第五单元 可能性-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共52题）2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建“可能性”单元知识体系，将事件的确定性与不确定性、可能性大小及应用三个核心知识点分层呈现，用导图指引快速锁定复习目标，知识梳理强化细节与解题技巧，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，7个高频考点讲练结合典例与变式（如判断“10个球中红球最少数量”的可能性问题），6个奥数拓展题提升逻辑推理能力（如通过条件推理三人班级与冠军项目），真题分层演练覆盖能力提升与思维创新，培养数学思维与应用意识，既助力基础学生巩固方法，又支持优秀学生冲刺满分，为教师精准教学与学生自主复习提供系统支持。

2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元可能性『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练共52题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新...... 。。。。 3 知识点一事件的确定性与不确定性.·.· …3 知识点二可能性大小… .3 知识点三可能性的应用.... 考点讲练真题汇总… 3 高频考点一事件的确定性与不确定性. ·3 高频考点二判断事件发生的可能性的大小 ,4 高频考点三可能性大小的应用…… 高频考点四概率的认识……5 高频考点五游戏规则的公平性.............，6 第1页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点六简单事件发生的可能性求解. 6 高频考点七生活中的概率… 难点突破奥数拓展……… 7 奥数拓展一事件的确定性与不确定性 > 奥数拓展二判断事件发生的可能性的大小 ·7 奥数拓展三可能性大小的应用... 奥数拓展四概率的认识...·. 8 奥数拓展五游戏规则的公平性· 奥数拓展六简单事件发生的可能性求解 。。。。。。 9 优选真题实战演练 。。。。。。。。。。。 10 【能力提升练】 10 【思维创新练】 ….12 导图指引 梳理脉络 1.可能性及其大小 苏教版新教材·五年级数学上册·第五单元《可能性》单元复习思维导图 3.扑克问题 2.摸球问题 事件发生的结果有确定和不确定两种。 基本方法 本方。看裤的点数种成花色种类进行判断。 2。每张牌被摸出的可能性是相等的 如：太阳从东方升起（确定） 明天下雨（不确定）。 看袋子里球的种类和数量，判断出某种 色球的可能性大小 例题D4张牌：A(红桃)、2（红梳）、3红桃)、3（黑桃 与能性的大小 数量越多 可能性越大：数量越少， ·模出红桃的可能性大，因为红桃有3张， 可能性有大有小，不能用确切的数表示 可能性越小。 ·摸出3的可能性大，因为3有2张。 不能 可能 一定 典型例题 ·摸出黑桃(3)的可能性最小。 一定不会发生 整生，也可能不 一定会发生 (看图判断并填一填) 例4张牌乱序反扣在桌上，摸出一张 如：从只有红球 如：从只有黄时 结果有4种，可能性相等。 的授子里摸出 的袋子里模出 ●0 ●0 黄球 黄球。 一定是红球， 可能是红球， 一定是黄球 不可能是魔鞋也可能是黄球 不可能是红球 4.通过试验感受可能性的大小 不确定现象。在生活中，结果不能确定的现象。 慧方法)通过反复试验（模球，掷硬币，转转盘等） 都属于不确定现象（随机现象》。 记录结果。整理数据。比较可能性的大小 第五单元 试脸摸球、掷硬币。转转盘、纸片袖取等。 5.解决问题策略。 可能性 结论规神)次数越多，试验结果越接近“真实情况”。 ● 可能性更准确。 明确问题：弄清要求，正报出关被值息。 2.4 种类和数量 ,林 正面朝上 反面朝上 单元综合练习（含答案） 共()次共()次 1.看围填一填。判断可能性 2.从下面4张扑克牌中模出一张，横到红桃的可能性 4.一枚硬币，连续30次，结果如下 6。在一个不透明的授子里有5个红球和3个黄球。 是（上），模到黑桃的可颜性是（上）。 结果正面朝上反面朝上 （1)任意接出一个球。投到红球的可能性是（音 ●00 次数16次14次 ①正面朝上的可能性（略大）。 (2)如果再放入2个红球，模到红球的可能性会（更大）。 一定是红球司能是红，一定是」 不可能是黄球。也可能是蓝球。不可能是红球 2反面朝上的可能性（略小）。 (3)摸到簧球的可能性是（是）， 模到（蓝）球的可能性最小 5.转动右边的转盘。指针停在藏命可转 参最大？停在哪种颜色区城的可能性最小 ●●●g0● 最大：黄色：最小：蓝色 ,鱼然球多，但不可能保证每次都摸到红球 ②从只有红球的袋子里模出黄球 8盒子里有除额色外全相同的器根小棒：5红色，3根蓝色 从红。黄球的袋子里出红球 会，因为试验次数越多，结果越接近喜实可能性 (寻号▣6) 第2页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点一事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存 活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一 枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能”。比如， 今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越 大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那 么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。 比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白 球多。 知识点三可能性的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%， 就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描 述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 昌考点讲练真题汇总 高频考点一事件的确定性与不确定性 【典例精讲】(25-26四年级上·陕西西安·期末)给袋子里装两种颜色的球共10个，除了颜色外其他都 一样。要使摸到红球的可能性大，则袋中最少要装5个红球。( )(判断对错) 第3页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(24-25五年级上·安徽芜湖·期末)掷30次硬币，有24次正面朝上，6次反面朝上，那 么掷第40次时，( ）。 A.一定正面朝上B.一定反面朝上 C.正、反面都可能朝上D.反面朝上的可能性大 【变式训练2】(25-26五年级上·山东济宁·期末)一个盒子里有3个白球、6个红球和9个蓝球，从盒 中摸一个球，可能有( )种结果，摸出( )球的可能性最小，要想让这种颜色的球摸出的可 能性最大，至少还要增加( ）个这种颜色的球。 高频考点二判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)有四张卡片分别写着11、12、14、18，同时抽出两张， 求出卡片上两个数的和。和是单数的可能性大还是双数的大呢？ 【变式训练1】(26-27五年级上·全国·课后作业)在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两 人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 【变式训练2】(25-26六年级下·广西柳州·期末)一个不透明的袋子里装有红球5个，黄球12个，白 球20个。从中任意摸出一个球，摸到( )色球的可能性最小；如果想让摸到红球和黄球的可能性一样 大，应该再往袋子里放入( )个红球。 高频考点三可能性大小的应用 【典例精讲】(25-26五年级上·河北沧州·期末)袋子里有5颗白球、3颗黑球，摸到( )球的可能 性大；再放入( )颗( )球（填“白”或“黑”），摸到两种球的可能性相等。 第4页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26四年级上·陕西西安·期末)从一个箱子中任意摸球，摸后放回，共摸30次，结 果如图所示。这很可能是从( )箱摸的。 红球 正正正下 绿球正正T 8个红球 10个红球 8个绿球 6个绿球 A B. 6个红球 3个红球 10个绿球 13个绿球 c. D. 【变式训练2】(25-26五年级上·江西吉安·期末)一个盒子里装有3个红球，5个黄球，6个绿球，任 意摸出一个球，摸到( )球的可能性大。要使摸到红球和黄球的可能性相等，至少需要再放入 ( )个红球。 高频考点四概率的认识 【典例精讲】下面说法正确的是( )。 A.明天下雨的可能性很小，那么明天一定不会下雨 B.抛一枚均匀的硬币，正面朝上与反面朝上的可能性是一样的 C.淘气投篮10投10中，第11次投篮一定会命中 D.抛普通骰子，质数朝上甲赢，合数朝上乙赢，这个游戏规则是公平的 【变式训练1】(24-25五年级上·全国·单元测试)小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味 的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。小孙取出的另 颗糖也是牛奶味的概率是多少？ 第5页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】笑笑的爸爸买了某场音乐会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，哥哥想了一个办法， 拿了8张扑克牌，将数字为2,3,5,9的四张牌给笑笑，将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己，并按 如下游戏规则进行，笑笑和哥哥从各自的四张牌中随机抽一张，然后将抽出的扑克牌数字相加，如果和为 偶数则笑笑去，如果和为奇数则哥哥去。 哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。 高频考点五游戏规则的公平性 【典例精讲】(25-26五年级上·广东清远·期末)下面有四个游戏，( )游戏对小刚和小红是 公平的。 A.摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B.转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C.掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D.抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 【变式训练1】(2026六年级下·全国·专题练习)王慧和王敏用下面转盘玩游戏，指针停在质数上王慧 赢，指针停在合数上王敏赢。游戏公平吗？指针停在质数上有()种情况；指针停在合数上有() 种情况。这两种可能性( ),所以游戏()。 【变式训练2】(25-26五年级上·河南南阳·期末)乐乐和笑笑下五子棋，他们用掷骰子的方式决定谁先 走。骰子落地后，朝上的点数是单数，乐乐先走；朝上的点数是双数，笑笑先走。这个规则对双方( )。 (填“公平”或“不公平”) 高频考点六简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】(24-25六年级下·河南驻马店·期末)一副扑克牌共54张，去掉大小王后，从中任意摸出 一张，摸出黑桃的可能性是( ),摸出黑桃2的可能性是( ）。 第6页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级上·贵州铜仁·期末)标有1、2、3、4、5的五张卡片，正面朝下任取一张， 抽到大于4的可能性比抽到小于4的可能( )。 A.大 B.小 C.相等 D.无法比较 【变式训练2】(25-26五年级上·河北保定·期末)口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出 两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 高频考点七生活中的概率 【典例精讲】(24-25五年级上·河南周口·期末)在一个盒子里装有红球、黄球和白球各1个，从中任 意摸出两个，有( )种可能的结果，请分别写出这几种结果( ）。 【变式训练1】游乐园里推出了一种彩票刮卡中奖活动，规定的中奖率是十分之一，奖金总额是3000元。 熙熙用20元购买了10张彩票，以为可以中奖，结果什么奖也没有中。这是为什么呀？请你用学过的数学 知识来帮熙熙解开这个疑团。 【变式训练2】鑫鑫老师投掷2枚骰子，得到的点数之和是15. ）(判断对错) 难点突破奥数拓展 奥数拓展一事件的确定性与不确定性 【典例精讲】(25-26五年级上·河北邢台·期末)盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、 3、5,任意摸一个，有种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能 性与它们不同，至少往盒子里再放入个标有5的小球，至少再放入个标有3的小球。 【变式训练】佳佳、青青、羽羽三人是五(1)、五(2)、五(3)的体育强将。在学校运动会上，她们分 别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将还不清楚，只知道 五(2)班同学获得了跳绳冠军，五(1)班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有获得跳远冠军。青青也 没有获得跳远冠军，也不是五(2)班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班的学生？分别获得哪项冠军？ 奥数拓展二判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】(25-26五年级上·甘肃定西·期末)共有10张分别写有1~10的卡片，任意抽两张相加， 和是单数的可能性大。( )(判断对错) 第7页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·河南开封·期中)一个口袋里有5个球，1红、1黄、3紫，闭上眼睛， 从口袋里一次摸出3个球，摸出1红1黄1紫的可能性大？还是1红2紫的可能性大？ 奥数拓展三可能性大小的应用 【典例精讲】(25-26五年级上·重庆九龙坡·期中)乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个， 其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入 )个红球。 A.4 B.5 C.6 D.7 【变式训练】(23-24五年级上·福建福州·期末)李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个 骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢：如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比， )。 A.李涵胜算大 B.王萱胜算大 C.同样多 D.无法确定 奥数拓展四概率的认识 【典例精讲】从如图所示的4张牌中，任意抽取两张。其点数和是奇数的概率是 9 【变式训练】有一个箱子里放着一些黄色球，为了估计球的数量，我们把20个白色球放入箱子中，充分搅 拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球.你估计箱子里原来大约有多少个黄色球？ 奥数拓展五游戏规则的公平性 【典例精讲】(24-25六年级下·北京海淀·开学考试)有两个人玩“抢10”的游戏，游戏规则如下：第 一个人先说“1”或“1,2”；第二个人接着往下说一个或两个数，然后轮到第一个人说一个或两个数都可 以，但是不能连说三个数，谁先抢到10，谁就胜。 (1)你认为这个游戏公平吗？说明你的理由。 (2)你有必胜的把握吗？说明你获胜的策略。 第8页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】资料卡： 明明和亮亮各有2、5、6、8四张卡片，他们分别抽出一张，再把上面的两数相加，若和是双数，明明获胜： 若和是单数，则亮亮获胜。 请根据以上信息自主选择问题并解答。 (1)明明和亮亮从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，可能抽到( )【多选】，不可能抽到( )。 A.2 B.5 C.6 D.8 E.9 (2)明明从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，有( )种可能出现的结果，每种结果出现的可能 性( ),出现其中任意一种结果的可能性是( )。 (3)他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是双数的可能性有几种，分别是哪几种？ (请列举出来) (4)他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是单数的可能性有几种，分别是哪几种？ (请列举出来) (5)这个游戏公平吗？为什么？ (6)如果你是一名游戏设计者，请你利用题目中的四张卡片，设计出一个公平的游戏。 奥数拓展六简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】国庆节期间，某商家举办“砸金蛋”活动准备了含有一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个 等级的金蛋共100个。如果你是活动主办方，你会怎样设定这四个等级的金蛋数量？ 【变式训练】某商场设计了两个可以转动的转盘，它们每次转动停下后，都有两个数正好相对（如下图）。 获奖规贝则 三等级可能性最大， 二等奖 次之，一等奖可能性最小， (1)相对两个数的和是6的情况共有( )种。 (2)根据转盘上相对两个数和的不同及“获奖规则”，请你为商场设计奖项，将下面表格填写完整。 第9页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 相对两个数的和 奖项 奖品 等奖 笔记本电脑 二等奖 台灯 三等奖 签字笔 (3)按照你的设计，转动转盘时有没有不获奖的情况？如果有，请写出所有不获奖的相对两个数的和。 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(25-26五年级上·广东广州·期末)语文开展“古诗词诵读”活动。从下面8首诗词中随机抽取一首， 小磊最有可能抽到的是( )的诗词。 举头望明月，低头思故乡。一一李白 会当凌绝顶，一览众山小。 杜甫 随风潜入夜，润物细无声。一一杜甫 大漠孤烟直，长河落日圆。 一一一王维 危楼高百尺，手可摘星辰。一一李白 空山不见人，但闻人语响。一一一王维 但愿人长久，千里共婵娟。 一一苏轼 不敢高声语，恐惊天上人。 一一一李白 A.李白 B.杜甫 C.王维 D.苏轼 2.(25-26五年级上·湖北武汉·期末)纸箱里装有苹果、橘子、梨的卡片若干张，小明抽了30次（每次 抽1张后放回摇匀)，抽到苹果卡片、橘子卡片、梨卡片的次数如右下图所示。下列选项中，纸箱里卡片 数量最可能装有( )。 次数 201 18 15 10 9 0 苹果 橘子 梨卡片 卡片 卡片 第10页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 A.苹果卡片10张、橘子卡片5张、梨卡片2张 B.苹果卡片5张、橘子卡片10张、梨卡片2张 C.苹果卡片2张、橘子卡片5张、梨卡片10张 D.苹果卡片10张、橘子卡片2张、梨卡片5张 3.(25-26五年级上·江西宜春·期末)小红在教室的位置用数对表示是(3,4)，与她相邻的小花的位置用 数对表示( )是(5,6)。 A.可能 B.不可能 C.一定 D.以上答案都不对 4.(25-26五年级上·河北保定·期末)从标有110的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽 到合数的可能性相等。( ）(判断对错) 5.(25-26五年级上·河南周口·期末)从1~10数字卡片中任意抽一张，抽出单数和双数的可能性相同。 ）(判断对错) 6.(25-26五年级上·河北·课后作业)妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心 巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选 的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 7.(25-26五年级上·河北·课后作业)掷两颗骰子，上的点数之和有几种可能？（请列举出来） 8.（24-25五年级上·河北·课后作业)从 L234 4张数字卡片中任意抽取2张，组成 一个两位数。 (1)这个两位数可能是多少？列举出来。 (2)如果任意抽取3张，组成一个三位数，这个三位数可能是多少？列举出来。 第11页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 9.(24-25五年级上·河北·课后作业)一个盒子中放有2个红球和2个黄球。从中任意摸出2个球，可 能会是什么颜色的球？把所有的可能性都列出来。 10.(25-26五年级上·陕西安康·期末)按要求在下面转盘的每一格里填上数字1,2或3。 (1)指针可能停在1,2或3区域。 (2)指针可能停在1,2或3区域，并且停在2区域的可能性最大，停在1区域的可能性最小。 【思维创新练】 1.(25-26五年级上·山东济南·期末)下面是某路口的交通信号灯时间设置统计表，妈妈开车经过这个 路口时，( )。 红灯 绿灯 黄灯 60秒 40秒 3秒 A.遇到红灯的可能性大。B.遇到绿灯的可能性大。C.遇到黄灯的可能性大。 第12页共13页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.(25-26五年级上·四川雅安·期末)丽丽从一个装有红、黄两种颜色球（除颜色外均相同）的盒子里 任意摸出一个球，记录下颜色后放回。一共摸了20次，其中摸到红球12次，摸到黄球8次，下列说法正 确的是( )。 A.盒子里一定装了20个球 B.盒子里的红球可能比黄球多 C.盒子里的黄球一定比红球少 D.盒子里的红球和黄球个数一定相同 3.某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为 一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率应该是() A.10000 B.品 c器 D.品 4.(25-26六年级下·安徽合肥·期末)不透明箱子里有54个大小相同的圆球，这些圆球分为4种不同的 颜色，分别是红球13个，蓝球14个，剩下的是绿球和白球。要想抽出绿球的可能性最大，绿球至少有() 个，此时抽出( )球的可能性最小。 5.(25-26五年级上·湖南湘西·期末)给一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色。任意抛一次， 使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要将( )个面涂成红色。 6.(25-26五年级上·广东汕头·期末)盒子里有5个红球，3个白球，2个黄球，任意摸一个，有( 种可能，如果一次任意摸出6个，其中一定有( )球。 7.(25-26五年级上·河北石家庄·期末)盒子中有大小材质完全相同的白球和黑球（如下图）。 (1)任意摸出一个球，摸出( )球的可能性大。 (2)任意摸出两个球，有( )种可能的结果，分别是( 8.箱子里有6个黑球，2个蓝球，2个白球，要使摸到蓝球的可能性是，应再向箱子中放入 个蓝 球 9.(23-24五年级上·辽宁·课后作业)桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子 (两人每次一共拿走7枚)，规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？ 如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 第13页共13页2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 可能性『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 事件的确定性与不确定性 3 知识点二 可能性大小 3 知识点三 可能性的应用 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 事件的确定性与不确定性 3 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 4 高频考点三 可能性大小的应用 4 高频考点四 概率的认识 5 高频考点五 游戏规则的公平性 6 高频考点六 简单事件发生的可能性求解 6 高频考点七 生活中的概率 7 难点突破 奥数拓展 7 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 7 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 7 奥数拓展三 可能性大小的应用 8 奥数拓展四 概率的认识 8 奥数拓展五 游戏规则的公平性 8 奥数拓展六 简单事件发生的可能性求解 9 优选真题 实战演练 10 【能力提升练】 10 【思维创新练】 12 知识点一 事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能” 。比如，今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二 可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白球多。 知识点三 可能性的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%，就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 高频考点一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西西安·期末）给袋子里装两种颜色的球共10个，除了颜色外其他都一样。要使摸到红球的可能性大，则袋中最少要装5个红球。( )（判断对错） 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽芜湖·期末）掷30次硬币，有24次正面朝上，6次反面朝上，那么掷第40次时，（    ）。 A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．正、反面都可能朝上 D．反面朝上的可能性大 【变式训练2】（25-26五年级上·山东济宁·期末）一个盒子里有3个白球、6个红球和9个蓝球，从盒中摸一个球，可能有( )种结果，摸出( )球的可能性最小，要想让这种颜色的球摸出的可能性最大，至少还要增加( )个这种颜色的球。 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）有四张卡片分别写着11、12、14、18，同时抽出两张，求出卡片上两个数的和。和是单数的可能性大还是双数的大呢？ 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 【变式训练2】（25-26六年级下·广西柳州·期末）一个不透明的袋子里装有红球5个，黄球12个，白球20个。从中任意摸出一个球，摸到( )色球的可能性最小；如果想让摸到红球和黄球的可能性一样大，应该再往袋子里放入( )个红球。 高频考点三 可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·河北沧州·期末）袋子里有5颗白球、3颗黑球，摸到( )球的可能性大；再放入( )颗( )球（填“白”或“黑”），摸到两种球的可能性相等。 【变式训练1】（25-26四年级上·陕西西安·期末）从一个箱子中任意摸球，摸后放回，共摸30次，结果如图所示。这很可能是从（    ）箱摸的。 A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26五年级上·江西吉安·期末）一个盒子里装有3个红球，5个黄球，6个绿球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大。要使摸到红球和黄球的可能性相等，至少需要再放入( )个红球。 高频考点四 概率的认识 【典例精讲】下面说法正确的是（    ）。 A．明天下雨的可能性很小，那么明天一定不会下雨 B．抛一枚均匀的硬币，正面朝上与反面朝上的可能性是一样的 C．淘气投篮10投10中，第11次投篮一定会命中 D．抛普通骰子，质数朝上甲赢，合数朝上乙赢，这个游戏规则是公平的 【变式训练1】（24-25五年级上·全国·单元测试）小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少？ 【变式训练2】笑笑的爸爸买了某场音乐会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给笑笑，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行，笑笑和哥哥从各自的四张牌中随机抽一张，然后将抽出的扑克牌数字相加，如果和为偶数则笑笑去，如果和为奇数则哥哥去。 哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。 高频考点五 游戏规则的公平性 【典例精讲】（25-26五年级上·广东清远·期末）下面有四个游戏，（    ）游戏对小刚和小红是公平的。 A．摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B．转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C．掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D．抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）王慧和王敏用下面转盘玩游戏，指针停在质数上王慧赢，指针停在合数上王敏赢。游戏公平吗？指针停在质数上有( )种情况；指针停在合数上有( )种情况。这两种可能性( )，所以游戏( )。 【变式训练2】（25-26五年级上·河南南阳·期末）乐乐和笑笑下五子棋，他们用掷骰子的方式决定谁先走。骰子落地后，朝上的点数是单数，乐乐先走；朝上的点数是双数，笑笑先走。这个规则对双方( )。（填“公平”或“不公平”） 高频考点六 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25六年级下·河南驻马店·期末）一副扑克牌共54张，去掉大小王后，从中任意摸出一张，摸出黑桃的可能性是( )，摸出黑桃2的可能性是( )。 【变式训练1】（25-26五年级上·贵州铜仁·期末）标有1、2、3、4、5的五张卡片，正面朝下任取一张，抽到大于4的可能性比抽到小于4的可能（    ）。 A．大 B．小 C．相等 D．无法比较 【变式训练2】（25-26五年级上·河北保定·期末）口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 高频考点七 生活中的概率 【典例精讲】（24-25五年级上·河南周口·期末）在一个盒子里装有红球、黄球和白球各1个，从中任意摸出两个，有( )种可能的结果，请分别写出这几种结果( )。 【变式训练1】游乐园里推出了一种彩票刮卡中奖活动，规定的中奖率是十分之一，奖金总额是3000元。熙熙用20元购买了10张彩票，以为可以中奖，结果什么奖也没有中。这是为什么呀？请你用学过的数学知识来帮熙熙解开这个疑团。 【变式训练2】鑫鑫老师投掷2枚骰子，得到的点数之和是15．    ( )（判断对错） 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【变式训练】佳佳、青青、羽羽三人是五（1）、五（2）、五（3）的体育强将。在学校运动会上，她们分别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将还不清楚，只知道五（2）班同学获得了跳绳冠军，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班的学生？分别获得哪项冠军？ 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃定西·期末）共有10张分别写有1~10的卡片，任意抽两张相加，和是单数的可能性大。( )（判断对错） 【变式训练】（25-26五年级上·河南开封·期中）一个口袋里有5个球，1红、1黄、3紫，闭上眼睛，从口袋里一次摸出3个球，摸出1红1黄1紫的可能性大？还是1红2紫的可能性大？ 奥数拓展三 可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期中）乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个，其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入（    ）个红球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（23-24五年级上·福建福州·期末）李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比，（    ）。 A．李涵胜算大 B．王萱胜算大 C．同样多 D．无法确定 奥数拓展四 概率的认识 【典例精讲】从如图所示的4张牌中，任意抽取两张。其点数和是奇数的概率是_________。 【变式训练】有一个箱子里放着一些黄色球，为了估计球的数量，我们把20个白色球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色球？ 奥数拓展五 游戏规则的公平性 【典例精讲】（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）有两个人玩“抢10”的游戏，游戏规则如下：第一个人先说“1”或“1，2”；第二个人接着往下说一个或两个数，然后轮到第一个人说一个或两个数都可以，但是不能连说三个数，谁先抢到10，谁就胜。 （1）你认为这个游戏公平吗？说明你的理由。 （2）你有必胜的把握吗？说明你获胜的策略。 【变式训练】资料卡： 明明和亮亮各有2、5、6、8四张卡片，他们分别抽出一张，再把上面的两数相加，若和是双数，明明获胜；若和是单数，则亮亮获胜。 请根据以上信息自主选择问题并解答。 （1）明明和亮亮从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，可能抽到（    ）【多选】，不可能抽到（    ）。 A．2         B．5         C．6           D．8        E.9 （2）明明从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，有（    ）种可能出现的结果，每种结果出现的可能性（    ），出现其中任意一种结果的可能性是（    ）。 （3）他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是双数的可能性有几种，分别是哪几种？（请列举出来） （4）他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是单数的可能性有几种，分别是哪几种？（请列举出来） （5）这个游戏公平吗？为什么？ （6）如果你是一名游戏设计者，请你利用题目中的四张卡片，设计出一个公平的游戏。 奥数拓展六 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】国庆节期间，某商家举办“砸金蛋”活动准备了含有一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个等级的金蛋共100个。如果你是活动主办方，你会怎样设定这四个等级的金蛋数量？ 【变式训练】某商场设计了两个可以转动的转盘，它们每次转动停下后，都有两个数正好相对（如下图）。 （1）相对两个数的和是6的情况共有（    ）种。 （2）根据转盘上相对两个数和的不同及“获奖规则”，请你为商场设计奖项，将下面表格填写完整。 相对两个数的和 奖项 奖品 一等奖 笔记本电脑 二等奖 台灯 三等奖 签字笔 （3）按照你的设计，转动转盘时有没有不获奖的情况？如果有，请写出所有不获奖的相对两个数的和。 【能力提升练】 1．（25-26五年级上·广东广州·期末）语文开展“古诗词诵读”活动。从下面8首诗词中随机抽取一首，小磊最有可能抽到的是（    ）的诗词。 举头望明月，低头思故乡。——李白 随风潜入夜，润物细无声。——杜甫 危楼高百尺，手可摘星辰。——李白 但愿人长久，千里共婵娟。——苏轼 会当凌绝顶，一览众山小。———杜甫 大漠孤烟直，长河落日圆。———王维 空山不见人，但闻人语响。———王维 不敢高声语，恐惊天上人。———李白 A．李白 B．杜甫 C．王维 D．苏轼 2．（25-26五年级上·湖北武汉·期末）纸箱里装有苹果、橘子、梨的卡片若干张，小明抽了30次（每次抽1张后放回摇匀），抽到苹果卡片、橘子卡片、梨卡片的次数如右下图所示。下列选项中，纸箱里卡片数量最可能装有（    ）。 A．苹果卡片10张、橘子卡片5张、梨卡片2张 B．苹果卡片5张、橘子卡片10张、梨卡片2张 C．苹果卡片2张、橘子卡片5张、梨卡片10张 D．苹果卡片10张、橘子卡片2张、梨卡片5张 3．（25-26五年级上·江西宜春·期末）小红在教室的位置用数对表示是，与她相邻的小花的位置用数对表示（    ）是。 A．可能 B．不可能 C．一定 D．以上答案都不对 4．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 5．（25-26五年级上·河南周口·期末）从1～10数字卡片中任意抽一张，抽出单数和双数的可能性相同。( )（判断对错） 6．（25-26五年级上·河北·课后作业）妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 7．（25-26五年级上·河北·课后作业）掷两颗骰子，朝上的点数之和有几种可能？（请列举出来） 8．（24-25五年级上·河北·课后作业）从4张数字卡片中任意抽取2张，组成一个两位数。 （1）这个两位数可能是多少？列举出来。 （2）如果任意抽取3张，组成一个三位数，这个三位数可能是多少？列举出来。 9．（24-25五年级上·河北·课后作业）一个盒子中放有2个红球和2个黄球。从中任意摸出2个球，可能会是什么颜色的球？把所有的可能性都列出来。 10．（25-26五年级上·陕西安康·期末）按要求在下面转盘的每一格里填上数字1，2或3。 (1)指针可能停在1，2或3区域。 (2)指针可能停在1，2或3区域，并且停在2区域的可能性最大，停在1区域的可能性最小。 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·山东济南·期末）下面是某路口的交通信号灯时间设置统计表，妈妈开车经过这个路口时，（    ）。 红灯 绿灯 黄灯 60秒 40秒 3秒 A． 遇到红灯的可能性大。 B．遇到绿灯的可能性大。 C．遇到黄灯的可能性大。 2．（25-26五年级上·四川雅安·期末）丽丽从一个装有红、黄两种颜色球（除颜色外均相同）的盒子里任意摸出一个球，记录下颜色后放回。一共摸了20次，其中摸到红球12次，摸到黄球8次，下列说法正确的是（    ）。 A．盒子里一定装了20个球 B．盒子里的红球可能比黄球多 C．盒子里的黄球一定比红球少 D．盒子里的红球和黄球个数一定相同 3．某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满元者得奖券一张，多购多得，每张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，那么买元商品的中奖概率应该是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）不透明箱子里有54个大小相同的圆球，这些圆球分为4种不同的颜色，分别是红球13个，蓝球14个，剩下的是绿球和白球。要想抽出绿球的可能性最大，绿球至少有( )个，此时抽出( )球的可能性最小。 5．（25-26五年级上·湖南湘西·期末）给一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色。任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要将( )个面涂成红色。 6．（25-26五年级上·广东汕头·期末）盒子里有5个红球，3个白球，2个黄球，任意摸一个，有( )种可能，如果一次任意摸出6个，其中一定有( )球。 7．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）盒子中有大小材质完全相同的白球和黑球（如下图）。 (1)任意摸出一个球，摸出( )球的可能性大。 (2)任意摸出两个球，有( )种可能的结果，分别是( )。 8．箱子里有个黑球，个蓝球，个白球，要使摸到蓝球的可能性是，应再向箱子中放入________个蓝球． 9．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 可能性『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 事件的确定性与不确定性 3 知识点二 可能性大小 3 知识点三 可能性的应用 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 事件的确定性与不确定性 3 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 5 高频考点三 可能性大小的应用 6 高频考点四 概率的认识 8 高频考点五 游戏规则的公平性 10 高频考点六 简单事件发生的可能性求解 11 高频考点七 生活中的概率 13 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 13 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 14 奥数拓展三 可能性大小的应用 16 奥数拓展四 概率的认识 18 奥数拓展五 游戏规则的公平性 19 奥数拓展六 简单事件发生的可能性求解 21 优选真题 实战演练 22 【能力提升练】 22 【思维创新练】 27 知识点一 事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能” 。比如，今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二 可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白球多。 知识点三 可能性的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%，就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 高频考点一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西西安·期末）给袋子里装两种颜色的球共10个，除了颜色外其他都一样。要使摸到红球的可能性大，则袋中最少要装5个红球。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】要使摸到红球的可能性大，红球数量必须比另一种颜色的球多。两种球共10个，若红球装5个，另一种颜色的球也为5个，此时摸到两种球的可能性相等；红球最少需要装6个，才会比另一种颜色的球数量多，满足摸到红球可能性大的要求。 【规范解答】10÷2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 即给袋子里装两种颜色的球共10个，除了颜色外其他都一样。要使摸到红球的可能性大，则袋中最少要装6个红球。原题说法错误。 故答案为× 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽芜湖·期末）掷30次硬币，有24次正面朝上，6次反面朝上，那么掷第40次时，（    ）。 A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．正、反面都可能朝上 D．反面朝上的可能性大 【答案】C 【思路引导】事件发生的可能性的大小，对事件发生的可能大小，可以用“一定”“经常”“偶尔”“可能”“不可能”等词语来描述。 无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。 在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。 在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 硬币有正面和反面一共两个面，每次掷硬币都是独立事件，历史结果不影响下一次，所以掷硬币时，可能正面朝上，也可能反面朝上，且正面朝上和反面朝上的可能性相同，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，掷30次硬币，有24次正面朝上，6次反面朝上，那么掷第40次时，正、反面都可能朝上。 【变式训练2】（25-26五年级上·山东济宁·期末）一个盒子里有3个白球、6个红球和9个蓝球，从盒中摸一个球，可能有( )种结果，摸出( )球的可能性最小，要想让这种颜色的球摸出的可能性最大，至少还要增加( )个这种颜色的球。 【答案】 3 白 7 【思路引导】盒子里有白、红、蓝3种球，任意摸出一个，可能摸到白球，也可能摸到红球，还可以摸到蓝球，共有3种结果。可能性的大小与数量有关，数量越多可能性越大，数量越少可能性越小，所以比较3种球的数量，即可得到摸出哪种球的可能性最小。要想使这种球摸出的可能性最大，这种球的数量至少要超过数量最多的球个数。 【规范解答】共有3种球，所以摸出一个球可能有3种结果。 3＜6＜9 摸出白球的可能性最小 9－3＋1＝7（个） 至少还要增加7个这种颜色的球。 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）有四张卡片分别写着11、12、14、18，同时抽出两张，求出卡片上两个数的和。和是单数的可能性大还是双数的大呢？ 【答案】可能性一样大 【思路引导】先列出从4张卡片中同时抽出两张卡片的所有组合，分别计算出每种组合两个数的和，再统计和为单数与和为双数的情况数，最后根据情况数大的可能性大判断。 【规范解答】从4张卡片中同时抽出两张卡片，所有组合为： 11＋12＝23，11＋14＝25，11＋18＝29，12＋14＝26，12＋18＝30，14＋18＝32。 计算得到的和分别为23、25、29、26、30、32，其中和为单数的有23、25、29，共3个，和为双数的有26、30、32，共3个。 因此，和是单数和双数的可能性一样大。 答：和是单数和双数的可能性一样。 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 【答案】(1)游戏规则公平。写“1”和“2”的面各有3个，“1”朝上与“2”朝上的可能性相等。 (2)游戏规则不公平。写“1”的面有4个，写“2”的面有2个，“1”朝上的可能性更大，甲赢的可能性大。 (3)游戏规则公平。小于或等于3的数有3个，大于3的数有3个，两种情况朝上的可能性相等。 【思路引导】判断游戏是否公平，需比较甲、乙两人获胜的可能性是否相等。正方体6个面朝上的可能性相同，因此只需比较两人获胜对应的面数，面数相等则可能性相等，游戏公平；面数不等则可能性不等，游戏不公平。 【规范解答】（1）写“1”的面数为3，写“2”的面数为3。3＝3，两人获胜的可能性相等，游戏公平。 （2）写“1”的面数为4，写“2”的面数为2。4＞2，甲获胜的可能性更大，游戏不公平。 （3）小于或等于3的数有1、2、3，共3个；大于3的数有4、5、6，共3个。3＝3，两人获胜的可能性相等，游戏公平。 【变式训练2】（25-26六年级下·广西柳州·期末）一个不透明的袋子里装有红球5个，黄球12个，白球20个。从中任意摸出一个球，摸到( )色球的可能性最小；如果想让摸到红球和黄球的可能性一样大，应该再往袋子里放入( )个红球。 【答案】 红 【思路引导】在总数一定的情况下，某种颜色球的数量越少，摸到的可能性就越小。数量越多，摸到的可能性就越大。 若要使摸到两种球的可能性一样大，则这两种球的数量必须相等。 根据红球和黄球现有的数量差，即可求出需要放入红球的个数。 【规范解答】①比较三种颜色球的数量： 因为，即红球数量黄球数量白球数量， 所以摸到红球的可能性最小。 ②若要使摸到红球和黄球的可能性一样大，则袋中红球的数量应与黄球的数量相等。 黄球有个，红球现有个， 需要放入红球的数量为：（个）。 高频考点三 可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·河北沧州·期末）袋子里有5颗白球、3颗黑球，摸到( )球的可能性大；再放入( )颗( )球（填“白”或“黑”），摸到两种球的可能性相等。 【答案】 白 2 黑 【思路引导】袋子中某颜色球的数量越多，摸到该颜色球的可能性越大，所以先对比白球和黑球的现有数量即可得出第一个空的结论。 两种球的数量相同，摸到的可能性相等，所以先用减法计算出两种球的数量差，即可得到需要放入的球的数量和颜色。 【规范解答】原有5颗白球、3颗黑球，，白球数量更多，所以摸到白球的可能性大。 （颗） 因此需要再放入2颗黑球，让两种球数量都是5颗，摸到的可能性就相等了。 【变式训练1】（25-26四年级上·陕西西安·期末）从一个箱子中任意摸球，摸后放回，共摸30次，结果如图所示。这很可能是从（    ）箱摸的。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】一个完整的"正"字由5笔组成，代表5，一划代表1，据此计算出摸到红球和绿球的次数，根据摸到各种颜色的球的次数及摸球的总次数，可以推测各种球的个数可能是多少，据此解答。 【规范解答】红球：3×5＋3 ＝15＋3 ＝18（次） 绿球：2×5＋2 ＝10＋2 ＝12（次） 一共摸了30次，结果摸到18次红球，12次绿球，摸到红球的次数比摸到绿球的次数多得多，则盒子里可能红球的个数比绿球多得多。 A．8个红球，8个绿球，二者数量相等，不符合题意； B．10个红球，6个绿球，红球比绿球多4个，符合题意； C．6个红球， 10个绿球，红球比绿球少4个，不符合题意； D．3个红球， 13个绿球，红球比绿球少10个，不符合题意； 【变式训练2】（25-26五年级上·江西吉安·期末）一个盒子里装有3个红球，5个黄球，6个绿球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大。要使摸到红球和黄球的可能性相等，至少需要再放入( )个红球。 【答案】 绿 2 【思路引导】根据可能性大小的判断方法，比较袋子里红球、黄球、绿球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大。 红球有3个，黄球有5个，要使摸到红球和黄球的可能性相等，那么红球和黄球的数量要相等，求出现在红球、黄球的数量差即可得解。 【规范解答】6＞5＞3 绿球的数量最多，所以摸到绿球的可能性大； 5－3＝2（个） 要使摸到红球和黄球的可能性相等，至少需要再放入2个红球。 高频考点四 概率的认识 【典例精讲】下面说法正确的是（    ）。 A．明天下雨的可能性很小，那么明天一定不会下雨 B．抛一枚均匀的硬币，正面朝上与反面朝上的可能性是一样的 C．淘气投篮10投10中，第11次投篮一定会命中 D．抛普通骰子，质数朝上甲赢，合数朝上乙赢，这个游戏规则是公平的 【答案】B 【思路引导】根据可能性的大小分析各选项即可； 可能性相等时，游戏规则公平； 一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【规范解答】A．明天下雨的可能性很小，但是也可能下雨，原题说法错误，故不符合题意； B．抛一枚均匀的硬币，正面朝上与反面朝上的可能性是一样的，都是，原题说法正确，故符合题意； C．淘气投篮10投10中，第11次投篮可能会命中，也可能不会命中，原题说法错误，故不符合题意； D．质数有2、3、5，有3个，质数朝上的可能性：3÷6＝，合数有4、6，有2个，合数朝上的可能性：2÷6＝，≠，这个游戏规则不是公平的，原题说法错误，故不符合题意。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级上·全国·单元测试）小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少？ 【答案】 【思路引导】列举出所有可能出现的结果，找出其中一颗是牛奶味的情况，另一颗也是牛奶味的情况，求出小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少即可。 【规范解答】巧克力味的糖简称巧，果味简称果，两颗牛奶味分别简称牛1、牛2。取出两颗糖一共有6种情况：巧果，巧牛1，巧牛2，果牛1，果牛2，牛1牛2。其中一颗是牛奶味的情况有5种，另一颗也是牛奶味的情况占1种。 答：小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是。 【变式训练2】笑笑的爸爸买了某场音乐会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给笑笑，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行，笑笑和哥哥从各自的四张牌中随机抽一张，然后将抽出的扑克牌数字相加，如果和为偶数则笑笑去，如果和为奇数则哥哥去。 哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。 【答案】见解析 【思路引导】对于游戏公平性问题，应当分别求出每种事件发生的概率，若概率相等则游戏公平，反之，则不公平。根据两次抽出卡片上的数字所有可能出现的结果，分别求出两人获胜的概率，并进行比较即可得出答案。 【规范解答】根据题意，列表如下： 4 6 7 8 2 2＋4＝6 2＋6＝8 2＋7＝9 2＋8＝10 3 3＋4＝7 3＋6＝9 3＋7＝10 3＋8＝11 5 5＋4＝9 5＋6＝11 5＋7＝12 5＋8＝13 9 9＋4＝13 9＋6＝15 9＋7＝16 9＋8＝17 由上表可知，两张扑克牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种。 因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有10种，则笑笑去的概率为，哥哥去的概率为，，笑笑去的概率低于哥哥去的概率。可把笑笑的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同，即游戏公平。 【考点剖析】考查游戏规则的公平性。明确概率相同游戏规则公平，概率不同游戏规则不公平。 高频考点五 游戏规则的公平性 【典例精讲】（25-26五年级上·广东清远·期末）下面有四个游戏，（    ）游戏对小刚和小红是公平的。 A．摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B．转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C．掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D．抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 【答案】D 【思路引导】判断游戏公平性的依据是双方获胜的可能性是否相等。如果双方获胜的可能性相等，游戏公平；否则，游戏不公平。需要分别分析四个选项中双方获胜的情况数量进行比较。 【规范解答】A．袋子里有3个红球和2个白球，3≠2，摸到红球和摸到白球的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； B．转盘上4块红色，2块蓝色，4≠2，指向红色和指向蓝色的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； C．掷骰子，点数大于3的有 4、5、6，共3种情况；点数小于3的有 1、2，共2种情况。3≠2，双方获胜的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； D．抛硬币，正面朝上和反面朝上各只有1种情况，1＝1，双方获胜的可能性相等，此选项正确。 所以D选项游戏对小刚和小红是公平的。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）王慧和王敏用下面转盘玩游戏，指针停在质数上王慧赢，指针停在合数上王敏赢。游戏公平吗？指针停在质数上有( )种情况；指针停在合数上有( )种情况。这两种可能性( )，所以游戏( )。 【答案】 4 3 不相等 不公平 【思路引导】质数是除了1和它本身没有其它的因数，合数是除了1和它本身还有其它的因数，1既不是质数也不是合数。据此找出质数和合数各有几个，有几个就有几种情况，两者个数相等时游戏公平，否则不公平，据此解题。 【规范解答】2的因数只有1和2； 3的因数只有1和3； 5的因数只有1和5； 7的因数只有1和7； 4的因数有1、2、4； 6的因数有1、2、3、6； 8的因数有1、2、4、8； 质数：2、3、5、7 合数：4、6、8、 指针停在质数上有4种情况；指针停在合数上有3种情况。这两种可能性不相等，所以游戏不公平。 【变式训练2】（25-26五年级上·河南南阳·期末）乐乐和笑笑下五子棋，他们用掷骰子的方式决定谁先走。骰子落地后，朝上的点数是单数，乐乐先走；朝上的点数是双数，笑笑先走。这个规则对双方( )。（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【思路引导】骰子上有1到6，一共6个数字，如果这6个数字中单数和双数的个数相等，就说明游戏规则公平，否则不公平。据此解答。 【规范解答】1到6中，单数有1、3、5，共3个，双数有2、4、6，共3个，3＝3，所以这个规则对双方公平。 高频考点六 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25六年级下·河南驻马店·期末）一副扑克牌共54张，去掉大小王后，从中任意摸出一张，摸出黑桃的可能性是( )，摸出黑桃2的可能性是( )。 【答案】 【思路引导】已知一副扑克牌原本共54张，去掉大小王2张，共有52张牌。在这52张牌中，黑桃牌有13张，黑桃2只有1张。 用黑桃牌的数量除以牌的总数，求出摸出黑桃的可能性； 用黑桃2的数量除以牌的总数，求出摸出黑桃2的可能性。 【规范解答】54－2＝52（张） 摸出黑桃的可能性是：13÷52＝ 摸出黑桃2的可能性是：1÷52＝ 【变式训练1】（25-26五年级上·贵州铜仁·期末）标有1、2、3、4、5的五张卡片，正面朝下任取一张，抽到大于4的可能性比抽到小于4的可能（    ）。 A．大 B．小 C．相等 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】先分别找出大于4的数字个数和小于4的数字个数，再直接比较这两个数量的大小，数量多的那种情况，发生的可能性就大。 【规范解答】大于4的卡片只有一张5； 小于4的卡片有1、2、3共3张； 1＜3 所以抽到大于4的可能性比抽到小于4的可能性要小。 【变式训练2】（25-26五年级上·河北保定·期末）口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 【答案】 9 4 【思路引导】①要组成两位数，十位上不能是0，列举出十位上的数字是1、2、5时组成的两位数，统计所有可能的情况； ②个位数字是1、5的数是奇数。 【规范解答】十位上的数字是1时，组成的两位数有：10、12、15共3种情况； 十位上的数字是2时，组成的两位数有：20、21、25共3种情况； 十位上的数字是5时，组成的两位数有：50、51、52共3种情况； 组成的两位数有： 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（种） 组成的9种情况中，是奇数的可能性有15、21、25、51共4种情况。 高频考点七 生活中的概率 【典例精讲】（24-25五年级上·河南周口·期末）在一个盒子里装有红球、黄球和白球各1个，从中任意摸出两个，有( )种可能的结果，请分别写出这几种结果( )。 【答案】 3 红球和黄球、红球和白球、黄球和白球 【思路引导】先确定一种颜色的球，用另外两种颜色的球去搭配，据此列出所有可能的结果，数一数即可。 【规范解答】在一个盒子里装有红球、黄球和白球各1个，从中任意摸出两个，有3种可能的结果，分别是：红球和黄球、红球和白球，黄球和白球。 【变式训练1】游乐园里推出了一种彩票刮卡中奖活动，规定的中奖率是十分之一，奖金总额是3000元。熙熙用20元购买了10张彩票，以为可以中奖，结果什么奖也没有中。这是为什么呀？请你用学过的数学知识来帮熙熙解开这个疑团。 【答案】答案见解析 【思路引导】因为中奖率是指中奖的彩票张数占彩票总数量的，即：可能性＝中奖彩票数÷彩票总数，因为彩票总数量不知道，而并不是只有10张，可能有很多张，据此解答即可。 【规范解答】因为是一个中奖可能性，即：彩票张数并不是只有10张，可以有许多张，所以获奖彩票完全可以出现在剩下的彩票里，因此社会助残机构并不是欺骗了熙熙，只是熙熙买的彩票里正好没有中奖奖券，都在剩下的彩票里。 【考点剖析】本题考查可能性的大小，解决本题的关键是掌握可能性＝中奖彩票数÷彩票总数。 【变式训练2】鑫鑫老师投掷2枚骰子，得到的点数之和是15．    ( )（判断对错） 【答案】× 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【答案】 3 2 1 【思路引导】盒子里有3个不同数字的小球（1、3、5），任意摸一个，有3种可能性。 最开始时，标注数字1、3、5的小球各1个，要让摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，即标注5的小球数量​＞标注3的小球数量​＞标注1的小球，现标注1的小球有1个，要使标注3的小球数量比标注1的小球数量多，还得最少，所以标注3的小球数量应该有2个，现有1个，所以需要再放入2－1＝1个；同理标注5的小球数量比标注3的小球数量多，还得最少，那么标注5的小球数量应该有3个，现有1个，所以需要再放入3－1＝2个。 【规范解答】要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，所以标注3的小球最少有2个，标注5的小球最少有3个。 2－1＝1（个） 3－1＝2（个） 因此，盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有3种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入2个标有5的小球，至少再放入1个标有3的小球。 【考点剖析】从最少数量的球（本题为1个）出发，推导其他球需要满足的最少数量，然后用目标数量减去现有数量，得到每种球需要添加的最少个数。 【变式训练】佳佳、青青、羽羽三人是五（1）、五（2）、五（3）的体育强将。在学校运动会上，她们分别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将还不清楚，只知道五（2）班同学获得了跳绳冠军，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班的学生？分别获得哪项冠军？ 【答案】佳佳是五（2）班的学生，获得跳绳冠军；青青是五（3）班的学生，获得百米赛跑冠军；羽羽是五（1）班的学生，获得跳远冠军。 【思路引导】根据“佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军”可知羽羽获得了跳远冠军，是五（1）的； 根据“五（2）班同学获得了跳绳冠军，青青也不是五（2）班的学生”，已知羽羽获得了跳远冠军，可知，佳佳获得了跳绳冠军，并且是五（2）班； 则剩下的青青获得百米赛跑冠军，是五（3）班的； 【规范解答】佳佳是五（2）班的学生，获得跳绳冠军；青青是五（3）班的学生，获得百米赛跑冠军；羽羽是五（1）班的学生，获得跳远冠军。 【考点剖析】解答本题时，一定要弄清楚已知信息，找到它们之间的关系。 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃定西·期末）共有10张分别写有1~10的卡片，任意抽两张相加，和是单数的可能性大。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断抽两张卡片和的单数、双数可能性大小，要先根据可能性的判断方法，明确总情况数不变时，符合条件的情况数越多，可能性就越大；再结合1~10中有5个奇数、5个偶数的特点，以及“奇数＋偶数＝单数，同奇偶相加＝双数”的规律，统计出和为单数需要抽一奇一偶，有5×5＝25种情况，和为双数需要抽两个奇数或两个偶数，各有10种共20种情况，因为25种多于20种，所以和是单数的可能性更大。 【规范解答】1~10中，奇数有5张（1、3、5、7、9），偶数有5张（2、4、6、8、10）。 和为单数的情况： 奇数1可以和2、4、6、8、10搭配，共5种； 奇数3可以和2、4、6、8、10搭配，共5种； 奇数5可以和2、4、6、8、10搭配，共5种； 奇数7可以和2、4、6、8、10搭配，共5种； 奇数9可以和2、4、6、8、10搭配，共5种； 合计：5＋5＋5＋5＋5＝25（种） 和为双数的情况： ① 同奇搭配（奇数＋奇数）： 1配3、5、7、9（4种）；3配5、7、9（3种）；5配7、9（2种）；7配9（1种）； 合计：4＋3＋2＋1＝10（种） ② 同偶搭配（偶数＋偶数）： 2配4、6、8、10（4种）；4配6、8、10（3种）；6配8、10（2种）；8配10（1种）； 合计：4＋3＋2＋1＝10（种） 双数总情况：10＋10＝20（种） 25＞20 所以和是单数的可能性更大，原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】本题关键在于按照“一奇一偶和为单数、同奇同偶和为双数”的规律，先把1~10的5个奇数和5个偶数分类，再逐一统计：一奇一偶的搭配有5个奇数各配5个偶数共25种，同奇、同偶的搭配各用“4＋3＋2＋1”算出10种共20种，通过比较25种和20种的多少，就能判断和是单数的可能性更大。 【变式训练】（25-26五年级上·河南开封·期中）一个口袋里有5个球，1红、1黄、3紫，闭上眼睛，从口袋里一次摸出3个球，摸出1红1黄1紫的可能性大？还是1红2紫的可能性大？ 【答案】一样大 【思路引导】摸出球的情况有：红紫紫（3种），黄紫紫（3种），红黄紫（3种），紫紫紫（1种），共10种情况，其中红黄紫和红紫紫都是3种，出现的可能性是一样大的。 【规范解答】摸出1红1黄1紫有3种情况： 1红、1黄、紫（1）； 1红、1黄、紫（2）； 1红、1黄、紫（3）； 摸出1红2紫也有3种情况： 1红、紫（1）、紫（2）； 1红、紫（1）、紫（3）； 1红、紫（2）、紫（3）。 即摸出红黄紫和红紫紫都是3种，出现的可能性一样大。 答：摸出1红1黄1紫和1红2紫的可能性一样大。 【考点剖析】解题关键是使用列举的方法找出摸出1红1黄1紫和摸出1红2紫分别有几种情况从而判断可能性的大小。 奥数拓展三 可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期中）乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个，其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入（    ）个红球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】黄球比白球多1个，要使红球的可能性最大，而且还要保证放入的红球数量是最少的，白球如果是1个的话，放入红球的数量不是最少的，白球如果是3个的话，摸到红球的可能性不是最大的，所以白球应该有2个,黄球的数量就是比2多1，用一共的球数减去白球数再减去黄球数即可求出至少应放入的红球数。 【规范解答】（个） (个） 则至少应放入5个红球。 故答案为：B 【考点剖析】要解决这个问题，需明确可能性大小与数量多少的关系：在总数一定时，哪种球的数量越多，摸到的可能性越大；反之越小。已知三种球共10个，要使摸到红球可能性最大，需确定白球最多能放入几个，才能保证摸到红球的可能性最大并且红球放入的数量还要是最少的。 【变式训练】（23-24五年级上·福建福州·期末）李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比，（    ）。 A．李涵胜算大 B．王萱胜算大 C．同样多 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】每个骰子同时投掷，点数和是5的可能性有5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，合计有4种可能；点数和是6的可能性有6＝1＋5＝2＋4＝3＋3＝4＋2＝5＋1，合计有5种可能；点数和是7的可能性有7＝1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，合计有6种可能。即李涵赢的可能性有4＋5＋6＝15（种）。点数和是9的可能性有9＝3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，合计有4种可能；点数和是10的可能性有10＝4＋6＝5＋5＝6＋5，合计有3种可能；点数和是11的可能性有11＝5＋6＝6＋5，合计有2种可能。即王萱赢的可能性有4＋3＋2＝9（种）可能，出现多的赢的可能性大，据此判断。 【规范解答】点数和是5的可能性有5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，合计有4种可能； 点数和是6的可能性有6＝1＋5＝2＋4＝3＋3＝4＋2＝5＋1，合计有5种可能； 点数和是7的可能性有7＝1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，合计有6种可能。 李涵赢的可能性有：4＋5＋6＝15（种） 点数和是9的可能性有9＝3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，合计有4种可能； 点数和是10的可能性有10＝4＋6＝5＋5＝6＋5，合计有3种可能； 点数和是11的可能性有11＝5＋6＝6＋5，合计有2种可能。 即王萱赢的可能性有：4＋3＋2＝9（种） 15＞9，即李涵胜算大。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查可能性的大小，数量多的赢的可能性就大，根据日常生活经验判断。 奥数拓展四 概率的认识 【典例精讲】从如图所示的4张牌中，任意抽取两张。其点数和是奇数的概率是_________。 【答案】 【规范解答】先画树状图： 很容易可以算出，任意抽取两张，其点数和共有9、10、12、11、13、14六种可能的结果。和是奇数的概率是3÷6＝ 【变式训练】有一个箱子里放着一些黄色球，为了估计球的数量，我们把20个白色球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色球？ 【答案】180个 【思路引导】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出白球的概率之后，白球的数量已知，再除以概率，就是球的总量，减去白球的数量即为黄球的数量． 【规范解答】摸到白球的概率是3÷30= 20÷﹣20 =200﹣20 =180（个） 答：估计箱子里原来大约有180个黄色乒乓球． 【考点剖析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键． 奥数拓展五 游戏规则的公平性 【典例精讲】（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）有两个人玩“抢10”的游戏，游戏规则如下：第一个人先说“1”或“1，2”；第二个人接着往下说一个或两个数，然后轮到第一个人说一个或两个数都可以，但是不能连说三个数，谁先抢到10，谁就胜。 （1）你认为这个游戏公平吗？说明你的理由。 （2）你有必胜的把握吗？说明你获胜的策略。 【答案】（1）不公平；因为这个游戏谁先开始，谁就有必胜的策略；（2）有；见详解 【思路引导】（1）根据规则可知，最后一个人抢到10就获胜，每个人只能说一个或两个数，所以获胜的人必须抢到7，要想抢到7，就必须抢到4，同理，必须抢到1。所以谁抢到1谁就有必胜的把握。这个游戏谁先开始，谁就有必胜的策略，所以这个游戏不公平。 （2）只要我先开始，我就有必胜的把握，策略见（1）。 【规范解答】（1）不公平；因为这个游戏谁先开始，谁就有必胜的策略。 （2）我有必胜的把握，只要我先开始，抢到1，之后按照每轮总数为 3 个数的规律，依次能抢到 4、7、10，从而获胜。 【考点剖析】本题考查的是必胜策略问题，首先判断自己是先手还是后手，然后再确定具体的策略。 【变式训练】资料卡： 明明和亮亮各有2、5、6、8四张卡片，他们分别抽出一张，再把上面的两数相加，若和是双数，明明获胜；若和是单数，则亮亮获胜。 请根据以上信息自主选择问题并解答。 （1）明明和亮亮从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，可能抽到（    ）【多选】，不可能抽到（    ）。 A．2         B．5         C．6           D．8        E.9 （2）明明从2、5、6、8四张卡片中抽出一张，有（    ）种可能出现的结果，每种结果出现的可能性（    ），出现其中任意一种结果的可能性是（    ）。 （3）他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是双数的可能性有几种，分别是哪几种？（请列举出来） （4）他们从各自卡片中分别抽出一张，再把上面的两数相加，和是单数的可能性有几种，分别是哪几种？（请列举出来） （5）这个游戏公平吗？为什么？ （6）如果你是一名游戏设计者，请你利用题目中的四张卡片，设计出一个公平的游戏。 【答案】（1）ABCD；E （2）4；一样大； （3）见详解 （4）见详解 （5）见详解 （6）见详解 【思路引导】（1）可能抽到的是确实存在的卡片，不可能抽到的是不存在的卡片。 （2）一共四张卡片所以有4种可能出现的结果，每个数字卡片数量相同所以每种结果的可能性都一样大，根据可能性的求法可知，都是1÷4＝。 （3）和是双数可能是双数＋双数，也可能是单数＋单数，枚举即可。 （4）和是单数说明是单数＋双数，枚举即可。 （5）通过（4）（5）小问可以发现两个人获胜的情况数量不相同即可能性不同，所以不公平。 （6）要让游戏公平就一定要做到两个人获胜的可能性相等。可以将两人各一套（四张）卡片改为两人共用四张卡片，一人从中抽取一张，和为双数明明获胜，和为单数亮亮获胜。（方案不唯一） 【规范解答】（1）根据分析可知，可能抽到ABCD，不可能抽到E。 （2）1÷4＝ 有4种可能出现的结果，每种出现的可能性都一样大，都是。 （3）2＋2＝4；2＋6＝8；2＋8＝10；5＋5＝10；6＋2＝8；6＋6＝12；6＋8＝14；8＋2＝10；8＋6＝14；8＋8＝16，一共10种 答：和为双数的可能性有10种，包括他们分别取得2、2；2、6；2、8；5、5；6、2；6、6；6、8；8、2；8、6；8、8。 （4）2＋5＝7；5＋2＝7；5＋6＝11；5＋8＝13；6＋5＝11；8＋5＝13，一共6种 答：和为单数的可能性有6种，包括他们分别取得2、5；5、2；5、6；5、8；6、5；8、5。 （5）10＞6，也就是说明明明获胜的可能性更大。 答：不公平，因为明明获胜的可能性更大。 （6）根据分析可以将游戏设计为：两人共用一套2、5、6、8四张卡片，一人从中抽取一张，和为双数明明获胜，和为单数亮亮获胜。 若共用四张卡片，抽取情况可能有：2＋5＝7；2＋6＝8；2＋8＝10；5＋2＝7，5＋6＝11；5＋8＝13；6＋2＝8；6＋5＝11；6＋8＝14；8＋2＝10；8＋5＝13；8＋6＝14，共12种情况，其中和为单、双数各6种，可能性一样大，游戏公平。（方案不唯一） 【考点剖析】本题重点考查可能性的大小，解题关键在于枚举出所有可能出现的情况。 奥数拓展六 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】国庆节期间，某商家举办“砸金蛋”活动准备了含有一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个等级的金蛋共100个。如果你是活动主办方，你会怎样设定这四个等级的金蛋数量？ 【答案】一等奖1个金蛋，二等奖5个金蛋，三等奖10个金蛋，纪念奖84个金蛋。 【思路引导】根据题意，联系生活实际，我们都知道作为活动的主办方，肯定希望一等奖最少，二等奖次之，三等奖再次之，纪念奖最多的。 【规范解答】由分析可知，我会设一等奖1个金蛋，二等奖5个金蛋，三等奖10个金蛋，纪念奖84个金蛋。 【考点剖析】此题主要考查概率在实际生活中的应用。 【变式训练】某商场设计了两个可以转动的转盘，它们每次转动停下后，都有两个数正好相对（如下图）。 （1）相对两个数的和是6的情况共有（    ）种。 （2）根据转盘上相对两个数和的不同及“获奖规则”，请你为商场设计奖项，将下面表格填写完整。 相对两个数的和 奖项 奖品 一等奖 笔记本电脑 二等奖 台灯 三等奖 签字笔 （3）按照你的设计，转动转盘时有没有不获奖的情况？如果有，请写出所有不获奖的相对两个数的和。 【答案】（1）5 （2）2或10；3或9；4或8 （3）有；5、6或7 【思路引导】（1）把这两个转盘中任意两个数的和依次求出，再数出有几种即可； （3）在第一问的基础上，组成相同和的个数最少的为一等奖，依次为二等奖、三等奖； （3）在第一和第二问的基础上，组成相同和的个数较多，不在前三等奖范围内的，即为不获奖的情况，再把它们的和写出来即可。 【规范解答】据分析知： （1）1与1、2、3、4、5组成的和分别为2、3、4、5、6；同理求出2、3、4、5分别与1、2、3、4、5的和；发现和是6的有5种； （2）从第一问知：和是2或10的各有1种，为一等奖；和是3或9的各有2种为二等奖；和是4或8的各有3种为三等奖； （3）从第一与第二问知：和是5或7的各有4种，和是6的有5种，都不在前三等奖范围内的，即为不获奖的情况。 【考点剖析】能理解好题意并依次求出它们的和是解决此题的关键。 【能力提升练】 1．（25-26五年级上·广东广州·期末）语文开展“古诗词诵读”活动。从下面8首诗词中随机抽取一首，小磊最有可能抽到的是（    ）的诗词。 举头望明月，低头思故乡。——李白 随风潜入夜，润物细无声。——杜甫 危楼高百尺，手可摘星辰。——李白 但愿人长久，千里共婵娟。——苏轼 会当凌绝顶，一览众山小。———杜甫 大漠孤烟直，长河落日圆。———王维 空山不见人，但闻人语响。———王维 不敢高声语，恐惊天上人。———李白 A．李白 B．杜甫 C．王维 D．苏轼 【答案】A 【思路引导】在随机抽取活动中，某种情况对应的数量越多，被抽到的可能性就越大。据此统计出每位诗人诗词的数量，并通过比较数量大小，即可确定可能性最大的选项。 【规范解答】李白的诗词有3首，杜甫的诗词有2首，王维的诗词有2首，苏轼的诗词有1首； 3＞2＞1 因为李白的诗词数量最多，所以在随机抽取一首时，抽到李白诗词的可能性最大。 所以，小磊最有可能抽到的是李白的诗词。 2．（25-26五年级上·湖北武汉·期末）纸箱里装有苹果、橘子、梨的卡片若干张，小明抽了30次（每次抽1张后放回摇匀），抽到苹果卡片、橘子卡片、梨卡片的次数如右下图所示。下列选项中，纸箱里卡片数量最可能装有（    ）。 A．苹果卡片10张、橘子卡片5张、梨卡片2张 B．苹果卡片5张、橘子卡片10张、梨卡片2张 C．苹果卡片2张、橘子卡片5张、梨卡片10张 D．苹果卡片10张、橘子卡片2张、梨卡片5张 【答案】A 【思路引导】小明用抽完放回的方式抽卡，也就是每次抽卡时纸箱里的卡片都是相同的，抽到每张卡的可能性都是一样的，箱子中某种卡片的数量越多，被抽到的可能性就越大，被抽到的次数就越多，抽到三种卡片次数的大小关系，基本就代表了箱子中卡片数量的大小关系。 【规范解答】抽完30次后，根据统计图，抽到苹果卡片的次数最多，橘子卡片次之，梨卡片最少。因此可以推论，三种卡片的数量关系为：苹果＞橘子＞梨，根据这一推论，只有A选项符合要求。 3．（25-26五年级上·江西宜春·期末）小红在教室的位置用数对表示是，与她相邻的小花的位置用数对表示（    ）是。 A．可能 B．不可能 C．一定 D．以上答案都不对 【答案】B 【思路引导】根据数对的含义，第一个数表示列，第二个数表示行。相邻的位置是指前后左右四个方向，即列数相同行数相差1，或行数相同列数相差1。据此分析小红相邻位置的数对特征，再与小花的位置进行对比。 【规范解答】小红的位置是，表示第3列第4行。与小红相邻的位置应满足：列数是3且行数是3或5，或者行数是4且列数是2或4。即相邻位置的数对可能是、、、。小花的位置是，表示第5列第6行。因为不在相邻位置的数对范围内，所以小花的位置不可能是。 4．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】依据质数和合数的定义，分别统计1－10中质数和合数的个数，数量相等，则抽到的可能性也相等。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除，还能被其他数（0除外）整除的数。注意1既不是质数也不是合数。 【规范解答】在1~10中，质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6、8、9、10，共5个。 因为5＞4，即合数的个数比质数的个数多。数量越多，抽到的可能性越大，所以抽到合数的可能性更大。两者可能性不相等。故原题说法错误。 故答案为：× 5．（25-26五年级上·河南周口·期末）从1～10数字卡片中任意抽一张，抽出单数和双数的可能性相同。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】分别找出1～10的数字卡片中，双数、单数的张数。要判断抽出单数和双数的可能性是否相同，需比较两者的数量。数量多的抽出的可能性大，数量少的抽出的可能性小，数量相等，抽出的可能性相等。据此解答。 【规范解答】在1～10中，单数有1、3、5、7、9，共5张，双数有2、4、6、8、10，共5张 双数和单数的数量相等，因此抽出单数和双数的可能性相同。 原题说法正确。 故答案为：√ 6．（25-26五年级上·河北·课后作业）妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 【答案】2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力（答案不唯一） 【思路引导】选出的2颗巧克力口味相同时，2颗夹心巧克力、2颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力；选出的2颗巧克力口味不同时，夹心巧克力和黑巧克力、夹心巧克力和牛奶巧克力、夹心巧克力和杏仁巧克力，黑巧克力和牛奶巧克力、黑巧克力和杏仁巧克力、牛奶巧克力和杏仁巧克力，据此按顺序列举，做到不重复不遗漏，最后任选3种。 【规范解答】分析可知： 夹心巧克力 （5颗） 黑巧克力 （3颗） 牛奶巧克力 （2颗） 杏仁巧克力 （1颗） 选法1 2颗 选法2 2颗 选法3 2颗 选法4 1颗 1颗 选法5 1颗 1颗 选法6 1颗 1颗 选法7 1颗 1颗 选法8 1颗 1颗 选法9 1颗 1颗 答：贝贝选的巧克力可能是2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力。（答案不唯一） 7．（25-26五年级上·河北·课后作业）掷两颗骰子，朝上的点数之和有几种可能？（请列举出来） 【答案】见详解 【思路引导】一颗骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两枚骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。 【规范解答】 则掷一颗骰子，朝上的面的点数有6种可能的结果。同时掷两颗骰子，朝上的面的点数之和有11种可能的结果，分别是：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。 答：有11种可能，分别是：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。 8．（24-25五年级上·河北·课后作业）从4张数字卡片中任意抽取2张，组成一个两位数。 （1）这个两位数可能是多少？列举出来。 （2）如果任意抽取3张，组成一个三位数，这个三位数可能是多少？列举出来。 【答案】（1）12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43。 （2）123、132、124、142、134、143、213、231、214、241、234、243、312、321、314、341、324、342、412、421、413、431、423、432。 【思路引导】（1）组成两位数，可先抽1放在十位上，再分别抽2、3、4放在个位上组成两位数；再抽2放在十位上，分别抽另外三个数字放在个位上组成两位数。依次类推，直到找出所有组成的两位数。 （2）组成三位数，先抽1放在百位上，再抽2和3分别放在十位和个位上，再把2和3交换位置，分别组成三位数，接着抽2和4分别放在十位和个位上，再把2和4交换位置，分别组成三位数，再接着抽3和4分别放在十位和个位上，再把3和4交换位置，分别组成三位数。然后抽2放在百位上，依照以上方式排列，直到找出所有组成的三位数。 【规范解答】（1）这个两位数可能是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43。 （2）这个三位数可能是：123、132、124、142、134、143、213、231、214、241、234、243、312、321、314、341、324、342、412、421、413、431、423、432。 9．（24-25五年级上·河北·课后作业）一个盒子中放有2个红球和2个黄球。从中任意摸出2个球，可能会是什么颜色的球？把所有的可能性都列出来。 【答案】见详解 【思路引导】球的颜色有2种，且每种都是2个，这样每次拿两个球的话，单一的颜色有2种情况，两两组合又有1种情况，一共3种可能，据此解答。 【规范解答】答：可能拿出2个红球或者2个黄球，1个红球和1个黄球。 10．（25-26五年级上·陕西安康·期末）按要求在下面转盘的每一格里填上数字1，2或3。 (1)指针可能停在1，2或3区域。 (2)指针可能停在1，2或3区域，并且停在2区域的可能性最大，停在1区域的可能性最小。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）各区域只要包含1，2和3，指针就可能停在1，2或3区域。 （2）各区域包含1，2和3，且2区域最多，1区域最少，指针停在2区域的可能性就最大，停在1区域的可能性就最小。 【规范解答】（1） （答案不唯一） （2） （答案不唯一） 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·山东济南·期末）下面是某路口的交通信号灯时间设置统计表，妈妈开车经过这个路口时，（    ）。 红灯 绿灯 黄灯 60秒 40秒 3秒 A． 遇到红灯的可能性大。 B．遇到绿灯的可能性大。 C．遇到黄灯的可能性大。 【答案】A 【思路引导】根据三种灯的时间长短即可判断，时间越长的灯遇到的可能性越大，时间越短的灯遇到的可能性越小。 【规范解答】60秒＞40秒＞3秒 所以，妈妈开车经过这个路口时，遇到红灯的可能性大。 2．（25-26五年级上·四川雅安·期末）丽丽从一个装有红、黄两种颜色球（除颜色外均相同）的盒子里任意摸出一个球，记录下颜色后放回。一共摸了20次，其中摸到红球12次，摸到黄球8次，下列说法正确的是（    ）。 A．盒子里一定装了20个球 B．盒子里的红球可能比黄球多 C．盒子里的黄球一定比红球少 D．盒子里的红球和黄球个数一定相同 【答案】B 【思路引导】根据题意，丽丽从装有红、黄两种颜色球的盒子里摸球20次，记录后放回，其中摸到红球12次，黄球8次。这是一个有放回的随机摸球试验，摸到红球的次数多于黄球，只能说明摸到红球的可能性更大，据此解答。 【规范解答】在有放回的摸球试验中，摸到某种颜色球的次数多，只能说明该颜色球数量可能更多，而非“一定”更多。 A．盒子里球的总数与摸球次数无关，不一定是20个，错误。 B．摸到红球次数多，说明盒子里的红球可能比黄球多，正确。 C．不能确定黄球一定比红球少，只是可能性小，错误。 D．红球和黄球个数不一定相同，错误。 故答案为：B 3．某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满元者得奖券一张，多购多得，每张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，那么买元商品的中奖概率应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由于张奖券为一个开奖单位，共设个．所以买元商品的中奖概率应该是用总共奖项个数除以一个开奖单位，据此解答即可． 【规范解答】买元商品的中奖概率为： ． 故选． 4．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）不透明箱子里有54个大小相同的圆球，这些圆球分为4种不同的颜色，分别是红球13个，蓝球14个，剩下的是绿球和白球。要想抽出绿球的可能性最大，绿球至少有( )个，此时抽出( )球的可能性最小。 【答案】 15 白 【思路引导】根据可能性的大小与物体数量的多少有关，数量越多，被抽到的可能性越大。首先计算绿球和白球的总数量，然后结合已知红球和蓝球的数量，确定绿球数量必须满足的条件（多于其他所有颜色），从而求出绿球的最小值，最后比较四种颜色球的数量确定可能性最小的颜色。 【规范解答】绿球和白球的总数量： （个） 绿球的最小数量： 已知红球个，蓝球个。要使抽出绿球的可能性最大，绿球的数量必须多于红球、蓝球和白球。 因为蓝球有个，所以绿球数量至少要大于，即至少为个。 此时白球的数量：（个） 比较四种颜色球的数量： 绿球个，蓝球个，红球个，白球个。 所以绿球数量最多，可能性最大；白球数量最少，可能性最小。 5．（25-26五年级上·湖南湘西·期末）给一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色。任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要将( )个面涂成红色。 【答案】4 【思路引导】正方体共有6面且6个面均被涂色，当红色有3面时，剩下3个面，不能满足蓝色和黄色面朝上的可能性相等，当这个正方体的4个面涂成红色时，剩下的两个面，1个涂蓝色，1个涂黄色，符合题意。 【规范解答】给一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色。任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要将4个面涂成红色。 6．（25-26五年级上·广东汕头·期末）盒子里有5个红球，3个白球，2个黄球，任意摸一个，有( )种可能，如果一次任意摸出6个，其中一定有( )球。 【答案】 3 红 【思路引导】（1）确定盒子中球的颜色种类，颜色种类即为摸一个球的可能结果数； （2）先计算非红球（白球和黄球）的总数，与6比较，若总数小于6，则摸6个球一定有红球。 【规范解答】（1）盒子里有红球、白球、黄球三种不同颜色的球，任意摸一个球，可能摸到红球，可能摸到白球，也可能摸到黄球，因此有3种可能。 （2）白球和黄球的总数：3＋2＝5（个），因为5＜6，所以若一次摸出6个球，即使先将所有白球和黄球（共5个）全部摸出，第6个球只能是红球，因此一定有红球。 7．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）盒子中有大小材质完全相同的白球和黑球（如下图）。 (1)任意摸出一个球，摸出( )球的可能性大。 (2)任意摸出两个球，有( )种可能的结果，分别是( )。 【答案】(1)黑 (2) 3 2个黑球、2个白球、1个黑球1个白球 【思路引导】（1）先数出黑球和白球的数量，数量越多，摸出的可能性越大。 （2）按球的颜色组合分类，列举所有可能的情况，统计种类。 【规范解答】（1）黑球数量：5个，白球数量：3个，5＞3，黑球多，摸出的可能性大。 （2）组合情况：2个黑球、2个白球、1个黑球1个白球，共3种。 8．箱子里有个黑球，个蓝球，个白球，要使摸到蓝球的可能性是，应再向箱子中放入________个蓝球． 【答案】2 【思路引导】首先求出箱子里原来一共有多少个球；然后根据摸到蓝球的可能性是，则摸到黑球、白球的可能性是：，用黑球、白球的个数除以，再减去原来球的数量，求出应再向箱子中放入多少个蓝球即可． 【规范解答】 （个） 故答案为． 9．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【答案】甲有获胜的可能；方案见详解 【思路引导】根据题意，两人每次一共要拿走7枚棋子，可知在最后一次拿棋子之前，甲一定要拿到第52枚、第45枚、第38枚……第3枚棋子。所以甲先拿棋子时，可以先拿3枚棋子，使余下的棋子数是7的倍数，之后甲每次拿走的棋子数和乙拿走的棋子数凑成7，也就是说，乙拿走3枚棋子，甲就要拿走4枚棋子；乙拿走4枚棋子，甲就要拿走3枚棋子。两人每次一共拿走7枚棋子，才能保证甲获胜，据此解答。 【规范解答】59÷（3＋4） ＝59÷7 ＝8（次）……3（枚） 只要甲初次拿走3枚棋子，之后甲每次拿走的棋子数和乙每次拿走的棋子数凑成7就能保证甲获胜。 【考点剖析】甲要想获胜就一定要拿到第59枚棋子，所以甲先拿走多少枚棋子是解题关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null