第十三章 三角形章节核心题型突破（基础篇，9大题型，专项训练）数学新教材人教版八年级上册

第十三章 三角形章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 三角形的概念与分类 题型02 数图中三角形的个数 题型03 三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 题型04 三角形的稳定性（实际情境识别） 题型05 三角形三种重要线段的定义与辨析 题型06 三角形内角和定理的直接应用 题型07 两锐角互余与直角三角形判定 题型08 角度比与设参求内角 题型09 三角形外角性质求角 题型01　三角形的概念与分类 难度层级：基础　|　知识点：三角形的识别与有关概念 / 三角形的分类 1．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ） A. 表示等边三角形 C. 表示等腰三角形 B. 表示锐角三角形 D. 表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案． 【详解】解：三角形根据边分类如下： 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 故选：C． 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可． 【详解】解：观察图形可知： A、露出的角是直角，因此是直角三角形； B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是仔细观察图形，熟练掌握基本知识． 3．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ） A. 直角三角形 C. 钝角三角形 B. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：， 图中小圆里的表示等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形根据边分类的情况是解题的关键． 4．如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 【答案】① 3 ② ③ ④ ⑤ 【分析】利用三角形的定义以及三角形有关的角和边分别得出即可． 【详解】解：图中有3个三角形，以为边的三角形有；在中，的对边是；在中，的对边是；在中，边的对角是． 5．如图所示，图中有________个三角形；其中以AB为边的三角形有________；含的三角形有________；在中，的对角是________，的对边是________． 【答案】① 8 ② ③ ④ ⑤ OB 【分析】根据三角形的定义和角的定义判断即可； 【详解】由题可得，图中的三角形有△AOD，△AOB，△BOC，△DOC，△BAD，△ABC，△BCD，△ADC，共8个； 以AB为边三角形有； 含的三角形有； 在中，的对角是，的对边是OB； 故答案是：8；；；OB； 【点睛】本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键． 6．已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 7．如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【答案】（1）5；，，，，；，，；， （2）；；；（） 【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素． （1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形． （2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角． 【小问详解】(1)小问详解： 解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． 【小问详解】(2)小问详解： 在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 8．如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】（1）， （2）， （3）等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【小问详解】(1)小问详解： 解：以点C为顶点的三角形有，； 【小问详解】(2)小问详解： 解：以为边的三角形有，； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 题型02　数图中三角形的个数 难度层级：基础　|　知识点：三角形的个数问题 1．图中以点A为顶点的三角形的个数是（ ）． A. 6 C. 4 B. 5 D. 3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，不重不漏的统计三角形是解题的关键． 根据三角形的定义列举出所有三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：图中以点A为顶点的三角形有：，共6个． 故选A． 2．我们知道一副三角板的三个内角分别是和，老师把这两块三角板叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形共有（ ） A. 4个 C. 3个 B. 5个 D. 2个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 3．图中共有三角形 ________个，其中以为边的三角形有 ________个． 【答案】① 8 ② 2 【分析】根据三角形的定义即可求解． 【详解】解：（1）①，，，共3个； ②，，2个； ③，，2个； ④，1个； 综上，图中共有共8个三角形； （2）以为边的三角形有：，，2个； 故答案为：8，2． 【点睛】本题考查三角形的个数问题，解题的关键掌握三角形的定义． 4．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有________对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 5．如图，共有________个三角形；在中，所对的角是________；在中，所对的边是________；以为边的三角形有________． 【答案】① 3 ② ③ ④ 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 6．如图，在中，点D，E在边和边上，且． （1）图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； （2）找出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）5，， （2）， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵， ∴，是等腰三角形． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． （1）图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． （2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】（1）2个； （2）2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【小问详解】(1)小问详解： 解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． 【小问详解】(2)小问详解： 解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 题型03　三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 难度层级：基础　|　知识点：构成三角形的条件 1．下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（ ）． A. ，， C. ，， B. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：对选项A，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项B，两短边为，，最长边为，，故不能组成三角形，符合题意； 对选项C，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项D，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意． 2．以下列各组数为边长的三角形，其中不能构成三角形的一组是（ ） A. 4、5、6 C. 6、8、20 B. 3、5、6 D. 5、12、14 【答案】C 【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵6-4＜5＜6+4， ∴以4、5、6为边长能构成三角形，不符合题意； B、∵6-3＜5＜6+3， ∴以3、5、6为边长能构成三角形，不符合题意； A、∵6+8＜20， ∴以6、8、20为边长不能构成三角形，符合题意； A、∵14-5＜12＜14+5， ∴以5、12、14为边长能构成三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知构成三角形的条件是解题的关键． 3．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， C. ，， B. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 4．写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【答案】设第三边长为x，由三角形三边关系得，即，取x＝5，故这条线段的长可以是5． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知： ， 即， 则第三边可以是5， 故答案为：5． 5．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了组成三角形的条件，①满足三角形三边关系，据此可判断是否符合题意；可设三边长度为、、其中，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断、，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：因为，，能够组成三角形； ②设三边长度为、、其中，，能组成三角形； ③，不能组成三角形； ④，能组成三角形． 故答案为：． 6．判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由． （1）a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； （2）e＝6.3cm，f＝6.3cm，g＝12.6cm． 【答案】（1）能，∵2.5+3>5，这三条线段首尾相接能组成三角形； （2）不能，∵6.3+6.3=12.6，这三条线段首尾相接不能组成三角形． 【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把较小的两边代入看是否小于第三边即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：略． 【小问详解】(2)小问详解： 略． 【点睛】考查了三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法是解题的关键．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 7．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）这三条线段不能构成三角形，理由如下：∵， ∴这三条线段不能构成三角形； （2）这三条线段不能构成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能构成三角形； （3）这三条线段能构成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能构成三角形． 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：略． 【小问详解】(2)小问详解： 解：略． 【小问详解】(3)小问详解： 解：略． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 8．下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 略 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 题型04　三角形的稳定性（实际情境识别） 难度层级：基础　|　知识点：三角形的稳定性及应用 1．人字梯中间用拉杆来固定，这样设计的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 B. 三角形两边之差小于第三边 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间用拉杆来固定，这样设计的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2．如图，铜陵长江大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形的不稳定性 C. 四边形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 D. 四边形的稳定性 【答案】B 【分析】本题考查三角形稳定性，读懂题意，明白题中描述的情景与数学知识对应关系即可得到答案，能用数学知识点解释常见生活中实际例子是解决问题的关键． 【详解】解：由题中描述可知，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故选：B． 3．如图，自行车的车身为三角形结构，这样做根据的数学道理是（ ） A. 节省材料，节约成本 C. 利用三角形的稳定性 B. 保持对称 D. 美观漂亮 【答案】C 【分析】自行车的车身是三角形的结构，故主要是利用了三角形的稳定性． 【详解】解：自行车的车身是三角形的结构， 这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性． 4．如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据________三角形的稳定性（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，用来增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据是三角形具有稳定性． 故答案为：是． 5．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键． 【详解】解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 6．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 7．如图，四边形木架． （1）加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________； （2）如，平分，求证：． 【答案】（1）三角形具有稳定性 （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，可得，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵四边形木架加上木条后， 则四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 【小问详解】(2)小问详解： 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的稳定性，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 8．如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．这样做的道理是三角形具有稳定性． 题型05　三角形三种重要线段的定义与辨析 难度层级：基础—提升　|　知识点：画三角形的高 / 三角形角平分线的定义 / 根据三角形中线求长度 1．在中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得到答案． 【详解】解：A．是边上的高，故A选项不符合题意； B．作的不是的高，故B选项不符合题意； C．是边上的高，故C选项不符合题意； D．是边上的高，故D选项符合题意； 故选：D． 2．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 3．在中作边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高；作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：过点作边的垂线段，即画边上的高， 所以画法正确的是C选项； 故选：C． 4．如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为________，（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形高的定义分别进行判断． 【详解】解：中，为的垂线，则为边上的高，所以①正确； 中，为的垂线，则为边上的高，所以②正确； 中，为的垂线，是边上的高，所以③错误； 中，为的垂线，则是边上的高，所以④正确． 故其中正确的有①②④． 故答案为：①②④． 5．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有________个． ①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高． 【答案】3 【分析】根据三角形高，中线，三角形角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴是中边上的中线，故①正确； ∵， ∴既是中的平分线，也是中的平分线，故②正确； ∵， ∴既是中边上的高，也是中边上的高，故③正确； 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线，三角形角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键． 6．如图，在中，，是的角平分线． （1）求的度数． （2）E是边上一点，，作边上的高，根据题意补全图形，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）． 理由如下： ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． ∵为边的高， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质． （1）先判断为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到，从而得到的度数． （2）先根据几何语言画出对应的几何图形，再利用平行线的性质得到，利用角平分线得到，利用高和，结合余角的同角相等来求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， ∴为等腰三角形． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【小问详解】(2)小问详解： 略 7．如图①，图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（保画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图①中，画出的边上的高； （2）在图②中，画出关于直线的轴对称图形； （3）在图③中，在上画出点P，使最小． 【答案】（1）解：过点A向所在直线作垂线，垂足为D，则线段即为的边上的高，如图①所示． （2）解：分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，依次连接、、，则即为所求，如图②所示． （3）解：如图③所示，点P即为所求． 【分析】本题考查画高，画中线，轴对称作图．熟练掌握中线平分面积，成轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据高线的定义，画出即可； （2）根据找点，描点，连线，画出即可； （3）画点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 如图③所示，画点C关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求． 当点P在图中位置时，最小，． 8．已知如图所示， （1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形； （2）判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）如图： （2），理由如下： ∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 【分析】（1）先作交于点，根据等角对等边可得，即点到点和点的距离相等，故可推出点的距离相等，故可推出点在的垂直平分线上，画图即可； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合题意即可推得． 【小问详解】(1)小问详解： 解：先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求． 【小问详解】(2)小问详解： 略 【点睛】本题考查了画图——三角形的高，等角对等边，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 题型06　三角形内角和定理的直接应用 难度层级：基础　|　知识点：三角形内角和定理的应用 1．如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D，E两点，连接．若，，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后即可求得答案． 根据，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ∵以B为圆心，长为半径画弧， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 3．若三个角的大小满足条件，则的大小为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】此题考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 根据题意设，，，由三角形内角和定理得到，列方程为，求出x的值，即可得到的大小． 【详解】解：设，，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 故选：B． 4．在中，，则的度数为________． 【答案】##40度 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据三角形内角和为180度，且结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为： 5．如图，的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线经平面镜反射成光线，满足，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得，则，根据三角形内角和性质，得，再结合，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．求出，根据全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：为中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． 7．在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ． ， ． ． 8．如图，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是利用直角三角形两锐角互余和已知角的关系求出相关角的度数． 先根据得出，再结合求出的度数，最后根据三角形内角和求出的度数． 【详解】解： 在中， 在中，， ． 题型07　两锐角互余与直角三角形判定 难度层级：基础—提升　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 C. 三角形的外角等于两个内角的和 B. 锐角互余的三角形是直角三角形 D. 三角形的两个外角可能会相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断． 【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，真命题，不合题意； B. 锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，不合题意； C. 三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意； D. 三角形的两个外角可能会相等，真命题，不合题意． 故选：C． 2．下列说法错误的是（ ） A. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 直角三角形只有一条高 D. 任何一个三角形中，最大角不小于度 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义、直角三角形的判定、直角三角形的高、三角形内角和定理，熟练掌握知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、有一个外角是锐角，则与这个外角对应的内角互补，这个内角大于，是钝角，这个三角形是钝角三角形，故本选项说法正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，故本选项说法正确，不符合题意； C、直角三角形有三条高，两条直角边是其中的两条高，故本选项说法错误，符合题意； D、若三角形三个角都小于度，则内角和会小于度，无法构成三角形，故任何一个三角形中，最大角不小于度，说法正确，不符合题意． 故选：C． 3．在中，，，则下列判断错误的是（ ） A. 是直角三角形 C. 是锐角三角形 B. 是等腰三角形 D. 和互余 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行排除选项． 【详解】∵在中，，， ∴∠C=90°，AC=BC， ∴是等腰直角三角形， ∴A、B、D都是正确的，选项C错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 4．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． （1）有一个外角为． （2），． （3）如图，与互余，． 【答案】（1）解：是直角三角形．理由： ∵有一个外角为， ∴与这个外角不相邻的两个内角之和等于90°， ∴是直角三角形； （2）解：是直角三角形．理由： ∵，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：是直角三角形．理由： ∵与互余， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 【分析】（1）根据三角形的外角性质得到与已知外角不相邻的两个内角之和等于90°，即可得出结论； （2）根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论； （3）根据已知可得出，再根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 略 【点睛】本题考查直角三角形的判定、三角形的外角性质，熟知锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键． 5．把下面的证明过程补充完整： 已知：如图，在中，，，垂足为，求证：． 证明：在中， ∵（ ）， ∴（ ）． ∵______（已知）， ∴（ ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴______（直角三角形的两个锐角互余）． ∴（ ）． 【答案】已知，直角三角形的两个锐角互余，，垂直的定义，，同角的余角相等． 【分析】此题考查了直角三角形的性质，三角形的高，同角或等角的余角相等，根据知识即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）． ∵（已知）， ∴（ 垂直的定义 ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴（直角三角形的两个锐角互余）． ∴（同角的余角相等）． 6．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． （1），． （2）． （3），，的度数比为． 【答案】（1）是直角三角形．理由：∵，∴，∴是直角三角形 （2）是直角三角形．理由：∵，∴，∴是直角三角形 （3）是直角三角形．理由：设，则，∵，解得，∴，∴是直角三角形 【分析】（1）由的度数，利用三角形内角和定理可求出，进而可得出是直角三角形； （2）由，结合三角形内角和定理可求出，进而可得出是直角三角形； （3）设，则，利用三角形内角和定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入中可得出，进而可得出是直角三角形． 【小问详解】(1)小问详解： 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴是直角三角形； 【小问详解】(2)小问详解： 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴是直角三角形； 【小问详解】(3)小问详解： 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，的度数比为， 设，则， 依题意，得：， 解得：， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，牢记三角形内角和是是解题的关键． 7．如图所示，在中，是边上的高，点E是上一点，交于点M，且，求证是直角三角形． 【答案】证明：∵是边上的高，∴．又∵，，∴，∴在中，，即，∴是直角三角形． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 由是边上的高，根据直角三角形的两个锐角互余得；又根据对顶角以及等角的余角相等，可推出；然后通根据三角形内角和定理得，证明结论． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 即是直角三角形． 8．按要求完成下列各小题． （1）求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； （2）如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 【答案】（1）的值为，是直角三角形 （2）的值为，不是等边三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，解一元一次方程，直角三角形的判定和等边三角形的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据三角形内角和知识和直角三角形的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据三角形外角的知识和等边三角形的判定知识进行作答，即可求解； 【小问详解】(1)小问详解： 解：根据题意可得， 解得：，即的值为； ∴， ∴是直角三角形； 【小问详解】(2)小问详解： 解：根据题意可得， 解得， 即的值为； ∴， ∴不是等边三角形． 题型08　角度比与设参求内角 难度层级：基础—拓展　|　知识点：§13 全章池（角度比 / 倍数关系设参） 1．在中，，，的度数之比为，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角定理，利用三角形的内角和为，利用方程的思想，“遇比则设”，解方程即可． 【详解】解：设，则，， ∵三角形的内角和为， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 2．若一个三角形三个内角的比是，则三个内角的分别是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为，根据三角形的内角和等于列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为， 根据三角形内角和定理，可知， 解得． 所以三个内角的度数分别为． 故选：B． 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算． 3．一个三角形三个内角之比为1：3 ：5，则最小的角的度数为（ ） A. 20° C. 40° B. 30° D. 60° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理解决问题即可． 【详解】三角形的最小的角＝×180°＝20°， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形的内角和为180°． 4．等腰三角形的两个内角的比是，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. C. B. 或 D. 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设，，分为底角和为底角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：在中，设，， 分情况讨论：当为底角时， ， 解得， ∴顶角； 当为底角时， ， 解得， ∴顶角； ∴这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：． 5．如果一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形中，最大的内角的度数是________． 【答案】90 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据比例设出三个内角，根据三角形内角和为180°列出方程求出未知数，从而可求最大内角． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和定理，得，即，解得， 则最大内角为． 故答案为：． 6．一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形中最小内角的度数是________． 【答案】##30度 【分析】根据三个内角的度数之比为，不妨设三个角的度数分别为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，解方程，熟练掌握定理和解方程是解题的关键． 【详解】解：由三个内角的度数之比为，不妨设三个角的度数分别为， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 7．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为________. 【答案】或 【分析】根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论即可． 【详解】解：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形有两个角相等和三角形的内角和定理，解题关键是掌握以上概念，列出算式． 8．若三角形的三个内角度数之比为2:3:4，则最小的内角为________； 【答案】40° 【分析】本题主要考查三角形的内角和，按照一定比例分，求角的大小. 【详解】最小角为：. 【点睛】三角形的内角和为180°. 题型09　三角形外角性质求角 难度层级：基础—提升　|　知识点：三角形的外角的定义及性质 1．如图，已知是的外角，，，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 2．如图，和是的外角．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的性质，三角形的外角性质，由邻补角的性质可得，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 3．在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝________． 【答案】40° 【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后根据三角形外角的性质可得∠B＋∠C=80°，从而求出∠B． 【详解】∵AB＝AC，∴∠B=∠C ∵与∠BAC相邻的外角为80°， ∴∠B＋∠C=80° 即2∠B=80° ∴∠B=40° 故答案为：40°． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键． 4．如图，是的外角，则的值为________． 【答案】360 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 5．课本再现 （1）在课本11.2．2章节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点C作．（请完成后面的证明） 迁移运用 （2）如图3，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 ． 类比探究 （3）如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，解答下列问题． ①试比较与的大小，并说明理由； ②若，则 ． 【答案】（1）证明：如图2，过点C作，∴，∵，∴；（2）；（3）①；② 【详解】（1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）①结合（2），根据三角形外角性质求解即可； ②根据三角形外角性质求解即可． （1）证明：如图2，过点C作， ∴， ∵， ∴； （2）解：在图3中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴； ②如图，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． 6．某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚 成员：梅小青 桑研 胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由三角形的外角性质即可求解； （2）由三角形的外角性质可得，，从而可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 7．如图，在中，于点D，，． 求： （1）的度数（填空，把解答过程补充完整）； （2）的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 【答案】（1）∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴． （2） 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质： （1）先由垂线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，据此可得答案； （2）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：略． 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵，， ∴． 8．在学完三角形的内、外角后，教师要求同学们根据所学的知识设计一个利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解的问题．如图：在中，． （1）试说明：； （2）若，求度数． 【答案】（1）证明：在中，，∵，∴，即． （2） 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，也考查了三角形内角和定理，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，再根据整理即可得证； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，再根据即可得，然后利用三角形的内角和等于求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 证明：在中，， ∵， ∴， 即； 【小问详解】(2)小问详解： 在中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 三角形的概念与分类 题型02 数图中三角形的个数 题型03 三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 题型04 三角形的稳定性（实际情境识别） 题型05 三角形三种重要线段的定义与辨析 题型06 三角形内角和定理的直接应用 题型07 两锐角互余与直角三角形判定 题型08 角度比与设参求内角 题型09 三角形外角性质求角 题型01　三角形的概念与分类 难度层级：基础　|　知识点：三角形的识别与有关概念 / 三角形的分类 1．C 2．C 3．D 4．① 3 ② ③ ④ ⑤ 5．① 8 ② ③ ④ ⑤ OB 6．锐角 7．（1）5；，，，，；，，；， （2）；；；（） 8．（1）， （2）， （3）等腰三角形是，；等边三角形是 题型02　数图中三角形的个数 难度层级：基础　|　知识点：三角形的个数问题 1．A 2．C 3．① 8 ② 2 4．18 5．① 3 ② ③ ④ 6．（1）5，， （2）， 7．（1）2个； （2）2个；， 题型03　三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 难度层级：基础　|　知识点：构成三角形的条件 1．B 2．C 3．B 4．设第三边长为x，由三角形三边关系得，即，取x＝5，故这条线段的长可以是5． 5． 6．（1）能，∵2.5+3>5，这三条线段首尾相接能组成三角形； （2）不能，∵6.3+6.3=12.6，这三条线段首尾相接不能组成三角形． 7．（1）这三条线段不能构成三角形，理由如下：∵， ∴这三条线段不能构成三角形； （2）这三条线段不能构成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能构成三角形； （3）这三条线段能构成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能构成三角形． 8．（1）这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 题型04　三角形的稳定性（实际情境识别） 难度层级：基础　|　知识点：三角形的稳定性及应用 1．C 2．B 3．C 4．是 5．三角形具有稳定性 6．三角形具有稳定性 7．（1）三角形具有稳定性 （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 8．三角形具有稳定性 题型05　三角形三种重要线段的定义与辨析 难度层级：基础—提升　|　知识点：画三角形的高 / 三角形角平分线的定义 / 根据三角形中线求长度 1．D 2．D 3．C 4．①②④ 5．3 6．（1） （2）． 理由如下： ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． ∵为边的高， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 7．（1）解：过点A向所在直线作垂线，垂足为D，则线段即为的边上的高，如图①所示． （2）解：分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，依次连接、、，则即为所求，如图②所示． （3）解：如图③所示，点P即为所求． 8．（1）如图： （2），理由如下： ∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 题型06　三角形内角和定理的直接应用 难度层级：基础　|　知识点：三角形内角和定理的应用 1．C 2．A 3．B 4．##40度 5． 6． 7． 8． 题型07　两锐角互余与直角三角形判定 难度层级：基础—提升　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 锐角互余的三角形是直角三角形 1．C 2．C 3．C 4．（1）解：是直角三角形．理由： ∵有一个外角为， ∴与这个外角不相邻的两个内角之和等于90°， ∴是直角三角形； （2）解：是直角三角形．理由： ∵，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：是直角三角形．理由： ∵与互余， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 5．已知，直角三角形的两个锐角互余，，垂直的定义，，同角的余角相等． 6．（1）是直角三角形．理由：∵，∴，∴是直角三角形 （2）是直角三角形．理由：∵，∴，∴是直角三角形 （3）是直角三角形．理由：设，则，∵，解得，∴，∴是直角三角形 7．证明：∵是边上的高，∴．又∵，，∴，∴在中，，即，∴是直角三角形． 8．（1）的值为，是直角三角形 （2）的值为，不是等边三角形 题型08　角度比与设参求内角 难度层级：基础—拓展　|　知识点：§13 全章池（角度比 / 倍数关系设参） 1．A 2．B 3．A 4．B 5．90 6．##30度 7．或 8．40° 题型09　三角形外角性质求角 难度层级：基础—提升　|　知识点：三角形的外角的定义及性质 1．D 2．C 3．40° 4．360 5．（1）证明：如图2，过点C作，∴，∵，∴；（2）；（3）①；② 6．（1）；（2），理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 7．（1）∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴． （2） 8．（1）证明：在中，，∵，∴，即． （2） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形章节核心题型突破（基础篇） 目 录 题型01 三角形的概念与分类 题型02 数图中三角形的个数 题型03 三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 题型04 三角形的稳定性（实际情境识别） 题型05 三角形三种重要线段的定义与辨析 题型06 三角形内角和定理的直接应用 题型07 两锐角互余与直角三角形判定 题型08 角度比与设参求内角 题型09 三角形外角性质求角 题型01　三角形的概念与分类 难度层级：基础　|　知识点：三角形的识别与有关概念 / 三角形的分类 1．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ） A. 表示等边三角形 C. 表示等腰三角形 B. 表示锐角三角形 D. 表示三边都不相等的三角形 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 3．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ） A. 直角三角形 C. 钝角三角形 B. 锐角三角形 D. 等边三角形 4．如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 5．如图所示，图中有________个三角形；其中以AB为边的三角形有________；含的三角形有________；在中，的对角是________，的对边是________． 6．已知中，，则按角分类是________三角形． 7．如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 8．如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型02　数图中三角形的个数 难度层级：基础　|　知识点：三角形的个数问题 1．图中以点A为顶点的三角形的个数是（ ）． A. 6 C. 4 B. 5 D. 3 2．我们知道一副三角板的三个内角分别是和，老师把这两块三角板叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形共有（ ） A. 4个 C. 3个 B. 5个 D. 2个 3．图中共有三角形 ________个，其中以为边的三角形有 ________个． 4．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有________对“共边三角形”． 5．如图，共有________个三角形；在中，所对的角是________；在中，所对的边是________；以为边的三角形有________． 6．如图，在中，点D，E在边和边上，且． （1）图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； （2）找出图中所有的等腰三角形． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． （1）图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． （2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 题型03　三角形的三边关系（判定三条线段能否构成三角形） 难度层级：基础　|　知识点：构成三角形的条件 1．下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（ ）． A. ，， C. ，， B. ，， D. ，， 2．以下列各组数为边长的三角形，其中不能构成三角形的一组是（ ） A. 4、5、6 C. 6、8、20 B. 3、5、6 D. 5、12、14 3．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， C. ，， B. ，， D. ，， 4．写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 5．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有________（填序号）． 6．判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由． （1）a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； （2）e＝6.3cm，f＝6.3cm，g＝12.6cm． 7．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． （1）． （2）． （3）． 8．下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． （1）． （2）． （3）． 题型04　三角形的稳定性（实际情境识别） 难度层级：基础　|　知识点：三角形的稳定性及应用 1．人字梯中间用拉杆来固定，这样设计的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 B. 三角形两边之差小于第三边 D. 直角三角形的两锐角互余 2．如图，铜陵长江大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形的不稳定性 C. 四边形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 D. 四边形的稳定性 3．如图，自行车的车身为三角形结构，这样做根据的数学道理是（ ） A. 节省材料，节约成本 C. 利用三角形的稳定性 B. 保持对称 D. 美观漂亮 4．如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据________三角形的稳定性（填“是”或“不是”）． 5．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是________． 6．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 7．如图，四边形木架． （1）加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________； （2）如，平分，求证：． 8．如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 题型05　三角形三种重要线段的定义与辨析 难度层级：基础—提升　|　知识点：画三角形的高 / 三角形角平分线的定义 / 根据三角形中线求长度 1．在中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 2．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3．在中作边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 4．如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为________，（填序号） 5．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有________个． ①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高． 6．如图，在中，，是的角平分线． （1）求的度数． （2）E是边上一点，，作边上的高，根据题意补全图形，判断和的数量关系，并说明理由． 7．如图①，图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（保画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图①中，画出的边上的高； （2）在图②中，画出关于直线的轴对称图形； （3）在图③中，在上画出点P，使最小． 8．已知如图所示， （1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形； （2）判断与之间的关系，并说明理由． 题型06　三角形内角和定理的直接应用 难度层级：基础　|　知识点：三角形内角和定理的应用 1．如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D，E两点，连接．若，，则的度数为（ ） A. C. B. D. 2．在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 3．若三个角的大小满足条件，则的大小为（ ） A. C. B. D. 4．在中，，则的度数为________． 5．如图，的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线经平面镜反射成光线，满足，若，，，则的度数为________． 6．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．若，求的度数． 7．在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 8．如图，，求的度数． 题型07　两锐角互余与直角三角形判定 难度层级：基础—提升　|　知识点：直角三角形的两个锐角互余 / 锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 C. 三角形的外角等于两个内角的和 B. 锐角互余的三角形是直角三角形 D. 三角形的两个外角可能会相等 2．下列说法错误的是（ ） A. 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 直角三角形只有一条高 D. 任何一个三角形中，最大角不小于度 3．在中，，，则下列判断错误的是（ ） A. 是直角三角形 C. 是锐角三角形 B. 是等腰三角形 D. 和互余 4．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． （1）有一个外角为． （2），． （3）如图，与互余，． 5．把下面的证明过程补充完整： 已知：如图，在中，，，垂足为，求证：． 证明：在中， ∵（ ）， ∴（ ）． ∵______（已知）， ∴（ ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴______（直角三角形的两个锐角互余）． ∴（ ）． 6．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． （1），． （2）． （3），，的度数比为． 7．如图所示，在中，是边上的高，点E是上一点，交于点M，且，求证是直角三角形． 8．按要求完成下列各小题． （1）求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； （2）如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 题型08　角度比与设参求内角 难度层级：基础—拓展　|　知识点：§13 全章池（角度比 / 倍数关系设参） 1．在中，，，的度数之比为，则的度数为（ ） A. C. B. D. 2．若一个三角形三个内角的比是，则三个内角的分别是（ ） A. C. B. D. 3．一个三角形三个内角之比为1：3 ：5，则最小的角的度数为（ ） A. 20° C. 40° B. 30° D. 60° 4．等腰三角形的两个内角的比是，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. C. B. 或 D. 5．如果一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形中，最大的内角的度数是________． 6．一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形中最小内角的度数是________． 7．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为________. 8．若三角形的三个内角度数之比为2:3:4，则最小的内角为________； 题型09　三角形外角性质求角 难度层级：基础—提升　|　知识点：三角形的外角的定义及性质 1．如图，已知是的外角，，，则的度数为（ ） A. C. B. D. 2．如图，和是的外角．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 3．在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝________． 4．如图，是的外角，则的值为________． 5．课本再现 （1）在课本11.2．2章节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点C作．（请完成后面的证明） 迁移运用 （2）如图3，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 ． 类比探究 （3）如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，解答下列问题． ①试比较与的大小，并说明理由； ②若，则 ． 6．某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚 成员：梅小青 桑研 胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并说明理由． 7．如图，在中，于点D，，． 求： （1）的度数（填空，把解答过程补充完整）； （2）的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 8．在学完三角形的内、外角后，教师要求同学们根据所学的知识设计一个利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解的问题．如图：在中，． （1）试说明：； （2）若，求度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $