精品解析：天津市滨海新区塘沽渤海石油第一中学2026-2027学年高二上学期第一次统练数学试卷

渤油一中2026-2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一次统练试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 第Ⅰ卷选择题（75分） 一、选择题：本卷共15小题，每小题5分，共75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 5. 已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 9. 设x，y∈R，向量，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 10. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 11. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 13. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 14. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（75分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 16. 点到直线的距离是________． 17. 若向量，则向量的夹角为_____． 18. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 19. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. 21. 下面命题中正确的有__________． ①直线的斜率为； ②直线与垂直的充要条件是斜率满足； ③截距相等的直线都可以用方程表示； ④若，则四点P，A，B，C必共面； ⑤为直角三角形的充要条件是； ⑥若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底； ⑦在空间中，直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则. 三、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 已知．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 23. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 24. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渤油一中2026-2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一次统练试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 第Ⅰ卷选择题（75分） 一、选择题：本卷共15小题，每小题5分，共75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. 2. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标平面的对称性求解． 【详解】点A关于平面的对称点的坐标是， 故选：B． 3. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 4. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解. 【详解】直线与直线平行，故 ， 故选：B 5. 已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 7. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 8. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 9. 设x，y∈R，向量，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】解：向量， 且， ∴，解得 ∴， ∴，选项B正确. 故选：B． 10. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 11. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得 则点C到直线AB的距离为 故选：A 12. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 13. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 14. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 15. 已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断与直线的位置关系为在直线同侧，故先求出点关于直线的对称点的坐标，此时求出直线的方程，则直线与的交点即为点位置. 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得. 所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 第II卷（75分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 16. 点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 17. 若向量，则向量的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】根据题意，设向量的夹角为， 向量 则向量 则 又由，则 故答案为：． 18. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 19. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 21. 下面命题中正确的有__________． ①直线的斜率为； ②直线与垂直的充要条件是斜率满足； ③截距相等的直线都可以用方程表示； ④若，则四点P，A，B，C必共面； ⑤为直角三角形的充要条件是； ⑥若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底； ⑦在空间中，直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则. 【答案】④⑥ 【解析】 【分析】根据直线一般式得斜率即可判断①；根据直线垂直的充要条件即可判断②；根据直线的截距式的限制条件即可判断③；根据空间向量共面定理即可判断④；举出反例即可判断⑤；根据基底的定义即可判断⑥；利用向量法判断线面之间的位置关系即可判断⑦. 【详解】对于①，当时，直线的斜率不存在，故①错误； 对于②，若直线与垂直， 则或一条直线斜率不存在另一条直线斜率为，故②错误； 对于③，当直线过原点时，直线方程不能用截距式表示，故③错误； 对于④，若，则， 即，即， 所以共面， 又有公共始点， 所以P，A，B，C四点共面，故④正确； 对于⑤，当的直角为角时，，故⑤错误； 对于⑥，若为空间的一个基底，则不共面， 设，，共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，方程组无解， 所以，，不共面， 所以，，构成空间的另一基底，故⑥正确； 对于⑦，由题意可得或，故⑦错误. 故答案为：④⑥. 三、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 已知．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）分直线在轴和轴的截距为0与不为0两种情况讨论可求解． 【小问1详解】 由于，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； 【小问3详解】 当直线在轴和轴的截距为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即； 当直线在轴和轴的截距不为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，所以，即； 综上所述：过点且在轴和轴的截距相等的直线方程为或． 23. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 24. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则：  整理得：，又，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $