精品解析：甘肃武威市凉州区武威第十九中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试卷

2026—2027学年第一学期期中测试卷九年级数学 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，. ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，B正确，不符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时，不随的增大而一直增大，C错误，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，代入解析式得，即有最大值，D正确，不符合题意． 4. 将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将一元二次方程转化为，再一元二次方程可化为的形式，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 6. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确第一周到第三周共经历2次增长，结合增长率关系列方程. 【详解】解：∵第一周借阅人次为500，周平均增长率为x， ∴第二周借阅人次为，第三周借阅人次为. ∵第三周借阅人次为845， ∴可列方程. 7. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，求出与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 8. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定反比例函数的解析式，再根据的符号判断增减性，结合自变量的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：把代入中得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 9. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：将、代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论中：①，②，③，④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①抛物线开口向上，对称轴为直线，即可得出、、，进而可得出，结论①正确；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由，即，而，可得结论③正确；④由，，可得，可得结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴，结论②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，而， ∴，故③正确， ④∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，结论④错误； 综上所述，正确的结论有：①②③． 故选：A． 二、填空题（共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 12. a是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得：， 整理得：， ∴ ． 13. 把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，然后根据平移规则：“左加右减，上加下减”，左右平移针对自变量x操作，上下平移针对函数整体值操作，即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：对变形： 向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得：； 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为，即． 所以，平移后的二次函数解析式为． 14. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向下时抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，比较三个点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∴点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为． ∴对应函数值的大小关系为． 15. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 由函数图象可得，不等式的解集是或． 16. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 17. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路的宽为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设道路宽为，根据试验田的面积为，列方程即可． 【详解】解：设道路宽为，由题意可得，． 18. 定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解两个函数表达式相等时的自变量取值作为分界点，逐段确定对应的函数表达式，结合一次函数、二次函数的增减性求出各段的最小值，比较后得到整个函数的最小值． 【详解】解：令， 移项整理得， 因式分解得， 解得，． 分区间讨论函数取值： 当时， ∵， ∴， ∴此时， ∵一次函数中，的系数为，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，代入得； 当或时， ∵， ∴， ∴此时， 将二次函数配方得，开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴时，； 当时，函数在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴时，， 综上，该函数的最小值为． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程中、、， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据平方的非负性可证结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：． 21. 已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的值，比较大小即可. 【小问1详解】 解：与成反比例， ∴设， 将代入解析式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在该反比例函数图象上， ∴将代入得，将代入得，  ∵， ∴. 22. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】（1）该风景区游客人数的月平均增长率为． （2）按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【解析】 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 23. 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台的高度为，火炬的高度为，距发射台的水平距离为，在处的发射装置向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度时，相应的水平距离为．请你判断该火球能否点燃目标？并说明理由． 【答案】该火球能点燃目标，理由如下： 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点，点， 设此抛物线的解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 此抛物线对应的函数解析式为， 当时，， 该火球能点燃目标． 【解析】 【分析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点，点，设此抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线解析式，求出当时的值，与点纵坐标比较即可判断． 【详解】略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 【答案】（1） （2）点的坐标是或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； 【小问3详解】 解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒月饼的售价应定为74元； （2）当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，令，求出的值，即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的一点，当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）①根据图像，当时，的取值范围是______ ②当时，二次函数的最大值为，则的值是______． 【答案】（1） （2）； （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，代入二次函数里，求出未知数，就可以求出二次函数解析式． （2）先求出直线的解析式，再表示出点的坐标，用二次函数解析式减去直线的解析式得到一个新的二次函数，求这个新的二次函数最大值即可求出三角形面积，将最大值对应的值代入二次函数里，即可求出点的坐标． （3）第一问看图计算即可得出范围，第二问，分类讨论与对称轴的位置关系，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 将两个坐标代入二次函数中，得到方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为： ． 【小问2详解】 解：如图所示，设直线的解析式为（、为常数， ）， 代入点A，C的坐标，得到方程组： ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， 过点P作轴垂线交直线于点Q，得到点Q坐标， 则， ， 当时，三角形面积取得最大值，最大值为， 此时， ∴． 【小问3详解】 解：①二次函数对称轴： ，此时， 端点处： ， ； ， ， ∴的取值范围是， ②当时，二次函数的最大值为，二次函数对称轴： ， 分三类讨论， 情况一：区间在对称轴右边，，即， 函数递减，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况二：区间在对称轴左边，，即， 函数递增，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况三：对称轴在区间内， ，即， 最大值处，解得（舍去）， ∴的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中测试卷九年级数学 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y有最大值 4. 将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论中：①，②，③，④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则___________． 12. a是方程的一个根，则代数式的值是________． 13. 把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 14. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______． 15. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 16. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 17. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路的宽为，则可列方程为_______． 18. 定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 21. 已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 22. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 23. 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台的高度为，火炬的高度为，距发射台的水平距离为，在处的发射装置向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度时，相应的水平距离为．请你判断该火球能否点燃目标？并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的一点，当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）①根据图像，当时，的取值范围是______ ②当时，二次函数的最大值为，则的值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $