精品解析：四川成都市都江堰外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

都江堰外国语实验学校 初2024级2026－2027学年度（上）阶段一 数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 4. 如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）． A. 9 B. 7 C. 5 D. 6 5. 如图，，为菱形的对角线，已知，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 10. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值为______． 11. 已知，，的周长为，的周长为______． 12. 如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______ 13. 如图，中，以点为圆心；任意长为半径作弧，分别交，于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）（用配方法解） （2） 15. 解不等式组：，并求出它的所有整数解． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 17. 如图，在矩形中，垂直平分，垂足为O点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 18. 某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形．所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长AB为x米． （1）当花圃的面积为144平方米时，求此时AB的长； （2）修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为150平方米，求此时AB的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，已知点C，D是线段的黄金分割点，，则线段______（结果保留根号） 20. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接，．当为______时，四边形为矩形． 21. 已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 22. 已知一元二次方程的两根分别是a，b，则＝______． 23. 如图，在中，，，D是边上一点，且，E是延长线上一点，连接交于F，若，则的面积为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实．某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元． （1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？ （2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销售占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？ 25. 如图，一次函数y=kx+b图像分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，6），四边形ABCD是正方形． （1）求一次函数解析式； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 都江堰外国语实验学校 初2024级2026－2027学年度（上）阶段一 数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最短与最长线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，判断是否为成比例线段． 【详解】解：各组线段单位统一且已按从小到大排列，分别计算得： A、，不成比例； B、，不成比例； C、，成比例； D、，不成比例． 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：关于x的一元二次方程需满足：是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，且二次项系数不为0； 选项A中，当时，方程不是二次方程，故本选项不符合题意； 选项B中，方程未知数为y，不是关于x的方程，故本选项不符合题意； 选项C中，方程是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为，故本选项符合题意； 选项D中，方程分母含未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 3. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 4. 如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）． A. 9 B. 7 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 5. 如图，，为菱形的对角线，已知，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：，菱形的面积为， ，即， 解得． 6. 某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意可得． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若是一元二次方程的两根，则，，求出和的值后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 8. 如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ， ， 四边形的面积， 与四边形的面积的比为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 10. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为，据此建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴方程中的最高次项的次数为，即， ∴或， 解得或． 11. 已知，，的周长为，的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，由面积比求出相似比，再根据周长比与相似比的关系，结合已知的周长计算的周长． 【详解】解：∵，. ∴两三角形的相似比为. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 12. 如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______ 【答案】##度 【解析】 【分析】先求出，，由折叠得出，进而求出结论． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∴， 由折叠，， ． 13. 如图，中，以点为圆心；任意长为半径作弧，分别交，于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知是的角平分线，结合平行线性质可证为等腰三角形，得出，然后证明，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，即的长为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）（用配方法解） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 即或， 解得，. 15. 解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【答案】；整数解有，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为 整数解有，0，1，2． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 即， 解得． 实数的取值范围是． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，． 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 或， ， 当时，． 17. 如图，在矩形中，垂直平分，垂足为O点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）． 【解析】 【分析】（）先利用线段垂直平分线和矩形的性质得到相等的边与内错角，证明和全等，推出对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再结合垂直平分线得出的一组邻边相等，最终证明该四边形为菱形； （）先利用线段垂直平分线的性质得到，再设，用含的式子表示出，接着根据矩形的性质得到，在中应用勾股定理列方程求解，最终算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，，， ∴可设，则， ∵四边形为矩形，， ∴在中，由勾股定理得 即， 解得， ∴． 18. 某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形．所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长AB为x米． （1）当花圃的面积为144平方米时，求此时AB的长； （2）修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为150平方米，求此时AB的长度． 【答案】（1）AB的长米． （2）AB的长米． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长AB为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可； （2）设垂直于墙的一边长AB为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长AB为x米．则米， ∴ 整理得： 即 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时AB的长米． 【小问2详解】 设垂直于墙的一边长AB为x米．则米， ∴ 整理得： 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时AB的长米． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用图形的面积公式建立一元二次方程”是解本题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，已知点C，D是线段的黄金分割点，，则线段______（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义和黄金比求解即可． 【详解】解：∵点C，D是线段的黄金分割点，，，， ∴，， ∴． 20. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接，．当为______时，四边形为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转性质可知对角线互相平分，判定四边形为平行四边形，再根据矩形对角线相等推出，结合已知可得为等边三角形. 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 四边形是平行四边形， 当四边形为矩形，则对角线相等，即， ，， ， 又， ， 是等边三角形， . 21. 已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 22. 已知一元二次方程的两根分别是a，b，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义得，利用根与系数的关系得，然后整体代入求值． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴将代入方程得． 由根与系数的关系，方程的两根a，b满足， ∴ ． 23. 如图，在中，，，D是边上一点，且，E是延长线上一点，连接交于F，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，列出比例式，再利用勾股定理求得、，将已知数据代入比例式求得、，然后证明，得出，求得，再利用勾股定理求得，即可利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由，得， 将代入， 得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴， 过点A作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三线合一，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，二次根式的运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实．某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元． （1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？ （2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销售占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？ 【答案】（1）最多采购传感器模型200个； （2）减速器模型应降价7元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，故设采购传感器模型x个，则采购减速器模型个，再列式计算，即可作答． （2）依题意，设减速器模型降价m元，结合当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销售占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，进行列方程，解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设采购传感器模型x个，则采购减速器模型个， 依题意，得， 解得：， ∴最多采购传感器模型200个； 【小问2详解】 解：依题意，设减速器模型降价m元， ∵当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销售占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元， ， ，， ∵为扩大销售占领市场， ∴取降价更多的，舍去， 答：减速器模型应降价7元． 25. 如图，一次函数y=kx+b图像分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，6），四边形ABCD是正方形． （1）求一次函数解析式； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】（1）y=-x+6；（2）（14，8）；（3）存在（，）或（−4，3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）首先过点D作DE⊥x轴于点E，易证得△AOB≌△DEA，则可求得DE与AE的长，继而可求得点D的坐标； （3）分别从当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形与当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，当OB=BM=NM=NO=6时，四边形BOMN为菱形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：（1）把A（8，0）、B（0，6）代入一次函数y=kx+b 得 解得 ∴一次函数解析式为y=-x+6； （2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E， 则∠AOB＝∠DEA＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90， ∴∠1＝∠3， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA， ∵在△AOB和△DEA中， ∴△AOB≌△DEA（AAS）， ∴OA＝DE＝8，OB＝AE＝6， ∴OE＝OA＋AE＝8＋6＝14， ∴点D的坐标为（14，8）； （3）存在． ①如图2，当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分， ∴OP＝OB＝3， ∴当y＝3时，−x＋6＝3， 解得：x＝4， ∴点M的坐标为（4，3）， ∴点N的坐标为（−4，3）． ②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴． ∵点M在直线y＝−x＋6上， ∴设点M的坐标为（a，−a＋6）（a＞0）， 在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2， 即：a2＋（−a＋6）2＝62， 解得a1=0（舍去）a2=， ∴点M的坐标为（，）， ∵MN=OB=6 ∴点N的坐标为（，）， ③如图，当OB=BM=NM=NO=6时，四边形BONM为菱形．设NM交x轴于点P，则MP⊥x轴． ∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为， ∴点N的坐标为， 在中，， 即：， 解得（舍去），， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为（，）或（−4，3）或． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 解：和是等腰三角形，且， 两个等腰三角形的底角也相等． ． ，即． ， ． ． ，即 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形以及正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质推出，然后证明即可求出和的数量关系; （2）先证明得到．进而证明从而根据对应边成比例整理可得结论; （3）根据正方形的性质构造，并由相似比求出的长度，然后在中通过勾股定理建立关于正方形边长的方程，即可求解． 【小问1详解】 和是等边三角形， ． 在和中， ． ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， 根据正方形的性质，，， ． ． ． 设，则． 在中，， ，解得（舍去），． 故正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $