精品解析：吉林长春市公主岭四中名校调研2026-2027学年九年级上学期期中测试数学试卷

九年级期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 7. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 8. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 将化成最简二次根式为______． 10. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 11. 若与的相似比是，且的面积是6，则的面积为___________． 12. 如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 13. 如图，，，则的长为_____． 14. 如图，在矩形中，，是的中点，若于点，是的中点，连结、，则下列正确的结论是_______（填序号）． ①；②；③；④矩形的面积是． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 计算：． 17. 如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 18. 为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中线段上找到一点E，使； （2）在图②中线段上找到一点G，连接、，使． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？ 22. 如图，在中，，，， （1）试说明 （2）求的值 （3）求的长度 23. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图②，若，求证：； （2）尝试应用：如图③，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升：如图④，点为中点，连接，若，，，则的长为_________． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位长度、个单位长度．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________； （2）当时，用含的代数式表示的长； （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值； （4）连结平行四边形的对角线，当与的直角边垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．利用因式分解的方法即可得出方程的解． 【详解】解：， ， ， ∴或 解得：，． 故选：D． 3. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 点在第二象限， ， 故选：． 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 6. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 7. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 8. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：，  ，  ，   选择“是”的分支进行运算， 输出值为：     ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 将化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 11. 若与的相似比是，且的面积是6，则的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵与的相似比是， ∴， ∴， 故答案为：24． 12. 如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 故在此图上熊猫馆位置的坐标是． 13. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，是的中点，若于点，是的中点，连结、，则下列正确的结论是_______（填序号）． ①；②；③；④矩形的面积是． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】根据矩形的性质可证，根据相似三角形的性质可证是的中位线，根据中位线的性质可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证结论①成立；根据直角三角形的两个锐角互余可证，根据矩形的性质可证，根据同角的余角相等可证，根据等腰三角形三线合一定理可证，等量代换可证结论②成立；根据三角形中位线的性质可证结论③成立；根据相似三角形的性质可以求出，利用勾股定理可以求出，根据矩形的面积公式可知矩形的面积是，所以结论④不成立． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ， ， 是的中点， 是的垂直平分线， ， 故结论①正确； ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①可知，，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等腰三角形，是边上的中线， 平分， ， ， 故结论②正确； 由①可知是的中位线， ， 故结论③正确； 设，则， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，， 矩形的面积为， 故结论④错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程整理为一般式后，运用公式法计算方程的根即可． 【详解】 其中，， ， 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算进行进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可． 【详解】略 18. 为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 【答案】该吉祥物两次降价的平均百分率为． 【解析】 【分析】找准两次降价后的售价与原价的等量关系，正确求解方程并结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该吉祥物两次降价的平均百分率为x． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式整理代数式可得：原式，再把，代入求值即可； （2）根据，可知，，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中线段上找到一点E，使； （2）在图②中线段上找到一点G，连接、，使． 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合网格特点，利用相似三角形的性质，找出两边的比例正好是即可得； （2）先找出点关于的对称点，再与点连接，与的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图①，点即为所作． 【小问2详解】 解：如图②，点即为所作． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、无刻度的直尺作图等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？ 【答案】（1） （2）无论取何值，该一元二次方程总有两个实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程有两个不相等的实数根． 理由如下：∵在方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴无论取何值，该方程总有两个实数根. 当即时，方程有两个相等的实数根； 当即时，方程有两个不相等的实数根． （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义，代入求解即可； （2）首先计算该一元二次方程的根的判别式，结合，即可获得结论； （3）根据菱形邻边相等的性质，得方程有两个相等实数根，令判别式为0，进一步求解m的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，是一元二次方程的一个根， ∴，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根， 则当时，是菱形，即该方程有两个相等的实数根， 由（2）得， ∴，解得， 当时，方程的根为，符合边长为正数的要求． 答：当时，是菱形． 22. 如图，在中，，，， （1）试说明 （2）求的值 （3）求的长度 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，较简单．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行即可证明相似； （2）根据，得到，代入数据即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 解：∵，由（2）得， ∴， ∴． 23. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图②，若，求证：； （2）尝试应用：如图③，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升：如图④，点为中点，连接，若，，，则的长为_________． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∵， ∴． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位长度、个单位长度．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________； （2）当时，用含的代数式表示的长； （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值； （4）连结平行四边形的对角线，当与的直角边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或者 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可作答； （2）先确定和时，点、点的位置，进而确定出时，点位置，结合运动即可作答； （3）分情况讨论，当时，点在线段，即可作答；当时，点在线段上，点在线段上，根据运动特点表示出，，较小部分为三角形，再求出该三角形与平行四边形的面积比，结合，利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式表示出这两个图形的面积，结合面积比即可表示出，再证明，利用相似的性质即可求解； （4）分情况讨论，当时，证明四边形是矩形，结合，即可求解；当时，、交于点O，先表示出、，进而可表示出，，再证明，利用相似的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，点在、边的速度分别为每秒长度8个单位、个单位长度， ∴当时，，，此时点与点重合，点与点重合， 当时，，；此时点与点重合，点与点重合， 则当时，点在上，即利用第1秒，点走完，余下时间在上运动， ∴； 【小问3详解】 ∵当时，，，此时点与点重合，点与点重合，当时，，；此时点与点重合，点与点重合， 当时，点在线段上， ∴平行四边形的对角线在直线上， ∴平行四边形的面积被其对角线平分， ∴平行四边形被线段平分， ∴此种情况舍去 当时，点在线段上，点在线段上， 根据运动特点可知：，， 如图，、交于点T， 即有：， ∴， ∵，平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解：， 综上：； 【小问4详解】 分类讨论： 当时，如图， 根据运动可知：， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，即四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，、交于点O，如图， 根据运动可知：，， ∴，， ∵平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原分式方程的根； 综上：或者． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解分式方程等知识，理清点的运动规律，正确表示出、是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $