精品解析：陕西省安康市汉阴县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中调研检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2. 下列标点符号中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键． 若把一个图形绕中心点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断． 【详解】A．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； B．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； C．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意； D．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意． 故选C． 3. 如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 5. 已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 6. 已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 解方程得两根为2和6，分别作为底和腰讨论，只有底为2、腰为6时满足三角形三边关系，周长为14． 【详解】解：∵可化为， ∴或． 当底边长为2、腰长为6时，三边长为2、6、6， ∵，，满足三边关系， ∴周长为； 当底边长为6、腰长为2时，三边长为2、2、6， ∵， ∴不满足三边关系，故舍去； ∴周长为14． 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点为和，且，可得对称轴直线，从而得出；根据抛物线与x轴有两个交点，从而得出，可得出；根据，，得出时，，从而得出；当时和时两种情况可以判断D． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和，且， ∴，， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵，， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 当时，，即； 当时，，即；故D错误． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出、的值，再计算的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 10. 抛物线与y轴的交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0，得到交点的纵坐标即可．熟练掌握与y轴的交点坐标的特点是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为： 11. 据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理. 先根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：由圆周角定理可得，， ， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，则_________（填“”或“”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标等知识点，难度不大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线， ∴抛物线C的函数关系式为： ∴抛物线C开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在抛物线上，且 ∴． 故答案为：>． 14. 如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为； 故答案为：4． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 16. 已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【答案】 证明：∵ ， ∴不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点问题，根据判别式与函数图象与轴交点的关系即可求解，熟练掌握判别式与函数图象与轴交点的关系是解题的关键． 【详解】略 17. 若关于的一元二次方程的解为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 将代入得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴的值为． 18. 如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，弦即为所求，（作法不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图——经过一点作直线的垂线，垂径定理，过作直径垂线，然后通过垂径定理即可求证，解题的关键是掌握垂径定理和经过直线上一点尺规作直线的垂线的方法． 【详解】解：由作图可知，， ∵是的直径， ∴． 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用旋转的性质准备全等的条件，再根据证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】证明：∵是由绕点逆时针旋转得到的， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先画出图形，再写出点的坐标即可. 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，如图， 点，的对应点分别为点，， ∴点的坐标为． 21. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 22. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． 【小问2详解】 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应上涨元或元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）依题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶， ∴当这款洗手液的销售单价上涨元时，每天的销售量为瓶， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得：，， 答：销售单价应上涨元或元． 24. 如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， 在四边形中，， 又， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，可得：，根据四边形内角和为，可得：，又因为，可得，根据等量代换可得：，根据等角对等边可证结论成立； 利用勾股定理可求，由可知，又因为，所以可求，利用勾股定理可求，根据等腰三角形的三线合一定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， 由可知， ， 在中，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理、四边形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与其中一个小伙伴分别站在、两点摇绳，两位同学的摇绳点、距地面的高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的解析式； （2）若参与跳绳的同学站在点处，米，当大绳处于图中抛物线的位置，且该同学跳起米时，大绳能否顺利从该同学的脚下通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）大绳能顺利从该同学的脚下通过，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点D为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得点的横坐标为4，求出当时的值，与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 又∵抛物线经过点， ∴将点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，该同学所处的位置与点之间的距离米，即点的横坐标为4， 当时，， ∴大绳能顺利从该同学的脚下通过． 26. 【问题背景】 （1）如图1，点在等边的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，若，则线段的长为______； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，在上截取，连接，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交线段于点，且，求证：点为线段的中点； 【拓延探究】 （3）如图3，有一块三角形地块，其中，计划在边上取一点（满足），建造道路，为了优化交通流线，将道路绕点逆时针旋转得到新道路，连接，，点为新的交通枢纽，区域规划为商场，已知，求区域面积的最大值． 【答案】（1）5；（2）见解析；（3）区域面积的最大值为 【解析】 【分析】根据旋转的性质可证，根据全等三角形对应边相等可得； 过点作交的延长线于点，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可以得到边和角之间的相等关系，根据边、角之间的关系可证三角形全等，利用全等三角形的性质可证结论成立； 在线段截取一点使得，连接，过点作交的延长线于点，设，则，，根据三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可以求出区域面积的最大值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：； 证明：如下图所示，过点作交的延长线于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ，，， 由旋转的性质可得，， ，， 在和中，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 点为线段的中点． 解：如下图所示，在线段截取一点使得，连接，过点作交的延长线于点， ，， 是等边三角形， ，， ， 由旋转的性质可得，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 当时，有最大值为． 区域面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理，含角的直角三角形的想在、二次函数的最值，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，进而构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中调研检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 2. 下列标点符号中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 5. 已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 6. 已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 12 7. 如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 10. 抛物线与y轴的交点坐标为_____． 11. 据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为_______． 12. 如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为______． 13. 已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，则_________（填“”或“”）． 14. 如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 17. 若关于的一元二次方程的解为，求的值． 18. 如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 21. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 22. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 24. 如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与其中一个小伙伴分别站在、两点摇绳，两位同学的摇绳点、距地面的高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的解析式； （2）若参与跳绳的同学站在点处，米，当大绳处于图中抛物线的位置，且该同学跳起米时，大绳能否顺利从该同学的脚下通过？请说明理由． 26. 【问题背景】 （1）如图1，点在等边的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，若，则线段的长为______； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，在上截取，连接，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交线段于点，且，求证：点为线段的中点； 【拓延探究】 （3）如图3，有一块三角形地块，其中，计划在边上取一点（满足），建造道路，为了优化交通流线，将道路绕点逆时针旋转得到新道路，连接，，点为新的交通枢纽，区域规划为商场，已知，求区域面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $