2026-2027学年人教版八年级数学上册 期中考试 培优提升试卷

2026-2027学年第一学期八年级数学期中考试 培优提升试卷 人教版新课标第十三章~第十六章 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数不可能成为一个三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  2.如图，，，，在同一直线上，且，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，连接若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.如图，左边的长方形可以看成将右边边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形后拼成的．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  6.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯与地面的夹角，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  7.下列各式能直接用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  8.已知的乘积中不含和项，则，的值分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】原式，且乘积中不含和项， ，，解得，，故选A． 9.如图，是的角平分线，以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于，两点，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点位于直线的两侧，作直线交于点，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由作法得，平分， 点到的距离等于点到的距离． ，的面积为故选B． 10.如图，将两个大小不同的三角板放在一起，图是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎从点爬到点所用的时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，蜡烛与像大小相等，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛，若，则的大小为          ． 【答案】  12.如图是一幅对称的“连年有余”剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为          ． 【答案】  13.如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为          ． 【答案】  14.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是          ． 【答案】  15.定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，计算的结果是          ． 【答案】  16.如果，那么的值为          。 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ． 【答案】 (1)解:原式=-3xy+2-+2xy=-xy+2.  (2)解:原式=[x(y-xy)-y]3y =(-y-y)3y=xy-. 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． 请你画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标 的面积为           请你在轴上找到一点，使得最小保留作图痕迹 【答案】 (1)解:如图,即为所求;();  (2)  (3)如图,点P即为所求.   19.本小题分 如图，在中，，，． 求的度数； 若，求证：． 【答案】 (1)∵∠BFC=∠BEF+∠EBF，∠BEF=∠A+∠ACE， ∴∠BFC=∠A+∠ACE+∠ABD=45°+12°+24°=81°． (2)∵∠ABC=90°，∠ABD=24°， ∴∠CBF=∠ABC-∠ABD=66°． ∵∠BFC=81°， ∴∠BCF=180°-81°-66°=33°， ∴． 20.本小题分 【问题情境】将一副直角三角尺和按如图所示的方式摆放，其中，，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【探究展示】小宇同学展示出如下正确的解法： 解：理由如下： 连接，则是边上的中线． ，是的平分线依据 ，，依据 【反思交流】 上述证明过程中的“依据”和“依据”分别是指： 依据           依据           你有与小宇不同的思考方法吗请写出你的证明过程． 【答案】 (1)等腰三角形三线合一; 角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)有. 证明如下: CA=CB,ACB=, A=B=. OFAC,OEBC, AMO=BNO=. O为AB的中点, AO=BO. 在AMO和BNO中, AMOBNO(AAS), OM=ON. 21.本小题分 如图，，与相交于点，． 求证：垂直平分 过点作交的延长线于点，使． 求证：是等边三角形 如果，分别是线段，线段上的动点，当取得最小值时，请确定点的位置，并猜想此时与有怎样的数量关系． 【答案】 (1)证明:ABD=ADB,ABC=ADC=, AB=AD,ABC-ABD=ADC-ADB, A在BD的垂直平分线上,CBD=CDB, CB=CD, C在BD的垂直平分线上, AC垂直平分BD. (2)证明:如图1,设F=,              图1 AB=AF, ABF=F=, BAC是ABF的外角, BAC=F+ABF=2. 由(1)可知ACBD,CB=CD, BCE=DCE. BF//CD, F=DCE, BCE=F=. ABC=, BCE+BAC=, 即+2=, 则=, DCB=2BCE=. BC=CD, BCD是等边三角形. 解:当GH+AH取得最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH. 如图2,延长AD至点, 使=AD, CDAD, 点A与点关于CD成轴对称. 过点作AC于点G,交CD于点H,连接AH, AH=, AH+GH=+GH=, 此时GH+AH取得最小值. 由可知DCE=, 即GCH=, AC,即GHCG, 在RtGCH中,GCH=, CH=2GH, 当GH+AH取得最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH. ​​​​​​​                 图2 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期八年级数学期中考试培优提升试卷 人教版新课标第十三章~第十六章 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列各组数不可能成为一个三角形的三边长的是() A.2,3,4 B.5,8,8 C.1,2,3 D.5,12,13 【答案】C 2.如图，aABC兰△DEC,B,C,D在同一直线上，且CE=8,AC=I0,则BD的长为() A A.18 B.20 C.22 D.21 【答案】A 3.下列运算正确的是() A.a6÷a2=a3 B.x.x2=x2 C.x5+x3=x8 D.(ab)3=ab3 【答案】D 4.如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于BC的长为半径作弧， 两弧相交于M,N两点；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°，则 ∠ACB的度数为() A.90 B.95 C.100° D.105° 【答案】D 第1页，共9页 5.如图，左边的长方形可以看成将右边边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b) 后拼成的.通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a-b)=a2-ab 【答案】A 6.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.己知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等，左边滑梯与地面的夹角LABC=32°，则∠DFE的度数是() A.32° B.62° C.58 D.68 【答案】C 7.下列各式能直接用平方差公式计算的是() A.（-m+n)(-m-n) B.(-a+2b)(a-2b) C.(a-b)(a+2b) D.(-2m-n)(2m+n) 【答案】A 8.已知x-3)x2+mx+)的乘积中不含x和x项，则m,n的值分别为() A.m=-3,n=9 B.m=3,n=6 C.m=-3,n=-9 D.m=-3,n=9 【答案】A 【解析】：原式=x3+m-3x2+m-3m)x-3n,且乘积中不含x2和x项， m-3=0,n-3m=0,解得m=3,n=9,故选A. 9.如图，AM是∠ABC的角平分线，以M为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于D,E两 点，分别以D,E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧相交于点NM,N位于直线AB的两 侧)，作直线MN交AB于点F,若AC=5,MF=2,则△AMC的面积为() DXB 第2页，共9页 A.2 B.5 C.7 D.10 【答案】B 【解析】由作法得MF⊥AB,:AM平分∠BAC, ∴点M到AB的距离等于点M到AC的距离， :MF=2,△AMC的面积为×2×5=5故选B. 10.如图1，将两个大小不同的三角板放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知 AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠DAE=90°，且点B,C,E在同一条直线上，BC=IOcm,CE= 4cm,连接DC.现有一只壁虎以2cm/s的速度沿B-C-D的路线爬行，则壁虎从点B爬到点D 所用的时间为() 图1 图2 A.10s B.11s C.12s D.13s 【答案】C 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B,蜡烛A 与像B大小相等，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛，若∠CAB=25°，则 ∠DCA的大小为 【答案】50° 第3页，共9页 12.如图是一幅对称的“连年有余”剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若图中点M的坐标为 (m,4),其关于y轴对称的点N的坐标为(-9，)，则m+n的值为一 【答案】13 13.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=AD,EF为线段BD的垂直平分线，若△ADE 的周长为19，AC=7,则AB的长为一： E B D C 【答案】12 14.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA= OD,OB=OC,测得AB=5cm,EF=7cm,圆形容器的壁厚是 cm. 【答案】1 15.定义8 为=阶行列式，规定它的运算法则为=ad-be,计算。1x十的结果 是 【答案】x2-1 16.如果a2-a=1,那么a(a-2)+(a+2)(a-2)的值为 【答案】-2 第4页，共9页 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)计算： (1)&-y)x-2y)-(3x3-6x2y)÷3. (2)[xx2y2-xy)-yx2]÷3x3y 【答案】 (1)解：原式x2-3xy+2y2-x2+2xy=xy+2y2. (2)解：原式=x(xy-xy)yx]÷3xy 6y2-xyyx)3xy号 18.(本小题10分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上. y (1)请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点C的对应点C1的坐标 (2)△ABC的面积为； (3)请你在y轴上找到一点P,使得PA+PC最小.（保留作图痕迹） 【答案】 (1)解：如图，△A1B1C1即为所求，C1(1,0) (2)5.5 (3)如图，点P即为所求， 第5页，共9页 19.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠ABD=24°，∠A=45°，∠ACE=12° D (I)求LBFC的度数： (2)若LABC=90°，求证：∠BCF=1∠CBF. 2 【答案】 (I):∠BFC=LBEF+LEBF,∠BEF-LA+LACE, ∠BFC=∠A+∠ACE+∠ABD=45°+12°+24°=81°. (2)LABC=90°，∠ABD=24°， ∴∠CBF=∠ABC-∠ABD=66°. :LBFC-81°， ÷∠BCF=180°-81°-66°=33°， LBCF-CBF. 20.(本小题10分) 【问题情境】将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按如图所示的方式摆放，其中∠ACB= 90°，CA=CB,∠DE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF L AC于点M,DE1BC 于点N,试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由. 【探究展示】小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON理由如下： 连接CO,则CO是AB边上的中线， :CA=CB,·CO是∠ACB的平分线.（依据1） OM⊥AC,ON1BC,·.OM=ON.(依据2) O(D) B 【反思交流】 (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 第6页，共9页 依据1：； 依据2：； (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程。 【答案】 (1)等腰三角形三线合一； 角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)有 证明如下： CA=CB,∠ACB=90°， ·LA=B=45° OFLAC,OELBC, ÷∠AMO=∠BNO-90°， O为AB的中点， .AO-BO 在△AMO和△BNO中， ∠AMO=∠BNO, ∠A=∠B, AO=BO, △AMO≌△BNO(AAS), ..OM-ON. 21.(本小题12分) 如图，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB. (I)求证：AC垂直平分BD; (2)过点B作BFI/CD交CA的延长线于点F,使AB=AF. ①求证：△BCD是等边三角形， ②如果G,H分别是线段AC,线段CD上的动点，当GH+AH取得最小值时，请确定点H的位 置，并猜想此时GH与CH有怎样的数量关系 第7页，共9页 【答案】 (1)证明：∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC90°， ∴AB=AD,∠ABC-∠ABD=LADC-∠ADB A在BD的垂直平分线上，LCBD=∠CDB ..CB=CD, C在BD的垂直平分线上， AC垂直平分BD. (2)①证明：如图1，设∠F=a 图1 .AB=AF, ÷.LABF=∠F=Q, :∠BAC是△ABF的外角， ∴.∠BAC=∠F+LABF=2a 由(I)可知AC⊥BD,CB-CD ∴LBCE=LDCE. .BF//CD, ∴∠F=∠DCE, ∴.∠BCE=∠F=a. ∠ABC-90, ∠BCE+∠BAC=90°， 即+20=90°， 则a=30°， ÷∠DCB=2∠BCE-60° .BC=CD, △BCD是等边三角形 ②解：当GH+AH取得最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH 如图2，延长AD至点A, 使DA=AD, CD⊥AD, 点A与点A关于CD成轴对称 过点A'作AGLAC于点G,交CD于点H,连接AH, ..AH-A H, ..AH+GH-A H+GH-A G. 此时GH+AH取得最小值 由①可知∠DCE=30°， 即∠GCH=30°， :AG⊥AC,即GH⊥CG, 在Rt△GCH中，∠GCH=30°， ..CH=2GH, ·当GH+AH取得最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH B 图2 第9页，共9页2026-2027学年第一学期八年级数学期中考试培优提升试卷 人教版新课标第十三章~第十六章 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列各组数不可能成为一个三角形的三边长的是( A.2,3,4 B.5,8,8 C.1,2,3 D.5,12,13 2.如图，△ABC兰△DEC,B,C,D在同一直线上，且CE=8,AC=10,则BD的长为 A.18 B.20 C.22 D.21 3.下列运算正确的是( A.a5÷a2=a3 B.x.x2=x2 C.x5+x3=x8 D.(ab)3=a3b3 4.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于号BC的长为半径作弧， 两弧相交于M,N两点；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°，则 ∠ACB的度数为( A.90° B.95° C.100° D.105° 5.如图，左边的长方形可以看成将右边边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b) 后拼成的.通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a-b)=a2-ab 第1页，共6页 6.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等，左边滑梯与地面的夹角∠ABC=32°，则∠DFE的度数是( B D F A.32° B.62° C.58 D.68° 7.下列各式能直接用平方差公式计算的是( A.(-m+n)(-m-n) B.(-a+2b)(a-2b) C.(a-b)(a+2b) D.(-2m-n)(2m+n) 8.已知(x-3)(x2+mx+n)的乘积中不含x2和x项，则m,n的值分别为( A.m=3,n=9 B.m=3,n=6 C.m=-3,n=-9 D.m=-3,n=9 9.如图，AM是∠ABC的角平分线，以M为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于D,E两 点，分别以D,E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧相交于点N(M,N位于直线AB的两 侧)，作直线MN交AB于点F,若AC=5,MF=2,则△AMC的面积为( A.2 B.5 C.7 D.10 10.如图1，将两个大小不同的三角板放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知 AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠DAE=90°，且点B,C,E在同一条直线上，BC=10cm, CE=4cm,连接DC.现有一只壁虎以2cm/s的速度沿B-C-D的路线爬行，则壁虎从点B爬到 点D所用的时间为( B 图 图2 A.10s B.11s C.12s D.13s 第2页，共6页 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B,蜡烛A 与像B大小相等，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛，若∠CAB=25°，则 ∠DCA的大小为 12.如图是一幅对称的“连年有余”剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若图中点M的坐标为 (m,4),其关于y轴对称的点N的坐标为(-9，n),则m+n的值为 I3.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=AD,EF为线段BD的垂直平分线，若△ADE的 周长为19，AC=7,则AB的长为 E B F D 14.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中0A= OD,OB=OC,测得AB=5cm,EF=7cm,圆形容器的壁厚是 cm. …yB D 第3页，共6页 15定义刘为=阶行列式，规定它的运算法则为日=ad-b©，计算。1x十1l的结果 是 16.如果a2-a=1,那么a(a-2)+(a+2)(a-2)的值为 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)计算： (1)(x-y)x-2y)-(3x3-6x2y)÷3. (2)[x(x2y2-xy)-yx2]÷3x2y. 18.(本小题10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上. (1)请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点C的对应点C1的坐标； (2)△ABC的面积为 (3)请你在y轴上找到一点P,使得PA+PC最小.（保留作图痕迹） 19.(本小题10分)如图，在△ABC中，∠ABD=24°，∠A=45°，∠ACE=12°. (1)求∠BFC的度数： (2)若∠ABC=90°，求证：∠BCF=;∠CBF. 第4页，共6页 20.(本小题10分) 【问题情境】将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按如图所示的方式摆放，其中∠ACB= 90°，CA=CB,∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M,DE⊥BC 于点N,试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由. 【探究展示】小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON理由如下： 连接CO,则CO是AB边上的中线. E :CA=CB,·.C0是∠ACB的平分线.（依据1） OM1AC,ON⊥BC,.OM=ON.(依据2) 【反思交流】 O(D) (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： 依据2： (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程. 第5页，共6页 21.(本小题12分) 如图，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB. B E (1)求证：AC垂直平分BD; (2)过点B作BF/CD交CA的延长线于点F,使AB=AF. ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G,H分别是线段AC,线段CD上的动点，当GH+AH取得最小值时，请确定点H的位 置，并猜想此时GH与CH有怎样的数量关系. 第6页，共6页 2026-2027学年第一学期八年级数学期中考试 培优提升试卷 人教版新课标第十三章~第十六章 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数不可能成为一个三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如图，，，，在同一直线上，且，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，连接若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，左边的长方形可以看成将右边边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形后拼成的．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是(    ) A. B. C. D. 6.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯与地面的夹角，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.下列各式能直接用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 8.已知的乘积中不含和项，则，的值分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.如图，是的角平分线，以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于，两点，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点位于直线的两侧，作直线交于点，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，将两个大小不同的三角板放在一起，图是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎从点爬到点所用的时间为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，蜡烛与像大小相等，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛，若，则的大小为    ． 12.如图是一幅对称的“连年有余”剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为    ． 13.如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为    ． 14.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是    ． 15.定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，计算的结果是     ． 16.如果，那么的值为    。 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ． 18.本小题分如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． 请你画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标 的面积为      请你在轴上找到一点，使得最小保留作图痕迹 19.本小题分如图，在中，，，． 求的度数； 若，求证：． 20.本小题分 【问题情境】将一副直角三角尺和按如图所示的方式摆放，其中，，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【探究展示】小宇同学展示出如下正确的解法： 解：理由如下： 连接，则是边上的中线． ，是的平分线依据 ，，依据 【反思交流】 上述证明过程中的“依据”和“依据”分别是指： 依据           依据           你有与小宇不同的思考方法吗请写出你的证明过程． 21.本小题分 如图，，与相交于点，． 求证：垂直平分 过点作交的延长线于点，使． 求证：是等边三角形 如果，分别是线段，线段上的动点，当取得最小值时，请确定点的位置，并猜想此时与有怎样的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $