思维拓展奥数第十一讲带余除法与同余初步（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

余数范围 余数不小于零且小于除数 周期对应 找到完整周期与剩余 余数运算 先算余数，再继续求余 带余除法 逆向求数 列举或调整成共同倍数 第十一讲 带余除法与同余初步 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 把个棋子每个装一袋，装满后还剩多少个？如果另一批棋子按个一组分配后余个，两批合在一起除以余几？ 先圈出每个完整的袋子，再数没有装满一袋的棋子。两批剩下的棋子合在一起，如果还能装满一袋，要把这一袋继续分出去，最后留下的才是余数。 思考过程示意 先分完整组 检查余数 列出并检验 每满个分成一组，右侧为余下的个。 知识梳理 在整数除法中，除数为正时，≤余数＜除数。 两个数除以同一个正整数余数相同，它们的差能被该数整除。 求和或乘积的余数，可先分别求余数，再相加或相乘后继续求余。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 除以余几？ 跟踪1 【模拟练习】 除以余几？ 例2 【模拟练习】 两个数除以分别余和，它们的和除以余几？ 跟踪2 【模拟练习】 一个数除以余，另一个余，它们的和除以余几？ 例3 【模拟练习】 一个数除以和都余，最小的大于的正整数是多少？ 跟踪3 【模拟练习】 找出以内除以余且除以余的正整数。 例4 【模拟练习】 一个数除以余，它的倍除以余几？ 跟踪4 【模拟练习】 一个数除以余，它的平方除以余几？ 例5 【模拟练习】 一个整数除以余。把它乘后再加，所得数除以余几？ 跟踪5 【模拟练习】 一个整数除以余。它的平方加后除以余几？ 分层训练 组 基础巩固 1 【模拟练习】 一个数除以的余数可能有哪些？ 2 【模拟练习】 与除以的余数是否相同？ 3 【模拟练习】 小华写下“一个整数除以余”。这个结果可能正确吗？为什么？ 组 综合运用 4 【模拟练习】 一个数除以余，比它大的数除以余几？ 5 【模拟练习】 求以内除以余的最大整数。 6 【模拟练习】 今天是星期三。再过天是星期几？ 7 【模拟练习】 甲数除以余，乙数除以余。甲、乙两数的乘积除以余几？ C组 挑战思考 8 【模拟练习】 一个正整数除以余，除以余。最小的这样的正整数是多少？ 9 【模拟练习】 一队人数每人排一行余人，每人排一行余人。已知两种排法都至少排满一行，这队最少有多少人？ 10 【模拟练习】 在除以余的正整数中，最小的完全平方数是多少？ 真题拓展 真题1 【2023年《小学生学习指导》全国小学生数学知识竞赛五年级填空第1题，改写】 最小的正整数除以余、除以余、除以余，是多少？ 真题2 【2026年希望数学IHC W-5中文卷第15题，改写】 对正整数，先算，再取不大于该商的最大整数。如果这个整数是的因数，有多少个可能值？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一讲 带余除法与同余初步 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 除以余几？ 解析：，余。 跟踪1 【模拟练习】 除以余几？ 解析：，余。 例2 【模拟练习】 两个数除以分别余和，它们的和除以余几？ 解析：，除以余，所以和余。 跟踪2 【模拟练习】 一个数除以余，另一个余，它们的和除以余几？ 解析：，除以余。 例3 【模拟练习】 一个数除以和都余，最小的大于的正整数是多少？ 解析：减后是和的正公倍数；最小公倍数，故所求。 跟踪3 【模拟练习】 找出以内除以余且除以余的正整数。 解析：减后是的非负倍数，所以为、、、、。 例4 【模拟练习】 一个数除以余，它的倍除以余几？ 解析：，除以余。 跟踪4 【模拟练习】 一个数除以余，它的平方除以余几？ 解析：²＝，除以余。 例5 【模拟练习】 一个整数除以余。把它乘后再加，所得数除以余几？ 解析：原数可以看成若干个加。乘后完整的的倍数仍能整除；只需计算，它除以余。 跟踪5 【模拟练习】 一个整数除以余。它的平方加后除以余几？ 解析：完整的的倍数参与乘法后仍能被整除，只需计算余数部分。除以余，所以所求余数是。 分层训练 组 基础巩固 1 【模拟练习】 一个数除以的余数可能有哪些？ 解析：余数为、、、、、、、。 2 【模拟练习】 与除以的余数是否相同？ 解析：两数都余；也可看差能被整除。 3 【模拟练习】 小华写下“一个整数除以余”。这个结果可能正确吗？为什么？ 解析：不可能。除数是时，余数必须不小于且小于，因此余数不符合带余除法的要求。 组 综合运用 4 【模拟练习】 一个数除以余，比它大的数除以余几？ 解析：，除以余。 5 【模拟练习】 求以内除以余的最大整数。 解析：除以余，往前退得到，。 6 【模拟练习】 今天是星期三。再过天是星期几？ 解析：一星期有天，余。星期三向后数天是星期五。 7 【模拟练习】 甲数除以余，乙数除以余。甲、乙两数的乘积除以余几？ 解析：只需把余数相乘：，除以余，所以乘积除以余。 C组 挑战思考 8 【模拟练习】 一个正整数除以余，除以余。最小的这样的正整数是多少？ 解析：依次列出除以余的正整数、、……其中除以余，除以余，所以最小是。 9 【模拟练习】 一队人数每人排一行余人，每人排一行余人。已知两种排法都至少排满一行，这队最少有多少人？ 解析：人数加后同时是和的倍数。它们的最小公倍数是，因此候选人数为；满足两种余数条件，也满足至少排满一行。 10 【模拟练习】 在除以余的正整数中，最小的完全平方数是多少？ 解析：按从小到大列平方数：、、……其中除以余，余，余，因此最小是。 真题拓展 真题1 【2023年《小学生学习指导》全国小学生数学知识竞赛五年级填空第1题，改写】 最小的正整数除以余、除以余、除以余，是多少？ 解析：依次列出除以余的数：、、、；前个不满足全部条件，满足，因此最小是。 真题2 【2026年希望数学IHC W-5中文卷第15题，改写】 对正整数，先算，再取不大于该商的最大整数。如果这个整数是的因数，有多少个可能值？ 解析：所得整数必须是的正因数，即、、、、或。逐一检查：整数部分是、、、时，依次为、、、；是时为、、、；是时为至，共个。大于时整数部分为，不是的因数。总数为。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $