“同号取差”，算得面积为6-2=4请判断并求正确面积 B 题4（风力机叶轮扫掠面）如图，某小型风力机的叶轮扫掠面在图纸上近似为两条异 9 y=- y=-3 之间的区域A3,3到 在外侧曲线、 B-1,3 在内侧曲线上， AB 号双曲线x与 水平，两端竖直投影到地面(x轴)于M、N求四边形ABMN的面积 B 冬结论六反比例函数与一次函数：S=×水平宽×铅垂高 结论与模型直线Vy=x+b与双曲线)交于A、B两点，与轴交于点C、 与y轴交于点D.则△AOB的面积可以用两种方式求：以x轴分割， S=OC·yA-yB:以y轴分割，S=ODXa-x这就是“水平宽×铅垂高”的割 补法 推导连接OA、OB,△AOB被x轴分成△AOC与△BOC(A、B在x轴异 侧时相加，同侧时相减，公式中取绝对值即可统一).两三角形以OC为公共底，高 分别为ya人、y,S=OC·ya±OC·y=OC·ya-y..同理以y轴分割得 S=OD·XA-xB 适用边界与易错辨析 (I)两个交点必须真实存在，即联立后的一元二次方程判别式大于零：直线与双曲线只有 一个公共点时不能套用. (2)VA~y是两交点纵坐标之差的绝对值，不是两者到x轴距离之和，取错会重复计 算 (3)用OC作底时高是纵坐标之差，用OD作底时高是横坐标之差，两者不可混用， 配套练习 题1如图，直线y=-X+5 与双曲线x交于 A1,4B4,1 ,直线与×轴交于 点C.求△AOB的面积. A 题2如图，直线y=X+3 与双曲线y=交于A,4B4,与刀动交于为 D.求△AOB的面积. 题3（交点个数)如图，直线y=-x+4与双曲线y=只有一个公共点A2,2.某同 学仍用「水平宽×铅垂高」求△AOB的面积，得4.请指出问题所在」 A B 0 题4（测距三角区） 如图，某测距仪的两个反射点A2,3、B6,1位于反比例函数 y=6 的曲线上，仪器安放在原点O,两反射点所在直线与X轴交于点C求△AOB 的监测覆盖面积。 y A B 0 结论七中点模型：S△Aoc=k,矩形为2k 结论与模型《①)设A、B都在)的同一支上，点C在”轴上，日B是线 段AC的中点，则△A0C 的面积为2 △AOB与△BOC 的面积都是2 k (2)若矩形ABCD 的一个顶点A与对角线交点卫都落在》：上，则该矩形的面 E y三 积为2k. 0 推导(1)设Bm,n,由中点公式C2m-xA,2n-ya且C在x轴上得ya=2n k m ,又A在曲线上得x4=2n2故 A C,0 OC=m A A到X轴距离为2n, SAAOC=·2n=mn=|k.(2)设Am,n、E2m,n同在一支上，则(2mn=k且 m=k矛盾，故应设E与A横纵坐标互换，由k相等得矩形边长关系，化简后矩 形面积为2k 适用边界与易错辨析 (1)“B是AC中点”这一条件必须用足，否则△AOC的面积随位置变化，不是定值. (②)k与k相差一倍，注意所求三角形是哪一块 (③)矩形模型中A与E必须在同一支上，若分居两支则结论不成立. 配套练习 6 题1如图， A2,3B4,1.5)y= 都在x的图象上，点 C6,0在轴上，且B是 AC的中点.求△AOC的面积. 题2如图，矩形ABCD的顶点A2,4)与对角线交点E4,2都在反比例函数 y=k ABCD x的图象上，求矩形 的面积. y y B E D C十 据条件用是知，A23.4因金.C60在之结上花闲学只 在x上， 由A在曲线上就断言S△Aoc=k=3.请指出错误并求正确面积 题4（三角形绿地设计)如图，某社区设计一块三角形绿地AOC,顶点A,2与 3 B3,1 C,0 中点 都在反比例函数x的曲线上，顶点 在道路（轴）上求这块 绿地的面积 y B 九年级数学（人教版）上册第27章反比例函数 反比例函数 的几何意义精讲与配套练习 · 结论一　一点两垂线：矩形面积为 ，三角形面积为 结论与模型　设点 是反比例函数图象上任意一点，过 分别向 轴、 轴作垂线，垂足为 、.则矩形 的面积为 ；连接 ， 与 的面积均为.更一般地，只要三角形的一条边落在坐标轴上、且该边上的高为点 的横（或纵）坐标绝对值，面积就恒为，与第三个顶点在坐标轴上的位置无关. 推导　点 在上，故 ，即 等于点 的横、纵坐标之积.矩形 的两邻边长为 与 ，面积为 . 以 为底、 为高，面积 ； 同理. 适用边界与易错辨析　 (1) 的绝对值等于面积，不带符号：图象在第二、四象限时 ，但矩形面积仍为 ，切忌写成 . (2) 已知三角形面积反求 时，若题目没有指明图象所在象限，则 有两个值（），只答一个必扣分；若指明了象限，再由 的符号取舍. (3) 只有当垂足落在坐标轴上、且所求图形能拆成上述基本图形时才能直接用结论；斜三角形要先转化. 配套练习 题1　如图，点 是反比例函数 图象上一点， 轴于点 ， 轴于点 .求矩形 的面积. 解：设点 的坐标为 . 因为点 在反比例函数的图象上， 所以 . 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以 ，. 所以矩形 的面积为： . 答：矩形 的面积为 6. 题2　如图，点 是反比例函数 的图象上一点， 轴于点 ， 轴于点 .若矩形 的面积为 8，且图象的一支位于第二象限，求 的值. 解：设点 的坐标为 . 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以矩形 的长和宽分别为 和 . 所以矩形 的面积为： . 因为点 在反比例函数的图象上，所以 . 因此 . 已知矩形 的面积为 8， 所以 ，解得 或 . 又因为反比例函数图象的一支位于第二象限，在第二象限内横坐标与纵坐标异号， 所以 . 综上所述，. 答： 的值为 . 题3（符号取舍）　如图，点 是反比例函数图象上一点， 轴于点 ，连接 .若 的面积为 3，求 的值. 解：设点 的坐标为 . 因为点 在反比例函数 的图象上，所以 . 因为 轴于点 ，所以垂足 的坐标为 . 在 中，底边 ，高 . 所以 的面积为： . 已知 ，代入得： ，解得 . 所以 或 . 因为题干并未限制点 所在的象限， 当 时，点 可在第一或第三象限； 当 时，点 可在第二或第四象限，均符合题意. 答： 的值为 6 或 . 题4（矩形工件下料）　如图，某车间按反比例函数曲线 设计一块矩形工件：工件的一边落在 轴上，一个顶点为原点 ，与原点相对的顶点 恰好落在曲线上.已知矩形工件的面积为 12 平方分米，曲线位于第一象限，求 的值及点 的横、纵坐标之积. 解：设点 的坐标为 . 因为矩形工件的一边在 轴上，一边在 轴上，顶点 与原点 相对， 所以矩形的长和宽分别为点 的横坐标绝对值与纵坐标绝对值. 所以矩形工件的面积为. 已知矩形工件的面积为 12 平方分米，曲线位于第一象限， 所以 ，，. 因为点 在反比例函数的曲线上，所以 . 所以 . 点 的横坐标与纵坐标之积即为. 答： 的值为 12，点 的横、纵坐标之积为 12. 结论二　同一支上两点： 结论与模型　设 、 是反比例函数同一支上的两点，分别过 、 向 轴作垂线，垂足为 、（ 在 左侧），连接 、、.则 的面积等于梯形 的面积.这个结论的本质是“等底等高、割补等积”：两块图形各自减去（或加上）同一个公共三角形后仍然相等. 推导　由结论一，.设 与 轴无关、只与两垂线围成的区域相关，记 与 的交点为 ，则 ，即 . 两边同加 ，得 . 适用边界与易错辨析　 (1) 两点必须在同一支上，且向同一条坐标轴作垂线，梯形才成立；若一点向 轴、另一点向 轴作垂线，需重新割补. (2) 结论是「面积相等」而不是「都等于 」， 的面积一般不等于，这是最常见的套错公式. (3) 求 面积的另一条捷径是，可用于检验. 配套练习 题1　如图，、 是反比例函数图象上的两点， 轴于点 ， 轴于点 ，连接 、、.求证：，并求出该面积. 解：（1）求证 ： 因为点 、 均在反比例函数的图象上， 且 轴于点 ， 轴于点 ， 由 的几何意义可知： ，. 所以 . 设线段 与线段 相交于点 . 等式两边同时减去公共三角形 的面积，得： ， 即 . 等式两边再同时加上公共三角形 的面积，得： ， 所以 ，得证. （2）计算该面积： 在直角梯形 中，上底 ，下底 ，高 . 所以 . 所以 . 答：梯形与三角形的面积均为 7.5. 题2　如图，、 是反比例函数 图象上的两点，连接 、.求 的面积. 解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 . 因为点 、 均在反比例函数的图象上， 由割补法可知， 的面积等于梯形 的面积. 在直角梯形 中， 两平行底边分别为 ，， 高为 . 所以 . 答： 的面积为 7.5. 题3（误套基本公式）　如图，、 是反比例函数图象上的两点， 轴于 ， 轴于 ，连接 、.某同学直接用 ，算得面积为 3.请判断该解法是否正确，并求 的真实面积. 解：【解法错误】理由如下：公式 仅适用于“由图象上一点向坐标轴作垂线，垂线段、坐标轴与原点连线构成的直角三角形”本题中，线段 的两个端点都在函数图象上， 的一边 并不与坐标轴重合，不能直接套用该公式. 【正确解答】： 因为 在 上，且 轴于 ，所以 ； 因为 在上，且 轴于 ，所以 ； 梯形的高为 . 由割补法可知，. 在直角梯形 中： . 所以 的真实面积为 8. 答：该解法错误， 的真实面积为 8. 题4（两块试验田）　如图，农科所把两块试验田的边界设计成反比例函数的曲线，田块的顶点分别为 、.计划在 区域种小麦、在梯形 区域种玉米（、 均垂直于 轴）.问两块地的面积是否相同？若相同，求出面积. 解：两块试验田的面积相同. 理由如下： 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 . 由反比例函数面积性质， ，. 所以 . 设 与 交于点 ，由等式性质： ，即 . 两边同加上 ，得： . 因此种植小麦的区域与种植玉米的区域面积完全相同. 计算其面积： （平方单位）. 答：两块试验田的面积相同，面积均为 7.5 平方单位. · 结论三　正比例函数与双曲线的两个交点：面积是 结论与模型　直线 （）与双曲线 交于 、 两点，则 、 关于原点对称，.若分别过 、 向 轴作垂线，垂足为 、，则梯形 的面积为 ；若只过一个交点作一条垂线，与另一交点及垂足围成的三角形面积等于 . 推导　由中心对称， 与 关于原点对称，且 . 梯形 中，、，高 ， . 若只过 作垂线得垂足 ，连 ，则 . 适用边界与易错辨析　 (1) 必须是“过原点的直线”与双曲线相交，两个交点才关于原点对称；若直线不过原点，，结论失效. (2) 时面积仍为正的 ，不要写成负数. (3) 三角形 三点共线（、、 在同一直线上），不构成三角形，切勿去求 . 配套练习 题1　如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，过 作 轴于 ，连接 .求 的面积. 解：联立正比例函数与反比例函数的表达式： 消去 得 ，即 . 解得 ，. 代入 ，得两交点坐标为 、. 因为 轴于点 ，所以点 的坐标为 . 在 中，边 落在直线 上，其长度为： . 点 到直线 的水平距离即为 在边 上的高 ： . 所以 的面积为： . 答： 的面积为 6. 题2　如图，直线 与双曲线交于 、 两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、.求梯形 的面积. 解：联立正比例函数与反比例函数解析式： 消去 得 ，即 . 解得 ，. 代入 ，得两交点坐标为 、. 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以 ，. 所以梯形两平行底边的长分别为： ，. 梯形的高为 . 所以直角梯形 的面积为： . 答：梯形 的面积为 16. 题3（负号陷阱）　如图，直线 与双曲线交于 、 两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、.某同学由 直接写出梯形面积为 .请判断并求正确面积. 解：该同学的答案错误. 理由如下：面积是一个几何量，必须恒为非负数.由 的几何意义可知，图形的面积等于 的绝对值的倍数，即 ，不能直接代入带符号的 值计算. 【正确解答】： 联立方程： 消去 得 ，即 . 解得 ，. 代入得 、. 因为 轴， 轴，所以 ，. 两底边长为 ，高为 . 所以梯形 的面积为： . 答：该解法错误，正确的面积为 12. 题4（支架对称布置）　如图，某光伏电站的两组支架沿直线 对称布置，与反比例函数 的曲线交于 、 两点，两组支架分别竖直落到地面（ 轴）上的 、 处.求两组支架与地面围成的梯形 的占地面积. 解：联立直线与反比例函数曲线的解析式： 消去 得 ，即 . 解得 ，. 代入 ，解得两交点坐标为 、. 因为两支架竖直落到地面（ 轴）于 、， 所以 轴于 ， 轴于 . 在直角梯形 中， 两平行底边长为 ，； 梯形的高（地面两支架点距离）为 . 所以梯形 的占地面积为： （平方单位）. 答：两组支架与地面围成的梯形占地面积为 24 平方单位. · 结论四　两条同号双曲线：面积取“差” 结论与模型　设 、 分别在 、上（、 同号，且 ），两点横坐标相同（即 轴）.则 的面积为 ；以 、、 及 的垂足围成的四边形面积为 ；两个矩形的面积差同样为 . 推导　由结论一，（ 为 在 轴上的垂足），（ 在 上方、同侧）. 因为 、 在 同侧， 由 去掉 得到， . 四边形面积同理为两矩形面积之差 . 适用边界与易错辨析　 (1) 两曲线必须同号，面积才取差；异号时取和（见结论五），符号判错全题皆错. (2) 计算时用绝对值相减，不能直接写 ，否则第二、三象限会出现负面积. (3) 若两点横坐标不同、连线不垂直于 轴，则不能直接用「差」，需先作铅垂线割补. 配套练习 题1　如图， 在上， 在 上， 轴于 ，连接 、.求 的面积. 解：因为点 在的图象上，且 轴于点 ， 所以 . 因为点 在的图象上，且点 在线段 上， 所以 . 所以线段 的长为： . 因为 轴于点 ， 所以原点 到线段 所在直线的垂直距离为 . 所以 的面积为： . 答： 的面积为 3. 题2　如图， 在上， 在上.过 、 分别向两坐标轴作垂线，围成矩形 与矩形 .求两矩形的面积之差. .解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 . 已知点 在反比例函数上， 由 的几何意义，过点 分别向两坐标轴作垂线所围成的矩形 面积为： . 已知点 在反比例函数上， 同理，过点 向两坐标轴作垂线所围成的矩形 面积为： . 所以两矩形的面积之差为： . 答：两矩形的面积之差为 6. 题3（负号与象限）　如图， 在的图象上， 在的图象上， 轴于点 ，连接 、.某同学算得 .请指出错误并求正确面积. 解：错误解答： ① 面积作为几何量，不可能为负数； ② 点 与点 位于第三象限，其横纵坐标之积分别为 与 ， 值本身即为正数 8 与 2，不应写成负数. 【正确解答】： 因为点 与点 的横坐标相同，均为 ， 所以线段 轴于点 . 线段 的长度为：. 原点 到直线 的垂直距离即为点 横坐标的绝对值：. 所以 的面积为： . 答：该解法错误， 的正确面积为 3. 题4（双层玻璃采光带）　如图，某建筑的采光带由两条同号双曲线与 围成， 在外侧曲线上， 在内侧曲线上， 垂直于地面（ 轴）.求采光带截面 的面积. .解：因为点 在外侧双曲线 上，且 垂直于 轴于点 ， 所以 . 因为点 在内侧双曲线 上， 所以 . 所以线段 的长度为： . 因为 轴于点 ， 所以原点 到直线 的水平距离为 . 所以在 中，以 为底边，高为 ： （平方单位）. 答：采光带截面 的面积为 4.5 平方单位. · 结论五　两条异号双曲线：面积取“和” 结论与模型　设 在 、 在上，、 异号，且 轴（两点纵坐标相同）.分别过 、 向 轴作垂线，垂足为 、，则平行四边形（矩形） 的面积为 ；若只连 、，则 的面积为 . 推导　由结论一，，. 因为 、 位于 轴两侧，四边形 可分割为 、 与矩形 （ 为 与 轴交点）三块，割补后总面积等于两三角形面积之和的两倍： . 适用边界与易错辨析　 (1) 异号时取和、同号时取差，判断依据是两点是否在 轴同侧；画图确认后再动笔. (2) 必须平行于 轴（纵坐标相同）才能构成上述平行四边形；若平行于 轴，则改用同号模型的“差”. (3) 的符号只影响象限，不进入面积运算，一律取绝对值. 配套练习 题1　如图， 在 上， 在上， 轴，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、.求四边形 的面积. .解：因为点 在反比例函数 的图象上， 点在反比例函数的图象上， 且两点的纵坐标均为 3，所以线段 轴. 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以四边形 为矩形. 在矩形 中： 水平边长为 ； 垂直边长（高）为 . 所以矩形 的面积为： . （由反比例函数面积性质验证：.） 答：四边形 的面积为 8. 题2　如图， 在上， 在上， 轴，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、.求四边形 的面积. .解：因为点 在反比例函数的图象上， 点 在反比例函数的图象上， 两点的纵坐标均为 4，所以线段 轴. 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以四边形 是矩形. 在矩形 中： 底边长 ； 高为 . 所以四边形 的面积为： .（由反比例函数面积性质验证：.） 答：四边形 的面积为 11. 题3（和差混淆）　如图， 在 上， 在上， 轴.某同学按“同号取差”，算得面积为 .请判断并求正确面积. .解：【错误解答】 该同学混淆了「两曲线同号」与「两曲线异号」的几何特征. 点 所在的反比例函数为（，图象在第一象限）； 点 所在的反比例函数为 （，图象在第二象限）. 两曲线参数异号，点 与点 分别位于 轴的两侧，底边长应由两点的横坐标绝对值相加（），而不是相减. 【正确解答】： 因为 、，且 轴， 所以.高为 . 所以四边形的面积为： . （利用 的几何意义公式：.） 答：该解法错误，正确的面积为 8. 题4（风力机叶轮扫掠面）　如图，某小型风力机的叶轮扫掠面在图纸上近似为两条异号双曲线与之间的区域. 在外侧曲线、 在内侧曲线上， 水平，两端竖直投影到地面（ 轴）于 、.求四边形 的面积. .解：因为点 在外侧双曲线 上， 点 在内侧双曲线 上， 两点的纵坐标均为 3，所以线段 轴. 因为 轴于点 ， 轴于点 ， 所以四边形 为矩形. 在矩形 中： 水平边长 ； 垂直边长（高）. 所以四边形 的面积为： （平方单位）. （利用反比例函数面积性质验证：.） 答：四边形 的面积为 12 平方单位. · 结论六　反比例函数与一次函数： 水平宽 铅垂高 结论与模型　直线 与双曲线 交于 、 两点，与 轴交于点 、与 轴交于点 .则 的面积可以用两种方式求：以 轴分割，；以 轴分割，.这就是“水平宽 铅垂高”的割补法. 推导　连接 、， 被 轴分成 与 （、 在 轴异侧时相加，同侧时相减，公式中取绝对值即可统一）. 两三角形以 为公共底，高分别为 、， . 同理以 轴分割得 . 适用边界与易错辨析　 (1) 两个交点必须真实存在，即联立后的一元二次方程判别式大于零；直线与双曲线只有一个公共点时不能套用. (2) 是两交点纵坐标之差的绝对值，不是两者到 轴距离之和，取错会重复计算. (3) 用 作底时高是纵坐标之差，用 作底时高是横坐标之差，两者不可混用. 配套练习 题1　如图，直线 与双曲线 交于 、，直线与 轴交于点 .求 的面积. .解：对于直线 ， 令 ，得 ，解得 . 所以直线与 轴交点 的坐标为 ，线段 . 连接 、.由图可知，线段 将 分割为 与 . 因为点 与点 均在 轴上方， 在 中，以 为底边，高为点 的纵坐标 ； 在 中，以 为底边，高为点 的纵坐标 . 所以 的面积为： . 答： 的面积为 7.5. 题2　如图，直线 与双曲线 交于 、，与 轴交于点 .求 的面积. .解：对于直线 ， 令 ，得 . 所以直线与 轴交点 的坐标为 ，线段 . 连接 、.线段 落在 轴上，将 分割为 与 . 已知点 位于第一象限（ 轴右侧），点 位于第三象限（ 轴左侧）. 在 中，以 为底边，高为点 到 轴的距离 ； 在 中，以 为底边，高为点 到 轴的距离 . 所以 的面积为： . 答： 的面积为 7.5. 题3（交点个数）　如图，直线 与双曲线 只有一个公共点 .某同学仍用「水平宽 铅垂高」求 的面积，得 4.请指出问题所在. .解：该同学的解法错误. 错误分析如下： 题目中求的是 的面积，根据三角形定义，三角形必须由不在同一直线上的三个不同顶点构成. 联立直线与反比例函数方程： 消去 得 ，即 . 方程的判别式为 . 因为 ，所以该方程有两个相等的实数根，即直线与双曲线有且仅有一个公共点 . 因为不存在第二个交点 ，三点无法构成三角形，所以不存在 ，其面积为 0 或不存在. 该同学盲目套用公式求值，忽视了几何图形的存在性前提. 答：该解法错误，直线与双曲线只有一个交点，不存在 . 题4（测距三角区）　如图，某测距仪的两个反射点 、 位于反比例函数 的曲线上，仪器安放在原点 ，两反射点所在直线与 轴交于点 .求 的监测覆盖面积. .解：（1）求直线 的函数表达式及点 的坐标： 设直线 的函数表达式为 （）. 将点 与点 分别代入表达式，得方程组：两式相减得：，解得 . 将 代入 ，得 . 所以直线 的表达式为 . 令 ，得 ，解得 . 所以直线 与 轴交点 的坐标为 ，线段 . （2）计算 的监测覆盖面积： 连接 、.线段 将 分割为 与 . 因为点 与点 均在 轴上方， （平方单位）. 答： 的监测覆盖面积为 8 平方单位. · 结论七　中点模型：，矩形为 结论与模型　（1）设 、 都在 的同一支上，点 在 轴上，且 是线段 的中点，则 的面积为， 与 的面积都是.（2）若矩形 的一个顶点 与对角线交点 都落在上，则该矩形的面积为 . 推导　（1）设 ，由中点公式 且 在 轴上得 ，又 在曲线上得 故 ，， 到 轴距离为 ， . （2）设 、 同在一支上，则 且 矛盾，故应设 与 横纵坐标互换，由 相等得矩形边长关系，化简后矩形面积为 . 适用边界与易错辨析　 (1) “ 是 中点”这一条件必须用足，否则 的面积随位置变化，不是定值. (2) 与 相差一倍，注意所求三角形是哪一块. (3) 矩形模型中 与 必须在同一支上，若分居两支则结论不成立. 配套练习 题1　如图，、 都在的图象上，点 在 轴上，且 是 的中点.求 的面积. .解：因为点 在反比例函数的图象上， 点 在 轴上， 由线段中点坐标公式可知，线段 的中点坐标为： ，所以中点 的坐标为 . 检验：，点 恰好也在反比例函数 的图象上，符合题意. 在 中： 底边 落在 轴上，其长度为 ； 顶点 到底边 的高即为点 的纵坐标 . 所以 的面积为： . （由中点模型公式验证：.） 答： 的面积为 9. 题2　如图，矩形 的顶点 与对角线交点 都在反比例函数的图象上，求矩形 的面积. .解：设反比例函数解析式为（）. 因为矩形的顶点 在反比例函数图象上， 所以 . 所以该反比例函数的解析式为. 因为点 为矩形 的对角线交点，代入 满足解析式，符合题意. 由矩形的中心对称性可知，对角线交点 是对角线 的中点. 设点 的坐标为 . 由中点坐标公式： 所以点 的坐标为 . 因为矩形 的边平行于坐标轴， 所以矩形的水平边长为 ； 垂直边长为 . 所以矩形 的面积为： . （由中点模型公式验证：.） 答：矩形 的面积为 16. 题3（条件用足）　如图，、 在上， 在 轴上.某同学只由 在曲线上就断言 .请指出错误并求正确面积. .解：【错误答案】错误原因分析： 该同学混淆了“反比例函数基本三角形”与“一般三角形”的适用条件. 公式 仅在“三角形的一边落在坐标轴上，且该边上的高由点 向该坐标轴作垂线得到（即第三个顶点是垂足）”时才成立. 本题中，点 向 轴作垂线的垂足是 ，而题目中的顶点 是 ，线段 的长度为 6，并非点 的横坐标 2. 该同学未利用“ 为 中点”这一核心几何条件，导致公式套用错误. 【正确解答】： 在 中，底边 在 轴上，长度为 ； 顶点 到 轴的距离（高）为 . 所以 的正确面积为： . 答：该解法错误， 的正确面积为 9. 题4（三角形绿地设计）　如图，某社区设计一块三角形绿地 ，顶点 与中点 都在反比例函数的曲线上，顶点 在道路（ 轴）上.求这块绿地的面积. .解：因为顶点 在反比例函数 的曲线上， 中点 代入 也满足函数解析式. 点 落在道路（ 轴）上. 检验中点坐标：因此点 确为线段 的中点，且 、 两点均在反比例函数图象上. 在 中： 底边 落在 轴上，其长度为 ； 顶点 到底边 的高为点 的纵坐标 . 所以绿地 的面积为： （平方米）. （由中点模型公式验证：） 答：这块三角形绿地的面积为 4.5 平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $