3.1 圆的相关概念（题型专练，3基础2提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 围绕“圆的相关概念”，通过基础概念辨析、技能应用到综合拓展的三层设计，构建从单一知识点到动态问题解决的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|圆的概念、弦、圆心角的识别|以选择题为主，如判断等弧、直径性质，强化抽象能力与几何直观| |技能应用层|弦的条数计算、四点共圆证明|结合图形情境，如矩形顶点共圆证明，发展推理意识与空间观念| |综合拓展层|点到圆的最值问题|动态几何情境，如动点中点距离最值，培养创新意识与运算能力|

3.1 圆的相关概念 题型一 圆的概念 1．已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径， 所以AB≤8． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 2．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 3．下列说法正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解答】解：A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【解答】解：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误，不符合题意； 半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为180°，故B正确，符合题意； 优弧是大于半圆（180°）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如70°弧大于60°劣弧，但仍是劣弧），故C错误，不符合题意； 等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误，不符合题意； 故选：B． 题型二 弦的条数 1．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 2．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 3．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 4．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 3 ，， 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 题型三 圆心角的识别 1．下列图形中，为圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆心角定义可知： A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意； B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意； C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意； D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 4．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 题型一 证明几个点在同一个圆上 1．如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 2．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析. 【详解】解：如图， 连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD， ∵点E是AB的中点， ∴OE＝AB， 同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD， ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上． 3．已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析；(2)见解析 【详解】（1）解：且． 证明：、分别是、的中点， ，， ， 又，， ， ，， 在直角中，， ， ， ； （2）连接． ，，， ， ， 在直角中，， ， ， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 4．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 题型二 点到圆的最值问题 1．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 2．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 3．在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 【答案】2 【详解】解： ，取 的中点为点D， ∴当 取得最小值时， 的长度取得最小值， 四边形 为矩形，，点 是 的中点， 圆心 到直线 的距离为 又∵由题意可知，点P在以H为圆心、半径长为1的 上， 线段 ，其中 为定值；当H、P、D三点共线，且时， 长度最小，此时取得最小值。 ∴过点H作AB的垂线，交 于点P，交于点D，此时最短，最短． 此时， ， ． 4．如图，在矩形中，，点为平面内一点，且满足．连接，则的最小值是_____，最大值是_____． 【答案】 【详解】解：∵矩形中， ， 点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，连接，交于点，此时的值最小， ∵点是的中点， ， ∴， 的最小值为 ， 如图，取的中点，连接并延长，交于点，此时的值最大， ∴的最大值为， 故答案为：，． 1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，3），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P，连接AP．若点C为AP的中点，连接OC，则OC长的最小值是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【解答】解：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，连接BD交⊙B于点E， ∵C是AP的中点，O是AD的中点， ∴OC是△APD的中位线， ∴， 在Rt△BOD中，OD＝4，OB＝3， ∴， 当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3， ∴OC的最小值为：， 故选：A． 2．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） A．2r B．r≤3 C．r＜5 D．5＜r 【答案】B 【解答】解：根据题意画出示意图： ∵由勾股定理可得： AD2，AE＝AF，AB＝3， ∴AB＞AE＞AD， ∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内， ∴r≤3． 以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D、E、F3个在圆内． 故选：B． 3．如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF＝b，NH＝c，则b与c之间的大小关系是b　 　 c（填＜、＝、＞） 【答案】＝ 【解答】解：连OM，OD． ∵四边形OEDF是矩形． ∴b＝EF＝OD 同理c＝OM ∵OM＝OD ∴b＝c 故答案为：＝． 4．已知平面上有两点A、B，它们之间的距离是5cm，分别就下列条件研究点P的存在性及点P与线段AB的位置关系，若存在，请作图说明． （1）点P到A、B两点距离之和等于5cm； （2）点P到A、B两点距离之和大于5cm； （3）点P到A、B两点距离之和小于5cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意画图如下： （2）根据题意画图如下： P到A，B两点的距离之和大于5cm，则点P在线段AB上； 若P到A，B两点的距离之和大于5，则点P在线段AB外； （3）若P到A，B两点的距离之和小于5，则点P不存在． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.1圆的相关概念 题型一圆的概念 题型二弦的条数 基础达标题 题型三圆心角的识别 圆的相关概念 题型一证明几个点在同一个圆上 能力提升题 题型二点到圆的最值问题 拓展培优题 基础达标题 题型一圆的概念 1.已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.下列说法错误的是() A.直径是圆中最长的弦 B.半圆是弧 C.长度相等的两段弧是等弧 D.圆上各点到圆心的距离相等 3.下列说法正确的是() A.过圆心的直线是圆的直径 B.直径是弦，弦是直径 C.半圆是轴对称图形 D.长度相等的两条弧是等弧 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.下列说法正确的是() A.直径是经过圆心的直线 B.半圆是弧 C.大于劣弧的弧叫作优弧 D.长度相等的弧是等弧 题型二弦的条数 1.如图所示，点A,O,D,点C,D,E以及点B,O,C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 () B E A A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，A,B,C,E四点在⊙O上，点A,O,B,点C,O,D,点B,D,E分别共线， 则图中弦的条数为() E A.2 B.3 C.4 D.5 3.⊙O的半径为2m,A为⊙O上一定点，点P在⊙O上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦AP的长 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度为整数的点P共有 个 4.如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 E B D 题型三圆心角的识别 1.下列图形中，∠AOB为圆心角的是() B A. B. 0 D 2.下面图形中的角是圆心角的是() 3/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M C D 3.下列图形中的角是圆心角的是() B 0 B o D y 4.如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是() 24 A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 B 能力提升题 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一证明几个点在同一个圆上 1.如图，四边形ABCD是矩形.求证：A,B,C,D四点在同一个圆上. B 2.己知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆 上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由 D H E 分 B 3.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点. (1)线段AF与BE有何关系.说明理由； (2)延长AF、BC交于点H,则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上.说明理由. 4.如图所示，在△ABC中，CE,BD分别是AB,AC边上的高，求证：B,C,D,E四点在同一个圆 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上 E人 D 题型二点到圆的最值问题 1.如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，OP=4,Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M,连结 OP,OM,则线段OM的最小值是() A.0 B.0.5 C.1 D.1.5 2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点C为圆心，1为半径的圆弧与边CB,CD分别交于点E,F. 点M在边AB上，点N在EF上，则DM+MN的最小值为() F C M A.V10 B.V13 c.2V5-1 0.V17-1 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.在矩形ABCG中，E,F,D是AB上的三点，BC=2,AB=5且EF=m,若点H在CG的中点， 点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足∠EPF=90°，则m的最小值是 G 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P为平面内一点，且满足∠APD=90°.连接BP,则 BP的最小值是，最大值是· D 拓展培优题 1.如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(0,3),以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点 P,连接AP.若点C为AP的中点，连接OC,则OC长的最小值是() 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A P C A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）·如果以 A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为() --1----T---◆---T--r--1 A.22<r<V17B.V17<≤3V2C.R17<r<5D.5<r<29 3.如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b,NMH=c,则b与c之 间的大小关系是b c(填<、=、>) G D 4.己知平面上有两点A、B,它们之间的距离是5Cm,分别就下列条件研究点P的存在性及点P与线段AB 的位置关系，若存在，请作图说明. 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)点P到A、B两点距离之和等于5cm: (2)点P到A、B两点距离之和大于5c: (3)点P到A、B两点距离之和小于5cm. 9/9函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.1圆的相关概念 题型一圆的概念 题型二弦的条数 基础达标题 题型三圆心角的识别 圆的相关概念 题型一证明几个点在同一个圆上 能力提升题 题型二点到圆的最值问题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一圆的概念 1.D 2.C 3.C 4.B 题型二弦的条数 1.A 2.B 3.7 4.3:AE,DC,AD 题型三圆心角的识别 1.C 2.D 3.A 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.A B 能力提升题 题型一证明几个点在同一个圆上 1.证明见解析 2.点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析. 3.(1)AF=BE且AF⊥BE,证明见解析；(2)见解析 4.见解析 题型二点到圆的最值问题 1.C 2.C 3.2 4.1:4 C 拓展培优题 1.A 2.B 3.= 4.见试题解答内容 2/2