专题13概率的进一步认识复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题13概率的进一步认识复习讲义 1.会用列表法、画树状图法求两步及两步以上随机试验的等可能事件概率，能分清放回、不放回试验的区别，这是本章核心。 2.理解用频率估计概率：知道当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近；能根据频率统计表、折线图判断估计概率，区分频率和概率，明白频率是变化值、概率是定值。 3.能判断试验是不是等可能试验，识别树状图、列表里每种结果出现的可能性是否相同，避免不等可能事件直接套用树状图、列表。 4.会利用概率进行简单决策、判断游戏是否公平；能修改游戏规则，使游戏公平。 5.能结合实际情境（摸球、转盘、抽卡片、掷骰子等）建模，读懂题干条件，找准所有等可能结果数、符合条件的结果数。 6.掌握易错点：放回与不放回混淆、树状图漏分支、重复计数、用频率直接等同于概率。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★ 题型四 游戏的公平性 ★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率的实际综合应用 ★★★ 题型七 求某事件的频率 ★ 题型八 由频率估计概率 ★★ 题型九 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 对比维度 频率 概率 本质属性 通过试验统计得到的试验值 事件本身自带的理论常数 与试验次数关系 受试验次数影响，次数少波动大；次数越大越稳定 与试验次数无关，数值固定不变 获取方式 动手重复试验统计得出 理论计算或大量重复试验估计 相互联系 试验次数足够大时，频率稳定于概率，可用频率近似代表概率 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 ·混淆有放回、无放回试验，列举结果时重复或遗漏； · 不等面积转盘直接按颜色计算概率，忽略 “等可能” 前提； · 错误认为：几次试验算出的频率就是事件的概率； · 三步及以上试验误用列表法，造成解题失误； · 判断游戏公平性只凭主观感受，不计算概率对比； · 分不清 “同时抽取两个” 与 “先后不放回抽取” 的内在联系； · 计算概率后忘记约分，答题格式不规范。 题型一、几何概率 1．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 2．如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 3．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色）．A转盘被分成面积相等的4个扇形，B转盘红色扇形区域的圆心角为，同时转动两个转盘．转盘停止后指针指向区域的颜色（当指针指在边界线上时视为无效，重转）能配成紫色的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二、列举法求概率 4．在生物学中，人的双眼皮是显性基因，而单眼皮是隐性基因，即控制单、双眼皮的基因分别是A和a，组合，都是双眼皮，只有是单眼皮．如果一个家庭中爸爸是基因（双眼皮），妈妈是基因（单眼皮），那么他们的孩子是双眼皮的概率为（     ） A．1 B． C． D．0 5．从，，三个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足关于的方程有实数根的概率为________． 6．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 题型三、列表法或树状图法求概率 7．从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 8．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 9．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 题型四、游戏的公平性 10．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 11．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 12．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 13．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 14．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 15．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型六、概率的实际综合应用 16．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 17．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 18．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 19．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 题型七、求某事件的频率 20．某种幼树移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（     ） A．移植10棵幼树，结果一定是“9棵幼树成活” B．移植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活” C．移植10n棵幼树，恰好有“棵幼树不成活” D．移植n棵幼树，当n越来越大时，幼树成活的频率会越来越稳定于0.9 21．某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为_________． 22．在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 题型八、由频率估计概率 23．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 24．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 25．学习了“用频率估计概率”后，数学课外兴趣小组利用现代信息技术模拟试验来探究“5个人中有2个人同月过生日”的概率，他们将试验获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 63 185 311 617 989 1236 “有2个人同月过生日”的频率 0.630 0.617 0.622 0.617 0.618 0.618 通过试验，该小组估计“5个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（     ）（结果精确到0.01） A．0.60 B．0.61 C．0.62 D．0.63 题型九、用频率估计概率的综合应用 26．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 27．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 28．我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率，随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（是实数，且0≤≤1，0≤≤1），他们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为（    ）． A． B． C． D． 解答题 29．设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 30．奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到杂种第一代豌豆，它们都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是Y，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．如图，第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y，y与母本的两个基因Y，y再随机配对，将产生4种等可能的结果，如图． (1)求第二代出现黄色豌豆的概率； (2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄色豌豆出现的概率为，应如何配对？请画出相应的树状图． 31．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 32．如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13概率的进一步认识复习讲义 1.会用列表法、画树状图法求两步及两步以上随机试验的等可能事件概率，能分清放回、不放回试验的区别，这是本章核心。 2.理解用频率估计概率：知道当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近；能根据频率统计表、折线图判断估计概率，区分频率和概率，明白频率是变化值、概率是定值。 3.能判断试验是不是等可能试验，识别树状图、列表里每种结果出现的可能性是否相同，避免不等可能事件直接套用树状图、列表。 4.会利用概率进行简单决策、判断游戏是否公平；能修改游戏规则，使游戏公平。 5.能结合实际情境（摸球、转盘、抽卡片、掷骰子等）建模，读懂题干条件，找准所有等可能结果数、符合条件的结果数。 6.掌握易错点：放回与不放回混淆、树状图漏分支、重复计数、用频率直接等同于概率。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★ 题型四 游戏的公平性 ★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率的实际综合应用 ★★★ 题型七 求某事件的频率 ★ 题型八 由频率估计概率 ★★ 题型九 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 对比维度 频率 概率 本质属性 通过试验统计得到的试验值 事件本身自带的理论常数 与试验次数关系 受试验次数影响，次数少波动大；次数越大越稳定 与试验次数无关，数值固定不变 获取方式 动手重复试验统计得出 理论计算或大量重复试验估计 相互联系 试验次数足够大时，频率稳定于概率，可用频率近似代表概率 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 ·混淆有放回、无放回试验，列举结果时重复或遗漏； · 不等面积转盘直接按颜色计算概率，忽略 “等可能” 前提； · 错误认为：几次试验算出的频率就是事件的概率； · 三步及以上试验误用列表法，造成解题失误； · 判断游戏公平性只凭主观感受，不计算概率对比； · 分不清 “同时抽取两个” 与 “先后不放回抽取” 的内在联系； · 计算概率后忘记约分，答题格式不规范。 题型一、几何概率 1．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 2．如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：将小正方形的边长视为单位“”， 则阴影部分的面积为， 个大小相等的小正方形的总面积为， 故击中阴影部分的概率是． 3．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色）．A转盘被分成面积相等的4个扇形，B转盘红色扇形区域的圆心角为，同时转动两个转盘．转盘停止后指针指向区域的颜色（当指针指在边界线上时视为无效，重转）能配成紫色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可． 【详解】解：B转盘红色扇形区域的圆心角为，则白色扇形区域的圆心角为，是红色扇形区域的两倍， 依据题意列表如下： 红 蓝 黄 蓝 红 红红 蓝红 黄红 蓝红 白 红白 蓝白 黄白 蓝白 白 红白 蓝白 黄白 蓝白 由表可知一共有12种等可能的情况，其中能配成紫色的有2种， ∴配成紫色的概率． 题型二、列举法求概率 4．在生物学中，人的双眼皮是显性基因，而单眼皮是隐性基因，即控制单、双眼皮的基因分别是A和a，组合，都是双眼皮，只有是单眼皮．如果一个家庭中爸爸是基因（双眼皮），妈妈是基因（单眼皮），那么他们的孩子是双眼皮的概率为（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：∵子代所有可能的基因组合为，，，，共4种等可能结果，其中双眼皮的结果有2种， ∴孩子是双眼皮的概率为． 5．从，，三个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足关于的方程有实数根的概率为________． 【答案】 【分析】先列举出选取两个不同的数分别记为,的所有等可能结果，再根据一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，统计符合条件的结果数，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：从,,三个数中随机选取两个不同的数，分别记为,，所有等可能的结果为：,,,,,，共种， 对于一元二次方程，方程有实数根的条件为判别式 逐一验证可得，满足的结果有,,，共种， 根据概率公式，所求概率为． 6．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C 1 白菜 茄子 辣椒 2 白菜 辣椒 茄子 3 茄子 白菜 辣椒 4 茄子 辣椒 白菜 5 辣椒 白菜 茄子 6 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有6种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的种植方案有2种（方案1，6），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 题型三、列表法或树状图法求概率 7．从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和恰好取到红帽子和白围巾的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中恰好取到红帽子和白围巾的情况有1种， ∴恰好取到红帽子和白围巾的概率是． 8．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 9．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 题型四、游戏的公平性 10．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此来求解． 【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)， 即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是， 则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平． 故选：C． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 12．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 13．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 14．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 15．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型六、概率的实际综合应用 16．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 17．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 18．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 【答案】． 【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a）， ∴， 解得：a＝±4， ∵当△＝16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a＝0有解， ∴使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 题型七、求某事件的频率 20．某种幼树移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（     ） A．移植10棵幼树，结果一定是“9棵幼树成活” B．移植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活” C．移植10n棵幼树，恰好有“棵幼树不成活” D．移植n棵幼树，当n越来越大时，幼树成活的频率会越来越稳定于0.9 【答案】D 【分析】根据用频率估计概率的意义即可确定正确的选项． 【详解】解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，是在大量重复实验中得到的概率的近似值， 故A、B、C错误，D正确， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 21．某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为_________． 【答案】 【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=2400， 经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 22．在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 题型八、由频率估计概率 23．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用大量重复试验下频率稳定于概率的规律，观察多组绿豆发芽试验的频率随试验粒数增加逐渐稳定在附近，据此估计绿豆发芽的概率约为． 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 24．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【答案】22 【分析】利用频率估计概率，根据摸到黑球的频率等于黑球个数与总球数的比值，列方程求解即可． 【详解】解：设暗箱里大约有白球个，则暗箱中总球数为个． 用频率估计概率，可得摸到黑球的概率约为， 因此列方程得 交叉相乘化简得， 解得． 即暗箱里大约有白球个． 25．学习了“用频率估计概率”后，数学课外兴趣小组利用现代信息技术模拟试验来探究“5个人中有2个人同月过生日”的概率，他们将试验获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 63 185 311 617 989 1236 “有2个人同月过生日”的频率 0.630 0.617 0.622 0.617 0.618 0.618 通过试验，该小组估计“5个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（     ）（结果精确到0.01） A．0.60 B．0.61 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵大量重复试验中，可由稳定后的频率估计概率，且试验次数越大，频率越接近概率 从表格数据可得，随着试验次数增加，该事件的频率逐渐稳定在附近 将精确到得， ∴“5个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 题型九、用频率估计概率的综合应用 26．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的 “几何概型” 应用，涉及知识点：频率稳定性（大量实验后频率近似概率）、几何图形面积的比例关系．解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积；解题关键是理解频率与面积比例的对应关系，易错点是混淆频率与面积的计算关系． 【详解】大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在 ，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为 ． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选 ． 27．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 28．我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率，随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（是实数，且0≤≤1，0≤≤1），他们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，可得答案． 【详解】解：根据题意，点的分布如图所示： 则有， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．频率=所求事件发生的次数与总次数之比． 解答题 29．设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2) 解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）略 30．奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到杂种第一代豌豆，它们都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是Y，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．如图，第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y，y与母本的两个基因Y，y再随机配对，将产生4种等可能的结果，如图． (1)求第二代出现黄色豌豆的概率； (2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄色豌豆出现的概率为，应如何配对？请画出相应的树状图． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举第二代的所有情况数以及黄色豌豆的情况数，再利用概率公式计算即可； （2）选出符合要求的配对方案，再画出树状图即可． 【详解】（1）解：第二代共有4种情况：（，），（，），（，），（，），出现黄色豌豆的有（，），（，），（，）这3种情况，所以第二代出现黄色豌豆的概率为． （2）解：要使第三代黄色豌豆出现的概率为，则应用第二代中的与进行杂交，即选择、或、杂交． 根据题意画出树状图如图： 31．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平． 【详解】略． 32．如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果； （2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果； （3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； （3）解：长方形的面积为， 故不规则图案的面积大约． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $