精品解析：陕西榆林市横山区石湾中学2026-2027学年上学期九年级数学期中素养测评卷

2026秋季九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十七章完，P1~P90） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 2. 如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 8. 如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个顶点在轴上（原点除外）的二次函数解析式：__________．（写一个即可） 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 11. 若、为二次函数的图象上的两点，则、的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”） 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为__________． 13. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 14. 已知直线经过点且平行于轴．二次函数，当时，对应的函数值随的增大而增大，且该段图象与直线有公共点时，的取值范围为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知一个二次函数图象的顶点坐标是（，），且过另一点（，），求这个二次函数的解析式． 17. 关于的方程是一元二次方程，求的值． 18. 已知二次函数在时，取得的最大值为15，求的值． 19. 目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，该市服务行业引进机器人的数量逐年增加，计划2025年该市服务行业引进机器人万台．求这两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率． 20. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，求函数图象的顶点坐标． 21. 当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 22. 学校举行课外研学活动，需要实验器材和共套，已知实验器材的售价为元套，实验器材的售价为元套．现商家优惠销售，当购买器材的数量超过套时，每增加套，每套的价格降低元，为保障盈利，每套售价不可低于元；器材每套按九折销售．设学校购买套器材． （1）根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） ＿＿ （2）若学校购买这批实验器材的总价为元，则学校应购买实验器材和各多少套？ 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移（）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 25. 某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 26. 问题提出 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 问题探究 （2）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒（），设的面积为，用含的函数关系式表示； 问题解决 （3）如图2，某生态农庄有一块形状为正方形的土地，其中．管理者想规划出一个形状为五边形的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点、、分别是、、上的点（均不与正方形顶点重合），且，．根据设计需求，要使五边形面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的五边形？若存在，求五边形面积的最小值并求此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十七章完，P1~P90） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征(即反比例函数的图象上，任意一点的横、纵坐标之积等于常数)． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于， 对选项A：点，，∴该点不在图象上， 对选项B：点，，∴该点在图象上， 对选项C：点，，∴该点不在图象上， 对选项D：点，，∴该点不在图象上， 故选：B． 2. 如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：D． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，确定对称轴为直线，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式中确定对称轴，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 4. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为和， ∴． 5. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列方程以及矩形的面积，由周长表示出矩形的另外一条边长是解决本题的关键． 设矩形的一条边长为x米，根据周长为14米可得另一条边长为米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为14米，则长与宽之和为米， 设一条边长为x米，则另一条边长为米， ∴矩形的面积为平方米，根据题意得方程：． 故选：B． 6. 如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 【详解】解：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为， 二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，． 故选：B． 7. 如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质求出，即可求解. 【详解】解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 8. 如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】①由图象得，，再结合对称轴即可判断；②图象与轴有两个交点，即可判断；③由图象得当时，，即可判断；④由对称轴为直线得，即可判断；⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方，即可判断． 【详解】解：①由图象得，， ， ， ， 故此项错误； ②由图象得，图象与轴有两个交点， ； 故此项正确； ③由图象得， 当时，； ； 故此项正确； ④对称轴为直线， ， ， 故此项错误； ⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方， 有，也有， 故此项错误； 故正确的个数有个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个顶点在轴上（原点除外）的二次函数解析式：__________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键． 顶点在y轴上，则二次函数的对称轴为y轴，即一次项系数；又顶点不在原点，故常数项． 【详解】解：∵顶点在y轴上， ∴则二次函数的对称轴为y轴， 即一次项系数； 又∵顶点不在原点， ∴常数项． 则二次函数解析式可为． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若、为二次函数的图象上的两点，则、的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 通过直接计算点A和点B的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：时，； 当时，． 由于， 因此． 故答案为：>． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，求出和，即可求解另一个根与的乘积． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意得，，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 13. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 已知直线经过点且平行于轴．二次函数，当时，对应的函数值随的增大而增大，且该段图象与直线有公共点时，的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口和对称轴，得出时，随的增大而增大，根据对应的函数值随的增大而增大，可得，求出，令，求出对应的的值，根据对应的图象与直线有公共点求出，且，综上即可得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当对应的函数值随的增大而增大， ∴， 解得， 当时，， 解得，（在对称轴右侧，故舍去）， ∵当时，对应的图象与直线有公共点， ∴，且， 解得，且， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 或， 解得， 16. 已知一个二次函数图象的顶点坐标是（，），且过另一点（，），求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式．已知二次函数图象顶点的坐标是（，），可以设二次函数的解析式为：，再把另一点坐标（，）代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是（，）， 设二次函数的解析式是， 把点（，）代入可得：， 解得：， 二次函数的解析式是． 故答案为：． 17. 关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 18. 已知二次函数在时，取得的最大值为15，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点， ∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故a的值为4． 19. 目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，该市服务行业引进机器人的数量逐年增加，计划2025年该市服务行业引进机器人万台．求这两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年该市服务行业引进机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这两年该市服务行业引进机器人台数年平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 所以两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率为． 20. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，求函数图象的顶点坐标． 【答案】顶点坐标为或 【解析】 【分析】根据题意将点代入二次函数解析式得出方程求解确定k的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象与轴交于点， ∴当时，， ∴， 解得，， ∴或， ∴函数图象的顶点坐标为或． 21. 当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 22. 学校举行课外研学活动，需要实验器材和共套，已知实验器材的售价为元套，实验器材的售价为元套．现商家优惠销售，当购买器材的数量超过套时，每增加套，每套的价格降低元，为保障盈利，每套售价不可低于元；器材每套按九折销售．设学校购买套器材． （1）根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） ＿＿ （2）若学校购买这批实验器材的总价为元，则学校应购买实验器材和各多少套？ 【答案】（1） 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）实验器材为套，实验器材为套 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据已知条件列式计算即可； （2）设实验器材A为x套，则实验器材B为套，根据订购这批实验器材总价为5300元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，实验器材A的销售单价为：（元/套）， 实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为：（元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 【小问2详解】 解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移（）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换. （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式及平面直角坐标系中图形面积的计算，熟练运用待定系数法和割补法是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，先代入点坐标求一次函数解析式，再结合点坐标求出反比例函数的值； （2）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，结合割补法将四边形拆分为两个三角形，依次计算三角形面积并求和． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， ， 将代入得： ， ， 将代入得： ， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得： ， ， ， 过点作， ，，， ，， ． 25. 某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 【答案】（1） （2）钢架的高度为3米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解决本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，根据顶点为，则抛物线的解析式为，再将代入求解即可； （2）设点的横坐标为，根据矩形的性质和二次函数的性质得出的长度为（米），的长度为（米），再结合钢架总长度为8米进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，抛物线与x轴的一个交点为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为， ∵四边形是矩形，且抛物线对称轴为， ∴点的横坐标为（关于对称轴对称）， ∴的长度为（米）， 的长度为A的纵坐标，即（米）， ∵钢架总长度为8米， ∴， ∴ ， 解得或． 若，则，不符合“矩形”的实际意义，舍去； 若，代入得：（米）， ∴钢架的高度为3米． 26. 问题提出 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 问题探究 （2）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒（），设的面积为，用含的函数关系式表示； 问题解决 （3）如图2，某生态农庄有一块形状为正方形的土地，其中．管理者想规划出一个形状为五边形的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点、、分别是、、上的点（均不与正方形顶点重合），且，．根据设计需求，要使五边形面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的五边形？若存在，求五边形面积的最小值并求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，五边形的面积最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据配方法，即可求解； （2）根据题意可得，，则，进而根据，即可求解； （3）先证明，进而根据五边形面积为得出关系式，根据配方法，即可求解． 【详解】（1）解：， 则的最小值为， 故答案为：． （2）依题意，，则， ∴ （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 设，则 ∴五边形面积为 ， ∴当时，五边形面积的最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $