第七单元 用字母表示数量关系（一）-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+8个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题）2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“用字母表示数量关系”知识体系，知识梳理部分用表格归纳数量关系模型、运算定律及图形公式，分点解析书写规范、化简求值步骤等核心要点，清晰呈现从基础表示到稍复杂关系的递进脉络，突出等式性质、数与形等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，考点讲练涵盖购物盈利、相遇问题等真题题型，奥数拓展包含数与形规律（如摆六边形小棒）、自定义运算等提升题，培养抽象能力与模型意识。知识梳理附提分技巧，分层演练助力基础巩固与培优拔尖，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第七单元 用字母表示数量关系（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 4 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 5 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 6 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数) 7 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 7 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 8 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 8 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 9 高频考点六 等式的性质1 9 高频考点七 等式的性质2 9 高频考点八 利用等式的性质解决问题 10 难点突破 奥数拓展 10 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数) 10 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 11 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 11 奥数拓展四 等式的认识及列等量关系式 11 奥数拓展五 等式的性质1 12 奥数拓展六 等式的性质2 12 优选真题 实战演练 12 【能力提升练】 12 【思维创新练】 15 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数) 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）一个日记本的进货价是3.8元，王阿姨购进a本这样的日记本并以5元的价钱售出，王阿姨进货一共花了( )元，如果全部卖出盈利( )元。 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）一本书有c页，小明每天看8页，看了n天，还剩( )页没看。 【变式训练2】（26-27五年级上·全国·课后作业）学校买来x个足球，每个65元，一共花了( )元。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（25-26五年级上·广西玉林·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．含有未知数的式子一定是方程 B．（a＋b）c＝ac＋bc运用了乘法交换律 C．因为22＝2×2，所以a2＝2a D．如果3x＋4＝19，那么2x＋7＝17 【变式训练1】（24-25五年级上·上海宝山·期末）一块长方形菜地长25米，宽10米，如果长增加a米，宽不变，面积增加( )平方米，新的长方形周长是( )米。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东深圳·期末）除了拼接的方法，还有同学提出：可以将一个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形（如下图），请分别写出这个平行四边形和三角形的面积（用a、b、h字母表示）。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 工厂每天生产m个零件，生产了n天后，还剩下120个没生产，这批零件一共有多少个？ 【变式训练1】（25-26五年级下·山西吕梁·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 【变式训练2】（25-26五年级下·福建龙岩·期末）若M＝100×a＋10×b＋6，M一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．6 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期末）如果你是一个足球队的领队，学校要求你带领学校足球队15人到重庆参加5天足球比赛，请你设计一个表格预算总费用。（不清楚的价格可用字母代替，比如：高铁票单价a元） 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 (1)当时，( )20，( )20。 (2)当时，( )28，( )28。 (3)当时，( )15，( )15。 (4)当时，( )15，( )15。 【变式训练2】（25-26五年级下·陕西西安·期末）如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对的面上两个数互为倒数，则x－y＋z＝( )。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25五年级下·山西大同·期末）2024年，无锡市第二条市域轨道交通线（S2线）正式启动土建施工，助力轨道交通“一体两翼”格局再提速。S2线全长约61.5千米，比无锡市首条市域轨道交通线（S1线）的2倍多0.7千米，S1线全长约多少千米？（先将数量关系补充完整，再列方程解答） ______线的全长×2倍＋______千米＝______线的全长 【变式训练1】（24-25五年级下·山西大同·期末）在5x÷8、M－21＝5.3、6x＞15、1.6＋3＝4.6、8÷9＝2N五个式子中，方程有（    ）个，等式有（    ）个。（    ） A．1；2 B．2；3 C．3；2 D．4；1 【变式训练2】（25-26五年级下·安徽芜湖·期末）在式子①6a；②18－x＝9；③7×8＝56；④4x＋12＞60；⑤4x＞8；⑥0.8y＝0中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 高频考点六 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现有一个天平，30克和5克砝码各一个。现在要把300克盐平均分成三份，最少用天平称（    ）。 A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【变式训练1】（25-26五年级下·四川成都·期末）辰辰去超市买了水果糖、奶糖、巧克力糖各1千克，共花123元。已知买1千克奶糖的钱数和买2千克水果糖的钱数相等；买2千克巧克力糖的钱数与买3千克奶糖的钱数相等。辰辰买奶糖花了( )元。 【变式训练2】（25-26五年级下·山西晋中·期末）若，，，则 ( )，( )。 高频考点七 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·期末）已知2a＝3b（a、b均为非0自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（    ）。 A．a＝1.5b B．2a－b＝2b C．6a＝12b D．a＝3b－a 【变式训练1】（25-26五年级下·河南平顶山·期末） ，，已知，根据等式的性质，下列等式不成立的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练2】（25-26五年级下·山西大同·阶段检测）如下图，圆柱的质量是（    ）千克。 A．7.5 B．5 C．3.75 高频考点八 利用等式的性质解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·江苏南京·期末）小宇和小航用同样多的钱购买物品。小宇买了3套书签，小航买了1套书签和6本便签本，1套书签的价钱相当于（    ）本便签本的价钱。 A．3 B．6 C．9 【变式训练1】（25-26五年级下·安徽合肥·期末）解方程。                    【变式训练2】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数) 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【变式训练】（25-26五年级上·浙江金华·期末）如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( )颗。 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝________。 【变式训练】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）如图，一块平行四边形空地的面积是600平方米，连接它的顶点A以及对面相邻两条边的中点E、F，得到一个阴影三角形AEF，阴影三角形AEF的面积是( )平方米。 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2026·重庆渝北·小升初真题）对于非零自然数a和b，规定符号⊗的含义是：a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab（m是一个确定的整数）。如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于( )。 【变式训练】（2026·重庆渝北·小升初真题）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种。其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成。这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了( )朵。 奥数拓展四 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【变式训练】李强每周花在上课和参加社团活动的时间共32小时。他每周一到周五下午4：40~6：10参加社团活动。如果李强上课的时间用（小时）表示，那么表示他每周上课时间的是（    ）。 A． B． C． D． B． 奥数拓展五 等式的性质1 【典例精讲】把苹果、梨、桃三种水果，放在天平上称（每个苹果同样重，每个梨同样重，每个桃子同样重），情况如下： 那么，1个苹果、1个梨、1个桃的重量比较，由重到轻依次为（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】已知一个数千位是1，百位和十位都是M，个位是3，且这个数是9的倍数，则M＝( )。 奥数拓展六 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【变式训练】甲、乙两人加工零件，若甲做4小时，乙做6小时，则一共加工零件196个；若甲做7小时，乙做3小时，则一共加工零件208个。甲每小时加工零件多少个？ 【能力提升练】 1．（25-26五年级下·上海奉贤·期末）五（1）班有学生x人，五（2）班比五（1）班的2倍少30人，两个班共有（    ）人。 A．2x－30 B．3x－30 C．2x＋30 D．3x＋30 2．（25-26五年级下·重庆梁平·期末）在数学课上，数学老师提出一个说法：“对于任意的三个连续自然数，它们的和都是3的倍数。”这一说法对吗？请说明理由。下面是A、B、C、D四位同学给出的答案和理由。（    ）同学所说的理由，既全面充分又正确。 A．“说法对，例如1、2、3，1＋2＋3＝6，6是3的倍数，所以它们的和是3的倍数。” B．“说法对，因为我试了几组数后发现都是成立的，所以它们的和是3的倍数。” C．“说法对，设a为任意自然数，则这三个连续自然数可以表示为a、a＋1、a＋2，它们的和是a＋a＋1＋a＋2＝3a＋3＝3（a＋1），因为3（a＋1）是3的倍数。所以它们的和是3的倍数。” D．“说法对，设这三个连续自然数为a、b、c，它们的和是（a＋b＋c），因为（a＋b＋c）是3的倍数，所以它们的和是3的倍数。” 3．（24-25五年级下·吉林长春·期末）欣欣水果店里苹果比桃子的3倍多16千克，如果有桃子千克，那么苹果有( )千克；当时，苹果有( )千克。 4．（25-26五年级下·安徽蚌埠·期末）鞋子尺码是一种衡量鞋或脚大小的尺码，通常用“码”和“厘米”作单位。如果用x表示厘米数，y表示码数，它们之间可以用y＝2x－10换算，妈妈穿23.5厘米的鞋对应的是( )码。 5．（24-25五年级下·江苏苏州·期中）五年级有女生a人，比男生的2倍少4人，则五年级的男生是（2a－4）人。( )（判断对错） 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）学校买来a个足球，每个足球b元，又买来5个篮球，每个篮球60元。 (1)用含有字母的式子表示买足球和篮球一共花的钱数。 (2)当，时，一共花了多少元？ 7．（25-26五年级下·四川泸州·期末）五年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是128人；不算丁班，其余三个班的总人数是141人；丁班人数的2倍比甲班多12人。请问：这四个班一共有多少人？ 8．（25-26五年级上·贵州遵义·期末）习水和贵阳市森林公园两地间的路程是276千米。甲、乙两辆车同时从两地开出，相向而行，经过1.5小时相遇，甲车每小时行驶95千米，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答，请写出等量关系式） 9．（24-25五年级上·江苏镇江·期末）两辆汽车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行a千米，慢车每小时行b千米，经过5小时，两车相遇。 （1）用含有字母的式子表示甲、乙两地间的距离。 （2）当a＝80，b＝75时，甲、乙两地间的距离是多少千米？ 10．（24-25五年级上·广西河池·期末）世界土地荒漠化面积约有0.36亿平方千米，是耕地面积的2倍还多0.08亿平方千米。 （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）作为小学生我们该如何预防土地荒漠化？（至少提出两点建议） 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·河南南阳·期中）下列说法正确的个数是（    ）。 ①x2＝2x    ②a＋b＋c＝a＋（b＋c）    ③8＋ab可以简写为8ab ④4（x＋3）＝4x＋12    ⑤边长为a的等边三角形的周长为3a A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26五年级上·湖北黄冈·期末）甲、乙两辆货车运输物资，从相距480千米的A、B两地相向而行，甲车每小时55千米，乙车每小时x千米，4小时相遇，方程错误的是（    ）。 A．4（55＋x）＝480 B．55×4＋4x＝480 C．55＋x＝480×4 D．480÷4－x＝55 3．（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 4．（24-25五年级上·湖南张家界·期末）一张桌子坐12人，合并两张桌子坐20人，n张桌子能坐( )人，如果有68人需要( )张桌子。 5．（25-26五年级下·辽宁朝阳·期末）今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则爸爸的年龄是( )岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是( )岁。 6．如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 7．（24-25五年级上·湖北孝感·期末）要使0.62÷a＜0.62（a＞0），a应该大于1。( )(判断对错） 8．（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）与奇数a相邻的两个奇数分别是a＋2和a－2。( )(判断对错） 9．（24-25五年级下·贵州贵阳·期末）世界上最大的鸟是非洲鸵鸟。一只非洲鸵鸟重110千克，比一只鹅体重的14倍少4.8千克。这只鹅约重多少千克？（先写出数量间的关系，再列方程解答） 数量关系： 10．（25-26五年级上·全国·课后作业）用小棒按下图的方式摆图形。 (1)摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒，摆4个六边形要( )根小棒。 (2)摆n个六边形要( )根小棒，当n＝100时，要( )根小棒。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第七单元 用字母表示数量关系（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 4 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 5 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 6 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数) 7 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 8 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 9 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 10 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 14 高频考点六 等式的性质1 15 高频考点七 等式的性质2 17 高频考点八 利用等式的性质解决问题 18 难点突破 奥数拓展 21 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数) 21 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 22 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 23 奥数拓展四 等式的认识及列等量关系式 25 奥数拓展五 等式的性质1 26 奥数拓展六 等式的性质2 28 优选真题 实战演练 29 【能力提升练】 29 【思维创新练】 34 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数) 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）一个日记本的进货价是3.8元，王阿姨购进a本这样的日记本并以5元的价钱售出，王阿姨进货一共花了( )元，如果全部卖出盈利( )元。 【答案】 【思路引导】由题意可知，王阿姨进日记本的价格是3.8元，一共购进a本日记本，求王阿姨进货一共花多少，用日记本的进货价格×本数即可求出；王阿姨5元卖出，卖出价格－进货价格即可求出每本日记本的盈利，用每本的盈利×全部本数即可求出全部卖出的盈利，据此解答即可。 【规范解答】3.8×a＝3.8a（元） （5－3.8）×a ＝1.2×a ＝1.2a（元） 所以，一个日记本的进货价是3.8元，王阿姨购进a本这样的日记本并以5元的价钱售出，王阿姨进货一共花了3.8a元，如果全部卖出盈利1.2a元。 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）一本书有c页，小明每天看8页，看了n天，还剩( )页没看。 【答案】 【思路引导】已经看的页数＝每天看的页数×天数，还剩没看的页数＝总页数－已经看的页数。据此解答。 【规范解答】已经看的页数：8×n＝8n（页） 还剩没看的页数：（）页 【变式训练2】（26-27五年级上·全国·课后作业）学校买来x个足球，每个65元，一共花了( )元。 【答案】65x 【思路引导】购买商品的总价＝单个商品的价格×购买的数量。据此解答。 【规范解答】一共花的钱数：65×x＝65x（元） 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（25-26五年级上·广西玉林·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．含有未知数的式子一定是方程 B．（a＋b）c＝ac＋bc运用了乘法交换律 C．因为22＝2×2，所以a2＝2a D．如果3x＋4＝19，那么2x＋7＝17 【答案】D 【思路引导】A．含有未知数的等式是方程。 B．乘法分配律用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c；乘法交换律用字母表示是a×b＝b×a。 C．a2表示2个a相乘；2a表示2个a相加。 D．根据等式的性质求出方程3x＋4＝19的解，再将x的值代入2x＋7＝17中验证左右两边是否相等。 【规范解答】A．若一个式子只含未知数但不是等式，则不是方程，如3x＋5，该选项错误。 B．（a＋b）c＝ac＋bc运用的是乘法分配律，乘法交换律的公式为a×b＝b×a，该选项错误。 C．当a＝2时，a2＝2×2＝4，2a＝2×2＝4，相等；但当a＝3时，a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，不相等；因此a2＝2a不一定成立，该选项错误。 D．3x＋4＝19 解：3x＋4－4＝19－4 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 将x＝5代入2x＋7＝17中， 左边＝2×5＋7 ＝10＋7 ＝17 17＝17，左边＝右边，x＝5是2x＋7＝17的解。 所以如果3x＋4＝19，那么2x＋7＝17，该选项正确。 【变式训练1】（24-25五年级上·上海宝山·期末）一块长方形菜地长25米，宽10米，如果长增加a米，宽不变，面积增加( )平方米，新的长方形周长是( )米。 【答案】 10a 【思路引导】①宽不变，长增加a米，增加的区域是一个小长方形（长为a米、宽为原长方形的宽10米），用长方形的面积=长×宽计算增加的面积。 ②先求出新的长（原长+增加的长度），再用长方形周长=(长+宽)×2计算新周长，最后化简含字母的式子。 【规范解答】①(平方米) ② 米 所以，面积增加10a平方米，新的长方形周长是米。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东深圳·期末）除了拼接的方法，还有同学提出：可以将一个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形（如下图），请分别写出这个平行四边形和三角形的面积（用a、b、h字母表示）。 【答案】ah；（b－a）h÷2 【思路引导】由图可知，被分割成的平行四边形和三角形与梯形是等高的，平行四边形的底是梯形的上底，三角形的底是梯形下底与上底的差；根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高和三角形的面积公式是：面积＝底×高÷2。 【规范解答】平行四边形的面积＝底×高＝a×h＝ah； 三角形的面积＝底×高÷2＝（b－a）×h÷2＝（b－a）h÷2。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 工厂每天生产m个零件，生产了n天后，还剩下120个没生产，这批零件一共有多少个？ 【答案】 【思路引导】工厂每天生产m个零件，生产了n天，先根据工作总量＝工作时间×工作效率，把n天生产的零件个数求出来，再加上剩下的没生产的120个，就是这批零件的总量。 【规范解答】m×n＋120＝（mn＋120）个 答：这批零件一共有（mn＋120）个。 【变式训练1】（25-26五年级下·山西吕梁·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 【答案】 A、B两地的距离 相遇时乙车比甲车多行驶的路程 【思路引导】针对，因为两车是相对开出相遇，所以两车各自行驶的路程和对应两地的总距离，由此推导该式的意义。 针对，因为两车行驶时间相同，速度不同，所以路程的差值对应相遇时两车的行驶路程差，由此推导该式的意义。 【规范解答】70x是甲车小时行驶的路程，是乙车小时行驶的路程；两车相对开出相遇时，总路程就是两车路程之和，因此表示A、B两地的总路程。 是乙车行驶路程减去甲车行驶路程，因此表示相遇时乙车比甲车多行驶的路程。 【变式训练2】（25-26五年级下·福建龙岩·期末）若M＝100×a＋10×b＋6，M一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】个位为0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位为0或5的数是5的倍数；6的倍数需要同时是2和3的倍数。据此分析解答。 【规范解答】M＝100×a＋10×b＋6，，因此M的个位数字是6： 个位为0、2、4、6、8的数是2的倍数，因此M一定是2的倍数； 3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，a、b取值未知，无法确定M是3的倍数； 个位为0或5的数是5的倍数，因此M一定不是5的倍数； 6的倍数需要同时是2和3的倍数，无法确定M是3的倍数，因此无法确定M是6的倍数。 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期末）如果你是一个足球队的领队，学校要求你带领学校足球队15人到重庆参加5天足球比赛，请你设计一个表格预算总费用。（不清楚的价格可用字母代替，比如：高铁票单价a元） 【答案】 费用项目 简单说明 单价 数量 合计（元） 总预算 往返高铁票 每位队员来回车票 每人a元 16人 16a （16a＋80b＋80c＋d）元 住宿费 住宿5天 每人每天b元 16人 16×5×b＝80b 伙食费 5天吃饭费用 每人每天c元 16人 16×5×c＝80c 比赛物资费 足球、矿泉水、急救用品 d元 1份 d （答案不唯一） 【思路引导】领队1人费用一并计入，总共16人； 梳理外出比赛常见开支类别：交通、住宿、餐饮、物资； 未知单价使用字母代替； 根据人数16人、时长5天，分别算出每一项总花费； 所有费用相加得到全部预算。 【规范解答】无 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 (1)当时，( )20，( )20。 (2)当时，( )28，( )28。 (3)当时，( )15，( )15。 (4)当时，( )15，( )15。 【答案】(1) ＞ ＜ (2) ＝ ＜ (3) ＜ ＞ (4) ＞ ＞ 【思路引导】将给定的的值代入式子中，计算出结果后与右边的数比较大小。 【规范解答】（1）当时： ①计算： 把代入， 因为，所以。 ②计算： 把代入， 因为，所以。 （2）当时： ①计算： 把代入， 因为，所以。 ②计算： 把代入， 因为，所以。 （3）当时： ①计算： 把代入， 因为，所以。 ②计算： 把代入， 因为，所以。 （4）当时： ①计算： 把代入， 因为，所以。 ②计算： 把代入， 因为，所以。 【变式训练2】（25-26五年级下·陕西西安·期末）如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对的面上两个数互为倒数，则x－y＋z＝( )。 【答案】 【思路引导】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“”相对，面“”与面“”相对，面“”与面“”相对。相对面上两个数互为倒数，那么这两个数乘积是，据此分别求出的值。 【规范解答】 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25五年级下·山西大同·期末）2024年，无锡市第二条市域轨道交通线（S2线）正式启动土建施工，助力轨道交通“一体两翼”格局再提速。S2线全长约61.5千米，比无锡市首条市域轨道交通线（S1线）的2倍多0.7千米，S1线全长约多少千米？（先将数量关系补充完整，再列方程解答） ______线的全长×2倍＋______千米＝______线的全长 【答案】S1；0.7；S2； 30.4千米 【思路引导】已知S2线全长比S1线的2倍多0.7千米，先用S1线的全长乘2，再加上0.7千米，等于S2线的全长，据此得出数量关系，并按数量关系列出方程求解。 【规范解答】数量关系：S1线的全长×2倍＋0.7千米＝S2线的全长 解：设S1线全长约千米。 2＋0.7＝61.5 2＋0.7－0.7＝61.5－0.7 2＝60.8 2÷2＝60.8÷2 ＝30.4 答：S1线全长约30.4千米。 【变式训练1】（24-25五年级下·山西大同·期末）在5x÷8、M－21＝5.3、6x＞15、1.6＋3＝4.6、8÷9＝2N五个式子中，方程有（    ）个，等式有（    ）个。（    ） A．1；2 B．2；3 C．3；2 D．4；1 【答案】B 【思路引导】用等号连接的式子是等式，含有未知数的等式是方程，据此对五个式子逐个归类计数即可。 【规范解答】：无等号，既不是等式也不是方程。 ：含等号和未知数，既是等式也是方程。 ：用大于号连接，既不是等式也不是方程。 ：含等号但无未知数，是等式不是方程。 ：含等号和未知数，既是等式也是方程。 经计数，方程有2个，等式有3个。 【变式训练2】（25-26五年级下·安徽芜湖·期末）在式子①6a；②18－x＝9；③7×8＝56；④4x＋12＞60；⑤4x＞8；⑥0.8y＝0中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ②③⑥ ②⑥ 【思路引导】 等式是表示两个数或式子相等的式子，必须含有“＝”。方程是含有未知数的等式，必须含有未知数，且是等式。 【规范解答】（1）等式有②③⑥ （2）方程有②⑥ 高频考点六 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现有一个天平，30克和5克砝码各一个。现在要把300克盐平均分成三份，最少用天平称（    ）。 A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】A 【思路引导】先计算每份盐的质量，目标是通过最少的称量次数得到克盐。利用现有的克和克砝码，可以通过累加称出的盐作为“新砝码”来凑出克，最后利用天平平衡原理将剩余的盐平分。 【规范解答】平均每份的质量为：（克） 第一次称量：把克和克砝码放在天平左盘，向右盘加盐直至平衡。 此时称出盐的质量为：（克） 第二次称量：把第一次称出的克盐和克砝码放在天平左盘，向右盘加盐直至平衡。 此时称出盐的质量为：（克） 前两次共称出盐的质量为：（克） 此时剩余盐的质量为：（克） 第三次称量：把已称出的克盐放在天平左盘，从剩余的克盐中取盐放在右盘直至平衡。 此时右盘盐的质量为克，剩余盐的质量也为克。 因此，最少需要称次。 【变式训练1】（25-26五年级下·四川成都·期末）辰辰去超市买了水果糖、奶糖、巧克力糖各1千克，共花123元。已知买1千克奶糖的钱数和买2千克水果糖的钱数相等；买2千克巧克力糖的钱数与买3千克奶糖的钱数相等。辰辰买奶糖花了( )元。 【答案】 41 【思路引导】1千克奶糖＝2千克水果糖，2千克巧克力糖＝3千克奶糖，（千克）则2千克巧克力糖＝6千克水果糖，（千克）那么1千克巧克力糖＝3千克水果糖。 根据题意，1千克奶糖＋1千克水果糖＋1千克巧克力糖＝123元，等量代换得2千克水果糖＋1千克水果糖＋3千克水果糖＝123元。用123元除以能买水果糖的总千克数等于每千克水果糖的价钱，再乘2就是买1千克奶糖花的钱数。 【规范解答】 （元） 【变式训练2】（25-26五年级下·山西晋中·期末）若，，，则 ( )，( )。 【答案】 8 7 【思路引导】先写出乘积是56的所有正整数对，从中找出和为15的一对，判断其大小再填空即可。 【规范解答】乘积是56的所有正整数对： 和为15的是： 8＞7 所以＝8，◯＝7 高频考点七 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·期末）已知2a＝3b（a、b均为非0自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（    ）。 A．a＝1.5b B．2a－b＝2b C．6a＝12b D．a＝3b－a 【答案】C 【思路引导】根据等式的两个基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。根据已知条件，利用等式的性质对各选项进行变形验证，找出不成立的等式。 【规范解答】A．根据等式的性质，等式两边同时除以2，得，即，此选项正确； B．根据等式的性质，等式两边同时减去，得，即，此选项正确； C．根据等式的性质，等式两边同时乘3，得，即，因为，所以，即，此选项错误； D．根据等式的性质，等式两边同时减去，得，即，此选项正确。 【变式训练1】（25-26五年级下·河南平顶山·期末） ，，已知，根据等式的性质，下列等式不成立的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。根据已知条件2a＝3b，逐项验证选项中的等式是否符合等式的性质，找出不能成立的等式。 【规范解答】A．若使等式左边2a变为4a，需乘；若使等式右边3b变为9b，需乘3。因为等式两边乘的数不相同，所以4a＝9b不成立，符合题意，此选项正确； B．根据等式的性质2，等式两边同时除以4，左边为2a÷4＝0.5a，右边为3b÷4＝0.75b，可得0.5a＝0.75b，等式成立，不符合题意，此选项错误； C．根据等式的性质1，等式两边同时加上18a，左边为2a＋18a＝20a，右边为3b＋18a，可得20a＝3b＋18a，等式成立，不符合题意，此选项错误。 【变式训练2】（25-26五年级下·山西大同·阶段检测）如下图，圆柱的质量是（    ）千克。 A．7.5 B．5 C．3.75 【答案】A 【思路引导】先观察右侧秤的物体组成，因为右侧秤总重千克，对应个正方体和个球，所以用右侧总质量除以，可以求出个正方体加个球的总质量。再观察左侧秤的物体组成，左侧秤总重千克，对应个圆柱、个正方体和个球，将第一步得到的个正方体加个球的质量代入，即可求出圆柱的质量。 【规范解答】个正方体个球＝千克， 个正方体个球的质量和为：（千克） 个圆柱个正方体个球的总质量是千克， 所以圆柱的质量（千克） 圆柱的质量是千克。 高频考点八 利用等式的性质解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·江苏南京·期末）小宇和小航用同样多的钱购买物品。小宇买了3套书签，小航买了1套书签和6本便签本，1套书签的价钱相当于（    ）本便签本的价钱。 A．3 B．6 C．9 【答案】A 【思路引导】根据“两人用的钱同样多”这一条件，建立等量关系。利用等式的性质从两边同时减去相同的部分，从而得出剩余物品之间的价钱关系，再除以书签的数量，进而求出1套书签的价钱相当于多少本便签本的价钱。 【规范解答】3套书签的价钱＝1套书签的价钱＋6本便签本的价钱 根据等式的性质，等式两边同时减去1套书签的价钱可得： 2套书签的价钱＝6本便签本的价钱 根据等式的性质，等式两边同时除以2可得： 1套书签的价钱＝3本便签本的价钱 【变式训练1】（25-26五年级下·安徽合肥·期末）解方程。                    【答案】1.5；6；4.5 【思路引导】根据等式性质，等式两边同时乘2.5，直接求出x的值； 先计算乘法得到积，再根据等式性质，两边同时减去这个积，最后两边同时除以2.4，求出x； 先合并左边含x的式子，再根据等式性质，两边同时除以0.8，求出x。 【规范解答】 解： 解： 解： 【变式训练2】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 【答案】C 【思路引导】由题意可知，华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，求华氏温度时把摄氏温度代入数量关系，再计算出结果就是对应的华氏温度；已知华氏温度时把对应的摄氏温度设为未知数，然后利用等式的性质解方程求出摄氏温度；最后根据等式的性质得出（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度。 【规范解答】A．当摄氏温度是30℃时。 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 ＝30×1.8＋32 ＝54＋32 ＝86（℉） 所以，如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉，题目说法正确。 B．解：设当华氏温度是77℉时摄氏温度是x℃。 1.8x＋32＝77 1.8x＋32－32＝77－32 1.8x＝45 1.8x÷1.8＝45÷1.8 x＝25 所以，如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃，题目说法正确。 C．由“华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32”可知，摄氏温度＝（华氏温度－32）÷1.8，而不是摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32，题目说法错误。 D．华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8＋32－32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度×1.8÷1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 所以，（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度，题目说法正确。 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数) 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【答案】不够付 【思路引导】分两种情况讨论：当a≤3时，3千米及以内车费固定为10元，李叔叔身上最多有3×3＝9元，9＜10，钱不够；当a＞3时，总车费＝超出部分费用＋3千米内费用，即3（a－3）＋10＝（3a＋1）元，总车费（3a＋1）元＞李叔叔带的3a元，钱还是不够。因此无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【规范解答】情况一：a≤3，固定费用10元，3a≤9＜10，不够付； 情况二：a＞3，超出部分的路程为（a－3）千米，超出部分的费用为3（a－3）元，再加上3千米及以内的固定费用10元，为3（a－3）＋10。 3（a－3）＋10 ＝3a－3×3＋10 ＝3a－9＋10 ＝（3a＋1）元 3a＋1＞3a，不够付。 综上，无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【变式训练】（25-26五年级上·浙江金华·期末）如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( )颗。 【答案】 35 （n＋2）×n 【思路引导】由图可知，第一个图形（正三角形，3条边）需要黑色棋子3颗，3＝3×1＝（1＋2）×1； 第二个图形（正方形，4条边）需要黑色棋子8颗，8＝4×2＝（2＋2）×2； 第三个图形（正五边形，5条边）需要黑色棋子15颗，15＝5×3＝（3＋2）×3； 第四个图形（正六边形，6条边）需要黑色棋子24颗，24＝6×4＝（4＋2）×4； 所以第五个图形（正七边形，7条边）需要黑色棋子颗数为（5＋2）×5＝35颗； 第n个图形（正（n＋2）边形，（n＋2）条边）需要黑色棋子颗数为（n＋2）×n颗。 【规范解答】（5＋2）×5 ＝7×5 ＝35（颗） 分析可知，第n个图形需要黑色棋子颗数为（n＋2）×n颗。 因此，第五个图形需要黑色棋子35颗，第n个图形需要黑色棋子（n＋2）×n颗。 【考点剖析】第n个图形是正（n＋2）边形，每条边上有n颗棋子，且顶点处的棋子不重复计算，所以总棋子数为：（n＋2）×n。 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝________。 【答案】16 【思路引导】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【规范解答】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【考点剖析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【变式训练】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）如图，一块平行四边形空地的面积是600平方米，连接它的顶点A以及对面相邻两条边的中点E、F，得到一个阴影三角形AEF，阴影三角形AEF的面积是( )平方米。 【答案】225 【思路引导】设平行四边形的底为a，高为b，根据三角形面积公式分别表示出三角形ADE、ECF、ABF的面积，进而表示出阴影部分的面积；再根据平行四边形的面积是600平方米，求出具体的值。 【规范解答】设平行四边形的底为a，高为b， 则三角形ADE的面积是： 三角形ECF的面积是： 三角形ABF的面积的面积是： 阴影部分的面积是： ＝ ＝ 因为平行四边形的面积是600平方米，所以阴影部分的面积是： ＝225（平方米） 阴影三角形AEF的面积是（225）平方米。 【考点剖析】本题主要考查阴影部分的面积，解题的关键是牢记三角形的面积公式。 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2026·重庆渝北·小升初真题）对于非零自然数a和b，规定符号⊗的含义是：a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab（m是一个确定的整数）。如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于( )。 【答案】 【思路引导】已知条件“1⊗4＝2⊗3”，先分别把两组数代入公式“a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab”，建立方程求出m；再将a＝3、b＝4与求出的m代入公式，算出3⊗4的结果。 【规范解答】代入a＝1，b＝4计算左边 1⊗4＝（m×1＋4）÷（2×1×4） ＝（m＋4）÷8 代入a＝2，b＝3计算右边 2⊗3＝（m×2＋3）÷（2×2×3） ＝（2m＋3）÷12 左边等于右边，则 （m＋4）÷8＝（2m＋3）÷12 解：（m＋4）÷8×8×12＝（2m＋3）÷12×8×12 （m＋4）×12＝（2m＋3）×8 12m＋48＝16m＋24 16m＋24＝12m＋48 16m＋24－12m ＝12m＋48－12m 4m＋24＝48 4m＋24－24＝48－24 4m＝24 4m÷4＝24÷4 m＝6 将a＝3、b＝4、m＝6代入a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab，得： 3⊗4＝（6×3＋4）÷（2×3×4） ＝22÷24 ＝ 【变式训练】（2026·重庆渝北·小升初真题）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种。其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成。这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了( )朵。 【答案】 【思路引导】首先根据粉花的总数及塑料花盆、木制花盆中粉花的数量，求出塑料花盆与木制花盆的数量和；其次利用红花的总数及已求出的数量和，求出塑料花盆与陶瓷花盆数量的关系式；最后将黄花总数的表达式进行拆分变形，代入已知数值进行整体计算。 【规范解答】设塑料花盆有a个，陶瓷花盆有b个，木制花盆有c个， 塑料花盆和木制花盆的数量和：3750÷25＝150（个），即a＋c＝150； 塑料花盆与陶瓷花盆的数量关系： 15a＋10b＋10c＝2900 5a＋10a＋10b＋10c＝2900 5a＋10a＋10c＋10b＝2900 5a＋10（a＋c）＋10b＝2900 5a＋10×150＋10b＝2900 5a＋1500＋10b＝2900 5a＋1500＋10b－1500＝2900－1500 5a＋10b＝1400 5（a＋2b）＝1400 5（a＋2b）÷5＝1400÷5 a＋2b＝280 黄花的总数： 24a＋12b＋18c ＝18a＋6a＋12b＋18c ＝18a＋18c＋6a＋12b ＝18（a＋c）＋6（a＋2b） ＝18×150＋6×280 ＝2700＋1680 ＝4380（朵） 奥数拓展四 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【思路引导】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【规范解答】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【考点剖析】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 【变式训练】李强每周花在上课和参加社团活动的时间共32小时。他每周一到周五下午4：40~6：10参加社团活动。如果李强上课的时间用（小时）表示，那么表示他每周上课时间的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】用终点时间－起点时间，求出每天参加社团活动时间，再乘5就是每周参加社团活动时间，总时间－每周参加社团活动时间＝每周上课时间，据此分析。 【规范解答】6：10－4：40＝1小时30分钟＝1.5小时 T＝32－5×1.5 故答案为：C 【考点剖析】关键是确定每天参加社团活动时间。 奥数拓展五 等式的性质1 【典例精讲】把苹果、梨、桃三种水果，放在天平上称（每个苹果同样重，每个梨同样重，每个桃子同样重），情况如下： 那么，1个苹果、1个梨、1个桃的重量比较，由重到轻依次为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由左图可知，2个苹果的重量＞1个苹果的重量＋1个梨的重量，两边同时拿掉1个苹果，则得出：1个苹果的重量＞1个梨的重量； 由右图可知，3个桃的重量＝1个梨的重量＋1个桃的重量，两边同时拿掉1个桃，则得出：2个桃的重量＝1个梨的重量； 由此可推导出1个苹果、1个梨、1个桃的轻重。 【规范解答】由左图可知，1个苹果的重量＞1个梨的重量； 由右图可知，2个桃的重量＝1个梨的重量，即1个梨的重量＞1个桃的重量； 那么，1个苹果、1个梨、1个桃的重量比较，由重到轻依次为： 1个苹果的重量＞1个梨的重量＞1个桃的重量。 故答案为：A 【考点剖析】理解用天平称物体重量比较轻重的方法，天平平衡时表示左右两边物体的重量相等；天平不平衡时，下沉的一边物体比较重。 【变式训练】已知一个数千位是1，百位和十位都是M，个位是3，且这个数是9的倍数，则M＝( )。 【答案】7 【思路引导】9的倍数特征与3的倍数特征类似，各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。一个数位上的数最大是9，千位和个位上的数字的和是1＋3＝4，所以这四个数位上的数字加起来不超过20，只有18是9的倍数，所以这四个数位上的数加起来是18，解出M的值即可。 【规范解答】1＋M＋M＋3＝18 解：4＋2M＝18 2M＝14 M＝7 【考点剖析】本题考查了9的倍数特征，解方程时根据等式的性质。 奥数拓展六 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【答案】D 【思路引导】依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等”来进行判断。 【规范解答】A．若a＝b，则ac＝bc。依据“等式两边同时乘同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，所以说法正确。 B．若，则a＝2。 当a＝2时，2a＝2×2＝4 4＝4 所以，“若，则a＝2”的说法正确。 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b。依据“等式两边同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等” 的等式性质，所以，“若a÷c＝b÷c，则a＝b”说法正确。 D．若a＝b，则a＋b＝b－b。依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，a＋b＝b－b左边是“加b”，右边是“减b”，不符合等式的性质。所以，“若a＝b，则a＋b＝b－b”的说法错误。 故答案为：D 【考点剖析】准确运用等式的性质对每个推论进行辨析，注意特殊值的情况。 【变式训练】甲、乙两人加工零件，若甲做4小时，乙做6小时，则一共加工零件196个；若甲做7小时，乙做3小时，则一共加工零件208个。甲每小时加工零件多少个？ 【答案】甲：22个；乙：18个 【思路引导】由于甲做4小时，乙做6小时能加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时能加工零件208个，由此即可知道，如果当乙做6小时的时候，甲做14小时，则加工零件的个数：208×2＝416个，由此即可知道甲做14小时比甲做4小时多做了416－196＝220个，由此即可知道甲1小时做的零件个数：220÷（14－4）＝22个，之后把甲1小时做的22个代入甲做4小时，乙做6小时，一共做196个这个条件里面，即可求出乙1小时做的个数。 【规范解答】208×2＝416（个） （416－196）÷（14－4） ＝220÷10 ＝22（个） 196－4×22 ＝196－88 ＝108（个） 108÷6＝18（个） 答：甲一小时加工零件22个，乙一小时加工零件18个。 【考点剖析】本题主要考查等量代还以及等式的性质，把题干中甲、乙转换成一个量是解题的关键。 【能力提升练】 1．（25-26五年级下·上海奉贤·期末）五（1）班有学生x人，五（2）班比五（1）班的2倍少30人，两个班共有（    ）人。 A．2x－30 B．3x－30 C．2x＋30 D．3x＋30 【答案】B 【思路引导】先求出五（2）班的人数，再将两个班的人数相加，化简式子即可得到结果。 【规范解答】五（2）班人数： 两个班总人数： ＝ 2．（25-26五年级下·重庆梁平·期末）在数学课上，数学老师提出一个说法：“对于任意的三个连续自然数，它们的和都是3的倍数。”这一说法对吗？请说明理由。下面是A、B、C、D四位同学给出的答案和理由。（    ）同学所说的理由，既全面充分又正确。 A．“说法对，例如1、2、3，1＋2＋3＝6，6是3的倍数，所以它们的和是3的倍数。” B．“说法对，因为我试了几组数后发现都是成立的，所以它们的和是3的倍数。” C．“说法对，设a为任意自然数，则这三个连续自然数可以表示为a、a＋1、a＋2，它们的和是a＋a＋1＋a＋2＝3a＋3＝3（a＋1），因为3（a＋1）是3的倍数。所以它们的和是3的倍数。” D．“说法对，设这三个连续自然数为a、b、c，它们的和是（a＋b＋c），因为（a＋b＋c）是3的倍数，所以它们的和是3的倍数。” 【答案】C 【思路引导】判断一个关于“任意”数的命题是否正确，不能仅依靠举例验证，因为举例只能证明存在性，不能证明普遍性。需要利用字母表示任意自然数，通过运算推导出的结果是否具备该特征来进行证明。 【规范解答】A．仅举出一组特例（、、）进行验证，虽然结果符合，但特例不能代表 “任意”情况，无法证明所有连续自然数的和都是的倍数，此选项错误； B．通过试几组数发现成立，不能保证所有情况都成立，此选项错误； C．设为任意自然数，则三个连续自然数表示为、、，它们的和为。因为是自然数，所以也是自然数，表示乘一个自然数，根据倍数的定义，一定是的倍数。该方法用字母表示一般规律，推理全面充分，此选项正确； D．设三个数为、、，未体现“连续自然数”之间相差的数量关系，直接断定和是的倍数，没有利用已知条件进行计算，理由不充分，此选项错误。 综上所述，C 同学所说的理由既全面充分又正确。 3．（24-25五年级下·吉林长春·期末）欣欣水果店里苹果比桃子的3倍多16千克，如果有桃子千克，那么苹果有( )千克；当时，苹果有( )千克。 【答案】 / 【思路引导】桃子的千克数×3＋16即为苹果的千克数；把代入含字母的式子，计算即可求得苹果的千克数。 【规范解答】x×3＋16＝； 当时，＝28×3＋16＝84＋16＝100（千克） 4．（25-26五年级下·安徽蚌埠·期末）鞋子尺码是一种衡量鞋或脚大小的尺码，通常用“码”和“厘米”作单位。如果用x表示厘米数，y表示码数，它们之间可以用y＝2x－10换算，妈妈穿23.5厘米的鞋对应的是( )码。 【答案】37 【思路引导】已知妈妈穿的鞋23.5厘米，即 x＝23.5，要求对应的码数，只需将 x＝23.5代入公式 y＝2x−10中，按照先乘后减的运算顺序计算出y的值即可。 【规范解答】把x＝23.5代入y＝2x－10，得： y＝2×23.5－10 ＝47－10 ＝37（码） 5．（24-25五年级下·江苏苏州·期中）五年级有女生a人，比男生的2倍少4人，则五年级的男生是（2a－4）人。( ) 【答案】× 【思路引导】分析题目，根据“五年级有女生a人，比男生的2倍少4人”可知：男生的人数×2－4＝女生人数，进而可得：男生人数＝（女生人数＋4）÷2，据此列式计算并判断即可。 【规范解答】根据分析可知，男生人数是：（a＋4）÷2； 五年级有女生a人，比男生的2倍少4人，则五年级的男生是（a＋4）÷2人；原题说法错误。 故答案为：× 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）学校买来a个足球，每个足球b元，又买来5个篮球，每个篮球60元。 (1)用含有字母的式子表示买足球和篮球一共花的钱数。 (2)当，时，一共花了多少元？ 【答案】(1)（ab＋300）元 (2)660元 【思路引导】（1）根据“总价＝单价×数量”，先分别求出足球总价（用含字母的式子表示）和篮球总价，相加得到总花费的字母表达式； （2）将a、b的具体数值代入字母式，计算出总花费。 【规范解答】（1）a×b＋5×60 ＝（ab＋300）元 答：一共花的钱数：（ab＋300）元 （2）当a＝8，b＝45时 ab＋300 ＝8×45＋300 ＝360＋300 ＝660 答：一共花了660元 7．（25-26五年级下·四川泸州·期末）五年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是128人；不算丁班，其余三个班的总人数是141人；丁班人数的2倍比甲班多12人。请问：这四个班一共有多少人？ 【答案】166人 【思路引导】先根据题干条件，分别写出乙＋丙＋丁的总人数、甲＋乙＋丙的总人数这两个数量关系式，把两个关系式做差，得到丁班人数和甲班人数的差的表达式。 结合“丁班人数的2倍比甲班多12人”的条件，联立两个关于甲班和丁班人数的关系式，解出丁班的人数。 最后用乙＋丙＋丁的总人数加甲班人数，或者用甲＋乙＋丙的总人数加丁班人数，计算四个班的总人数 【规范解答】条件整理： ①乙＋丙＋丁＝128 ②甲＋乙＋丙＝141 ③2丁＝甲＋12⇒甲＝2丁－12 代入甲：2丁－12－丁＝13⇒丁＝25 甲＝2×25－12＝38 乙＋丙＝128－丁＝128－25＝103 四个班总人数： 甲＋（乙＋丙）＋丁＝38＋103＋25＝166（人） 答：四个班一共166人。 8．（25-26五年级上·贵州遵义·期末）习水和贵阳市森林公园两地间的路程是276千米。甲、乙两辆车同时从两地开出，相向而行，经过1.5小时相遇，甲车每小时行驶95千米，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答，请写出等量关系式） 【答案】甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝总路程 89千米 【思路引导】设乙车每小时行驶x千米，根据甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【规范解答】甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝总路程 解：设乙车每小时行驶x千米。 95×1.5＋1.5x＝276 142.5＋1.5x＝276 142.5＋1.5x－142.5＝276－142.5 1.5x＝133.5 1.5x÷1.5＝133.5÷1.5 x＝89 答：乙车每小时行驶89千米。 9．（24-25五年级上·江苏镇江·期末）两辆汽车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行a千米，慢车每小时行b千米，经过5小时，两车相遇。 （1）用含有字母的式子表示甲、乙两地间的距离。 （2）当a＝80，b＝75时，甲、乙两地间的距离是多少千米？ 【答案】（1）5（a＋b）千米； （2）775千米 【思路引导】（1）相遇路程＝速度和×相遇时间，先用快车的速度加上慢车的速度即可得到两车的速度和，再乘相遇时间即可得到甲、乙两地间的距离； （2）把a＝80，b＝75代入（1）中的式子求值即可解答。 【规范解答】（1）（a＋b）×5＝5（a＋b）（千米） 答：用含有字母的式子表示甲、乙两地间的距离为：5（a＋b）千米。 （2）当a＝80，b＝75时， 5（a＋b） ＝5×（80＋75） ＝5×155 ＝775（千米） 答：当a＝80，b＝75时，甲、乙两地间的距离是775千米。 10．（24-25五年级上·广西河池·期末）世界土地荒漠化面积约有0.36亿平方千米，是耕地面积的2倍还多0.08亿平方千米。 （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）作为小学生我们该如何预防土地荒漠化？（至少提出两点建议） 【答案】（1） （2）小学生可以参加植树造林活动，增加土壤的保水能力，促进水循环，减缓荒漠化进程； 小学生可以从自身做起，节约用水，减少浪费。（答案不唯一） 【思路引导】（1）画一条线段表示全世界耕地面积，画出这样的两段，再多画出一小段，表示世界土地荒漠化面积； （2）答案不唯一，合理即可，可以从植树和节水等自己力所能及的范围提出建议。 【规范解答】（1）作图略。 （2）种植植被：小学生可以参加植树造林活动，增加土壤的保水能力，促进水循环，减缓荒漠化进程。 节约用水：水资源是防沙治沙的重要保障。小学生可以从自身做起，节约用水，减少浪费。例如，洗脸时及时关掉水龙头，减少冲马桶的次数等。 宣传教育：小学生可以向身边的人宣传防沙治沙的知识，让更多的人了解荒漠化的危害和防治方法，共同参与到防治荒漠化的行动中来。 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·河南南阳·期中）下列说法正确的个数是（    ）。 ①x2＝2x    ②a＋b＋c＝a＋（b＋c）    ③8＋ab可以简写为8ab ④4（x＋3）＝4x＋12    ⑤边长为a的等边三角形的周长为3a A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】①一个数的平方就是两个相同的数相乘； ②根据加法结合律，a＋b＋c＝（a＋b）＋c或a＋b＋c＝a＋（b＋c），据此解答。 ③8＋ab表示8与a×b的和，8ab表示8×a×b，据此解答。 ④根据乘法分配律：a×（b＋c）＝ab＋ac；据此分析解答。 ⑤等边三角形的三个边相等，等边三角形的周长就是三条边的和，据此解答。 【规范解答】①x2＝x×x；所以x2≠2x，说法错误。 ②a＋b＋c＝a＋（b＋c），说法正确。 ③8＋ab≠8ab，说法错误。 ④4（x＋3）＝4x＋12，说法正确。 ⑤a＋a＋a＝3a 边长为a的等边三角形的周长为3a，说法正确。 ②④⑤说法正确，有3个说法正确。 正确的个数是3个。 故答案为：B 2．（25-26五年级上·湖北黄冈·期末）甲、乙两辆货车运输物资，从相距480千米的A、B两地相向而行，甲车每小时55千米，乙车每小时x千米，4小时相遇，方程错误的是（    ）。 A．4（55＋x）＝480 B．55×4＋4x＝480 C．55＋x＝480×4 D．480÷4－x＝55 【答案】C 【思路引导】总路程＝速度和×相遇时间，也可拆分为甲车路程＋乙车路程＝总路程。我们根据这个关系逐一验证选项，找出错误的方程。 【规范解答】A．根据“速度和×相遇时间＝总路程”得（55＋x）×4＝480，方程正确。 B．根据“甲车路程＋乙车路程＝总路程”得55×4＋4x＝480，方程正确。 C．55＋x表示速度和，根据“总路程÷相遇时间＝速度和”得55＋x＝480÷4，方程错误。 D．根据“总路程÷相遇时间＝速度和”得55＋x＝480÷4，再将方程两边同时减x得480÷4－x＝55，方程正确。 3．（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】 ，按照如图所示的形状，把左侧凹进去的两条边分别移动至虚线部分，即公园的一圈相当于长是a米，宽是b米的长方形，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，代入公式即可求解。 【规范解答】由分析可知： （a＋b）×2＝（2a＋2b）米。 如果丁丁绕公园走一圈，需要走（2a＋2b）米。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·湖南张家界·期末）一张桌子坐12人，合并两张桌子坐20人，n张桌子能坐( )人，如果有68人需要( )张桌子。 【答案】 【思路引导】根据题意，1张桌子坐12人，2张桌子坐20人，可以看出每增加1张桌子，座位数增加（人），由此推导出n张桌子的座位数公式。 对于68人需要的桌子数，可根据推导出的公式逆向计算，即总人数减去基础人数后再除以每张桌子增加的人数。 【规范解答】由分析可知，每多合并一张桌子，就多坐8人，n张桌子坐的人数可以看作：1张桌子的人数加上剩下张桌子增加的人数， 列式为： n张桌子能坐人。 当有68人时，即： 则68人需要8张桌子。 5．（25-26五年级下·辽宁朝阳·期末）今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则爸爸的年龄是( )岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是( )岁。 【答案】 【思路引导】今年爸爸的年龄是小刚的5倍，用乘法计算爸爸的年龄；爸爸的年龄－小刚的年龄＝爸爸比小刚大的年龄；爸爸的年龄＋小刚的年龄＝爸爸和小刚的年龄和。 【规范解答】爸爸的年龄：岁 爸爸比小刚大：（岁） 年龄和：（岁） 6．如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 【答案】1.2 【思路引导】如图： 因为每条边上的三个数之和相等，所以1.3＋A＋C＝1.1＋1.4＋ C，由等式性质，两边同时减去（1.3＋C），即可得解。 【规范解答】由分析可得： 故A＝1.2。 【考点剖析】考查了小数的加减法灵活运用以及等式的性质。 7．（24-25五年级上·湖北孝感·期末）要使0.62÷a＜0.62（a＞0），a应该大于1。( )(判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数，据此解答即可。 【规范解答】由分析可得：0.62÷a＜0.62，则a＞1，原题说法正确。 故答案为：√ 8．（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）与奇数a相邻的两个奇数分别是a＋2和a－2。( )(判断对错） 【答案】√ 【思路引导】相邻的两个奇数之间相差2，与a相邻的两个数，一个比它小2，一个比它大2，据此用字母表示出与a相邻的两个奇数即可。 【规范解答】由分析可得：与奇数a相邻的两个奇数分别是（a＋2）和（a－2），原题说法正确。 故答案为：√ 9．（24-25五年级下·贵州贵阳·期末）世界上最大的鸟是非洲鸵鸟。一只非洲鸵鸟重110千克，比一只鹅体重的14倍少4.8千克。这只鹅约重多少千克？（先写出数量间的关系，再列方程解答） 数量关系： 【答案】数量关系：鹅的体重×14－4.8＝非洲鸵鸟的体重；8.2千克 【思路引导】根据题意，非洲鸵鸟的体重比鹅体重的倍少千克，得出等量关系：鹅的体重×14－4.8＝非洲鸵鸟的体重，据此列出方程，并求解。 【规范解答】数量关系：鹅的体重×14－4.8＝非洲鸵鸟的体重 解：设这只鹅约重千克。 14－4.8＝110 14－4.8＋4.8＝110＋4.8 14＝114.8 14÷14＝114.8÷14 ＝8.2 答：这只鹅约重8.2千克。 10．（25-26五年级上·全国·课后作业）用小棒按下图的方式摆图形。 (1)摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒，摆4个六边形要( )根小棒。 (2)摆n个六边形要( )根小棒，当n＝100时，要( )根小棒。 【答案】(1)21 (2) 5n＋1 501 【思路引导】由图可知，摆1个六边形用6根小棒，摆2个六边形用（）根小棒，摆3个六边形用（）根小棒…以此类推，每次增加5根小棒，摆n个六边形用根小棒，代入可以求出时的小棒数量，据此解答。 【规范解答】据分析可知： （1）每次增加5根小棒，（根），摆4个六边形要21根小棒。 （2） 当时，   摆n个六边形要根小棒，当n＝100时，要501根小棒。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第七单元用字母表示数量关系（一）『举一反三知识讲练』」（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+8个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练共56题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新..... 3 知识点一用字母表示数.. …3 知识点二用字母表示数量关系· 知识点三用字母表示运算定律及计算公式...· …4 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系. 5 知识点五利用等式的性质求未知数.· .5 知识点六含有字母式子的化简与求值 ...6 知识点七数与形（归纳递推) 6 考点讲练真题汇总………… 高频考点一用字母表示数量关系（1个未知数)........... 7 第1页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式.. 高频考点三用字母表示稍复杂的数量关系 高频考点四含有字母式子的化简与求值...……8 高频考点五等式的认识及列等量关系式…… 9 高频考点六等式的性质1… 0 高频考点七等式的性质2… 高频考点八利用等式的性质解决问题.·· 10 难点突破奥数拓展…………… 10 奥数拓展一用字母表示数量关系(1个未知数) 10 奥数拓展二用字母表示运算定律及计算公式...............11 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值..· ...11 奥数拓展四等式的认识及列等量关系式..， 11 奥数拓展五等式的性质1.. 12 奥数拓展六等式的性质2. 12 优选真题实战演练… 12 【能力提升练】 12 【思维创新练】 昌导图指引梳理脉络 第2页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 1.用字母表示数 2:用字母表示图形的周长和面积 (1)生活中存在大量的数量关系，用字母可以简明地表示数量。 (1)长方形：周长C=2(a+b),面积S=a×b. (2)用字母表示数，可以表示具体的数量，也可以表示数量的变化规律和 (2)正方形：周长C=4a,面积S=。 数量之间的关系 (3)平行四边形：面积S=a×A(a为底，为为高)。 (3)在含有字母的式子中，数与字母、字母与字母之间的乘号可以写作“，” (4)三角形：面积S=a×h÷2(a为底。h为高)， 也可以省略不写：数要写在字母的前面。 (5)梯形：面积S■(a+b)×+2(a、b为上，下底，h为高) ①，铁的年龄是：岁，哥哥的年龄可以用十4表示： 带向 用b表示哥哥的年龄，可以用b-4表示妹妹的年龄 长方形长9m,宽4m:周长=2(9+4)=26m,面积=9×4=36m 2摆x个五边形需要用5x根小棒。 正方形边长6c:周长■4×6■24cm,面积■6■36cm 3行驶时间1小时，路程米：书=多+1 第七单元 3、用字母表示数量关系（等式的性质） 7.典型练习（含答案） 等式的两边可时上或减去同一个数，可同时乘或除以同一个不为0的数，结果仍相等 1.妹妹a岁，哥哥比妹棘大4岁、哥哥(a+4)岁。 用字母表示 摆n个五边形需要用S)根小。 (1)如果a=b,那么a+c=b+e,a-c=b-c。 数量关系（一） (2)如果a=b,那么ae=bc 3.长方形长a,宽b,周长(2(a+b),面积(ab), 4.若a=12.则3a-5=(31)。 (3)如果a=b,那么a+c=b+c(e≠0)。 (4》如果a+b▣c(b￥0).那么a=b×c 5.x的2倍与7的和是(2+7)。 6.若b=8,c=6,则b×c+2=(24)。 闭 7,如果a+3=9,那么=(6)。 ①5+x=12,则x=12-5=7 名一列火车每小时行250千米，1小时行（2501)千米 23a=24,则a=24÷3=8. 9 一件上农a元，裤子比上农贵30元裤子(a+30)元 ③4x-7=17,则4x=17+7=24,x=24÷4=6 10.如果m=5n,那么n=(m+5)。 ④y+3=9.期y=9×3=27 6.解决问题的方法与策略 5.含字母式子的实际意义 4.用字母表示数量之间的关系（列式方法） (1)找数量关系，用字母表示。 (1)含字母的式子可以表示数量、关系、 (2)用式子表达，列出含字母的式子 (1)可用字母表示数量，再根据题意列式。 规律、公式等 (2)常见关系：和差、积。商：倍数关系：相遇问题：工作效率问题 (2)字母可以表示一个数，也可以表示 (3)列式步骤：理解题意一找出数量关系一设字母一列式一检验。 器】刷题：草果的探数是桃树的3倍，梨树比桃树多8探 一类数。 桃树a棵，苹果树()，梨树()棵 (3)在具体情境中，体会字母的作用 D1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条褪，n只清蛙：嘴n张，眼睛2m只.腿4加条 解：苹果树3棵。泵树。+2棵 ②哥哥比妹妹大4岁，妹妹a岁。哥哥：+4岁。 当a120时：苹果树3×120360棵 发展代数思维。 3一辆车的速度米/分，1分钟行驶的路程=”×1 梨树120+28■148棵 知识梳理小结 学习小贴士 本单元我们学习了用字母表示数、图形的周长和面积，理解了等式的性质。井能用学母表示生活中数量之间的关系 1.字母可以表示任何数，但解题时要注意范围（如除数不为0） 用学母可以使数量关系更简明、更普遍，也为以后学习方程打下基础 列式前要认真分析数量关系，选择合适的字母 书写含字母的式子婴规范，数在前，字母在后 知识梳理温故知新 Imimimimimimimimimimisimimi 知识点一用字母表示数 1.基本概念 在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的 数。 (1)作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2)取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄不能是负 数，也不能超过合理寿命（如a<150)。 2.书写规范（重点） (1)数字与字母相乘时，乘号可以记作“”或省略不写。 (2)数字必须写在字母前面。 例：a×4写作4a(不可写作a4)。 例：b×1写作b（1通常省略)。 第3页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 (3)字母与字母相乘，乘号可省略或记作“”。 例：a×b写作ab或a·b。 (4)注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3.相同字母相乘 (1)a×a写作a,读作“a的平方”，表示2个a相乘。 (2)易错区分： ①a2=a×a ②2a=a+a=a×2 ③当a=2时，a2=4,2a=4(相等)；当a=3时，a2=9,2a=6（不相等)。 知识点二用字母表示数量关系 1.常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x-a 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 X÷a 2.实际应用示例 (1)年龄问题：小明今年x岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(x+28)岁。 (2)购物问题：苹果每千克a元，买5千克应付5a元。 (3)剩余问题：一本故事书共m页，看了n天，每天看k页，还剩(m-nk)页。 知识点三用字母表示运算定律及计算公式 1.运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc) (5)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 第4页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.平面图形计算公式 设正方形的边长为a,长方形的长为a、宽为b。 图形 周长公式(C) 面积公式(S) 正方形 C=4a S=a2 长方形 C=2(a+b) S=ab 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 1.两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1)示例1：学校买来x个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数：3x-5 (2)示例2：甲数是a,乙数比甲数的2倍多b。 乙数：2a+b (3)示例3：修路队第一天修了a米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度：a+2a=3a 2.含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1)总路程=速度×时间：若速度为v,时间为t,则路程s=t。 (2)工作总量=工作效率×工作时间：若效率为a,时间为t,则总量W=at。 知识点五利用等式的性质求未知数 1.等式的性质 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若a=b,则a十c=b+c,a-c=b-co (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若a=b,则ac=bc;若c≠0，则a÷c=b÷c。 2.简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1)对于x+a=b,利用减法关系：x=b-a。 (2)对于ax=b,利用除法关系：x=b÷a。 (3)对于x-a=b,利用加法关系：x=b+a。 (4)对于x÷a=b,利用乘法关系：x=ab。 第5页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点六含有字母式子的化简与求值 1.式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1)ax+bx=(a+b)x (2)ax-bx=(a-b)x (3)示例： ①3a+5a=(3+5)a=8a ②7x-2x=5x ③4y+y=5y(注意：y等同于1y) 2.式子求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号)。 (3)计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有)。 (4)示例：当a=5,b=3时，求2a+3b的值。 解：当a=5,b=3时， 2a+3b=2×5+3×3 =10+9 =19 知识点七数与形（归纳递推） 1.找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第n个图形/数字与序号之间的关系。 2.常见模型 (1)线性增长模型： ①摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根… ②规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 ③第n个图形所需小棒数：3+2(n-1)=2n+1。 (2)正方形点阵： ①第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点… ②规律：点数是序号的平方。 第6页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 ③第n个图的点数：n2。 3.解题策略 (1)列表整理前几个数据。 (2)观察相邻两项的差或倍数关系。 (3)尝试用含n的式子表示，并验证前几项是否成立。 考点讲练真题汇总 高频考点一用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(24-25五年级上·湖南张家界·期末)一个日记本的进货价是3.8元，王阿姨购进a本这 样的日记本并以5元的价钱售出，王阿姨进货一共花了( )元，如果全部卖出盈利( )元。 【变式训川练1(26-27五年级上全国课后作业)一本书有c页，小明每天看8页，看了n天，还剩( 页没看。 【变式训练2】(26-27五年级上·全国·课后作业)学校买来x个足球，每个65元，一共花了( 元。 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(25-26五年级上·广西玉林·期末)下列说法正确的是( )。 A.含有未知数的式子一定是方程 B.(a十b)c=ac十bc运用了乘法交换律 C.因为2°=2×2，所以a°=2a D.如果3x十4=19，那么2x十7=17 【变式训练1】(24-25五年级上·上海宝山·期末)一块长方形菜地长25米，宽10米，如果长增加a 米，宽不变，面积增加( )平方米，新的长方形周长是( )米。 【变式训练2】(25-26五年级上·广东深圳·期末)除了拼接的方法，还有同学提出：可以将一个梯形分 割成一个平行四边形和一个三角形（如下图），请分别写出这个平行四边形和三角形的面积（用a、b、h 字母表示)。 a 第7页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点三用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)用含有字母的式子表示下面的数量关系。 工厂每天生产m个零件，生产了n天后，还剩下120个没生产，这批零件一共有多少个？ 【变式训练1】(25-26五年级下·山西吕梁·期末)甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行 驶7Okm,乙车每时行驶80km,经过x时两车相遇，则7Ox十80x表示( ),80x-70x表示 ( ）。 【变式训练2】(25-26五年级下·福建龙岩·期末)若M=100×a十10×b十6，M一定是( )的 倍数。 A.2 B.3 C.5 D.6 高频考点四含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(24-25五年级下·四川成都·期末)如果你是一个足球队的领队，学校要求你带领学校足 球队15人到重庆参加5天足球比赛，请你设计一个表格预算总费用。（不清楚的价格可用字母代替，比如： 高铁票单价a元) 【变式训川练1】(26-27五年级上·全国·课后作业)在括号里填上“>”“<”或“=”。 (1)当x=3时，5x+6( )20,5x-6( )20。 (2)当x=4时，6x+x( )28,6+x( )28。 (3)当x=4.5时，8x-5x( )15,8x+5x( )15。 (4)当x=10时，(4x-6)÷2( )15,(4x+6÷2( )15。 【变式训练2】(25-26五年级下·陕西西安·期末)如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对的面上 两个数互为倒数，则x一y十z=(（)。 第8页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点五等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(24-25五年级下·山西大同·期末)2024年，无锡市第二条市域轨道交通线(S2线)正式 启动土建施工，助力轨道交通“一体两翼”格局再提速。S2线全长约61.5千米，比无锡市首条市域轨道交 通线(S1线)的2倍多0.7千米，S1线全长约多少千米？（先将数量关系补充完整，再列方程解答） 线的全长X2倍十 千米= 线的全长 【变式训练1】(24-25五年级下·山西大同·期末)在5x÷8、M-21=5.3、6x>15、1.6+3=4.6、8: 9=2N五个式子中，方程有( )个，等式有( )个。( A.1:2 B.2;3 C.3;2 D.4:1 【变式训练2】(25-26五年级下·安微芜湖·期末)在式子①6a;②18-x=9:③7×8=56；④4x+12 >60;⑤4x>8;⑥0.8y=0中，等式有( ),方程有( )。(填序号) 高频考点六等式的性质1 【典例精讲】(25-26五年级下·黑龙江哈尔滨·期末)现有一个天平，30克和5克砝码各一个。现在要 把300克盐平均分成三份，最少用天平称( )。 A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 【变式训练1】(25-26五年级下·四川成都·期末)辰辰去超市买了水果糖、奶糖、巧克力糖各1千克， 共花123元。已知买1千克奶糖的钱数和买2千克水果糖的钱数相等；买2千克巧克力糖的钱数与买3千 克奶糖的钱数相等。辰辰买奶糖花了( )元。 【变式训练2(25-26五年级下山西晋中期末)若☐+○=15，☐×○=56，口>○，则口=( ○=( )。 高频考点七等式的性质2 【典例精讲】(25-26五年级下·河南周口·期末)已知2a=3b(a、b均为非0自然数)，根据等式的性 质，下面等式不成立的是( )。 A.a=1.5b B.2a-b=2b C.6a=12b D.a=3b-a 【变式训练1】(25-26五年级下·河南平顶山·期末)a>0,b>0,已知2a=3b,根据等式的性质， 下列等式不成立的是( )。 A.4a=9b B.0.5a=0.75b C.20a=3b+18a 【变式训练2】(25-26五年级下·山西大同·阶段检测)如下图，圆柱的质量是( )千克。 第9页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 15千克 15千克 A.7.5 B.5 C.3.75 高频考点八利用等式的性质解决问题 【典例精讲】(25-26五年级下·江苏南京·期末)小宇和小航用同样多的钱购买物品。小宇买了3套书 签，小航买了1套书签和6本便签本，1套书签的价钱相当于( )本便签本的价钱。 A.3 B.6 C.9 【变式训练1】(25-26五年级下·安徽合肥·期末)解方程。 x÷2.5=0.6 2.4x+18×2=50.4 0.92x-0.12x=3.6 【变式训练2】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家 用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度=摄氏温度×1.8十32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是( A.如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B.如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C.摄氏温度=华氏温度÷1.8一32 D.(华氏温度-32)÷1.8=摄氏温度 难点突破奥数拓展 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数) 【典例精讲】(25-26五年级上·福建福州·期末)某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过 3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米(a为整数)， 他身上有3元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是()。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【变式训练】(25-26五年级上·浙江金华·期末)如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形 的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( 第10页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 颗。 奥数拓展二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b=4a-b,那么20◆(24◆32)= 【变式训练】(23-24五年级上·江苏扬州·期末)如图，一块平行四边形空地的面积是600平方米，连 接它的项点A以及对面相邻两条边的中点E、F,得到一个阴影三角形AEF,阴影三角形AEF的面积是 )平方米。 B 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(2026·重庆渝北·小升初真题)对于非零自然数a和b,规定符号⑧的含义是：asb=(m ×a十b)÷2ab(m是一个确定的整数)。如果1⑧4=283，那么3⑧4等于( ）。 【变式训练】(2026·重庆渝北·小升初真题)为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、 木制花盆三种。其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵 黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成。这些花盆一共用了2900朵红花， 3750朵粉花，则黄花一共用了（ )朵。 奥数拓展四等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(2025·河北石家庄·小升初真题)按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为 )个第( )堆三角形的个数为122个。 公 公 △公△ △△公△△ △△△公△△△ (1) (2)》 (3) 【变式训练】李强每周花在上课和参加社团活动的时间共32小时。他每周一到周五下午4：406：10参加 社团活动。如果李强上课的时间用T(小时)表示，那么表示他每周上课时间的是( ）。 A.T=5×1.5B.T=5×90-32C.T=32-5×1.5D.T=32-1.5 B. 第11页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五等式的性质1 【典例精讲】把苹果、梨、桃三种水果，放在天平上称（每个苹果同样重，每个梨同样重，每个桃子同样 重)，情况如下： 那么，1个苹果、1个梨、1个桃的重量比较，由重到轻依次为( A. B. ●0 C 0 【变式训练】已知一个数千位是1，百位和十位都是M,个位是3，且这个数是9的倍数，则M=( 奥数拓展六等式的性质2 【典例精讲】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中 错误的是( )。(a、b、c均不为0) A.若a=b,则ac=bc B.若a2=2a,则a=2 C.若a÷c=b÷c,则a=b D.若a=b,则a十b=b一b 【变式训练】甲、乙两人加工零件，若甲做4小时，乙做6小时，则一共加工零件196个：若甲做7小时， 乙做3小时，则一共加工零件208个。甲每小时加工零件多少个？ 优选真题实战演练 =✉i 【能力提升练】 1.(25-26五年级下·上海奉贤·期末)五(1)班有学生x人，五(2)班比五(1)班的2倍少30人， 两个班共有( )人。 A.2x-30 B.3x-30 C.2x+30 D.3x+30 第12页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.(25-26五年级下·重庆梁平·期末)在数学课上，数学老师提出一个说法：“对于任意的三个连续自 然数，它们的和都是3的倍数。”这一说法对吗？请说明理由。下面是A、B、C、D四位同学给出的答案和 理由。( )同学所说的理由，既全面充分又正确。 A.“说法对，例如1、2、3,1十2十3=6,6是3的倍数，所以它们的和是3的倍数。” B.“说法对，因为我试了几组数后发现都是成立的，所以它们的和是3的倍数。” c.“说法对，设a为任意自然数，则这三个连续自然数可以表示为a、a十l、a十2，它们的和是a十a +1+a+2=3a+3=3(a十1)，因为3(a十1)是3的倍数。所以它们的和是3的倍数。” D.“说法对，设这三个连续自然数为a、b、c,它们的和是(a十b十c),因为(a十b十c)是3的倍数， 所以它们的和是3的倍数。” 3.(24-25五年级下·吉林长春·期末)欣欣水果店里苹果比桃子的3倍多16千克，如果有桃子x千克， 那么苹果有( )千克；当x=28时，苹果有( )千克。 4.(25-26五年级下·安徽蚌埠·期末)鞋子尺码是一种衡量鞋或脚大小的尺码，通常用“码”和“厘米” 作单位。如果用x表示厘米数，y表示码数，它们之间可以用y=2x一10换算，妈妈穿23.5厘米的鞋对应 的是( )码。 5.(24-25五年级下·江苏苏州·期中)五年级有女生a人，比男生的2倍少4人，则五年级的男生是(2a -4)人。( )(判断对错) 6.(26-27五年级上·全国·课后作业)学校买来a个足球，每个足球b元，又买来5个篮球，每个篮球 60元。 (1)用含有字母的式子表示买足球和篮球一共花的钱数。 (2)当a=8,b=45时，一共花了多少元？ 7.(25-26五年级下·四川泸州·期末)五年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人 数是128人：不算丁班，其余三个班的总人数是141人：丁班人数的2倍比甲班多12人。请问：这四个班 一共有多少人？ 第13页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 8.(25-26五年级上·贵州遵义·期末)习水和贵阳市森林公园两地间的路程是276千米。甲、乙两辆车 同时从两地开出，相向而行，经过1.5小时相遇，甲车每小时行驶95千米，乙车每小时行驶多少千米？（用 方程解答，请写出等量关系式) 9.(24-25五年级上·江苏镇江·期末)两辆汽车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行a千米，慢 车每小时行b千米，经过5小时，两车相遇。 (1)用含有字母的式子表示甲、乙两地间的距离。 (2)当a=80,b=75时，甲、乙两地间的距离是多少千米？ 10.(24-25五年级上·广西河池·期末)世界土地荒漠化面积约有0.36亿平方千米，是耕地面积的2倍 还多0.08亿平方千米。 (1)画线段图分析题中的数量关系。 (2)作为小学生我们该如何预防土地荒漠化？（至少提出两点建议） 第14页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【思维创新练】 1.(25-26五年级上·河南南阳·期中)下列说法正确的个数是( ) ①x2=2x ②a+b+c=a十(b+c) ③8十ab可以简写为8ab ④4(x+3)=4x+12 ⑤边长为a的等边三角形的周长为3a A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26五年级上·湖北黄冈·期末)甲、乙两辆货车运输物资，从相距480千米的A、B两地相向而行， 甲车每小时55千米，乙车每小时x千米，4小时相遇，方程错误的是( )。 A.4(55+x)=480 B.55×4+4x=480C.55+x=480×4D.480÷4-x=55 3.(24-25五年级上·广西防城港·期末)如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需 要走( )米。 a米 b米 c米 A.2a+2b+c B.2a+2b C.a+2b+2c 4.(24-25五年级上·湖南张家界·期末)一张桌子坐12人，合并两张桌子坐20人，n张桌子能坐( 人，如果有68人需要( )张桌子。 5.(25-26五年级下·辽宁朝阳·期末)今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则 爸爸的年龄是()岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是()岁。 6.如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑 笑已经填了三个，那么A处应填( ）。 7.(24-25五年级上·湖北孝感·期末)要使0.62÷a<0.62(a>0),a应该大于1。( )(判断 对错) 8.(23-24五年级下·甘肃平凉·期中)与奇数a相邻的两个奇数分别是a十2和a一2。( )(判断 对错) 9.(24-25五年级下·贵州贵阳·期末)世界上最大的鸟是非洲鸵鸟。一只非洲鸵鸟重110千克，比一只 鹅体重的14倍少4.8千克。这只鹅约重多少千克？（先写出数量间的关系，再列方程解答） 第15页共16页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 数量关系：一 10.(25-26五年级上·全国·课后作业)用小棒按下图的方式摆图形。 (1)摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒，摆4个六边形要() 根小棒。 (2)摆n个六边形要( )根小棒，当n=100时，要( )根小棒。 第16页共16页