专题09投影与视图复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题09投影与视图复习讲义 1.理解投影、投影线、投影面的概念，能够区分平行投影（太阳光）和中心投影（灯光），掌握两种投影的特点，会判断投影类型、确定光源位置。 2.掌握平行投影的性质：同一时刻，物高和影长成正比例，能利用这个规律结合相似进行高度、影长的计算；了解正投影是光线垂直投影面的特殊平行投影。 3.认识三视图：主视图、左视图、俯视图，牢记三视图绘制原则长对正、高平齐、宽相等；画图时分清实线（看得见轮廓）、虚线（看不见轮廓）。 4.能识别圆柱、圆锥、棱柱、球以及小立方块组合体的三视图，会画简单几何体、立方块堆体的三视图。 5.能根据三视图还原几何体，会由三视图判断组成几何体的小立方块个数，会计算几何体的表面积。 6.掌握太阳光下影子的变化规律，能判断不同时刻影子的长短、方向变化顺序。 7.建立空间观念，实现立体图形和平面视图之间的相互转化，规避虚实线画反、三视图长宽高对应出错、混淆两种投影规律等易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★ 题型二 平行投影 ★ 题型三 中心投影 ★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（灯光、手电筒） 光源特征 平行光线，太阳远距离视为平行光 点光源，光线从同一点发散射出 影子变化规律 同一时刻，不同物体物高与影长比值相等 物体离光源越近，影子越长；高度不变时，远近影子长短变化明显 物体平行关系 物体平行，投影依旧平行（或重合为线段） 平行物体投影不一定平行 典型实例 阳光下树、旗杆、木棒的影子 路灯、台灯、舞台灯光下人影 核心解题工具 同一时刻构造相似三角形 连接物体顶端与影子顶端，交点为光源 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 线段与投影面位置 正投影形状 线段平行于投影面 长度相等的线段 线段倾斜于投影面 比原线段短的线段 线段垂直于投影面 一个点 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键备注 正方体 正方形 正方形 正方形 三边相等 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高不同则矩形长宽不同 圆柱 矩形 矩形 圆 无虚线；圆柱高 = 矩形高 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表锥尖投影，不可漏点 球 圆 圆 圆 三个视图完全相同 正四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 正方形 + 中心顶点 底面正方形 正六棱柱（螺栓底座） 矩形组合 矩形组合 正六边形 上下底面为正六边形 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 几何体 体积公式 长方体 / 正方体 V=底面积 × 高 圆柱 V=r2h 圆锥 V=r2h 直棱柱（底面菱形 / 多边形） V=底面积 × 棱柱高 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 题型一、正投影 1．一个几何体在一个投影面上的正投影是圆，则这个几何体可以是________．（填写一种即可） 2．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是______． 3．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 题型二、平行投影 4．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 5．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 6．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 题型三、中心投影 7．在同一路灯下，两棵高矮不等的树的高度________同时等于各自的影长．（填“可能”或“不可能”） 8．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 9．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 题型四、判断简单几何体的三视图 10．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C．D． 11．如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．俯视图与左视图相同 D．三个视图都不相同 12．一个积木由四个相同的小正方体搭成，它的左视图和俯视图均如图所示，则这个积木可能是（    ） A． B． C．D． 题型五、判断简单组合体的三视图 13．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 14．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 15．如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（     ） A． B． C．D． 题型六、判断非实心几何体的三视图 16．如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C．D． 17．空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A． B． C．D． 18．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 题型七、已知一种或两种视图，判断其他视图 19．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C．D． 20．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C．D． 21．某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C．D． 题型八、画简单几何体的三视图 22．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（    ）    A．   B．  C．  D．   23．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C．D． 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型九、画简单组合体的三视图 25．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 26． 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 27．如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型十、画小立方块堆砌图形的三视图 28．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C．D． 29．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走_______． 30．如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，去掉其中一个小正方体，俯视图不发生改变的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十一、由三视图还原几何体 31．从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为（     ） A． B． C．D． 32．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 33．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 题型十二、已知三视图求边长 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 35．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 36．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 题型十三、已知三视图求侧面积或表面积 37．如图是一个几何体从不同方向看到的形状图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为（    ）    A．2 B．4 C． D． 38．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 39．如图是棱长为的正方体原材料，从中穿孔，制成三视图均为图2所示的模具，图2中正方形小孔的边长为，则该模具的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十四、求小立方块堆砌图形的表面积 40．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要________个正方体积木；按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为________． 41．若干个棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的表面积为_________． 42．下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 题型十五、已知三视图求体积 43．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）． A．32π B．36π C．40π D．160π 44．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 45．如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 题型十六、求几何体视图的面积 46．如图是由几个完全一样的小正方体搭成的几何体．下列关于该几何体的视图的说法，正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．左视图面积最大 C．俯视图面积最大 D．三种视图面积相等 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 48．某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．12 题型十七、由三视图，判断小立方体的个数 49．在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，三视图如下所示，则这张桌子上的碟子总个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 50．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 51．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 题型十八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 52．几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为________． 53．小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 54．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 解答题 55．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 56．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 57．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 58．下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 59．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 60．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 61．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09投影与视图复习讲义 1.理解投影、投影线、投影面的概念，能够区分平行投影（太阳光）和中心投影（灯光），掌握两种投影的特点，会判断投影类型、确定光源位置。 2.掌握平行投影的性质：同一时刻，物高和影长成正比例，能利用这个规律结合相似进行高度、影长的计算；了解正投影是光线垂直投影面的特殊平行投影。 3.认识三视图：主视图、左视图、俯视图，牢记三视图绘制原则长对正、高平齐、宽相等；画图时分清实线（看得见轮廓）、虚线（看不见轮廓）。 4.能识别圆柱、圆锥、棱柱、球以及小立方块组合体的三视图，会画简单几何体、立方块堆体的三视图。 5.能根据三视图还原几何体，会由三视图判断组成几何体的小立方块个数，会计算几何体的表面积。 6.掌握太阳光下影子的变化规律，能判断不同时刻影子的长短、方向变化顺序。 7.建立空间观念，实现立体图形和平面视图之间的相互转化，规避虚实线画反、三视图长宽高对应出错、混淆两种投影规律等易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★ 题型二 平行投影 ★ 题型三 中心投影 ★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（灯光、手电筒） 光源特征 平行光线，太阳远距离视为平行光 点光源，光线从同一点发散射出 影子变化规律 同一时刻，不同物体物高与影长比值相等 物体离光源越近，影子越长；高度不变时，远近影子长短变化明显 物体平行关系 物体平行，投影依旧平行（或重合为线段） 平行物体投影不一定平行 典型实例 阳光下树、旗杆、木棒的影子 路灯、台灯、舞台灯光下人影 核心解题工具 同一时刻构造相似三角形 连接物体顶端与影子顶端，交点为光源 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 线段与投影面位置 正投影形状 线段平行于投影面 长度相等的线段 线段倾斜于投影面 比原线段短的线段 线段垂直于投影面 一个点 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键备注 正方体 正方形 正方形 正方形 三边相等 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高不同则矩形长宽不同 圆柱 矩形 矩形 圆 无虚线；圆柱高 = 矩形高 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表锥尖投影，不可漏点 球 圆 圆 圆 三个视图完全相同 正四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 正方形 + 中心顶点 底面正方形 正六棱柱（螺栓底座） 矩形组合 矩形组合 正六边形 上下底面为正六边形 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 几何体 体积公式 长方体 / 正方体 V=底面积 × 高 圆柱 V=r2h 圆锥 V=r2h 直棱柱（底面菱形 / 多边形） V=底面积 × 棱柱高 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 题型一、正投影 1．一个几何体在一个投影面上的正投影是圆，则这个几何体可以是________．（填写一种即可） 【答案】球（答案不唯一） 【分析】找出一种正投影可以为圆的几何体，列举一种符合条件的即可． 【详解】解：根据正投影的性质，球从任意方向向投影面作正投影，得到的正投影都是圆，满足题目要求， 因此这个几何体可以是球． 2．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 3．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 题型二、平行投影 4．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】海平线以下的部分是看不见的，用虚线表示，海平线以上的是看得见的，用实线表示，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可知此时观测到海平线和太阳所成的图形是． 5．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 6．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 题型三、中心投影 7．在同一路灯下，两棵高矮不等的树的高度________同时等于各自的影长．（填“可能”或“不可能”） 【答案】可能 【分析】同一路灯的投影为中心投影，可通过相似三角形判断是否存在符合条件的情况． 【详解】解：如图，设路灯高度为，两棵高矮不等的树高度分别为，，满足，两棵树到路灯底部的水平距离分别为，，对应影长分别为，， 根据相似三角形的性质可得 ， ， 若要求，，代入化简可得，， 例如路灯高 米：甲树高米、距灯柱 米， 乙树高 米、距灯柱 米； 此时两棵树高矮不等，但影长同时等于各自的树高． ∴ 两棵高矮不等的树的高度可能同时等于各自的影长． 8．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 9．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 题型四、判断简单几何体的三视图 10．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是 ． 11．如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．俯视图与左视图相同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【分析】根据主视图、左视图和俯视图的定义，并结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该图形的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不同． 12．一个积木由四个相同的小正方体搭成，它的左视图和俯视图均如图所示，则这个积木可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查由左视图和俯视图判断几何体，掌握分析每个选项的左视图和俯视图形状，与题目给定的视图对比是解题的关键． 根据左视图和俯视图的形状，逐一分析每个选项的左视图和俯视图是否与之匹配． 【详解】解：A、左视图和俯视图与题目给定的形状相符，符合题意； B、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意； C、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意； D、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意． 故选：A． 题型五、判断简单组合体的三视图 13．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，需注意看得见的存在的线画实线，看不见的存在的线画虚线，确定出俯视图即可． 【详解】 解：俯视图为： 14．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】甲 【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡的积木． 【详解】图为7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积木甲，主视图保持不变． 15．如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】先确定主视图的观察方向（正面），再分析该零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项． 【详解】从正面看，顶部是一个三角形；中部是一个长方形；底部是一个长方形，且宽度比中部的长方形要窄．符合条件的只有B选项． 题型六、判断非实心几何体的三视图 16．如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线，即可求解． 【详解】从上面看到一个长方形，凹槽口的两条棱能看得到，应画为实线； 凹槽底的两条棱被顶面遮挡，应画为虚线． 故选：C． 17．空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的虚实线特点是解题的关键． 首先明确左视图的定义，再分析空心圆柱体的结构，确定其左视图的形状及线条类型，最后结合选项得出正确的选项即可． 【详解】解：从左面看是一个矩形，几何体内部也是一个圆柱，左视图也为矩形，但是在内部用虚线表示， ∴空心圆柱体的左视图为一个矩形，内部有两条虚线， 故选：B． 18．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 题型七、已知一种或两种视图，判断其他视图 19．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，培养空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图可知底层有5个正方体，那么第二层以上有1个正方体，即可确定答案． 【详解】解：根据俯视图可知底层有5个正方体，则第二层以上有1个正方体，A、C、D选项第二层有1个正方体，符合题意，B选项第二层有2个正方体，显然不可能． 故选：B． 20．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，其列数对应俯视图的行数，每列小正方形的个数对应俯视图中该行数字的最大值 【详解】解：由俯视图可知，该几何体在前后方向上共有3行，因此左视图应有3． 从左面看，左视图的每一列对应俯视图的每一行（从上到下）：第一列对应俯视图的第一行，该行只有数字3，故左视图第一列高度为3； 第二列对应俯视图的第二行，该行数字为2和3，最大值为3，故左视图第二列高度为3； 第三列对应俯视图的第三行，该行只有数字1，故左视图第三列高度为1 综上所述，左视图从左到右小正方形的个数依次为3，3，1． 观察选项，只有C选项符合． 21．某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】由主视图可得该几何体有两层，第二层的小正方形在左边；由俯视图可得该几何体有两列、两排，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由主视图可得：该几何体有两层，第二层的小正方形在左边， 由俯视图可得：该几何体有两列、两排， 故它的左视图可能是． 题型八、画简单几何体的三视图 22．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（    ）    A．   B．  C．  D．   【答案】A 【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形． 【详解】解：从物体左面看，是一个长方形，长方形的内部有两条横向的实线． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中． 23．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 题型九、画简单组合体的三视图 25．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图的意义画图即可．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键． 【详解】 的俯视图是， 故选A． 26． 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 【答案】7 【分析】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1．据此计算即可． 【详解】解：根据题意可得左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1． ∴俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为：2+1+1+2+1=7． 故答案为：7 【点睛】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 27．如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据视图的意义，结合能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横线，再下面矩形中间有看不见的部分用虚线，如图所示： 故选：D． 【点睛】考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 题型十、画小立方块堆砌图形的三视图 28．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的左视图是： ． 29．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走_______． 【答案】① 【分析】本题考查几何体的三视图，中心对称图形和轴对称图形的识别，左视图是从左面看到的图形．分别画出取走对应标号的小正方体后的几何体的左视图，再判断即可． 【详解】 解：取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故答案为：①． 30．如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，去掉其中一个小正方体，俯视图不发生改变的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】画出原来几何体的三视图，再分别画出去掉①，②，③，④后的俯视图即可得到答案． 【详解】解：由题意得，原几何体的俯视图为 ， 去掉①后的俯视图为 ； 去掉②后的俯视图为 ； 去掉③后的俯视图为 ； 去掉④后的俯视图为 ， ∴只有去掉①后，俯视图不发生改变． 题型十一、由三视图还原几何体 31．从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据从三个方向看几何体所得图形找出相应几何体即可． 【详解】解：从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为圆柱体， C选项符合题意． 32．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 33．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 题型十二、已知三视图求边长 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 35．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【分析】根据三视图的数据，确定线段所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义，可得： 在水平方向上，线段对应的直角边长度为： ， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得： ， ， ， ． 答：主视图上线段的长度为． 36．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 题型十三、已知三视图求侧面积或表面积 37．如图是一个几何体从不同方向看到的形状图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】首先得此几何体为圆柱，圆柱的侧面积=底面周长×高． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱， ∵圆柱的底面直径为2，高为1， ∴侧面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算公式，关键是得到该几何体的形状． 38．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 39．如图是棱长为的正方体原材料，从中穿孔，制成三视图均为图2所示的模具，图2中正方形小孔的边长为，则该模具的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求表面积，根据题意以及三视图可得该模具的表面积为正方体的面积减去6个面中小正方形的面积加上里面6个边长为的小正方体的4个面，即可求解． 【详解】解：该模具的表面积为 故选：C． 题型十四、求小立方块堆砌图形的表面积 40．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要________个正方体积木；按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为________． 【答案】 18 48 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，能够确定两人所搭几何体的形状是解答本题的关键．先确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，再求差即可；分别得到前后面，上下面，左右面的面积，相加即可求解． 【详解】解：∵小亮所搭几何体恰好可以和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体， ∴该长方体最少需要小立方体个数为：（个）， ∵小明用18个边长为1的小正方体搭成了一个几何体， ∴小亮至少还需的小立方体个数为（个）， 按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为： ， 故答案为：18；48． 41．若干个棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的表面积为_________． 【答案】38 【分析】由已知条件可知，这个几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2，还有两个列夹的空列也出现了两个面，每个面由两个正方形，据此可得这个几何体的表面积． 【详解】解：根据题意可得：这个几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2，还有两个列夹的空列也出现了两个面，每个面由两个正方形， 这个几何体的表面积为：， 故答案为：38． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中小正方形数字中最大数字． 42．下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正方体单个面面积，原表面积， 由图可知，切成36块需切7刀，每切一刀增加2个面， 新增面积， 总表面积：． 题型十五、已知三视图求体积 43．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）． A．32π B．36π C．40π D．160π 【答案】C 【分析】本题主要考查已知三视图求体积，熟练掌握三视图即可求解． 根据三视图判断出该几何体是圆柱，再借助圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个空心圆柱， ∴， 故选：C． 44．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【答案】 【分析】观察可知，几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，根据圆柱体的体积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，该几何体的体积为. 45．如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 题型十六、求几何体视图的面积 46．如图是由几个完全一样的小正方体搭成的几何体．下列关于该几何体的视图的说法，正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．左视图面积最大 C．俯视图面积最大 D．三种视图面积相等 【答案】D 【分析】先得出这个几何体的三视图，再假设小正方体的棱长为，然后把主视图、左视图、俯视图的面积分别算出来，再进行比较，从而得到正确答案． 【详解】这个几何体三视图如图所示， 假设小正方体的棱长为， 主视图由个小正方形组成，所以主视图的面积是； 左视图由个小正方形组成，所以左视图的面积是； 俯视图由个小正方形组成，所以俯视图的面积是； 三种视图面积相等． 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 48．某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图形的边长是解决问题的关键．根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形的边长，俯视图的面积是左视图面积的倍，可知主视图的宽为，由主视图与左视图关系可知，主视图三角形的高为，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为． 【详解】解：主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形的边长，俯视图的面积是左视图面积的倍， 主视图的宽为， 主视图与左视图关系知主视图三角形的高为， 主视图的面积为， 故选：B． 题型十七、由三视图，判断小立方体的个数 49．在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，三视图如下所示，则这张桌子上的碟子总个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查对三视图的理解应用、空间想象能力等知识点，掌握三视图的定义成为解题的关键． 从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，然后相加即可解答． 【详解】解：由俯视图可得：碟子共有3摞， 由几何体的主视图和左视图，可得有1摞碟子的个数为2，两摞碟子的个数为1． 故这张桌子上碟子的个数为（个）． 故选：B． 50．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 51．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 题型十八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 52．几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为________． 【答案】5 【详解】解：由俯视图知，最底层有4个小立方块；由左视图知，第二层最少有１个小立方块，搭成这个几何体的小立方块最少有个． 53．小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图确定圆凳总数的最大值和最小值，即可得出不可能的选项． 【详解】解：由主视图可知圆凳有两列，且两列能看到的圆凳数量均为4个， 由左视图可知圆凳有两排，且前一排能看到的圆凳数量为4个，后一排能看到的圆凳数量为2个， 可知第一排有两列，均为4个圆凳，共个圆凳， 第二排最少有1列，为2个圆凳，此时共个圆凳， 第二排最多有2列，均为2个圆凳，此时共个圆凳， 圆凳个数不可能是． 54．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 【答案】 【分析】根据题意画出从上面看最多和最少的情形即可得到答案． 【详解】解：根据左视图和俯视图可得小立方块最多时，如图所示，图中的数字表示该位置上小立方块的个数． ∴它最多需要个小立方块； 根据左视图和俯视图可得小立方块最少时，即第一层为，，的组合，第二层为，的组合，第三层为，，如图所示（图不唯一）， ∴它最少需要个小立方块； 解答题 55．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为：． 56．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 【答案】(1)圆柱；圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图判断几何体的组成； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算出圆柱、圆锥的体积，再将两者相加得到“粮仓”的体积． 【详解】（1）解：根据所给三视图，可以判断“粮仓”近似由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱在下，圆锥在上． （2）解：由题意可知，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的底面直径为，高为（）， （）， （）， （）． 答：它的体积为． 57．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)9 (2) 如图所示． (3)5 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）画出主视图、俯视图，并求出俯视图的面积即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体， 故答案为：9； （2）俯视图的面积为 （3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体． 故答案为：5 58．下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（个）正方形， (2)个正方形， (3)存在，（个）小正方体 【分析】本题考查了图形的变化规律，读懂题意，根据题意得出图形的变化规律是解本题的关键． (1)根据题意可知第个图中，从正面看有个正方形，据此解答即可； (2)正面看到的正方形个数有个，据此解答即可； (3)因为从正面和上面一共看到个正方形，则，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第6个图形的主视图有（个）正方形， 其表面积为． （2）解：由题意可知，第个图形的主视图有个正方形， 其表面积为． （3）解：存在． 主视图和俯视图一共有90个正方形，且这两个视图的正方形的个数是相同的， ， 解得（负值已舍去）， 这个图形一共用了（个）小正方体． 59．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 【答案】(1)点C到水平地面的距离为米 (2)小明测得的塔楼高度米 【分析】（1）过作于，根据得到点C到水平地面的距离为； （2）延长与交于点，先求出，，再根据身高和影长比例一样列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 过作于， ∴点C到水平地面的距离为（米）； （2）解：延长与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米， ∴， ∴， ∴由得到， 由得到， ∴小明测得的塔楼高度米． 60．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)路灯的高度为 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两线交于点，连接并延长交于点即可； （2）利用相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，由题意，，， ∴，， ∴， ∴； 故路灯的高度为. 61．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $