第十五章 轴对称章节核心题型突破（基础篇，专项训练）数学新教材人教版八年级上册

第十五章 轴对称章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 轴对称图形的识别 题型02 成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 题型03 镜面对称 题型04 画轴对称图形（格点/坐标系作图） 题型05 尺规作垂直平分线（作图与应用） 题型06 根据等腰三角形的性质求角 题型07 根据等腰三角形的性质求边 题型08 直角三角形两锐角互余的应用 题型01　轴对称图形的识别 难度层级：基础　|　知识点：轴对称图形的识别 / 对称轴 1．如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 2 C. 6 B. 4 D. 8 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【详解】解：由题意可知，该图形的对称轴条数为6． 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义是解答本题的关键． 2．下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意； B、顶角为的等腰三角形是等边三角形，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 3．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴． 【答案】解：图(1)有2条对称轴，图(2)有4条对称轴，图(3)有5条对称轴，图(4)有3条对称轴，对称轴如图． 【分析】本题根据轴对称图形的对称轴定义，即沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合，这条直线就是图形的对称轴，依次对四个图形的对称轴进行计数，画出对称轴即可． 【详解】略 4．如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【答案】如图的5个图形都是轴对称图形， 图中所示为对称轴， 【分析】本题考查轴对称的定义，沿对称轴折叠后能重合的两个图形是轴对称图形，熟练掌握相关知识是解题关键，根据轴对称的定义，找出对称轴即可判断 【详解】略 题型02　成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 难度层级：基础　|　知识点：成轴对称的两个图形 / 轴对称的性质 1．下列说法错误的是（ ） A. 关于某直线对称的两个图形对应点所连线段的垂直平分线就是它们的对称轴 B. 全等三角形是关于某直线对称的 C. 成轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合 D. 关于某直线对称的两个图形完全相同 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质与成轴对称图形的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A．关于某直线对称的两个图形对应点所连线段的垂直平分线就是它们的对称轴，说法正确，故本选项不合题意； B．全等的图形不一定关于某条直线对称，原说法错误，故本选项符合题意； C．成轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，说法正确，故本选项不合题意； D．关于某直线对称的两个图形完全相同，说法正确，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，成轴对称图形的性质，关于某条直线对称的两个图形一定全等，全等的图形不一定关于某条直线对称． 2．下列语句中正确的有几个（ ） ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；④全等三角形的周长，面积分别相等；⑤所有的等边三角形都是全等三角形． A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的定义，根据相关内容逐一判断语句的正确性即可解答． 【详解】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，故①正确； ②两个能重合的图形不一定关于某条直线对称（如通过平移重合），故②错误； ③两个轴对称图形的对应点可能在对称轴上（如对称轴上的点），不一定在两侧，故③错误； ④全等三角形的对应边和角相等，故周长和面积相等，故④正确； ⑤等边三角形边长不一定相等，故不一定全等，故⑤错误． 综上，正确的有①和④，共2个． 故选：B． 3．下列说法①成轴对称的两个三角形一定全等；②两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；③到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点；④三角形两边垂直平分线交点到三个顶点距离相等；⑤三角形中，30°的角所对的边等于最长边的一半，其中正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据轴对称的定义可判断①②，根据角平分线的判定方法可判断③，根据线段垂直平分线的性质可判断④，根据含30°角直角三角形的性质判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：成轴对称的两个三角形，翻折后能重合，即一定会全等，故①说法正确； 两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，也可能在对称轴上，故②说法错误； 根据角平分线的判定可知：到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故③说法正确； 根据线段垂直平分线的性质可知：三角形两边垂直平分线交点到三个顶点距离相等，故④说法正确； 三角形中，30°的角所对的边不一定等于最长边的一半，缺少条件在直角三角形中，故⑤说法错误． 综上，说法正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了轴对称的定义、角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、含30°角直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴． （1）与全等吗？ （2）分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ （3）连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】（1）与全等 （2）点关于直线的对称点分别是点；点关于直线的对称点一定在内 （3）线段被直线垂直平分 【分析】（1）根据对称轴图形的性质即可求解； （2）根据对称轴图形的性质即可求解； （3）根据对称轴图形的性质即可求解； 【小问详解】(1)小问详解： 解：与关于直线对称， ∴， ∴， ∴与全等． 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵与关于直线对称， ∴点关于直线的对称点分别是点，点关于直线的对称点一定在内． 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵与关于直线对称，且点的对称点是点， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴线段被直线垂直平分． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，性质，掌握成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的；成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分等知识是解题的关键． 题型03　镜面对称 难度层级：基础　|　知识点：镜面对称（车牌/钟表/数字字母成像） 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ） A. 2653 C. 3562 B. 5623 D. 3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 2．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称，镜面对称的两个图形左右正好相反，据此特点求解即可． 【详解】解：小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是， 故答案为：． 3．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是________． 【答案】12∶51 【详解】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12∶51成轴对称，所以此时实际时刻为12∶51． 题型04　画轴对称图形（格点/坐标系作图） 难度层级：基础　|　知识点：画轴对称图形 / 坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求， ∴； （2） 【分析】此题考查了利用轴对称的性质作图，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法可得的面积等于长方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， 再求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： ． 2．如图所示平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）． （1）画出与关于x轴对称的，并直接写出点、、的坐标； （2）在y轴上有点M，满足与面积相等，M的坐标是______． 【答案】（1）解：如图， 即为所求．点，，． （2）或． 【分析】本题考查作图一轴对称、变换三角面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）由与面积相等，且它们由公共的底边知两三角形在边上的高相等，据此结合图形可得． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 解：如图， 与面积相等，且它们由公共的底边， ∴．两三角形在边上的高相等， 点M在y轴上， ∴点M是直线m、1与y轴的交点，其点的坐标为或． 故答案为∶ 或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案为：4． 【小问详解】(2)小问详解： 解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 4．如图，在网格图中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，. （1）若与关于轴对称，点，，的对应点分别为，，，则各顶点的坐标分别为________，________，________. （2）请画出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别为，，. 【答案】（1）；； （2）如图所示，即为所求， 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出坐标系中点的坐标； (1)关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． (2)根据轴对称的性质作图即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵与关于轴对称，的顶点坐标分别为，，， ∴各顶点的坐标分别为，， 故答案为：；；． 【小问详解】(2)小问详解： 略 题型05　尺规作垂直平分线（作图与应用） 难度层级：基础　|　知识点：作已知线段的垂直平分线 1．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）． A. ①② C. ②③ B. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【分析】根据作一个角的角平分线、作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图方法逐个判断即可； 本题主要考查了尺规作图相关知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． 图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； ②作一个角等于已知角：其尺规作图的基本步骤是先作一条射线作为新角的一条边，以原角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点，并以射线端点为圆心，该长度为半径画弧，交射线于一点；再以原角上其中一个交点为圆心，两交点距离的长度为半径画弧，并以射线上的交点为圆心，该长度为半径画弧，于前弧交于一点，最后过射线端点和这个交点作射线，两条射线的夹角即为所求角． 图②的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以②的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线． 图③中没有体现完整的尺规作图过程，线段下方没有交点，所以③的作法错误； 故选：A． 2．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 3．如图，在中，． （1）（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，的周长是，求的长． 【答案】（1）如图，直线即为所求； （2） 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线、垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴． 4．如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点．交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）作出的图形中，连接，求的周长． 【答案】（1）如图，直线即为所求． （2）17 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 题型06　根据等腰三角形的性质求角 难度层级：基础　|　知识点：等边对等角 / 等腰三角形的性质 1．在等腰三角形中，顶角，则________． 【答案】##度 【分析】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到． 【详解】解：在等腰三角形中，顶角，，， ∴， 故答案为： 2．等腰△ABC，AB＝AC，底角为70°，BD将△ABC分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以BD为腰的等腰三角形时，则∠ADB的度数是________． 【答案】110°或100°##100°或110° 【分析】根据题意，分量种情况讨论①当时，②若时，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图，根据题意， ①当时， ②若时，如图， 综上所述，∠ADB的度数是110°或100° 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，掌握等边三角形的性质并分类讨论是解题的关键． 3．已知各等腰三角形底角的度数分别是： （1）；（2）；（3）；（4）． 请分别求出它们顶角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（1） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． （1）（2）（3）（4）根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的底角为，且两底角相等， ∴顶角度数为； （2）∵等腰三角形的底角为，且两底角相等， ∴顶角度数为； （3）∵等腰三角形的底角为，且两底角相等， ∴顶角度数为； （4）∵等腰三角形的底角为，且两底角相等， ∴顶角度数为； 4．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线； （2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图即可； （2）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图． 【小问详解】(1)小问详解： 解：按要求作图如下： 【小问详解】(2)小问详解： 按要求作图如下： 或 （以上两种为同一种） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 题型07　根据等腰三角形的性质求边 难度层级：基础　|　知识点：等腰三角形的性质（求边长/周长） 1．已知等腰的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 【答案】另两边长为9，9 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系． 根据等腰三角形的定义，运用三角形三边关系，进行分析求解即可． 【详解】解：当腰长为6时，底边长 ， 三边为6、6、12， 因为，不能组成三角形； 当底边长为6时，腰长 ， 三边为9、9、6，满足三角形三边关系． 故另两边长为9、9． 2．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？ （2）能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的边长． 【答案】（1）8 cm，8 cm，4 cm． （2）能，另两边的边长为7.5 cm，7.5 cm． 【详解】（1）设底边长为，则腰长为． 由题意可知，，解得， ，各边长分别为8 cm，8 cm，4 cm． （2）分两种情况：①当5 cm为底边长时，腰长为7.5 cm； ②当5 cm为腰长时，底边长为10 cm．，不能构成三角形，舍去． 综上所述，能构成有一边长为5 cm的等腰三角形，另两边的边长为7.5 cm，7.5 cm． 3．已知等腰三角形周长为 25，腰是底的2倍，求三边的长． 【答案】三边分别为5、10、10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是根据周长为 25列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设的底边为x，则腰长为，依题意得： 解得：，， 答： 三边分别为5、10、10． 题型08　直角三角形两锐角互余的应用 难度层级：基础　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 判定 1．下列说法错误的是（ ） A. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 直角三角形只有一条高 D. 任何一个三角形中，最大角不小于度 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义、直角三角形的判定、直角三角形的高、三角形内角和定理，熟练掌握知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、有一个外角是锐角，则与这个外角对应的内角互补，这个内角大于，是钝角，这个三角形是钝角三角形，故本选项说法正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，故本选项说法正确，不符合题意； C、直角三角形有三条高，两条直角边是其中的两条高，故本选项说法错误，符合题意； D、若三角形三个角都小于度，则内角和会小于度，无法构成三角形，故任何一个三角形中，最大角不小于度，说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点A作，（①） 则， ∵， ∴， ∴，（②） ∴， ∴． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ________ ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ________ ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查直角三角形的性质，余角和补角，平行线的判定和性质，关键是掌握垂线的性质，平行线的判定方法和性质．由垂线的性质，平行线的判定方法和性质，即可得到答案． 【详解】解：证明：如图，过点A作，（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直） 则， ∵， ∴， ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴， ∴． 故答案为：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②同旁内角互补，两直线平行． 3．如图，于点于点与相交于点． （1）写出图中所有的直角三角形． （2）猜想和有什么关系？并说明理由． （3）若，求和的度数． 【答案】（1） （2）， 理由：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 轴对称图形的识别 题型02 成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 题型03 镜面对称 题型04 画轴对称图形（格点/坐标系作图） 题型05 尺规作垂直平分线（作图与应用） 题型06 根据等腰三角形的性质求角 题型07 根据等腰三角形的性质求边 题型08 直角三角形两锐角互余的应用 题型01　轴对称图形的识别 难度层级：基础　|　知识点：轴对称图形的识别 / 对称轴 1．如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 2 C. 6 B. 4 D. 8 2．下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 3．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴． 4．如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 题型02　成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 难度层级：基础　|　知识点：成轴对称的两个图形 / 轴对称的性质 1．下列说法错误的是（ ） A. 关于某直线对称的两个图形对应点所连线段的垂直平分线就是它们的对称轴 B. 全等三角形是关于某直线对称的 C. 成轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合 D. 关于某直线对称的两个图形完全相同 2．下列语句中正确的有几个（ ） ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；④全等三角形的周长，面积分别相等；⑤所有的等边三角形都是全等三角形． A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 3．下列说法①成轴对称的两个三角形一定全等；②两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；③到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点；④三角形两边垂直平分线交点到三个顶点距离相等；⑤三角形中，30°的角所对的边等于最长边的一半，其中正确的有________（填序号）． 4．如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴． （1）与全等吗？ （2）分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ （3）连接，线段与直线有什么关系？ 题型03　镜面对称 难度层级：基础　|　知识点：镜面对称（车牌/钟表/数字字母成像） 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ） A. 2653 C. 3562 B. 5623 D. 3265 2．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是________． 3．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是________． 题型04　画轴对称图形（格点/坐标系作图） 难度层级：基础　|　知识点：画轴对称图形 / 坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 2．如图所示平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）． （1）画出与关于x轴对称的，并直接写出点、、的坐标； （2）在y轴上有点M，满足与面积相等，M的坐标是______． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 4．如图，在网格图中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，. （1）若与关于轴对称，点，，的对应点分别为，，，则各顶点的坐标分别为________，________，________. （2）请画出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别为，，. 题型05　尺规作垂直平分线（作图与应用） 难度层级：基础　|　知识点：作已知线段的垂直平分线 1．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）． A. ①② C. ②③ B. ①③ D. ①②③ 2．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（ ） A. B. C. D. 3．如图，在中，． （1）（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，的周长是，求的长． 4．如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点．交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）作出的图形中，连接，求的周长． 题型06　根据等腰三角形的性质求角 难度层级：基础　|　知识点：等边对等角 / 等腰三角形的性质 1．在等腰三角形中，顶角，则________． 2．等腰△ABC，AB＝AC，底角为70°，BD将△ABC分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以BD为腰的等腰三角形时，则∠ADB的度数是________． 3．已知各等腰三角形底角的度数分别是： （1）；（2）；（3）；（4）． 请分别求出它们顶角的度数． 4．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线； （2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 题型07　根据等腰三角形的性质求边 难度层级：基础　|　知识点：等腰三角形的性质（求边长/周长） 1．已知等腰的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 2．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？ （2）能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的边长． 3．已知等腰三角形周长为 25，腰是底的2倍，求三边的长． 题型08　直角三角形两锐角互余的应用 难度层级：基础　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 判定 1．下列说法错误的是（ ） A. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 直角三角形只有一条高 D. 任何一个三角形中，最大角不小于度 2．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点A作，（①） 则， ∵， ∴， ∴，（②） ∴， ∴． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ________ ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ________ ． 3．如图，于点于点与相交于点． （1）写出图中所有的直角三角形． （2）猜想和有什么关系？并说明理由． （3）若，求和的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 轴对称图形的识别 题型02 成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 题型03 镜面对称 题型04 画轴对称图形（格点/坐标系作图） 题型05 尺规作垂直平分线（作图与应用） 题型06 根据等腰三角形的性质求角 题型07 根据等腰三角形的性质求边 题型08 直角三角形两锐角互余的应用 题型01　轴对称图形的识别 难度层级：基础　|　知识点：轴对称图形的识别 / 对称轴 1．C 2．B 3．解：图(1)有2条对称轴，图(2)有4条对称轴，图(3)有5条对称轴，图(4)有3条对称轴，对称轴如图． 4．如图的5个图形都是轴对称图形， 图中所示为对称轴， 题型02　成轴对称性质的应用（对应边角与对称轴特征） 难度层级：基础　|　知识点：成轴对称的两个图形 / 轴对称的性质 1．B 2．B 3．①③④ 4．（1）与全等 （2）点关于直线的对称点分别是点；点关于直线的对称点一定在内 （3）线段被直线垂直平分 题型03　镜面对称 难度层级：基础　|　知识点：镜面对称（车牌/钟表/数字字母成像） 1．D 2． 3．12∶51 题型04　画轴对称图形（格点/坐标系作图） 难度层级：基础　|　知识点：画轴对称图形 / 坐标与图形变化——轴对称 1．（1）解：如图，即为所求， ∴； （2） 2．（1）解：如图， 即为所求．点，，． （2）或． 3．（1）4 （2） （3）或 4．（1）；； （2）如图所示，即为所求， 题型05　尺规作垂直平分线（作图与应用） 难度层级：基础　|　知识点：作已知线段的垂直平分线 1．A 2．C 3．（1）如图，直线即为所求； （2） 4．（1）如图，直线即为所求． （2）17 题型06　根据等腰三角形的性质求角 难度层级：基础　|　知识点：等边对等角 / 等腰三角形的性质 1．##度 2．110°或100°##100°或110° 3．（1）；（2）；（3）；（1） 4．（1）见解析 （2）见解析 题型07　根据等腰三角形的性质求边 难度层级：基础　|　知识点：等腰三角形的性质（求边长/周长） 1．另两边长为9，9 2．（1）8 cm，8 cm，4 cm． （2）能，另两边的边长为7.5 cm，7.5 cm． 3．三边分别为5、10、10 题型08　直角三角形两锐角互余的应用 难度层级：基础　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 判定 1．C 2．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行 3．（1） （2）， 理由：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $