3.2.2 函数的奇偶性讲义- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 一、知识要点 1. 奇函数与偶函数的定义 一般地，设函数 的定义域为 ： （1）如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做偶函数； （2）如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做奇函数。 如果函数 是奇函数或偶函数，就说函数 具有奇偶性。既是奇函数又是偶函数的函数只有一类：定义域关于原点对称，且 恒成立。 图 1 奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称 2. 定义域优先 奇偶性定义中的"对任意的 ，都有 "说明：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数，无需再验证 。 3. 奇偶性的判断步骤 第一步：求定义域，判断是否关于原点对称；若不对称，直接下结论"非奇非偶"。 第二步：计算 并化简，与 比较： 若 ，则为偶函数；若 ，则为奇函数； 等价判据：（奇）或 （偶）；当 时也可用 。 若两者都不满足，则为非奇非偶函数。 4. 奇偶函数的图像特征与常用性质 （1）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y 轴对称；反之，图像关于原点对称的函数是奇函数，关于 y 轴对称的函数是偶函数。 （2）奇函数若在 处有定义，则必有 。 （3）奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 （4）奇函数在对称区间 上的最大值与最小值互为相反数；偶函数在对称区间上的最值同时在关于 y 轴对称的点处取得。 （5）利用奇偶性可以由一半图像补全整个图像，也可以由一半区间上的解析式求另一半区间上的解析式。 图 2 已知 部分的图像，按奇函数补全 部分 5. 分段函数与奇偶性：解析式的相互转化 奇偶性是"半分天下"的性质：知道一半区间上的解析式，就能写出另一半区间上的解析式，分段函数的解析式常常就是这样求出来的。 （1）判断分段函数的奇偶性：先看整个定义域是否关于原点对称；再逐段验证 与 的关系；若 在定义域内，奇函数还必须单独检验 。 （2）已知一半区间上的解析式，求另一半（四步口诀：设、转、翻、补）：① 设——把所求区间的自变量设为 （如设 ）；② 转——写出 所在的区间（），代入已知段的解析式得 ；③ 翻——奇函数用 、偶函数用 翻出 ；④ 补——若 在定义域内，单独补写 （奇函数取 ），最后写成统一的分段表达式。 （3）已知分段函数具有奇偶性，求参数：在同一个自变量的符号下，用 把两段解析式对起来，比较同类项系数列方程；必要时辅以特殊值（如 、）。求出参数后必须回代检验：两段解析式在分界点处要衔接一致。 图 3 奇函数的分段解析式：右半 给定，左半按 翻出 6. 奇函数加常数型： 设 是奇函数， 是常数，则 的图像就是把 的图像整体上移 个单位，对称中心从原点移到点 。它既不是奇函数（ 时），也不是偶函数，常用性质如下： （1）根本式： 恒成立——自变量互为相反数时，函数值之和为常数 ；若 在定义域内，则 ，注意此时 ，不能套用奇函数 的结论。 （2）最值特征：在关于原点对称的区间上，最大值 与最小值 满足 ——最值点成对出现，每对对称点的函数值之和都是 。 （3）使用技巧：把常数"剥掉"就回到奇函数—— 是奇函数；遇到 这类式子，令 即可用奇函数的性质求值；形如 的式子里，奇函数部分恰好相消，只剩 。 （4）推广到一般对称中心：若 恒成立，则图像关于点 中心对称（详见 3.2.2专题：函数的周期性与对称性）。 图 4 奇函数图像上移 个单位：中心移到 ，且 7. 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶。 8.复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇。 9.常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数。④常数函数 二、典型例题 例 1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4），。 【解】（1）定义域为 ，，是奇函数。 （2）定义域为 ，，是偶函数。 （3）定义域为 ，关于原点对称，且 是奇函数。 （4）定义域 不关于原点对称，所以是非奇非偶函数。 【点评】第（4）问解析式"长得像"偶函数，但定义域不对称，奇偶性无从谈起——"定义域优先"必须落实为第一步。 例 2 利用奇偶性求解析式 设 是奇函数，且当 时 ，求 在 时的解析式。 【解】设 ，则 ，于是 。由 是奇函数， 【点评】"设负、转正、代解析式、回翻符号"是这类问题的固定套路；若 在 处有定义，别忘了 。 例 3 奇偶性与单调性综合 设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。若 ，求实数 a 的取值范围。 【分析】两个函数值相加，先利用奇函数把式子变成"同一个函数的两个值"，再用单调性脱去 f。 【解】由 ，且 为奇函数，得 ，所以 。又 在 上单调递增，故 所以 a 的取值范围是 。 【点评】"奇函数 + 单调"脱 f 最顺畅：奇函数负责移项保号，单调性负责直接比较自变量。若换成偶函数，则需把自变量加绝对值转化。 例 4 抽象函数的奇偶性 已知 是定义在 上的任意函数，判断 与 的奇偶性。 【解】，所以 是偶函数；，所以 是奇函数。 进一步，，即任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。这一构造在证明与化简题中经常使用。 【点评】记住两个"万能构造"：和为偶、差为奇，它们对任何函数都成立。 例 5 利用奇偶性补全图像 奇函数 在 时的图像如图实线所示，试画出它在 时的图像。 【解】奇函数图像关于原点对称：把右侧图像上每一点 关于原点的对称点 描出，用平滑曲线连接即可，如图中虚线所示。例如右侧过点 ，则左侧必过点 。 图 5 按奇函数规律补全另一半图像 例 6 求分段函数的另一半解析式 设 是定义在 上的奇函数，当 时，。求 的解析式。 【解】当 时，，代入已知段得 。由奇函数 得 。 又 在 处有定义，由奇函数得 ，恰与已知段一致。故 【点评】"设、转、翻、补"四步缺一不可。本题 与已知段恰好衔接；若已知段在 处的值不是 ，则与"奇函数"矛盾——参数型问题就要靠这一点列方程。 例 7 已知分段函数是奇函数，求参数 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时 ，当 时 ，求 、 的值。 【解】设 ，则 ，。由奇函数得 。与题设 对照系数，得 【检验】 处两段都给出 ，衔接一致。 【点评】"推出应满足的解析式，再与题设对照系数"是这类问题的标准路线；回代检验分界点不能省——有的题目正是要靠 或"两段在分界处相等"补齐最后一个方程。 例 8 奇函数 + 常数：由一个函数值求另一个 已知 （、 为常数），且 ，求 。 【解】令 ，则 ， 是奇函数。于是 ，即 所以 。 【点评】常数项 使 不是奇函数，但把常数移到另一边就还原出奇函数 ；也可以直接用 ：代入 得 ，殊途同归。 例 9 奇函数 + 常数：最值之和 已知 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求 。 【解】令 ，则 是奇函数，且在 上单调递增，所以它的最大值 与最小值 互为相反数，即 。而 的图像由 的图像整体上移 个单位得到，故 ，，所以 【点评】"奇函数 + 常数"型的 只与常数有关，与奇函数部分长什么样无关——本题不需要求出 、 本身，对称区间上的 一步到位。 三、易错警示 1. 不查定义域直接验证 ，如 （）被误判为偶函数。 2. 把 当成奇函数的判定条件：它只是奇函数（在 有定义时）的必要条件，不能反推；也不适用于 无定义的情形（如 ）。 3. 偶函数"对称区间上单调性相反"用反：偶函数在 递增，则在 递减，比较 与 时要把 化为 再比。 4. 求对称区间上的解析式时忘记"回翻"符号，直接把正半轴解析式抄过去。 5. 已知一半区间的解析式求奇函数另一半时，忘补 处的值：奇函数在 处有定义时必须 ，两段在分界点要衔接一致；偶函数两段在 处的值则必须相等。 6. 见到 这类函数仍套用 ：常数项使它不是奇函数，它是"奇函数 + 常数"型，应先用 或把常数移出后再用奇函数性质。 四、方法小结 目标 路径 判断奇偶性 先看定义域对称，再算 对照 求另一半解析式 设 → 转 代入 → 用奇偶性回翻 解 f 相关不等式 奇函数移项保号，偶函数加绝对值，再脱 f 图像问题 对称变换：点 与 或 配对 求分段函数的另一半解析式 设、转、翻、补：设 → 转 代入 → 用 回翻 → 补写 已知分段函数的奇偶性求参数 两段解析式按 对照系数，回代检验分界点 奇函数 + 常数 ， 为奇函数，中心 ， 【考点归纳】 考点一　判断函数奇偶性 【例1】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【例2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，以下说法错误的是（　　） A．是奇函数 B．在定义域上递增 C．的值域为 D．没有零点 【变式训练2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（     ）． A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一上·广西百色·期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【考点强化练1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 【考点强化练2】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【考点强化练3】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【考点强化练4】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）函数在定义域上是（    ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【考点强化练5】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选题）已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 考点二　由奇偶性求函数解析式 【例1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称 C． D．当时， 【变式训练1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选题）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（ ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【考点强化练1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 【考点强化练2】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点强化练3】（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【考点强化练4】（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【考点强化练5】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选题）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C．不等式的解集是 D．在上恒成立 考点三　抽象函数的奇偶性 【例1】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【变式训练1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，且，，若，则（     ） A．2 B．0 C． D．4 【变式训练2】（26-27高一上·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高一上·广西·期中）（多选题）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【考点强化练1】（26-27高三上·山东烟台·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点强化练2】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【考点强化练3】（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【考点强化练4】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【考点强化练5】（26-27高一上·全国·期中）（多选题）定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 考点四　利用奇偶函数特性求参 【例1】（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选题）已知函数的定义域为,是奇函数,是偶函数,且当时,则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 【变式训练2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选题）设 ，则（    ）． A．当 为奇函数时， 不是单调函数 B．当 为奇函数时， 的值域为 C．当 为偶函数时， D．当 为偶函数时， 的最小值为 -1 【考点强化练1】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知是偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【考点强化练2】（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【考点强化练3】（26-27高三上·四川内江·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则的值分别为（    ） A．14，  -48 B．-14，  48 C．14，  48 D．-14，  -48 【考点强化练4】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【考点强化练5】（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 考点五　函数奇偶性的应用 【例1】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2】（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）（多选题）已知定义域为的函数在区间上单调递增，且满足，，，则（） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数，若正实数a，b满足．则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）设是定义在上的奇函数，，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式训练3】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选题）已知函数的定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．当时， 【考点强化练1】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，且，若，则下列叙述中正确的个数有（     ） （1）的图象关于直线对称                  （2） （3）函数恰有3个零点              （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点强化练2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【考点强化练3】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 【考点强化练4】（2026·江苏苏州·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（     ） A． B．0 C． D．1 【考点强化练5】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）（多选题）已知函数为定义在上的偶函数，对，都有，且，，在区间上单调递减，设点，点，点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在区间上单调递减 考点六　利用函数奇偶性解不等式 【例1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）已知定义在上的函数满足，且，时，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．若，则 【变式训练1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选题）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【考点强化练1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（   ） A． B． C． D． 【考点强化练2】（26-27高二上·陕西·阶段检测）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点强化练3】（25-26高一上·全国·期中）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点强化练4】（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【考点强化练5】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选题）已知函数，且，则（ ） A．b＝1 B．是减函数 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 考点七　奇偶函数对称性的应用 【例1】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知偶函数满足：当时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【例2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【变式训练1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 【变式训练2】（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求a，b； (2)若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； (3)若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 【变式训练3】（25-26高一上·河南·期末）已知函数，的定义域都是，，且 (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)设，求不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【考点强化练1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的t的取值范围. 【考点强化练2】（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【考点强化练3】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【考点强化练4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知定义域为的函数为奇函数，把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象． (1)求的值． (2)若函数． （ⅰ）求出函数的值域，并证明函数为中心对称函数； （ⅱ）当时，，若，，都有成立，求实数的取值范围． 【考点强化练5】（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数是奇函数且. (1)求t的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围.（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数为上的偶函数，当时.（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）定义在上的奇函数和偶函数满足．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）.（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数为奇函数．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. (1)求，的解析式； (2)令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求整数的最大值． (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. (1)求实数、的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. (1)求实数的值，并用分段函数形式表示函数的解析式； (2)画出函数的图象并写出单调减区间； (3)若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 函数的奇偶性 一、知识要点 1. 奇函数与偶函数的定义 一般地，设函数 的定义域为 ： （1）如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做偶函数； （2）如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做奇函数。 如果函数 是奇函数或偶函数，就说函数 具有奇偶性。既是奇函数又是偶函数的函数只有一类：定义域关于原点对称，且 恒成立。 图 1 奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称 2. 定义域优先 奇偶性定义中的"对任意的 ，都有 "说明：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数，无需再验证 。 3. 奇偶性的判断步骤 第一步：求定义域，判断是否关于原点对称；若不对称，直接下结论"非奇非偶"。 第二步：计算 并化简，与 比较： 若 ，则为偶函数；若 ，则为奇函数； 等价判据：（奇）或 （偶）；当 时也可用 。 若两者都不满足，则为非奇非偶函数。 4. 奇偶函数的图像特征与常用性质 （1）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y 轴对称；反之，图像关于原点对称的函数是奇函数，关于 y 轴对称的函数是偶函数。 （2）奇函数若在 处有定义，则必有 。 （3）奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 （4）奇函数在对称区间 上的最大值与最小值互为相反数；偶函数在对称区间上的最值同时在关于 y 轴对称的点处取得。 （5）利用奇偶性可以由一半图像补全整个图像，也可以由一半区间上的解析式求另一半区间上的解析式。 图 2 已知 部分的图像，按奇函数补全 部分 5. 分段函数与奇偶性：解析式的相互转化 奇偶性是"半分天下"的性质：知道一半区间上的解析式，就能写出另一半区间上的解析式，分段函数的解析式常常就是这样求出来的。 （1）判断分段函数的奇偶性：先看整个定义域是否关于原点对称；再逐段验证 与 的关系；若 在定义域内，奇函数还必须单独检验 。 （2）已知一半区间上的解析式，求另一半（四步口诀：设、转、翻、补）：① 设——把所求区间的自变量设为 （如设 ）；② 转——写出 所在的区间（），代入已知段的解析式得 ；③ 翻——奇函数用 、偶函数用 翻出 ；④ 补——若 在定义域内，单独补写 （奇函数取 ），最后写成统一的分段表达式。 （3）已知分段函数具有奇偶性，求参数：在同一个自变量的符号下，用 把两段解析式对起来，比较同类项系数列方程；必要时辅以特殊值（如 、）。求出参数后必须回代检验：两段解析式在分界点处要衔接一致。 图 3 奇函数的分段解析式：右半 给定，左半按 翻出 6. 奇函数加常数型： 设 是奇函数， 是常数，则 的图像就是把 的图像整体上移 个单位，对称中心从原点移到点 。它既不是奇函数（ 时），也不是偶函数，常用性质如下： （1）根本式： 恒成立——自变量互为相反数时，函数值之和为常数 ；若 在定义域内，则 ，注意此时 ，不能套用奇函数 的结论。 （2）最值特征：在关于原点对称的区间上，最大值 与最小值 满足 ——最值点成对出现，每对对称点的函数值之和都是 。 （3）使用技巧：把常数"剥掉"就回到奇函数—— 是奇函数；遇到 这类式子，令 即可用奇函数的性质求值；形如 的式子里，奇函数部分恰好相消，只剩 。 （4）推广到一般对称中心：若 恒成立，则图像关于点 中心对称（详见 3.2.2专题：函数的周期性与对称性）。 图 4 奇函数图像上移 个单位：中心移到 ，且 7. 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶。 8.复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇。 9.常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数。④常数函数 二、典型例题 例 1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4），。 【解】（1）定义域为 ，，是奇函数。 （2）定义域为 ，，是偶函数。 （3）定义域为 ，关于原点对称，且 是奇函数。 （4）定义域 不关于原点对称，所以是非奇非偶函数。 【点评】第（4）问解析式"长得像"偶函数，但定义域不对称，奇偶性无从谈起——"定义域优先"必须落实为第一步。 例 2 利用奇偶性求解析式 设 是奇函数，且当 时 ，求 在 时的解析式。 【解】设 ，则 ，于是 。由 是奇函数， 【点评】"设负、转正、代解析式、回翻符号"是这类问题的固定套路；若 在 处有定义，别忘了 。 例 3 奇偶性与单调性综合 设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。若 ，求实数 a 的取值范围。 【分析】两个函数值相加，先利用奇函数把式子变成"同一个函数的两个值"，再用单调性脱去 f。 【解】由 ，且 为奇函数，得 ，所以 。又 在 上单调递增，故 所以 a 的取值范围是 。 【点评】"奇函数 + 单调"脱 f 最顺畅：奇函数负责移项保号，单调性负责直接比较自变量。若换成偶函数，则需把自变量加绝对值转化。 例 4 抽象函数的奇偶性 已知 是定义在 上的任意函数，判断 与 的奇偶性。 【解】，所以 是偶函数；，所以 是奇函数。 进一步，，即任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。这一构造在证明与化简题中经常使用。 【点评】记住两个"万能构造"：和为偶、差为奇，它们对任何函数都成立。 例 5 利用奇偶性补全图像 奇函数 在 时的图像如图实线所示，试画出它在 时的图像。 【解】奇函数图像关于原点对称：把右侧图像上每一点 关于原点的对称点 描出，用平滑曲线连接即可，如图中虚线所示。例如右侧过点 ，则左侧必过点 。 图 5 按奇函数规律补全另一半图像 例 6 求分段函数的另一半解析式 设 是定义在 上的奇函数，当 时，。求 的解析式。 【解】当 时，，代入已知段得 。由奇函数 得 。 又 在 处有定义，由奇函数得 ，恰与已知段一致。故 【点评】"设、转、翻、补"四步缺一不可。本题 与已知段恰好衔接；若已知段在 处的值不是 ，则与"奇函数"矛盾——参数型问题就要靠这一点列方程。 例 7 已知分段函数是奇函数，求参数 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时 ，当 时 ，求 、 的值。 【解】设 ，则 ，。由奇函数得 。与题设 对照系数，得 【检验】 处两段都给出 ，衔接一致。 【点评】"推出应满足的解析式，再与题设对照系数"是这类问题的标准路线；回代检验分界点不能省——有的题目正是要靠 或"两段在分界处相等"补齐最后一个方程。 例 8 奇函数 + 常数：由一个函数值求另一个 已知 （、 为常数），且 ，求 。 【解】令 ，则 ， 是奇函数。于是 ，即 所以 。 【点评】常数项 使 不是奇函数，但把常数移到另一边就还原出奇函数 ；也可以直接用 ：代入 得 ，殊途同归。 例 9 奇函数 + 常数：最值之和 已知 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求 。 【解】令 ，则 是奇函数，且在 上单调递增，所以它的最大值 与最小值 互为相反数，即 。而 的图像由 的图像整体上移 个单位得到，故 ，，所以 【点评】"奇函数 + 常数"型的 只与常数有关，与奇函数部分长什么样无关——本题不需要求出 、 本身，对称区间上的 一步到位。 三、易错警示 1. 不查定义域直接验证 ，如 （）被误判为偶函数。 2. 把 当成奇函数的判定条件：它只是奇函数（在 有定义时）的必要条件，不能反推；也不适用于 无定义的情形（如 ）。 3. 偶函数"对称区间上单调性相反"用反：偶函数在 递增，则在 递减，比较 与 时要把 化为 再比。 4. 求对称区间上的解析式时忘记"回翻"符号，直接把正半轴解析式抄过去。 5. 已知一半区间的解析式求奇函数另一半时，忘补 处的值：奇函数在 处有定义时必须 ，两段在分界点要衔接一致；偶函数两段在 处的值则必须相等。 6. 见到 这类函数仍套用 ：常数项使它不是奇函数，它是"奇函数 + 常数"型，应先用 或把常数移出后再用奇函数性质。 四、方法小结 目标 路径 判断奇偶性 先看定义域对称，再算 对照 求另一半解析式 设 → 转 代入 → 用奇偶性回翻 解 f 相关不等式 奇函数移项保号，偶函数加绝对值，再脱 f 图像问题 对称变换：点 与 或 配对 求分段函数的另一半解析式 设、转、翻、补：设 → 转 代入 → 用 回翻 → 补写 已知分段函数的奇偶性求参数 两段解析式按 对照系数，回代检验分界点 奇函数 + 常数 ， 为奇函数，中心 ， 【考点归纳】 考点一　判断函数奇偶性 【例1】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项 【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. 【例2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故D正确． 【变式训练1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，以下说法错误的是（　　） A．是奇函数 B．在定义域上递增 C．的值域为 D．没有零点 【答案】B 【详解】由，解得，即函数的定义域为. 对于A，由，得为奇函数，故A正确； 对于B，，由在上单调递增，得在上单调递增，则在和上单调递减，即在和上单调递减，故B错误； 对于C，，当时，，则，，；当时，，则，，；综上所述，的值域为 ，故C正确； 对于D，令，得，方程无解，得没有零点，故D正确. 【变式训练2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，满足是奇函数，也是减函数，故A正确. 对于B，是定义域上的增函数，故B错误. 对于C，是定义域上的增函数，故C错误. 对于D，，，所以不是奇函数，故D错误. 【变式训练3】（25-26高一上·广西百色·期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 【考点强化练1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 【答案】C 【详解】由，解得，定义域关于原点对称， ，， 所以是奇函数. 设，在上单调递增，，在上单调递减， 由复合函数单调性同增异减可知，函数在上是减函数. 【考点强化练2】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 【考点强化练3】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误. 【考点强化练4】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）函数在定义域上是（    ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【答案】A 【详解】函数定义域为，关于原点对称.记，， 故为奇函数.将函数变形为，在上严格递增， 则严格递减，严格递增，因此在上严格递增. 【考点强化练5】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选题）已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】对A ，令代入已知关系式，解方程求出判断 ；对B ，令，结合推出判断 ；对C ，设，变形构造，结合条件判断差值大于，得到函数单调递增；对D，先用已知关系式合并，再利用单调性脱去，解一元二次不等式得到解集判断. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，对，有， 又，可得，即，为奇函数，B正确； 对于C：、，且，则，， 所以， 整理得，即，在上单调递增，C正确； 对于D：因为，，所以，即， 又在上单调递增，所以，解得或， 即不等式的解集为或，D错误. 考点二　由奇偶性求函数解析式 【例1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 【例2】（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称 C． D．当时， 【答案】BD 【详解】选项A：当时，，在上单调递减，在上单调递增.故在上不是单调递增函数，故A错误. 选项B：因为是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.B正确. 选项C：由奇函数性质，得.又，故，故C错误. 选项D：当时，，则.由奇函数性质.故D正确. 【变式训练1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分区间讨论求解不等式即可. 【详解】当时：此时，已知， 原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得； 当时：因为是上的偶函数，故； 又，代入已知解析式得， 此时，原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得， 综上，不等式的解集为. 【变式训练2】（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 【变式训练3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选题）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（ ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【答案】ABD 【分析】利用奇函数的性质求出负半轴上相应区间的解析式，再结合已知函数关系求函数值、判断单调性；利用对称中心处的函数值排除C，将函数关系转化为轴对称的判定等式判断D. 【详解】由为奇函数，得. 当时，，于是. 结合已知条件可得，当时，. 对于A，在中令，得. 又，所以，A正确. 对于B，当时，. 由已知关系得，所以函数在上单调递减，B正确. 对于C，若函数的图象关于点成中心对称，则必有，即， 而，C错误. 对于D，由可得对任意均成立， 故函数的图象关于直线成轴对称，D正确. 【考点强化练1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可. 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 【考点强化练2】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用奇函数的性质求出时，的解析式，进而求出的解析式，再利用的单调性，即可求解. 【详解】因为函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，所以，得到，所以时，， 则，其图象如图， 由图知在上单调递增，由，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 【考点强化练3】（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 【考点强化练4】（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【答案】A 【分析】根据已知条件得到关于与，求出的解析式，代入求解即可. 【详解】由题意可得，  所以， 故． 【考点强化练5】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选题）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C．不等式的解集是 D．在上恒成立 【答案】ABC 【分析】先利用函数奇偶性构造方程组求解出函数的解析式，判断AB选项；选项C利用奇函数的性质转化为解不等式的形式，再利用的增减性解不等式；选项D可以通过代入特殊值判断. 【详解】已知①， 将替换成，可以得到：， 由是奇函数得，是偶函数得， 则②. 用①②得：，即，则，故AB正确； 对于C，不等式，即 ， 因为为增函数，所以， 令，则，， 不等式转化为：，解得，即，解得，故C正确； 对于D，取，由，，此时的， 故在上不恒成立，故D错误. 考点三　抽象函数的奇偶性 【例1】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的奇偶性推导出的周期，进而利用函数的周期性即可求解． 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 【例2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得， 令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确； B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 【变式训练1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，且，，若，则（     ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意可得函数的周期为且为偶函数，再求得，，据此可得． 【详解】，， 又，则， ，即函数的周期为， ，即函数为偶函数， 由可得，，又，可得， ，则， ． 【变式训练2】（26-27高一上·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 令，得，，故A，C错误； 令，得，故B正确； 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 【变式训练3】（26-27高一上·广西·期中）（多选题）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 【考点强化练1】（26-27高三上·山东烟台·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为，赋值法可求得的值，结合周期性可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以，用替换得. 又，所以，用替换得，所以，的一个周期为. 因为，在中令可得， 所以，因此. 【考点强化练2】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 【考点强化练3】（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 【考点强化练4】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 【考点强化练5】（26-27高一上·全国·期中）（多选题）定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为R， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即 ，所以， 所以，函数为R上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为R上的减函数，由，可得，解得，D对. 考点四　利用奇偶函数特性求参 【例1】（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用题设条件得到函数的解析式，进而可得在上单调递增，再结合函数是偶函数，可得不等式等价于，由此即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数，所以，， 即，， 所以，所以，，所以， 又，所以，解得，所以， 当时，单调递减，故在上单调递增， 所以由可得， 故只需，所以，即，解得或， 因此实数的取值范围为． 【例2】（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选题）已知函数的定义域为,是奇函数,是偶函数,且当时,则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由是奇函数,是偶函数得到的对称中心与对称轴，进而判断的周期为4.在区间上利用对称中心求出.利用周期和函数关系式化简求解. 【详解】对于A,B,由是奇函数可得,即.令,则,,因为,所以,解得,A选项正确,B选项错误； 对于C,由是偶函数可得,又,则,所以,C选项正确； 对于D,因为,所以函数的周期,, 所以, 已知时,,则. 因为,令,解得. 故, D选项正确. 【变式训练1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域必须关于原点对称， 令分母，解得函数的间断点为和 ， 由于必然不在定义域内，根据定义域关于原点对称的要求，它的相反数也必然不在定义域内， 所以方程的解为，所以. （验证充分性）：当时，, 此时定义域为，关于原点对称, 且，满足奇函数定义,所以成立. 【变式训练2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，即，解得. 所以当时，， 那么当时，，则. 根据奇函数的性质可得，所以当时，， 即当时，，所以. 【变式训练3】（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选题）设 ，则（    ）． A．当 为奇函数时， 不是单调函数 B．当 为奇函数时， 的值域为 C．当 为偶函数时， D．当 为偶函数时， 的最小值为 -1 【答案】BD 【分析】利用导数研究函数的奇偶性、单调性、值域等性质，逐项计算判断即可. 【详解】当为奇函数时，， ，为单调（递增）函数，故A错误； 且时，，时，，故的值域为R，故B正确； 当为偶函数时， ，， 故，故C错误； 对于D，设，则， 故， 当时，取得最小值，故D正确． 【考点强化练1】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知是偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，关于原点对称． 对任意，有． 由于且，偶函数条件等价于， 由指数函数的单调性得，此式对任意成立当且仅当． 【考点强化练2】（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数， 又函数的定义域为R，得，解得， 函数，，则是奇函数， 所以. 【考点强化练3】（26-27高三上·四川内江·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则的值分别为（    ） A．14，  -48 B．-14，  48 C．14，  48 D．-14，  -48 【答案】C 【分析】利用奇函数性质、给定的函数关系式推导函数的周期性与对称性，结合区间上的二次函数形式，列方程求解、的值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，且. 由，变形得，因此，故是周期为4的周期函数. 结合奇函数性质，可得，令，代入得，即的图像关于直线对称； 结合周期为4，可推得的对称轴为，当时，得区间内的对称轴为. 当时，为二次函数，其对称轴为，结合的对称轴为，得，解得. 由周期性得，令中，得，故. 代入，计算得，解得. 综上，. 【考点强化练4】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】D 【分析】对于A选项，由，即可求解； 对于B选项，根据函数为奇函数，由即可求解； 对于C选项，利用指数函数的单调性求解； 对于D选项，由时，，得到，再由是奇函数即可求解. 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得， 当时，， 所以， 则符合题意，所以B正确； 对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C正确； 对于选项D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域为，故D错误. 【考点强化练5】（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 考点五　函数奇偶性的应用 【例1】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以C，D错误； 又时，，所以A错误，B正确． 【例2】（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）（多选题）已知定义域为的函数在区间上单调递增，且满足，，，则（） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由推出函数图象关于点中心对称，求得；由推出函数图象关于直线轴对称；联立两个对称性质推导得出数周期为，结合已知区间的单调性，推导出各区间的单调性与特殊点的函数值；选项A：代入特殊值直接验证的值；选项B：利用周期性将转化到已知单调性的区间内，结合区间单调性比较函数值大小；选项C：判断与所在区间，分别对应单调性比较函数值，判断大小关系；选项D：先计算一个周期内的函数值之和，再根据总项数与周期的关系分组求和，得到累加结果. 【详解】由，得的图象关于点中心对称， 令得，且. 由，得的图象关于直线轴对称. 联立得，故，函数周期为. 因为在上单调递增，且该函数为偶函数，故该函数在上递减， 又因为函数的图象关于点对称，所以函数在上递减，在上递增， 因为，所以，，， 选项A：令代入，得，即，A正确. 选项B：，由周期得. 由，得，即. 因为在上单调递增，由得，即，B正确； 选项C：由，得，，且. 因为在上单调递减，故； 由于在上单调递减，故，因此，C错误. 选项D：一个周期内的函数值和为. 因为，所以，D正确. 【变式训练1】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数，若正实数a，b满足．则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】因为函数，则，则， 则，所以为奇函数，为减函数，则为增函数， 则函数在上单调递增，由奇函数的性质可得， 所以，因为函数在上单调递增，所以，则，即， 所以 因为，当且仅当时， 即，时，等号成立， 故， 故的最小值是. 【变式训练2】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）设是定义在上的奇函数，，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，且函数是周期为的周期函数，由此求得. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，. 又，所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数. 所以. 【变式训练3】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选题）已知函数的定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性结合题意逐项分析. 【详解】因为函数定义域均为，又为偶函数，为奇函数，且， 对于A，因为为奇函数，所以， 则，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由得关于对称， 即 由为偶函数，知的图象关于直线对称， 所以，又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确． 【考点强化练1】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，且，若，则下列叙述中正确的个数有（     ） （1）的图象关于直线对称                  （2） （3）函数恰有3个零点              （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）根据为偶函数可得，故的图象关于直线对称；（2）利用和及当时，且，代入特殊值可得，，，即可求解；（3）因为的值域为，所以当或时函数没有零点.根据题意求出当时，，根据图像求出函数的零点即可；（4）因为周期为4，且， ，，，代入即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即，故的图象关于直线对称，（1）正确； 因为为奇函数，所以，即， 又因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，所以是以4为周期的函数. 当时，且，所以，， 因为的图象关于点对称，所以，， 又因为，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，，（2）错误； 当时，，且的图象关于直线对称，关于点对称， 因为的值域为，所以当或时函数没有零点. 当时， ，又，，所以，， ，所以当时，. 由图可知，函数恰有3个零点，分别为，（3）正确； 因为周期为4，且，， ，，所以. （4）错误. 【考点强化练2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题意可得当时，；当时，；进而分类讨论可解不等式. 【详解】由是定义在上的奇函数，在上单调递增，且， 可知，当时，； 当时，； 由，得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 【考点强化练3】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称， ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 【考点强化练4】（2026·江苏苏州·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】先利用所给函数递推关系式推导函数周期，再由奇函数的性质得到函数的中心对称关系，进而求出函数在指定点处的函数值，找出求和数列的周期规律，最后结合项数拆分计算求和式子的值. 【详解】由①，将替换为得， ②， ②①，得，故是周期为的周期函数， 在①中令，得。所以， 设，为奇函数，则， 即， 令，则，即， 函数关于点中心对称， 令，得，结合，得， 在①中令，得，故，代入①得， 由，得， 已知，由，令，得， 结合，得，故， 由，依次可得， ， 记， ， ， ， ， ，数列每连续项之和为， ，即有完整周期，余下两项， ， ， ， ， . 【考点强化练5】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）（多选题）已知函数为定义在上的偶函数，对，都有，且，，在区间上单调递减，设点，点，点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在区间上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据函数周期判断AB，根据周期及偶函数性质判断C，根据单调性及周期、偶函数性质判断D. 【详解】由，都有知，函数周期，所以，故A正确； 因为，，， 所以，故B正确； 因为为定义在上的偶函数，所以，故C正确； 因为， 故在区间上单调性与在区间上单调性一致， 由在区间上单调递减，且为偶函数知，在区间上单调递增， 又函数周期为，所以函数在区间上单调递增， 由知，在区间上单调递增，故D错误. 考点六　利用函数奇偶性解不等式 【例1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性判断函数在不同区间的正负性，再分类讨论不等式的解集即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 【例2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）已知定义在上的函数满足，且，时，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用赋值法，令，可得，判断A；由题意可得函数的单调性，由此判断B；先利用赋值法得到函数的奇偶性，再判断的奇偶性，即可判断C；根据的奇偶性及单调性讨论当和时，的符号，进而判断D. 【详解】对于A，因为定义在上的函数满足， 令，得，所以，故A正确； 对于B，，当时，， 所以当时，，，即， 所以函数在上单调递减，则，故B错误； 对于C，令，则，即， 所以函数是奇函数， 令，定义域为， 则， 所以是偶函数，故C正确； 对于D，因为函数在上单调递减，且是奇函数， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，；当时，，， 因此，若，则，故D错误. 【变式训练1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 【变式训练2】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定函数为奇函数且在上单调递增，利用性质脱去对应法则，转化为一次不等式即可求解. 【详解】因为，则函数定义域为， 又因为，所以为奇函数；又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 由，得，则， 解得：，所以不等式的解集为. 【变式训练3】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选题）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【答案】ACD 【分析】对于A，利用奇偶性定义判断即可； 对于B，利用基本函数单调性判断即可； 对于C，利用奇偶性和单调性解不等式； 对于D，利用单调性和特值法求零点. 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 【考点强化练1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数的性质得，且在上单调递增， 时，；时，； 不等式等价于两因式同号： ，即，解得； ，即，解得； 解得． 【考点强化练2】（26-27高二上·陕西·阶段检测）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况去掉不等式中的因式，再利用偶函数的单调性求解. 【详解】若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得，又，所以此时的取值范围为. 若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得或，又，所以此时的取值范围为. 综上，满足的的取值范围为. 【考点强化练3】（25-26高一上·全国·期中）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【考点强化练4】（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案． 【详解】因为是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 因此由在上的图象，可得它在上的图象如图所示， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此不等式的解集为． 二、多选题 【考点强化练5】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选题）已知函数，且，则（ ） A．b＝1 B．是减函数 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由求出可判断A；利用可判断B；利用分离常数法求值域可判断C；利用单调性和奇偶性可判断D． 【详解】，解得，A正确； ，是上的单调递增函数，B错误； ∵，∴，，， ∴ ，∴的值域为，C正确； 的定义域为，∵，∴为奇函数， ∵ ， ∴，即， 解集为，D正确． 故选：ACD． 三、解答题 考点七　奇偶函数对称性的应用 【例1】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知偶函数满足：当时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解析式即可； （2）利用偶函数的对称性及区间单调性得，即可求解集. 【详解】（1）当时，，则，而为偶函数， 所以，则， 所以； （2）由题可知，偶函数在上单调递增，且， 所以， 故不等式的解集为. 【例2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 【变式训练1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，且 (2)函数在上为增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，结合单调性化简，然后分离参数转化求函数最值，即可得参数范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即， 所以，则，且； （2）函数在上是增函数， 证明如下： 由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以，又，，所以， 即，所以函数在上是增函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是增函数，故， 所以，使成立， 因为， 因为，所以有最小值0，所以， 故的取值范围为. 【变式训练2】（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求a，b； (2)若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； (3)若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （2）根据二次函数零点分布列式计算求解参数； （3）根据对称性得出，进而得出，，再构造二次函数结合单调性求解最值. 【详解】（1）由题意得，，即，， 所以，. （2）因为，所以，所以， 要使函数在上有两个零点，则需满足 ，即 解得 所以a的取值范围是. （3）由题意知， 因为，且的图象关于对称， 所以， 所以 解得，， 所以 设 则转化为函数，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 【变式训练3】（25-26高一上·河南·期末）已知函数，的定义域都是，，且 (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)设，求不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意可得， 故函数是奇函数，证明如下： 因为， 所以函数是定义在的奇函数； (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据奇偶性定义判断即可求解； （2）判断函数奇偶性及单调性，列不等式计算求解即可； （3）由题意可得，令，则，令，根据二次方程根的分布列不等式组计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，且， 因为函数是定义在的奇函数， 所以函数是定义在的偶函数，且在上单调递增， 若，则， 两边同时平方化简可得，解得， 所以不等式的解集为； （3）由题意可得， 当时，令，则， 令，则在上有两个不相等的实数根， 显然，且，即， 由二次方程根的分布可知，解得， 所以， 故实数的取值范围为. 【考点强化练1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的t的取值范围. 【答案】(1)； (2) 在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，所以，即， 所以在上单调递增，由奇函数的对称性知在上单调递增， 结合（1）及已知区间解析式知：时，时， 又，则，所以在上单调递增； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求区间解析式即可； （2）利用单调性定义证明在上的单调性，结合奇函数的对称性判断其在定义域上的单调性，即可证； （3）利用奇函数的性质、单调性列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，所以， 所以； （2）略 （3）由，则， 由在上单调递增，则，可得， 所以. 【考点强化练2】（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； (2)最小值、最大值分别为、. 【分析】（1）利用奇函数的性质及已知函数值列方程求参数值，即可得； （2）先求出上函数的值域，再结合奇函数的对称性确定的值域，即可得. 【详解】（1）由题设恒成立，则， ， 所以； （2）当时，而在上单调递减， 所以，故， 由奇函数的对称性，当时，而， 综上，，故的最小值、最大值分别为、. 【考点强化练3】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 【考点强化练4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知定义域为的函数为奇函数，把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象． (1)求的值． (2)若函数． （ⅰ）求出函数的值域，并证明函数为中心对称函数； （ⅱ）当时，，若，，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）值域为，证明:函数，定义域为，， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为， 由值域猜测函数的对称中心的纵坐标为， 代入函数可得，解得， 所以函数的对称中心为， 证明如下：因为， 所以可得，即， 所以函数是中心对称函数，它的一个对称中心为． （ⅱ）． 【分析】（1）根据函数平移和奇函数性质求解； （2）（i）先求值域，再通过计算证明中心对称； （ii），根据条件转化为在上的最大值大于等于的最大值，进而求解的取值范围. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以的图象关于原点对称， 因为把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象， 所以函数的图象关于点中心对称， 可得． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，则， 由题意可得在上的最大值大于等于． 又由（1）知，函数的图象关于点中心对称， 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为，计算可得； 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为， 计算可得或，无解； 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为，无解； 综上可得． 【考点强化练5】（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数是奇函数且. (1)求t的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增； 证明：，设，且， 则： 因为，函数在上单调递增，所以，即，故在上单调递增； (3). 【分析】（1）由奇函数得到，代入可求解； （2）首先化简解析式得到，再利用定义法即可证明； （3）通过奇函数和增函数得到，分离参数求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，故，即，解得：； （2）略； （3），则，因为奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以，分离参数后得到：， 因为，所以，当且仅当时取等，则， 则的取值范围为.（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数为上的偶函数，当时.（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）定义在上的奇函数和偶函数满足．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）.（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数为奇函数．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 【答案】(1) (2)当时，所有实根之和为；当时，所有实根之和为。 【分析】（1）首先根据函数的奇偶性求解的解析式，再根据已知条件求得的解析式，进而求得答案； （2）首先画出函数在上的图象，然后结合图象根据对称性求得函数实根之和. 【详解】（1）若，则，则， 因为为奇函数，所以，即，. 所以当时，. 若，则， 因为，所以. 综上，当时，的解析式为. （2）作出函数在上的图象，如图， 则函数的最小值为， 若，则方程在上的解为或，则； 若，则在上有个解，且它们分别关于直线和对称， 设它们从小到大依次为，，，，则，，则. 综上可得，当时，的所有实根之和为， 当时，的所有实根之和为. (1)求，的解析式； (2)令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用函数奇偶性得，联立解方程组即可求解； （2）（ⅰ）分析单调性，用零点存在性定理找区间即可得到的值； （ⅱ）构造奇函数，再利用函数单调性解不等式． 【详解】（1）由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 则，联立， 解得，． （2）（ⅰ）由（1）可得， 因为，和在上都为增函数， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，， 又，所以． （ⅱ）令．因为是奇函数，所以， 所以， 所以是奇函数， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则， 则，解得或， 故不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)由（1）知，则， 因为均大于0，所以对任意恒成立，故在上单调递增. (3)3 【分析】（1）由奇函数的性质求参数值，注意验证； （2）应用导数研究函数的单调性即可； （3）问题化为在上，结合单调性确定最大值，再解一元二次不等式求参数范围即可得. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得， 验证，当时，，满足题设； （2）略 （3）由在上有解，等价于在上， 由（2）知为增函数，则最大值为， 因此，即 ，解得， 故整数n的最大值为3. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶. 【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. （3）略 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数； (3) 【分析】（1）求解含参奇函数的解析式，可优先利用 奇函数在原点处有定义则快速求得常数项参数，再结合已知函数值求解剩余参数；（2）用定义证明函数单调性，核心是作差后通过通分、因式分解变形，结合自变量的取值范围判断差的符号，进而确定函数的增减性；（3）双变量恒成立问题可分步消元：先对x求函数最值，将问题转化为单参数恒成立问题，再结合一次函数的端点最值性质求解参数范围. 【详解】（1）函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，； （2）略 （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是 (1)求实数、的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数可得，进而计算可求得，再结合求得； （2）由指数函数的性质可得在上单调递增，可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，即 因为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以， 因为对任意的，不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)增区间；减区间； (3) 【分析】（1）设，则，所以，根据偶函数的定义即可求出时，的解析式，从而得到整个定义域上的解析式；（2）由分段函数为二次函数，作出图象，结合图象即可求出单调区间；（3）将零点问题转化为两个函数交点问题，再结合图象运算求解. 【详解】（1）设，则，所以， 因为函数为上的偶函数，则，所以， 因此，的解析式为； （2）由（1）知，则其图象如下所示， 由图可知，函数的单调递增区间为；单调递减区间为； （3）令，有，则转化为与有四个交点即可，由数形结合易得. (1)求实数的值，并用分段函数形式表示函数的解析式； (2)画出函数的图象并写出单调减区间； (3)若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)，单调减区间为和 (3)或或 【分析】（1）根据函数的奇偶性及函数值，可得函数解析式； （2）根据函数解析式作出函数图象，进而判断函数单调减区间； （3）可转化为函数与函数的交点个数，结合图象即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且， 所以，即，解得， 即当时，， 当时，，则， 则， 当时，， 综上所述，. （2）函数的图象如下： 由图可知，函数的单调减区间为和. （3）方程有三个实数根， 即函数与有三个公共点， 则根据函数图象可知或或， 所以实数的取值范围是或或. (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列方程计算求解即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）根据二次函数性质分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，关于原点对称， 而， 若为偶函数，则， 即，化简可得， 因为不恒为，所以； （2）由题可知，不等式在时恒成立. 显然当时，为任意值时都满足题意； 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为. （3）函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 综上：当时，函数有最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $