3.3.2抛物线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质同步练 一、单选题 1.已知焦点为F的抛物线y=4x上有一点P到直线X+3=0的距离为6，O为坐标原点，则S4oPr= () A.V6 B.2 c.3 D.V2 2.已知直线1：X-y-1=0过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F且与抛物线C交于A,B两点，则线段 AB的中点到准线的距离为() A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知斜率为3的直线过抛物线C:y=4x的焦点F,且从上到下与C依次交于A、B两点，AF=λFB 则入=() 4 A.3 B.2 c.2 D.3 4.已知抛物线y=6x,直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点，若弦AB的长为8，则直线的 方程为() By-x-y-x- c.y=3x或y=3x+号 D.y=2x-- 或y=-2x+ 5.已知抛物线C:y口=2Px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为乃的直线交抛物线C于M,N两点.若 MN=8,则p=() A.6 B.3 C. 3 D.3 4 6.设F为抛物线y=2x的焦点，A,B,C为抛物线上的三个点，若函+FB+F℃=0，则 ++F花=（） A.6 B.4 C.3 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作直线I与C交于A,B两点，线段AB的中点为M,过点M 作y轴的垂线交C于点N,若NF=2,则l的斜率为() 试卷第1页（共3页） V2 A.± 2 B.土1 c.±V2 D.土2 8.已知一条直线与抛物线y=2pxp>0交于A'B两点，过坐标原点0引AB的垂线OD:垂是D的坐 标为2,1OA·0=5'则p=（） 81 4 C.1 D.2 二、多选题 9.已知O为坐标原点，过抛物线C:y=4x焦点F的直线l与C交于A、B两点，则下列选项正确的是 () A.(AF)min=1 B.△OAB面积的最小值为2. 1 D.∠AOB可能为直角 10.已知抛物线x=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正确的有() A.抛物线的焦点坐标为F(0,-1)】 B.若AF+|BF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 1.设0为坐标原点，直线y=3x-1过抛物线C:y=2pxp>0的焦点，且与抛物线C交于MV 两点，1为抛物线C的准线，则() A.p=2 B.MN)-8 C.△OMN为等腰三角形 D.以MN为直径的圆与l相切 三、填空题 12.过点P2,1作直线与抛物线y=8x相交于A,B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率 是 13.已知抛物线y2=2pxp>0 过抛物线焦点的直线y=-2X+4与抛物线交于A,B两点，则|AB三 试卷第2页（共3页） 14.若抛物线x2=2y上一点M到坐标原点O的距离为3，则点M到该抛物线焦点的距离为 四、解答题 15.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点. (1)求C的准线方程： (2)设Mt,2为C准线上一点，且MF⊥1，求AB 16.已知抛物线C:y=2pxp>0与圆X+y=g相交于AB两点，且AB=42 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l:y=2x-1与C相交于M、N两点，F是C的焦点，求△FMN的周长 试卷第3页（共3页） 3.3.2抛物线的简单几何性质同步练 一、单选题 1．已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 2．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 3．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 4．已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】因为直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，所以直线的方程为，再与抛物线联立，用韦达定理及弦长公式即可求得斜率，进而求出直线的方程. 【详解】由抛物线的方程，得，抛物线的焦点．根据题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，，． 由消去，整理得，可得，所以． 因为，解得， 所以直线的方程为或． 故选：B． 5．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点. 若，则（     ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义计算即得. 【详解】抛物线的焦点为，直线的方程为， 由消去得，显然， 设，则，， 所以. 故选：B 6．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以 . 故选：C. 7．已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【分析】由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】由可得,将代入方程，解得, ，可得轴，从而点的纵坐标为2或， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，依题意，即，解得. 所以直线的斜率为. 8．已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，得出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理写出的表达式，即可求出的值. 【详解】由题意， 过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为， ∴直线的斜率为， ∴直线的斜率为， 直线的方程为，即， 联立方程，得恒成立， ∴， ∵，点，在直线上， ∴，， ∴， 解得. 故选：B    二、多选题 9．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因 的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11．设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 【答案】AD 【分析】由题意作图，根据抛物线焦点的概念，结合直线方程，求得参数；联立方程，求得直线与抛物线交点坐标，从而求得弦长；根据两点距离公式，求得三角形三边；由中点坐标公式，结合圆切线的判定，可得答案. 【详解】由题意，取的中点，作图如下：      由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________________． 【答案】 【分析】设，当若直线的斜率存在，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论. 【详解】设， 若直线的斜率存在，则， 点P是线段的中点，， ∴， ，两式作差可得， 即，又， ， 直线的方程是，即， 联立，可得， 方程的判别式， 所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件， 若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾， 故答案为：. 13．已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则______． 【答案】 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【详解】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为： 14．若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为_________． 【答案】 【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【详解】由抛物线可设点，焦点为， 因为点到坐标原点的距离为， 所以，解得， 即或， 根据抛物线定义知：点到焦点的距离等于点到准线的距离， 即， 故答案为： 四、解答题 15．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 16．已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为.    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $