专题01 垂径定理、圆周角及圆内接四边形（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册
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内容正文：
专题01 垂径定理、圆周角及圆内接四边形
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用垂径定理求线段长问题
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
题型三、利用圆周角定理求角
题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角
题型五、90°的圆周角所对的弦是直径
题型六、已知圆内接四边形求角度
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
垂径定理与圆周角问题围绕弦长计算、角度转化、直径判定、圆内接四边形性质展开，解题贯穿两条底线原则：一是垂径定理要作弦心距构造直角三角形，平行弦问题务必分类讨论；二是圆周角转换牢记同弧圆周角相等，直径与直角互推、圆内接四边形对角互补，看清图形有无多解情况。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用垂径定理求线段长问题
题型模版
1.特征：已知圆的半径、弦长、弦心距中部分条件，求剩余线段，常搭配半径、弦、弦心距、拱高，多为填空、解答基础计算题，核心是线段之间的转化，容易忽略拱高与半径、弦心距的关系。
2.方法：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形；利用垂径定理平分弦，结合勾股定理列式求解，分清弦心距、拱高，看清所求线段，最后检验结果是否符合图形。
【例1】如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径．
【变式1-1】如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且．
(1)求证：为中点；
(2)求的长．
【变式1-2】如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长．
【变式1-3】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
题型模版
1.特征：圆内两条互相平行的弦，已知弦长和半径，求两弦之间的距离，是高频易错题，存在两种位置情况：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，学生经常漏解，只算出一种答案。
2.方法：分别向两条平行弦作垂线，由垂径定理得到半弦长，勾股算出两条弦的弦心距；分两类讨论，同侧距离相减，异侧距离相加，两类结果都要写，画图辅助判断位置。
【例3】在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________．
【例4】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式2-1】已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______．
【变式2-2】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式2-3】如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____．
题型三、利用圆周角定理求角
题型模版
1.特征：给出同弧或等弧所对圆周角、圆心角，进行角度计算与等量转化，图形中弧多、角多，容易找错弧对应的角，混淆圆周角和圆心角倍数关系，常在选择填空出现。
2.方法：找准目标角所对的弧，牢记同弧所对圆周角相等，圆周角等于圆心角的一半；优先标注已知角，顺着弧传递角度，注意区分优弧、劣弧，避免把不同弧的角度直接等同。
【例5】如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________．
【例6】如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____．
【变式3-1】如图，是的直径，为上一点，为外一点，与相切，且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式3-2】如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________．
【变式3-3】如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角
题型模版
1.特征：题干给出圆的直径，搭配圆周上一点，用来证明垂直、求边长、求角度，是重要辅助线模型，常和勾股定理、相似结合，大题里频繁出现，容易忘记连接直径端点构造直角。
2.方法：看到直径，优先连接直径端点与圆周上的点，得到直角；在直角三角形中利用勾股、锐角关系计算角度或边长；确认顶点在圆上，排除顶点不在圆周上的错误情形。
【例7】如图，在中，，点 D、E 分别是 的中点，以为直径作 交 于点 F、G，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【例8】如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，．
(1)求的度数．
(2)求的值．
【变式4-1】如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______．
【变式4-2】如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式4-3】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)证明：．
(2)若，求和的长．
题型五、90°的圆周角所对的弦是直径
题型模版
1.特征：图形中出现圆周角为90°，需要判定弦为直径，用来确定圆心、求半径、判断直角三角形斜边，多用于证明题、动点题，属于角度转线段判定的逆向使用。
2.方法：先确认直角顶点落在圆上，再根据定理直接判定这个角所对的弦为直径；找到直径后可以进一步得到圆心，结合垂径、勾股求解，注意甄别直角顶点不在圆上的陷阱。
【例9】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______．
【例10】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________．
【变式5-1】如图，在半径为6.5的圆O的同侧有两条弦，，其中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求外接圆的半径．
【变式5-3】如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型六、已知圆内接四边形求角度
题型模版
1.特征：四边形四个顶点都在圆上，给出其中一个内角或者外角，求对角、邻角，常和圆周角综合出题，易错点是混淆对角互补、外角等于内对角两条性质。
2.方法：运用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行角度换算；优先观察已知角是内角还是外角，选对应性质列式；计算后核对四个角，避免角度关系用反。
【例11】如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例12】如图，将的内接绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________．
【变式6-3】如图，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，无人机巡检基站时，以基站中心O为圆心作圆形巡检区域按八个方位将圆八等分（等分点为），连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．点、、是上不同的三点，已知，则____度．
6．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°．
7．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______．
8．如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°．
9．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若圆的半径为6，求的长．
10．如图，点在圆上，，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论．
(2)若，求圆的半径．
11．如图，在Rt中，，以为直径作，与斜边交于点，点是上一点，点是的中点，连接、、，与的交点为．
(1)求证：；
(2)若的半径是6，，求的长．
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专题01 垂径定理、圆周角及圆内接四边形
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用垂径定理求线段长问题
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
题型三、利用圆周角定理求角
题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角
题型五、90°的圆周角所对的弦是直径
题型六、已知圆内接四边形求角度
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
垂径定理与圆周角问题围绕弦长计算、角度转化、直径判定、圆内接四边形性质展开，解题贯穿两条底线原则：一是垂径定理要作弦心距构造直角三角形，平行弦问题务必分类讨论；二是圆周角转换牢记同弧圆周角相等，直径与直角互推、圆内接四边形对角互补，看清图形有无多解情况。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用垂径定理求线段长问题
题型模版
1.特征：已知圆的半径、弦长、弦心距中部分条件，求剩余线段，常搭配半径、弦、弦心距、拱高，多为填空、解答基础计算题，核心是线段之间的转化，容易忽略拱高与半径、弦心距的关系。
2.方法：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形；利用垂径定理平分弦，结合勾股定理列式求解，分清弦心距、拱高，看清所求线段，最后检验结果是否符合图形。
【例1】如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接，
由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面，
∴，
在中，，
∵，
∴．
【例2】如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径．
【答案】5
【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接．
，，
，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
设的半径为，则，
，
，
在中利用勾股定理得，
即，
解得．
【变式1-1】如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且．
(1)求证：为中点；
(2)求的长．
【答案】(1)证明：∵是的直径，
∴即，
∵，
∴，
∴，即为中点；
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证；
（2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴
∵是直径，
∴，
∴在中，．
【变式1-2】如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长．
【答案】4
【分析】先证明，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
∵，
．
【变式1-3】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)证明：∵交于点，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证；
（2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ．
【详解】（1）略
（2）解：∵点在圆上，是的直径，
∴．
∵交于点，
∴，，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴在中，，
∴，
∴ ，
即．
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
题型模版
1.特征：圆内两条互相平行的弦，已知弦长和半径，求两弦之间的距离，是高频易错题，存在两种位置情况：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，学生经常漏解，只算出一种答案。
2.方法：分别向两条平行弦作垂线，由垂径定理得到半弦长，勾股算出两条弦的弦心距；分两类讨论，同侧距离相减，异侧距离相加，两类结果都要写，画图辅助判断位置。
【例3】在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________．
【答案】14或2
【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示，
过O作，
∵，
∴，
根据题意得：，
此时两平行弦间的距离；
当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得：
，
综上，两平行弦间的距离等于14或2．
【例4】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ，
∵，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
即的半径为10．
【变式2-1】已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______．
【答案】或
【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离．
【详解】过点作于点，则为中点，连接，
∴，
在中，，
由勾股定理得，
过点作于点，则为中点，
∴，
在中，，
由勾股定理得，
如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为；
如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况．
【变式2-2】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式2-3】如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____．
【答案】或
【分析】过点O作于点F，连接，利用
确定，确定弧所对的圆心角，利用圆周角定理解答即可．
本题考查了平行线间的距离，圆周角定理，圆的性质，余弦函数，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键．
【详解】解：过点O作于点F，连接，
∵半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点E在优弧上时，；
当点E在劣弧上时，；
故答案为：或．
题型三、利用圆周角定理求角
题型模版
1.特征：给出同弧或等弧所对圆周角、圆心角，进行角度计算与等量转化，图形中弧多、角多，容易找错弧对应的角，混淆圆周角和圆心角倍数关系，常在选择填空出现。
2.方法：找准目标角所对的弧，牢记同弧所对圆周角相等，圆周角等于圆心角的一半；优先标注已知角，顺着弧传递角度，注意区分优弧、劣弧，避免把不同弧的角度直接等同。
【例5】如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________．
【答案】
【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答．
【详解】解：如图，连接，
点，，，，在上，
∴四边形是圆内接四边形，
，即．
，
，
即所对的圆周角度数为．
【例6】如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____．
【答案】12
【分析】延长交于点，连接，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可．
【详解】解：延长交于点，连接，
则是直径，，
∴，
∴
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式3-1】如图，是的直径，为上一点，为外一点，与相切，且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先证，从而利用“”可证，则，最后根据等边对等角和外角的性质，可证，利用平行线的判定即可求证；
（2）连接，，根据勾股定理，易得，根据等面积法，易求，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
与相切，
，即，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，
，
，，，
，
，
，
又∵，
垂直平分，
设与交于点，则，
，
，
是的直径，
，
在中，．
【变式3-2】如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，，
，
由图可知，
又，
.
，
．
题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角
题型模版
1.特征：题干给出圆的直径，搭配圆周上一点，用来证明垂直、求边长、求角度，是重要辅助线模型，常和勾股定理、相似结合，大题里频繁出现，容易忘记连接直径端点构造直角。
2.方法：看到直径，优先连接直径端点与圆周上的点，得到直角；在直角三角形中利用勾股、锐角关系计算角度或边长；确认顶点在圆上，排除顶点不在圆周上的错误情形。
【例7】如图，在中，，点 D、E 分别是 的中点，以为直径作 交 于点 F、G，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长，得到圆的半径，过点O作，过点C作，连接，结合垂径定理即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∵D、E 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴，，
∴ 的半径为 ．
过点O作，过点C作，交于点H，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【例8】如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，．
(1)求的度数．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，连接，可得，再进一步求解即可；
（2）如图，连接，证明，，，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，
∴，
∴，
∴，，
∴.
（2）解：如图，连接，
∵是半圆O的直径， ．
∴，
∵，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴.
【变式4-1】如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______．
【答案】65
【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
【变式4-2】如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：连接，
·
∵以为直径的分别与、交于点、，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴；
(2)
【分析】（1）证明垂直平分，即可得到结论；
（2）求出，证明，则，代入数据即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵
∴
∵，
∴，
∵以为直径的分别与、交于点、，
∴
∴
∴
∴，
∴，
解得
【变式4-3】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)证明：．
(2)若，求和的长．
【答案】(1)证明：点是的中点，
．
为直径，，
．
∵
，
在和中，
，
．
(2)；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解；
（2）连接并延长交于点，可知，根据正切值可知，进而可求，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接并延长交于点，
点是的中点，，
，
，
∴
，
∴在中，，
，
∴．
∴在中，，
，
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴在中，，
．
题型五、90°的圆周角所对的弦是直径
题型模版
1.特征：图形中出现圆周角为90°，需要判定弦为直径，用来确定圆心、求半径、判断直角三角形斜边，多用于证明题、动点题，属于角度转线段判定的逆向使用。
2.方法：先确认直角顶点落在圆上，再根据定理直接判定这个角所对的弦为直径；找到直径后可以进一步得到圆心，结合垂径、勾股求解，注意甄别直角顶点不在圆上的陷阱。
【例9】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______．
【答案】
【分析】连接，根据直角尺的性质得出，利用的圆周角所对的弦是直径判断为圆的直径，再根据勾股定理求出的长，进而求得半径；
【详解】解：连接，
∵工人师傅用直角尺作测量，
∴，
∵是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴圆形镜面的半径为．
【例10】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】先根据网格中线段的位置关系，利用圆周角定理确定为圆的直径，再用勾股定理求出的长度，得到圆的半径；接着根据已知角度和半径相等，判定为等边三角形；最后通过扇形的面积减去的面积，求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵点、、在同一圆的圆弧上，且由网格可知，
∴，
∴是的直径．
设圆心为点，过点作于点，连接，
∵在中，，，
∴，
∴的半径
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵过点作于点，
∴
∵在中，，
∴
∵，
∴，
∴
【变式5-1】如图，在半径为6.5的圆O的同侧有两条弦，，其中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，连接并延长，与圆O交于点E，连接，，设与交于点F，可得，再利用勾股定理列方程即可解答，作出正确的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：连接并延长，与圆O交于点E，连接，，设与交于点F，
圆O的半径为，
，，
由勾股定理可得，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理可得，即，
解得，
．
故选择：A．
【变式5-2】如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求外接圆的半径．
【答案】(1)
证明：∵是的内心，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
∴．
(2)3
【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
（1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵是的外接圆，且，
∴是的直径，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴外接圆的半径为．
【变式5-3】如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据圆周角定理判断出点在以为直径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴如图，点在以为直径的圆上，
∴所对的圆心角的度数是，
故选：C．
题型六、已知圆内接四边形求角度
题型模版
1.特征：四边形四个顶点都在圆上，给出其中一个内角或者外角，求对角、邻角，常和圆周角综合出题，易错点是混淆对角互补、外角等于内对角两条性质。
2.方法：运用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行角度换算；优先观察已知角是内角还是外角，选对应性质列式；计算后核对四个角，避免角度关系用反。
【例11】如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
【例12】如图，将的内接绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及圆内接四边形对角互补是解题的关键．
连接，由旋转性质得到且，从而推出是等腰三角形，，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
，
∴，
∵四边形是的内接四边形
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-1】如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵于点．
∴
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴
∵四边形内接于，
∴．
【变式6-2】如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________．
【答案】
【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【变式6-3】如图，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆内接四边形的性质求出 的度数，连接，利用等腰三角形的性质将 转化为 即可求解．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，
点 、、、 在 上 ，
四边形 为圆内接四边形 ，
，
，
，
，
连接 ，如图：
，
，，
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、、、，根据圆周角定理推出，，进而解题．
【详解】解：连接、、、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长．
【详解】解：如图
设为的半径，于，则为 中点，，
∵劣弧沿折叠,经过圆心，
∴点与点关于对称，
∴，且 .
如图
∵劣弧沿折叠，经过的中点，
∴且平分，
设 与 所在直线交于点 F，则．
设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接，
∴，，
在中，，
由垂径定理得．
3．如图，无人机巡检基站时，以基站中心O为圆心作圆形巡检区域按八个方位将圆八等分（等分点为），连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、、，由A、B、C、D、E、F、G、H是的八等分点，得，则，，求得，，则是的直径，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、，
∵A、B、C、D、E、F、G、H是的八等分点，
∴，
∴，，
∴，，
∴F、O、B三点在同一条直线上，
∴是的直径，
∴，
∴．
4．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用解直角三角形的知识，再利用圆周角定理解答即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
则，
，
，
，
弦的长度等于圆半径的倍，
，
，
，
，
，
是弦所对的圆周角，
．
5．点、、是上不同的三点，已知，则____度．
【答案】140或60
【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得
解：分两种情况：
如图，当点在优弧上时，
∵，，
∴ ，
∴；
如图，当点在劣弧上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
6．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°．
【答案】45或135
【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵半径为，弦，
∴，，
∴，
∴，
当点C在优弧上，如图中的点，则；
当点C在劣弧上，如图中的点，则，
∴，
综上，或．
7．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______．
【答案】或
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是．
综上可知与间的距离是或．
故答案为：或．
8．如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°．
【答案】
【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
9．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若圆的半径为6，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解；
（2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵，圆的半径为6，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．如图，点在圆上，，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论．
(2)若，求圆的半径．
【答案】(1)
是等边三角形．
证明：，
．
同理，，
，
是等边三角形．
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论；
（2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1），得．
，
线段为圆的直径．
在中，，
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：，
∴圆的半径是．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键．
11．如图，在Rt中，，以为直径作，与斜边交于点，点是上一点，点是的中点，连接、、，与的交点为．
(1)求证：；
(2)若的半径是6，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再证明，根据证明，即可得到结论；
（2）在Rt中，，，，由等腰三角形三线合一得：，即可得到答案．
【详解】（1）证明：点是的中点，
，
，
又是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，
由（1）得：．
的半径是6，
，
在Rt中，，
，．
由等腰三角形三线合一得：，
．
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