3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　 抛物线的简单几何性质 　 抛物线的几何性质 1.关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（　　） A.开口向右 B.焦点坐标为（－1，0） C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴 2.已知边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　　） A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 3.已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点（4，0）的距离的最小值为（　　） A.2 B.2 C.2 D.4 抛物线的焦点弦长 4.（2026·北京西城月考）过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于7，则｜AB｜＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.7 5.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（　　） A.1 B.2 C. D. 6.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，当直线l的斜率为时，｜AB｜＝16，则p＝（　　） A. B. C. D.4 7.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； （2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 抛物线焦点弦的性质 8.[一题多解]设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，已知｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A. B.4 C. D.3 9.（多选）（2026·浙江温州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若｜BF｜＝2，则以下结论正确的是（　　） A.p＝1 B.｜BF｜＝｜FD｜ C.｜BF｜＝3｜AF｜ D.＋＝1 　 1.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线与C交于A，B两点，若｜AB｜＝4，则p＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，其中点A在第一象限，且｜AF｜＝4，则｜AB｜＝（　　） A. B.6 C. D.8 3.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则此抛物线的方程为（　　） A.y2＝9x B.y2＝6x C.y2＝3x D.y2＝x 4.（多选）（2026·江苏南通期中）设O为坐标原点，过抛物线C：y2＝4x的焦点F作斜率为的直线与C交于M，N两点，l为C的准线，M，N在直线l上的射影分别为M1，N1.则（　　） A.｜MN｜＝ B.△OMN的面积是 C.直线l与以MN为直径的圆相切 D.△FM1N1是直角三角形 5.已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F（0，1），过点F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则p的值为　　　　，线段AB的长为　　　　　. 6.已知抛物线y2＝4x的焦点是F，直线AB，CD均过焦点F且互相垂直，则＋的值是　　　　　　. 7.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点Q（1，－2），斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求＋的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 [教材知识——一遍过] 1.D　因为抛物线方程为y2＝－2x，则p＝1，即＝， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为x＝，对称轴为x轴， 故D正确. 2.C　设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）. 又A（取点A在x轴上方）， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 3.C　记点M（4，0），P（x0，y0）， 所以｜MP｜2＝＋＝－8x0＋16＋4x0＝＋12. 由x0≥0，可得｜MP｜2≥12⇒｜MP｜≥2，当且仅当x0＝2时，｜MP｜取最小值2. 4.C　抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，p＝2. 设A（xA，yA），B（xB，yB），则A，B到直线x＝－2的距离之和为（xA＋2）＋（xB＋2）＝xA＋xB＋4. 所以xA＋xB＋4＝7，xA＋xB＝3. 根据抛物线焦点弦长公式，｜AB｜＝xA＋xB＋p＝3＋2＝5. 5.D　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0）， 分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2. 又｜PQ｜＝y0＋， ∴y0＋＝2，∴y0＝. 6.A　由题意可得直线l：y＝，与抛物线方程y2＝2px（p＞0）联立， 得x2－5px＋＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝5p，所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6p＝16，故p＝. 7.解：（1）因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直线l的方程为y＝.联立 消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋＋3＝8. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线定义知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝. 8.A　方法一：由y2＝4x可知F（1，0），设lAB：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立则有y2－4my－4＝0， 故y1y2＝－4，即x1x2＝·＝＝1， 又｜AF｜＝x1＋＝x1＋1，｜BF｜＝x2＋＝x2＋1， 由｜AF｜＝2｜BF｜，则x1＋1＝2（x2＋1），即有x1－2x2＝1， 则x1x2＝（1＋2x2）·x2＝2＋x2＝1， 即2＋x2－1＝（2x2－1）（x2＋1）＝0，则x2＝或x2＝－1， 又x2＞0，故x2＝，则x1＝＝2，则｜AB｜＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝. 方法二：直接利用性质＋＝.因为｜AF｜＝2｜BF｜，又＋＝1，所以＋＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3.所以｜AB｜＝. 9.ABC　设A（xA，yA），B（xB，yB）.由题意知F，直线l的斜率k＝－， 则直线l的方程为y＝－，将其代入抛物线C的方程，得12x2－20px＋3p2＝0， 得xB＝p，xA＝p，由｜BF｜＝p＋＝2p＝2，得p＝1，A正确； 抛物线C的方程为y2＝2x，xA＝p＝，所以｜AF｜＝p＋＝， 所以｜BF｜＝2＝3｜AF｜，C正确； 将直线l的方程y＝－与准线x＝－联立，得D， 所以｜FD｜＝＝2＝｜BF｜，B正确； ＋＝＋＝2，D错误. 故选A、B、C. 以抛物线y2＝2px（p＞0）为例，当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，｜AB｜称为焦点弦长，有如下的性质：①y1y2＝－p2，x1x2＝；②｜AB｜＝x1＋x2＋p；③＋为定值；④弦长｜AB｜＝（θ为直线AB的倾斜角）；⑤以AB为直径的圆与准线相切；⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. ｜规律方法｜ [综合素养——全提升] 1.A　易知抛物线C的焦点F，直线AB的斜率为1，且直线AB与抛物线C必相交， 则直线AB的方程为y＝x＋，代入抛物线x2＝2py，整理得y2－3py＋＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝3p， 且｜AB｜＝y1＋y2＋p，即3p＋p＝4，所以p＝1. 2.A　方法一：易知l的斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则｜AF｜＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3. 因为点A（3，y1）在C上，所以＝4×3＝12， 又点A在第一象限，故y1＝2，所以A（3，2）， 又F（1，0），所以kl＝kAF＝＝， 所以直线l的方程为y－0＝（x－1），即y＝（x－1）. 联立得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝， 由抛物线的定义，得｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 方法二：利用性质＋＝.因为｜AF｜＝4，且＋＝1，所以｜BF｜＝，所以｜AB｜＝. 3.C　设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM，BN分别垂直准线于点M，N，则｜BN｜＝｜BF｜，｜AM｜＝｜AF｜.又｜BC｜＝2｜BF｜，可得｜BC｜＝2｜BN｜，所以∠ACN＝30°，则｜AC｜＝2｜AM｜＝6. 因为｜AF｜＝3，则F为AC中点，则由中位线性质知P＝＝，所以抛物线的方程为y2＝3x.故选C. 4.BCD　易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线l的方程为x＝－1. 设点M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设M在第一象限，易知直线MN的方程为x＝y＋1， 联立得y2－3y－4＝0，即y＝－1或y＝4，则M（4，4），N， 所以｜MN｜＝x1＋x2＋2＝4＋＋2＝，A错误； S△OMN＝｜OF｜·｜y1－y2｜＝×1×5＝，B正确； 设线段MN的中点为E，则E， 点E到直线l的距离为d＝＋1＝＝｜MN｜，故直线l与以MN为直径的圆相切，C正确； 因为N，M（4，4），则N1（－1，－1），M1（－1，4），＝（－2，4），＝（－2，－1），所以·＝4－4＝0，即FM1⊥FN1，即△FM1N1是直角三角形，D正确. 5.2　13　解析：∵抛物线的焦点为F（0，1），∴＝1，p＝2， ∴抛物线C的方程为x2＝4y. 直线l的方程为y＝x＋1，代入x2＝4y， 得x2－6x－4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则｜AB｜＝y1＋y2＋p＝（x1＋x2）＋2＋2＝13. 6.　解析：该抛物线的焦点F（1，0），如图，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零，设AB的斜率为k，则CD的斜率为－，直线AB的方程为y＝k（x－1）， 与抛物线联立得k2（x－1）2＝4x⇒k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0， 则｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋2＝， 同理可得｜CD｜＝4（k2＋1）， 因此，＋＝＋＝＝. 7.解：（1）设抛物线的标准方程为y2＝mx， 因为抛物线过点Q（1，－2），所以（－2）2＝m×1，解得m＝4， 因此，抛物线的标准方程为y2＝4x. （2）由抛物线的标准方程为y2＝4x，可得焦点F（1，0）， 所以直线l的方程为y－0＝1×（x－1），即y＝x－1， 设C（x1，y1），D（x2，y2）. 由得（x－1）2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0， 所以x1＋x2＝6，x1x2＝1. ｜CD｜＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8. （3）由（2）可知点C（x1，y1）和D（x2，y2）到焦点F（1，0）的距离分别为｜CF｜＝x1＋1，｜DF｜＝x2＋1， 所以＋＝＋＝＝ ＝＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $